Seuraa 
Viestejä1983

Tuli sähkökurssissa vastaan esimerkki, jossa lasketaan elektronin kiihtyvyyttä kuvaputkessa, jossa sähkökenttä on 600 kN/m. Kiihdyttäväksi voimaksi tulee
F = 0,1 * 10^-12 N ja kiihtyvyydeksi a = 1,1*10^17 m/s^2.

Tuosta kun Newtonin kakkosella klassisesti laskeskelee nopeuksia, niin valon nopeus ylittyy jo puolen metrin matkalla. Sama tulos tietysti energian säilymisellä ("Shusterilla").

Tuosta syntyi uteliaisuus siitä, mikä tuo nopeus todella on puolen metrin päässä.
Pikainen suhteellisuusteorian muistelu ei oikein tuottanut tulosta, enkä vähällä vaivalla löydä tuohon tilanteeseen (siis että elektronia kiihdytetään vakiovoimalla) sopivaa menettelyä.
Yritin ihan itse lähtemällä Newtonin kakkosesta dp/dt =F eli p = Ft ja käyttämällä p:lle kaavaa p=mv, missä m on ”liikemassa”. Tuosta saa v:n ratkaistuksi t:n funktiona joten matkan saa integroimalla. Integraalista tulee ihan eksplisiittinen lauseke, joten siitä voi ratkaista ajan ja siis nopeuden. Ikävä vaan, että nopeus on edelleen valon nopeutta suurempi.

Voi olla, että tein jossain laskuvirheen, mutta onko tuossa impulssiperiaatteessa p=mv=Ft jotain vikaa tai onko tuossa ajassakin jo otettava jotain suhteellisuutta huomioon ja on vakiovoimakaan selvä käsite?

Ja jos vikaa on, niin miten asiaa

Kappaleen lepomassa on m0 ja kappaletta kiihdytetään levosta vakiovoimalla F.
Määritä nopeus v =v(t).

pitäisi lähestyä.

Kommentit (18)

David
Seuraa 
Viestejä8877
Opettaja
Ja jos vikaa on, niin miten asiaa

Kappaleen lepomassa on m0 ja kappaletta kiihdytetään levosta vakiovoimalla F.
Määritä nopeus v =v(t).

pitäisi lähestyä.


Johtuen sähkömagneettisista vuorovaikutuksista, rata on paraabeli, toisaalta voinet käyttää neliliikemäärän yhtälöä tuon ratkaisemiseksi. Eli periaatteella että voiman impulssi = neliliikemäärän muutos. Googlettamalla löytänet tarvittavat yhtälöt.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
hmk
Seuraa 
Viestejä1091

Ongelmaa voisi lähestyä myös energian säilymisen kautta. Jos sähkökenttä E = 600 kV/m, niin matkalla d sähköinen potentiaaliero (jännite) on

U = Ed

ja elektronin potentiaalienergia pienenee määrällä

E(pot) = qU = qEd.

Tämä muuttuu elektronin kineettiseksi energiaksi

E(kin) = E(tot) - E(lepo) = (gamma - 1) * mc^2 = {1/[1 - (v/c)^2]^½ - 1} * mc^2.

Energian säilymisestä E(kin) = E(pot) voidaan ratkaista v/c elektronin kulkeman matkan d funktiona:

v/c = [ 1 - 1/(qEd/mc^2 + 1)^2 ]^½ = [ 1 - 1/(1,174*d + 1)^2 ]^½

Saadaan esimerkiksi:
d = 0,01 m --> v/c = 0,15
d = 0,1 m --> v/c = 0,45
d = 1 m --> v/c = 0,89
d = 10 m --> v/c = 0,997

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983

Uskoisin kuitenkin enemmän tuota kfa:n linkkiä, semminkin kun sain tarkistuslaskennan jälkeen ihan saman nopeuden lausekkeen. Eli impulssiperiaate

Ft = mv

toimii, kun vain m on relatiivinen massa.

Tuosta tulee

v(t) = t/sqrt(b^2 + t^2) * c, missä b = cm0/F.

Integroimalla saadaan

s(t) = c*(sqrt(b^2 + t^2) - b),

josta voi ratkaista t:n s:n funktiona, joten saadaan myös v = v(s).

Yllättävän siistejä lausekkeita siis tulee.

Sain elektronille seuraavia tuloksia, kun F = 0,1 * 10^-12 N.

(0,5 m) = 0,786 c, v(1 m) =0,894 c, v(0,1 m) =0,46 c.

Aika hurjia nopeuksia jo kuvaputkitelkkaissa oli.

Opettaja
Aika hurjia nopeuksia jo kuvaputkitelkkaissa oli.
Sepä olikin se tavallisin kotitalouksien vempain jossa suhteellisuusteoria todella vaikutti.

Astronomy
Seuraa 
Viestejä3976
korant
Opettaja
Aika hurjia nopeuksia jo kuvaputkitelkkaissa oli.
Sepä olikin se tavallisin kotitalouksien vempain jossa suhteellisuusteoria todella vaikutti.

Ja kohta joku laskee yhteen nelilaskimellaan ja sanoo jotta ei pidä paikkaansa... Milloin elektroni alkaa säteilemään jotain tällaista:

"Kiihtyvässä liikkeessä oleva sähkövaraus lähettää sähkömagneettista säteilyä; poikkeuksena ovat atomiydintä kiertävät elektronit. Kiihtyvyys tarkoittaa mitä tahansa liikkeen suunnan tai nopeuden muutosta.
Nimitys jarrutussäteily viittaa erityisesti tilanteeseen, jossa esteeseen törmäävä elektroni saa aikaan säteilyä. Tätä on käytetty mm. röntgenputkissa, joissa säteilyä syntyy elektronien osuessa putken anodiin.

"The universe is a big place, perhaps the biggest".
"Those of you who believe in telekinetics, raise my hand".
Kurt Vonnegut
"Voihan fusk." Minä

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Astronomy
korant
Opettaja
Aika hurjia nopeuksia jo kuvaputkitelkkaissa oli.
Sepä olikin se tavallisin kotitalouksien vempain jossa suhteellisuusteoria todella vaikutti.

Ja kohta joku laskee yhteen nelilaskimellaan ja sanoo jotta ei pidä paikkaansa... Milloin elektroni alkaa säteilemään jotain tällaista:.



Osaisiko joku ihan oikeasti laskea? Alunperinkin nuo hirveät nopeudet huimasivat, kun telkkarissa tuntui olevan jonkinsortin koti-LEPkäynnissä.

Joka tapauksessa elektroni kai "saavuttaa valonnnopeuden" aika äkkiä, eli ei se enää hirveästi kiihdy. Aivan alussahan tuo säteily saattaa olla merkittävää. Mitenkäköhän tuo säteily mahtaisi kiihtyvyydestä riippua?

kfa
Seuraa 
Viestejä2517
Opettaja
Astronomy
Ja kohta joku laskee yhteen nelilaskimellaan ja sanoo jotta ei pidä paikkaansa... Milloin elektroni alkaa säteilemään jotain tällaista:.



Osaisiko joku ihan oikeasti laskea? Alunperinkin nuo hirveät nopeudet huimasivat, kun telkkarissa tuntui olevan jonkisortin koti-LEPkäynnissä.

Elektronin kiihtyvyydellä on tässä suuri merkitys. Jos elektronia ei poikkeuteta suoraviivaisesta liikkeestä niin kiihtyvyyttä tulee tasaisella sähkökentällä kiihdytettäessä varsin vähän.

http://en.wikipedia.org/wiki/Larmor_formula

Tästä kohta 1.5.1 Case I: acceleration parallel to motion
http://aether.lbl.gov/www/classes/p139/homework/six.pdf

Kohdan lopussa on johdettu kaava säteilyteholle, kun matkayksikköä kohti saavutettu energia tunnetaan. Lisäksi todetaan, että

"The ratio of powers, radiated to acceleration, is negligible unless energy gain in 2.8E-13 cm is of order of the rest mass - i.e. for an electron 0:511 MeV."

Tuo siis vastaisi kiihdyttävää sähkökenttää, jonka voimakkuus olisi 1.8E20 V/m eli 180000000000000000000 V/m.

Säteilyä alkaa tulla merkittävästi heti, kun vahvasti relativistisen elektronin rata taipuu magneettikentässä.

http://en.wikipedia.org/wiki/Synchrotron_radiation

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35095

Kuvaputkitelkkarien kiihdytysjännitteet olivat noin 25 kV. Suurempi energia aiheuttaisi haitallisessa märäin röntgensäiteilyä, kun elektronit osuvat loisteaineeseen. 25 kEv on vain noin 1/20 osa elektronin lepoenergiasta, joten relativistiset ilmiöt ovat hyvin vähäisiä. Enemmän ne vaikuttavat lyijyakussa, joka ei olisi toimiva akkukemia ollenkaan, jos lyijyn 1s -elektronit noudattaisivat epärelativistista kvanttimekaniikkaa. Relativistiset 1s -elektronit eivät itse osallistu kemiallisiin reaktioihin, mutta niiden edesottamukset aiheuttavat välillisiä vaiuktuksia kaikkien muidenkin elektronien tiloihin.

MooM
Seuraa 
Viestejä11496
Opettaja
Astronomy
Ja kohta joku laskee yhteen nelilaskimellaan ja sanoo jotta ei pidä paikkaansa... Milloin elektroni alkaa säteilemään jotain tällaista:.



Osaisiko joku ihan oikeasti laskea? Alunperinkin nuo hirveät nopeudet huimasivat, kun telkkarissa tuntui olevan jonkinsortin koti-LEPkäynnissä.

Joka tapauksessa elektroni kai "saavuttaa valonnnopeuden" aika äkkiä, eli ei se enää hirveästi kiihdy. Aivan alussahan tuo säteily saattaa olla merkittävää. Mitenkäköhän tuo säteily mahtaisi kiihtyvyydestä riippua?




Kyse on hidastuvuudesta, kun elektronit iskevät ruutuun. Siinä syntyy jarrutussäteilyä, joka on röntgenalueella. Joskus on ollut joitain viallisia malleja (GE), joissa säteilyä tuli ihan haitaksi asti, normaaleissa putkitelkkareissa säteily on vähäistä.

http://www.fda.gov/Radiation-EmittingPr ... 252764.htm

"MooM": Luultavasti entinen "Mummo", vahvimpien arvelujen mukaan entinen päätoimittaja, jota kolleega hesarista kuvasi "Kovan luokan feministi ja käheä äänikin". https://www.tiede.fi/keskustelu/4000675/ketju/hyvastit_ja_arvioita_nimim...

Opettaja
Uskoisin kuitenkin enemmän tuota kfa:n linkkiä, semminkin kun sain tarkistuslaskennan jälkeen ihan saman nopeuden lausekkeen. Eli impulssiperiaate




Suositten myös hmk:n energia pohjaista ratkaisua.

Siis koska alkuenergia = 511 keV ja energia puolen metrin kohdalla = 511 keV +300 keV, niin elektroni on vaikkapa lyhenentynyt 511/811 osaan siinä puolen metrin kohdalla.

liikepituus=lepopituus*sqrt(1-v²-c²)
sqrt(1-v²/c²) = 511/811

hp-laskin kertoo että v = 0.776 c

kfa
Seuraa 
Viestejä2517
jartsa
Opettaja
Uskoisin kuitenkin enemmän tuota kfa:n linkkiä, semminkin kun sain tarkistuslaskennan jälkeen ihan saman nopeuden lausekkeen. Eli impulssiperiaate




Suositten myös hmk:n energia pohjaista ratkaisua.

Siis koska alkuenergia = 511 keV ja energia puolen metrin kohdalla = 511 keV +300 keV, niin elektroni on vaikkapa lyhenentynyt 511/811 osaan siinä puolen metrin kohdalla.

liikepituus=lepopituus*sqrt(1-v²-c²)
sqrt(1-v²/c²) = 511/811

hp-laskin kertoo että v = 0.776 c




Energiapohjainen tarkastelu on helpoin tapa saada hiukkasen nopeus jossakin pisteessä. Jos haluaa laskea hiukkasen paikkaa tai nopeutta ajan funktiona niin se vaatii liikeyhtälöt.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
kfa
Energiapohjainen tarkastelu on helpoin tapa saada hiukkasen nopeus jossakin pisteessä. Jos haluaa laskea hiukkasen paikkaa tai nopeutta ajan funktiona niin se vaatii liikeyhtälöt.



Juu, ajatukseni oli juuri tuo ajan mukaan saaminen. Mutta kuinkas tuo on:

Jos tunnen nopeuden matkan funktiona, niin eikös tuosta periaatteessa pitäisi saada myös nopeus ajan funktiona? Ainakin numeerisesti pitäisi onnistua, eri asia jos pitäisi saada lausekkeetkin.

Sieventelin muuten tuota saamaani lauseketta v=v(t) sijoittamalla siihen t = t(s) ja sieltähän putkahti lauseke, jossa on pelkkää työtä ja energiaa. Tästä innostuin kokeilemaan työperiaatetta

W=delta E

eli tässä

W = (gamma - 1)E0, E0 = m0c^2 on lepoenergia.

Tuosta saa "helposti" v:n ratkaistuksi:

v = sqrt(W^2 +2E0W)/(W+E0) * c

Tuo on täsmälleen sama, jonka impulssiperiaatteellakin sain.

W saa nyt olla mikä tahansa työ, W = Fs, W =qU ... .

Alkuperäinen telkkariyhteys näköjään hieman lässähti, sillä jos nuo arvot
E = 600 kV/m ja U = 25 kV ovat oikeata luokkaa, niin telkkarin elektronitykin pituus on vain jotain 4 cm luokkaa.

Tuollakin tosin saan elektronin nopeudeksi 0,30 c eli jo relativistisen lukeman.
Epärelativistisella Schusterilla saan muuten 0,31 c.

Onkos noissa oletuksissa jotain vikaa, kun yleensä väitetään, että televisiossa ei ole kovasti relativistista toimintaa, eli pitäisi olla v < 0,1c?

Astronomy
Seuraa 
Viestejä3976
Opettaja
...
Juu, ajatukseni oli juuri tuo ajan mukaan saaminen. Mutta kuinkas tuo on:
..
Jos tunnen nopeuden matkan funktiona, niin eikös tuosta periaatteessa pitäisi saada myös nopeus ajan funktiona? Ainakin numeerisesti pitäisi onnistua, eri asia jos pitäisi saada lausekkeetkin.

Sieventelin muuten tuota saamaani lauseketta v=v(t) sijoittamalla siihen t = t(s) ja sieltähän putkahti lauseke, jossa on pelkkää työtä ja energiaa. Tästä innostuin kokeilemaan työperiaatetta

W=delta E

eli tässä

W = (gamma - 1)E0, E0 = m0c^2 on lepoenergia.

Tuosta saa "helposti" v:n ratkaistuksi:

v = sqrt(W^2 +2E0W)/(W+E0) * c

Tuo on täsmälleen sama, jonka impulssiperiaatteellakin sain.

W saa nyt olla mikä tahansa työ, W = Fs, W =qU ... .

Alkuperäinen telkkariyhteys näköjään hieman lässähti, sillä jos nuo arvot
E = 600 kV/m ja U = 25 kV ovat oikeata luokkaa, niin telkkarin elektronitykin pituus on vain jotain 4 cm luokkaa.

Tuollakin tosin saan elektronin nopeudeksi 0,30 c eli jo relativistisen lukeman.
Epärelativistisella Schusterilla saan muuten 0,31 c.

Onkos noissa oletuksissa jotain vikaa, kun yleensä väitetään, että televisiossa ei ole kovasti relativistista toimintaa, eli pitäisi olla v < 0,1c?


Kirjoitit:
"Jos tunnen nopeuden matkan funktiona, niin eikös tuosta periaatteessa pitäisi saada myös nopeus ajan funktiona? Ainakin numeerisesti pitäisi onnistua, eri asia jos pitäisi saada lausekkeetkin."
Nopeus ja matka, samoinkuin nopeus ja aika, ovat tällaselle minun maalaisjärjelle aika selvittämättömiä suureita. Hyvä sinä, "Opettaja" pohdinnoissasi. Kiva kun heität niitä tännekkin meille turisteille...

"The universe is a big place, perhaps the biggest".
"Those of you who believe in telekinetics, raise my hand".
Kurt Vonnegut
"Voihan fusk." Minä

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
jartsa
Suositten myös hmk:n energia pohjaista ratkaisua.

Siis koska alkuenergia = 511 keV ja energia puolen metrin kohdalla = 511 keV +300 keV, niin elektroni on vaikkapa lyhenentynyt 511/811 osaan siinä puolen metrin kohdalla.

liikepituus=lepopituus*sqrt(1-v²-c²)
sqrt(1-v²/c²) = 511/811

hp-laskin kertoo että v = 0.776 c




Juu. Näyttää vähän siltä, että kaikki mikä pätee klasisessa Newtonin mekaniikassa, pätee myös suppeassa suhteellisuusteoriassa, kun vaan sopivasti joku kerrotaan tuolla gammalla. Muutaman kerran olen saanut v =0.786 c, mutta liekö tuossa jotain pyöristyshäikkää.

Tuota rapidya en muuten ottanut ollenkaan vakavasti, semminkin kun tulos hieman heitti oikeasta. Sitten kuitenkin ajattelin, että ero johtuisi siitä, että klassisesti c tulee vastaan jo 41 cm:n kohdalla. Tuolla etäisyydellä saadaan
v = 0,738c. Eli ei kyllä parane. Ilmeisesti tuossa rapidyssa on joku tolkku, mutta se ei mene noin kuin yritit, esimerkiksi tanh(1) = 0,76, ei atanh(1), joka ei ole edes määritelty.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637

Wikipedian mukaan elektronin varaus on q = - 1,602176565 * 10^(-19) C ja massa m = 9,10938291 * 10^(-31) kg. Käytän valon nopeutta c = 3*10^8 m/s ja noista äsköisistä likiarvoja 1,602 ja 9,109.Tehtävän E = 600 kV/m

Matkalla x metriä tehty työ = elektronin energian lisäys eli

Eqx = mc^2 (1/sqrt(1-(v/c)^2) - 1). Olkoon k = Eq/(mc^2).Tällöin

1 +kx = 1/sqrt(1 - (v/c)^2) ja siis 1-(v/c)^2 = 1/ (1 + kx)^2

k= 0,9771

x = 0,01: 1 - (v/c)^2 = 1/ 1,0196 = 0,981 ja v/c = 0,14

x = 0,1: 1 - (v/c)^2 = 1/1,205 = 0,83 ja v/c = 0,41

x = 0,5 1 - (v/c)^2 = 1/2,217 = 0,451 ja v/c = 0,74

x= 1,0: 1 - (v/c)^2 = 1/ 3,909 = 0,256 ja v/c = 0,86

x= 10 m: 1 - (v/c)^2 = 1/ 116,01 = 0,00862 ja v/c = 0,996.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Ohman
Wikipedian mukaan elektronin varaus on q = - 1,602176565 * 10^(-19) C ja massa m = 9,10938291 * 10^(-31) kg. Käytän valon nopeutta c = 3*10^8 m/s ja noista äsköisistä likiarvoja 1,602 ja 9,109.Tehtävän E = 600 kV/m

Matkalla x metriä tehty työ = elektronin energian lisäys eli

Eqx = mc^2 (1/sqrt(1-(v/c)^2) - 1). Olkoon k = Eq/(mc^2).Tällöin

1 +kx = 1/sqrt(1 - (v/c)^2) ja siis 1-(v/c)^2 = 1/ (1 + kx)^2

k= 0,9771

x = 0,01: 1 - (v/c)^2 = 1/ 1,0196 = 0,981 ja v/c = 0,14

x = 0,1: 1 - (v/c)^2 = 1/1,205 = 0,83 ja v/c = 0,41

x = 0,5 1 - (v/c)^2 = 1/2,217 = 0,451 ja v/c = 0,74

x= 1,0: 1 - (v/c)^2 = 1/ 3,909 = 0,256 ja v/c = 0,86

x= 10 m: 1 - (v/c)^2 = 1/ 116,01 = 0,00862 ja v/c = 0,996.

Ohman




Tuli näköjään tuohon sellainen virhe, että laskin arvon E = 500 kV/m mukaan.

Jos E = 600 kV/m, on k = 1,1725

x = 0,01 1-(v/c)^2 = 1/ 1.024 = 0,977 ja v/c = 0,15

x = 0,1 1-(v/c)^2 = 1/1.248 = 0,801 ja v/c = 0,45

x = 0,5 1-(v/c)^2 = 1/2,516 = 0,397 ja v/c = 0,78

x = 1,0 1 - (v/c)^2 = 1/4,72 = 0,212 ja v/c = 0,89

x = 10 1 - (v/c)^2 = 1/161,93 = 0,00618 ja v/c = 0,997

Sorry kun vaivasin ensin tuolla 500 kV/m -tuloksella.Sattui niin, että kun kirjoitin k:n kaavan kynällä paperille niin 6 muuttui numeroksi 5.

Nyt saattavat olla luvut oikein, ainakin sopivat yhteen hmk:n ja muidenkin kanssa.

Ohman

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat