Seuraa 
Viestejä30885
Liittynyt16.3.2005

Testasin tuossa lämpimikseni miten palloharmonisilla voi approksimoida erilaisia muotoja. Ilmeisen heikosti, sanoisin. Yritin tehdä dodekaedristä ja navoilta suhteessa 2:1 litistyneestä pyörähdysellipsoidista sarjaa, mutta se suppenee hyvin hitaasti. l=45:n meneessä dodekaedrillä on vasta hieman aavistus muodosta ja ellipsoidi on aivan liian paksu (z-suunnassa). Sen jälkeen ilmeisesti huono laskentatarkkuus (lue: varmaankin tyhmä apina-algoritmi) romuttaa koko homman. Siihen asti harmoniset näyttävät piirrettynä kauniilta. Ovatko ne oikeasti niin huonoja vai pitääkö minun etsiä vielä lisää virhettä?

Kommentit (9)

JPI
Seuraa 
Viestejä26698
Liittynyt5.12.2012
Neutroni
Testasin tuossa lämpimikseni miten palloharmonisilla voi approksimoida erilaisia muotoja. Ilmeisen heikosti, sanoisin. Yritin tehdä dodekaedristä ja navoilta suhteessa 2:1 litistyneestä pyörähdysellipsoidista sarjaa, mutta se suppenee hyvin hitaasti. l=45:n meneessä dodekaedrillä on vasta hieman aavistus muodosta ja ellipsoidi on aivan liian paksu (z-suunnassa). Sen jälkeen ilmeisesti huono laskentatarkkuus (lue: varmaankin tyhmä apina-algoritmi) romuttaa koko homman. Siihen asti harmoniset näyttävät piirrettynä kauniilta. Ovatko ne oikeasti niin huonoja vai pitääkö minun etsiä vielä lisää virhettä?




Ei vielä l=45 mennessä näyttänyt hyvältä? Voiko noin pitkälle edes kumpuutterilla edes kohtuullisella vaivalla laskea? Outoa....toisaalta ne ovat aika "moukkuisia" funktiota, mutta sehän on subjektiivista.
oisko algoritmi sitten. Miten laskit sarjakehitelmän kertoimet? siinä voipi helposti tulla virhe.

3³+4³+5³=6³

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30885
Liittynyt16.3.2005
JPI

Ei vielä l=45 mennessä näyttänyt hyvältä? Voiko noin pitkälle edes kumpuutterilla edes kohtuullisella vaivalla laskea? Outoa....toisaalta ne ovat aika "moukkuisia" funktiota, mutta sehän on subjektiivista.
oisko algoritmi sitten. Miten laskit sarjakehitelmän kertoimet? siinä voipi helposti tulla virhe.



Tuohon asti se toimii tuosta vain -toteutuksella (sikäli kun toimii, mutta ainakin ne harmoniset näyttävät piirrettynä järkeviltä). Laguerren polynomien kertoimet näyttävät listattuna päällisin puolin järkeviltä johonkin vajaaseen sataan asti, mutta l=46 m=0:ssa on silmin nähtävä vika kun sen piirtää ja siitä eteenpäin ovat silkkaa sotkua. Ei se tietysti varsinainen yllätys ole, jos lasketaan yli 40 asteisilla polynomeilla rajallisella laskentatarkkuudella ilman erityisiä algoritmeja.

Kertoimet lasken integroimalla pallon yli Y_lm:n ja funktion, joka antaa säteen, tulon. Käytän niitä reaalilukuversioita Wikipediassa olevalla normalisoinnilla. Laskentapisteet saan suunnilleen tasan pallon pinnalle jakamalla ikosaedrin kolmioita toistuvasti ja pyöristämällä aina kaikki kärjet yhden säteelle (siten saa kauniita palloja piirrettäväksikin). Lopulta otan laskentahilapisteeksi kunkin kolmion keskipisteen (normalisoituna 1:n säteelle) ja sitä vastaavaksi pinta-alkioksi sen (pallokolmion) pinta-alan. Olen kokeillut lisätä hilapisteitä mielettömyyksiin asti, joten sellaisiin virheisiin ei homma kaadu. Epäilen, että siinä on ihan joku tyhmä bugi, jota en vain huomaa.

JPI
Seuraa 
Viestejä26698
Liittynyt5.12.2012

Onko Delphi tuttu sulle?
Nyt tuli pakkomielle noista palloharmoonisista ja se levisi muihinkin Hilbertin avaruuden virittäviin funktioihin. Delphillä mä sen teen. Voi kestää, mutta palaan kun jotain toimii.

3³+4³+5³=6³

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30885
Liittynyt16.3.2005

Minä ohjelmoin C:llä enkä tunne Delphiä. Tein hieman tutkimusta palloharmonisten laadusta. Laskin niiden sisätuloja itsensä kanssa. Ongelmaisimpia ovat m=0 -funktiot, joiden laatu alkaa heiketä l=42:n kohdalla (sillä sisätulo on 1,099). l=46 m=0:lla on jo 23,04 (pitäisi olla 1). Isommilla m:llä ne suoriutuvat paremmin, mutta se on laiha lohtu.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30885
Liittynyt16.3.2005

No niin, löysin virheen. Normalisoin Laguerren m=0 polynomien kertoimet sqrt(2):n kertoimella väärin. Nyt alkoivat sarjakehitelmät supeta mihin pitääkin.

Tässä dodekaedri, jonka maksimi l=6. Tämä on pienin l:n arvo, jolla approksimaatio muistuttaa selvästi esikuvaansa. Hieman yllättävää, olisi luullut, että 5-symmetrian hallitsemassa kappaleessa l=5 fuktiot olisivat tärkeämpiä.

l=12. Aaltoilevuus on yllättävän vähäistä ottaen huomioon, että kulmikas dodekaedri ei ole kovin sileä kappale.

l=30 ja pidot paranee.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30885
Liittynyt16.3.2005

Kun kääntelen pahvidodekaedriä, siinä tosiaan on 3-symmetria kun katsoo kärkeä säteen suunnasta, joten ehkä se on sittenkin loogista, että 3:lla jaolliset harmoniset parantavat approksimaatiota eniten.

JPI
Seuraa 
Viestejä26698
Liittynyt5.12.2012

Tosi upeeta, kiitos! Hienoa tavata täällä tyyppejä jotka tosiaan tietävät asioita eivätkä heitä pelkkää mutua.

3³+4³+5³=6³

Vierailija

Siinä pitää kyllä yhtyä että neutroni on kyllä yksiä fiksuimpia palstan vakioasiakkaista - ja tämä on nyt empiirinen havainto, joten itseeni sitä on turha liittää, vaikka onkin vähän vässykkä.. - mutta se mitä tietämiseen tulee, niin tieto on sitä ihteään, eikä yhtään enempää. Ts. Jos neutroni ei jotain tiedä, niin sitä ei laskettakoot hänen viakseen. Itse mielelläni luen näitä juttuja vaikken tajuakaan mitä I:llä ja m:llä tarkoitetaan.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30885
Liittynyt16.3.2005

No ajattelin tämän olevan niin friikkiketju, että ei tarvita perusteita. Palloharmoniset funktiot ovat tiettyjen fysiikassa vastaan tulevien differentiaaliyhtälöjen ratkaisuja, joilla on mielenkiintoisia matemaattisia ominaisuuksia. MIkä tahansa tietyt jatkuvuusehdot täyttävä (todellisessa maailmassa ei juuri ole funktioita, jotka eivät niitä täyttäisi) muotoa r=f(theta,fii) (r on säde, theta on kulma pystyakselin ympäri ja fii kulmapoikkeama pystysuorasta) muotoa oleva funktio voidaan esittää palloharmonisten summana. Funktioita on ääretön joukko ja ne voidaan nimetä kokonaislukuparametrien l ja m -avulla. l käy nollasta eteenpäin ja jokaisella l:n arvolla m saa arvot -l - +l. Äärellinen sarja noita funktioita approksimoi haluttua funkiotia, esim, minun tapauksessa dodekaedrin pintaa.

Wikipediasta löytyy lisätietoa ja kuvia funktioista.
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat