Muutama matemaattinen ongelma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tenttiin pitäisi valmistautua ja muutama kertaustehtävä ei ota ratketakseen. Näistä tehtävistä askarruttaa tuo kolmannen tehtävän viimmeinen raja-arvo. Senhän saa muotoon e^(sinxlnx) mistä näkee kyllä, että raja-arvo on 1 mutta onko tuohon mitään mielekkäämpää ratkaisua?

Sitten tehtävässä 7 on hieman hakusessa tuo tasokäyrän yhtälö.

8 tehtävässä en kyllä tajua kuinka siinä saa tuon toisen derivaatan tuohon muotoon.

Tehtävän 13 integraalia en saanut laskettua vaikka se todennäköisesti aika helppo onkin. Osittaisintegrointia ja trigonometristen funktioiden kaavoja varmaan tarvitaan?

Tehtävässä 20 tarvittaisiin gamma-funktion hallintaa mutta ilmeisesti olen nukkunut kyseiset luennot. Eli tähänkin kaivattaisiin vinkkejä.

Eli jos jollakin on antaa vinkkejä/ratkaisuja ylläoleviin tehtäviin olisin kiitollinen. Ja mitä nopeampaa se parempi. Kiitos jo etukäteen kaikille auttajille.

Kommentit (12)

Vierailija

Kolmanteen liittyen, miksi yksi ei ole riittävän mielekäs ratkaisu? Sehän saadaan siis periaatteella:

lim x^sinx = lim e^(sinxlnx) = e^(lim(sinxlnx)).

Sitten eksponentin raja-arvo ottamalla sini käänteislukunaan nimittäjäksi ja "ääretön/ääretön" -tilanteesta jatketaan l'Hospitalilla ja vähän myöhemmin vielä toistamiseen "0/0"-tilanteesta, jolloin raja-arvoksi saadaan 0 ja koko funktiolle 1.

Vierailija

Mapun asiat eivät onneksi kokonaan ole vielä unohtuneet. Saan toiseksi derivaataksi -R^2/y^3 seuraavasti:

x^2 + y^2 - R^2 = 0 //puolittain Dx
2x + 2yy' = 0 (1)
Tästä saadaan ehdolla y=/0 (erisuuri siis) >y' = -x/y

puolittain derivointi x:n suhteen (1):lle

2 + 2(y'^2 + yy'') = 0,
mistä saadaan

yy'' = -1-y'^2 = -1 - x^2/y^2 = -(y^2 + x^2)/y^2 = -R^2/y^2,
mistä väite seuraa.

Edit: typo pääsi mukaan, mutta on nyt korjattu

Vierailija

Edellinen siis tehtävään 8. 13:ssa otetaan ensin tyhjät pois, eli otetaan osoittajan kosinitermi erilleen, jolloin ongelmaksi jää vain cos^(-2):n integrointi. Se ratkeaa ainakin standardiijoituksella (t = tan x/2, dx = 2dt/(1+t^2), jne.). Saadaan rationaalifunktio integroitavaksi, ja sellainenhan ratkeaa luonnollisesti ainakin osamurtoja käyttämällä. Vaikuttaa työläältä, joten jätän tällä kertaa ratkaisematta.

Vierailija

Kun kerran on alkuun päästy niin antaa mennä vaan...

20:een en osaa sanoa mitään, gammaan ja muihin erikoisfunktioihin tutustutaan Helsingissäkin vasta Fymmillä, joka on siis ensi vuoden juttuja. 7 sen sijaan on vanhaa kunnon mapu-kamaa tosin ratkeaa varmaan tyylikkäämmin, kuin miten itse sen osaan selittää.

Ehdosta y=t^2 saadaan t:lle vaihtoehtoiset arvot +-sqrt(y). Tutkitaan tilannetta siis paloina, ensin t:n ollessa negatiivinen saadaan y^(3/2)-3sqrt(y) + x = 0, sitten t:n positiivisilla arvoilla y^(3/2)-3sqrt(y) - x=0. Jos noita onnistuu siististi yhdistämään ilman sgn(t):tä niin hyvä, mutta aika selkeä minusta noinkin. Jatko menee ihan tavallisena derivointina, mutta vaihtoehtoisesti voi ottaa dy/dx=dy/dt/(dx/dt), ratkaisee vastaavan t:n arvon tunnetuista yhteyksistä x:ään ja yyhyn ja sitten vain sijoitus. Suoran yhtälön muodostaminen tunnetusta kulmakertoimesta ja pisteestä onkin sitten vain puhtaaksi kirjoittamista.

Lisäksi jos olisi koetehtävä, pitäisi muistaa kertoa x:n ja yyn rajat, jotka tosin saa helpohkosti t:n rajoista.

Vierailija
JosefK.
Tehtävässä 20 tarvittaisiin gamma-funktion hallintaa mutta ilmeisesti olen nukkunut kyseiset luennot. Eli tähänkin kaivattaisiin vinkkejä.

Ensimmäisen yhtäsuuruusmerkin osoittamiseen tarvitset oikeastaan vain gamma-funktion määritelmää ja se löytyy esim. täältä. Sopivalla sijoituksella muunnat annetun integrandin ja integroimisrajat gamma-funktion muotoon. Halutut p ja n tekijät ilmestyvät näin lausekkeeseen.

Toisen yhtäsuuruusmerkin todistamiseen tarvitset yhteyttä Gamma(n+1) = n*Gamma(n) ja tämän voi todistaa integroimalla osittain g-funktion määritelmää. Yhteys Gamma(n+1) = n! seuraa triviaalisti edellisestä, kun n = 0,1,2..

Vierailija

Kiitoksia vaan kaikille! Tuo tehtävä 20 vaivaa vieläkin kun en keksi millä sijoituksella sen saa gamma-funktion muotoon. Tuon jälkimmäisen yhtäläisyyden todistaminen onnistuu kyllä.

Vierailija
JosefK.
Kiitoksia vaan kaikille! Tuo tehtävä 20 vaivaa vieläkin kun en keksi millä sijoituksella sen saa gamma-funktion muotoon. Tuon jälkimmäisen yhtäläisyyden todistaminen onnistuu kyllä.

Sijoita ensin t=-lnx jolloin saat integraalin muotoon
(rajatkin vaihtuvat)

(-1)^n*int(0..ääretön) e^((p+1)*t)*t^n*dt sitten vielä uusi sijoitus

y=(p+1)t ja saat muodon

(-1)^n*int(0..äär)(e^(-y)*(y^n)/(p+1)^n*dy/(p+1) siis

(-1)^n*(p+1)^(-(n+1))*int(0..äär)(e^(-y)*y^n)

=(-1)^n*1/(p+1)^(n+1)*Gamma(n+1).

Lopuksi voit vielä yhdistää sijoitukset niin pääset yhdellä sijoituksella.

(y=-(p+1)*lnx)

Vierailija
JosefK.
Tuo tehtävä 20 vaivaa vieläkin kun en keksi millä sijoituksella sen saa gamma-funktion muotoon.

Eli gammassa on sisällä eksponentti- ja potenssifunktion tulo ja siihen muotoon pitäisi pyrkiä. Annetussa integrandissa on puolestaan potenssi- ja logaritmifunktio (=käänteinen eksponenttifunktio).

Sijoittamalla exp(x):n integraaliin, saat termit oikean muotoisiksi ja pääset laskussa eteenpäin. Tämän jälkeen joudut kyllä vielä tekemään uuden sijoituksen tarkan gamma-funktion muodon saavuttamiseksi, mutta parempi edetä askel kerrallaan, niin ei tarvitse heti arvata täsmälleen oikeaa sijoitusta.

edit: aha, edellä tulikin jo vastaus kuin apteekin hyllyltä

Vierailija
Macho Grande
Kolmanteen liittyen, miksi yksi ei ole riittävän mielekäs ratkaisu? Sehän saadaan siis periaatteella:

lim x^sinx = lim e^(sinxlnx) = e^(lim(sinxlnx)).

Sitten eksponentin raja-arvo ottamalla sini käänteislukunaan nimittäjäksi ja "ääretön/ääretön" -tilanteesta jatketaan l'Hospitalilla ja vähän myöhemmin vielä toistamiseen "0/0"-tilanteesta, jolloin raja-arvoksi saadaan 0 ja koko funktiolle 1.

Ihan mielenkiinnosta
Pitääkö tuo sinxlnx kirjoittaa 1/(1/sinx)*lnx ja sit derivoida

1/x*1/(-cosx/(sinx)^2) entäs sitten?

Vierailija
lasikatto
Macho Grande
Kolmanteen liittyen, miksi yksi ei ole riittävän mielekäs ratkaisu? Sehän saadaan siis periaatteella:

lim x^sinx = lim e^(sinxlnx) = e^(lim(sinxlnx)).

Sitten eksponentin raja-arvo ottamalla sini käänteislukunaan nimittäjäksi ja "ääretön/ääretön" -tilanteesta jatketaan l'Hospitalilla ja vähän myöhemmin vielä toistamiseen "0/0"-tilanteesta, jolloin raja-arvoksi saadaan 0 ja koko funktiolle 1.




Ihan mielenkiinnosta
Pitääkö tuo sinxlnx kirjoittaa 1/(1/sinx)*lnx ja sit derivoida

1/x*1/(-cosx/(sinx)^2) entäs sitten?

Deriveivataan uudestaan L`Hospitaalin perusteella
d/dx((sinx)^2/-xcosx)= 2cosxsinx/(-cosx+xsinx) tuohon
lim(x->0)
2*cos(0)*sin(0)/(-cos(0)+0*sin(0))=2*1*0/(-1+0*0)=0/(-1)=0
kysytty raja-arvo on siten
lim(x->0+)(x^sinx)->e^0=1
m.o.t.

Vierailija
at
Apuja kaipaisin oikeastaan noissa kaikissa tehtävissä?
Ensi pe:na on palautus. Pisteitä olisi "pakko" saada.

http://theory.physics.helsinki.fi/~fymm ... rj1-06.pdf

1.a) f(x,y,z)= x^2+y^2+z^2 ääriarvot pintojen x+y+z=1 ja
xyz=-1 leikkauksella.

(x+y+z)^2=1 => x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=1 siis

f(x,y,z)=1-2(xy+yz+zx) otetaan osittaisderivaatat eri muuttujien
suhteen.

df/dx=-2(y+z)=0,kun y=-z vastaavasti saadaan osittaisderivaattojen
avulla df/dy=0,kun x=-z ja df/dz=0,kun x=-y. Siis ääriarvo
pisteissä x=-y tai x=-z tai y=-z.

Eli x=-z ja x=-y,jolloin y=z tai x=-z ja y=-z,jolloin x=y tai

y=-x ja y=-z, jolloin x=z

Käytetään toista rajapintaa xyz=-1 =>

x*(-x)*(-x)=-1<=> x^3=1 =>x=1,y=-1,z=-1 vastaavasti saadaan
pisteet:

(x,y,z)=(-1,1,-1),(-1,-1,1)

ja ääriarvo pisteissä toisenkertaluvun osittaisderivaatat (pinnalla
x+y+x=1) ovat

d^2f/dx^2=d^2f/dy^2=d^2f/dz^2=-2, joten kyseessä on
absoluuttinenmaksimiarvo.

fmax=f(1,-1,-1)=f(-1,1,-1)=f(-1,-1,1)=3.

Meniköhän tää edes sinnepäin?

Toisaalta at mitäs noita laskareita(si?) tänne työnnät kokonaan
tehtäväksi?

Itse en ole noihin funktionaaleihin perehtynyt joten jää kyllä nuo 2,3 ja 4
väliin. Voin tuota 1b)kohtaa vielä yritellä kunhan ehdin.

Uusimmat

Suosituimmat