Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Kaverin kanssa keskusteltiin matemaattisista probleemoista, ja hän väitti kiven kovaa, ettei esim. Riemannin hypoteesin todistettavuudesta voida sanoa mitään, koska Gödelin epätäydellisyyslause voi päteä juuri sen kohdalla. Itse en tuohon oikein usko ja nyt olisi hyvä löytää joitain järjellisiä perusteluita.

Ensinnäkin analyysin lauseet pohjautuvat reaali- ja kompleksikunnan täydellisyyteen, mutta Gödelin lauseen tapauksessa tukeudutaan vain luonnollisista luvuista rakentuviin järjestelmiin. Eri kardinaliteetit voisivat hyvinkin "pelastaa" matemaattisen analyysin tuolta epäuskon vitsaukselta? Eihän algebran peruslausettakaan voitu täysin todistaa (puhtaan algebrallisesti) ilman myöhemmin kehitettyjä topologisia rakenteita (väliarvolause & jatkuvuus). Sama metodi pätee varmasti Riemannin hypoteesiinkin, tosin tarvittavat rakenteet ovat jo varmasti olemassa. Muutenkin itsellä on vähän auki se, että miten tuo epätäydellisyyslause vaikuttaa käytännön matematiikan tekemiseen...

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Sivut

Kommentit (19)

PPo
Seuraa 
Viestejä12654
Liittynyt10.12.2008
Cargo
Kaverin kanssa keskusteltiin matemaattisista probleemoista, ja hän väitti kiven kovaa, ettei esim. Riemannin hypoteesin todistettavuudesta voida sanoa mitään, koska Gödelin epätäydellisyyslause voi päteä juuri sen kohdalla. Itse en tuohon oikein usko ja nyt olisi hyvä löytää joitain järjellisiä perusteluita.

Ensinnäkin analyysin lauseet pohjautuvat reaali- ja kompleksikunnan täydellisyyteen, mutta Gödelin lauseen tapauksessa tukeudutaan vain luonnollisista luvuista rakentuviin järjestelmiin. Eri kardinaliteetit voisivat hyvinkin "pelastaa" matemaattisen analyysin tuolta epäuskon vitsaukselta? Eihän algebran peruslausettakaan voitu täysin todistaa (puhtaan algebrallisesti) ilman myöhemmin kehitettyjä topologisia rakenteita (väliarvolause & jatkuvuus). Sama metodi pätee varmasti Riemannin hypoteesiinkin, tosin tarvittavat rakenteet ovat jo varmasti olemassa. Muutenkin itsellä on vähän auki se, että miten tuo epätäydellisyyslause vaikuttaa käytännön matematiikan tekemiseen...


Gödelin mukaan ymmärtääkseni on tosia lauseita, joita ei kuitenkaan voida todistaa tosiksi. Nähdäkseni ei ole mitään menetelmää tutkia, mitkä tällaisia lauseita ovat joten epätäydellisyyslause ei vaikuta mitenkään käytännön matematiikan tekemiseen. Riemannin hypoteesin todistaminen todeksi tai epätodeksi jatkuu. Jos se onnistuu, homma selvä. Jos ei, niin voimme ainoastaan spekuloida, että hypoteesi kuuluu niinhin todistamattomiin mutta emme tiedä, onko näin.

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Mutta liittyykö täydellisyysaksiooma Gödelin lauseeseen?

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Cargo
Mutta liittyykö täydellisyysaksiooma Gödelin lauseeseen?
author="" kirjoitti:



Mitähän tuo kysymys nyt tarkoitti? Jos tarkoitit täydellisyysaksioomalla sitä, että reaalilukujen joukko on täydellinen, järjestetty kunta,eihän Gödel siihen liity. Se on reaalilukujen joukon määritelmä. Gödelin lause taas puhuu niistä teoreemista, joita esim. reaalilukualueella voidaan esittää.

Ohman

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007
Ohman
Gödelin lause taas puhuu niistä teoreemista, joita esim. reaalilukualueella voidaan esittää.
Ja tämä on nyt sitten aivan absoluuttisen totta?

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

HuuHaata
Seuraa 
Viestejä6110
Liittynyt8.11.2012

Se olisi oikea munkitusten munkitus, mikäli tämä apinalaji onnistuisi keksimään epätriviaaleja kysymyksiä, joiden ratkaisu ei onnistuisi, koska Gödel. Epätodennäköistä. Kovin epätodennäköistä. Todennäköisemmin vaikeita teoreemoja ei ole todistettu, koska ihmiset ovat liian tyhmiä niiden todistamiseen.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
HuuHaata
Se olisi oikea munkitusten munkitus, mikäli tämä apinalaji onnistuisi keksimään epätriviaaleja kysymyksiä, joiden ratkaisu ei onnistuisi, koska Gödel. Epätodennäköistä. Kovin epätodennäköistä. Todennäköisemmin vaikeita teoreemoja ei ole todistettu, koska ihmiset ovat liian tyhmiä niiden todistamiseen.
author="" kirjoitti:



Nimimerkkisi kuvaa hyvin kommenttiasi!

Ohman

Vierailija
Cargo
Kaverin kanssa keskusteltiin matemaattisista probleemoista, ja hän väitti kiven kovaa, ettei esim. Riemannin hypoteesin todistettavuudesta voida sanoa mitään, koska Gödelin epätäydellisyyslause voi päteä juuri sen kohdalla. Itse en tuohon oikein usko ja nyt olisi hyvä löytää joitain järjellisiä perusteluita.



Mielenkiintoinen juttu. Seuraavassa on ote Torkel Franzénin kirjasta Gödel's Theorem -- An Incomplete Guide to Its Use and Abuse (s. 25--26).


The incompleteness theorem does not imply that every consistent formal system is incomplete. On the contrary, there are many complete and consistent formal systems. A particularly interesting example from a mathematical point of view is the elementary theory of real numbers. --

Since the natural numbers form a subset of the real numbers, it may seem odd that the theory of the real numbers can be complete when the theory of the natural numbers is incomplete. The incompleteness of the theory of the natural numbers does not carry over to the theory of the real numbers because even though every natural number is also a real number, we cannot define the natural numbers as a subset of the real numbers using only the language of the theory of the real numbers, and therefore we cannot express arithmetical statements in the language of the theory. --

How would we ordinarily define the natural numbers as a subset of the real numbers? The real numbers 0 and 1 can be identified with the corresponding natural numbers, and using addition of real numbers we get the natural numbers as the subset of the real numbers containing 0, 1, 1+1, 1+1+1, and so on. However, this "and so on" cannot be expressed in the language of the theory of real numbers.--




Eli ymmärtääkseni Franzén tarkoittaa, että reaalilukujen teoriasta puuttuu induktioaksioom. Siksi reaalilukujen teoria ei ole sillä tavalla sofistikoitunutta, että sillä voisi kuvata luonnollisten lukujen käyttäytymistä.

En nyt osaa sanoa, valottaako tämä nyt Riemannin hypoteesin mahdollista riippumattomuutta (undecidability -- mitä se oikein on suomeksi?), mutta on tässä meillä nyt ainakin hyvin konkreettinen esimerkki siitä, että Gödelin lauseet eivät päde ollenkaan aina.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Samuli
Cargo
Kaverin kanssa keskusteltiin matemaattisista probleemoista, ja hän väitti kiven kovaa, ettei esim. Riemannin hypoteesin todistettavuudesta voida sanoa mitään, koska Gödelin epätäydellisyyslause voi päteä juuri sen kohdalla. Itse en tuohon oikein usko ja nyt olisi hyvä löytää joitain järjellisiä perusteluita.



Mielenkiintoinen juttu. Seuraavassa on ote Torkel Franzénin kirjasta Gödel's Theorem -- An Incomplete Guide to Its Use and Abuse (s. 25--26).


The incompleteness theorem does not imply that every consistent formal system is incomplete. On the contrary, there are many complete and consistent formal systems. A particularly interesting example from a mathematical point of view is the elementary theory of real numbers. --

Since the natural numbers form a subset of the real numbers, it may seem odd that the theory of the real numbers can be complete when the theory of the natural numbers is incomplete. The incompleteness of the theory of the natural numbers does not carry over to the theory of the real numbers because even though every natural number is also a real number, we cannot define the natural numbers as a subset of the real numbers using only the language of the theory of the real numbers, and therefore we cannot express arithmetical statements in the language of the theory. --

How would we ordinarily define the natural numbers as a subset of the real numbers? The real numbers 0 and 1 can be identified with the corresponding natural numbers, and using addition of real numbers we get the natural numbers as the subset of the real numbers containing 0, 1, 1+1, 1+1+1, and so on. However, this "and so on" cannot be expressed in the language of the theory of real numbers.--




Eli ymmärtääkseni Franzén tarkoittaa, että reaalilukujen teoriasta puuttuu induktioaksioom. Siksi reaalilukujen teoria ei ole sillä tavalla sofistikoitunutta, että sillä voisi kuvata luonnollisten lukujen käyttäytymistä.

En nyt osaa sanoa, valottaako tämä nyt Riemannin hypoteesin mahdollista riippumattomuutta (undecidability -- mitä se oikein on suomeksi?), mutta on tässä meillä nyt ainakin hyvin konkreettinen esimerkki siitä, että Gödelin lauseet eivät päde ollenkaan aina.

author="" kirjoitti:



Tommy-rot, sanoisi Nero Wolfe.

Ohman

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
Ohman
Samuli

Mielenkiintoinen juttu. Seuraavassa on ote Torkel Franzénin kirjasta Gödel's Theorem -- An Incomplete Guide to Its Use and Abuse (s. 25--26).


The incompleteness theorem does not imply that every consistent formal system is incomplete. On the contrary, there are many complete and consistent formal systems. A particularly interesting example from a mathematical point of view is the elementary theory of real numbers. --

Since the natural numbers form a subset of the real numbers, it may seem odd that the theory of the real numbers can be complete when the theory of the natural numbers is incomplete. The incompleteness of the theory of the natural numbers does not carry over to the theory of the real numbers because even though every natural number is also a real number, we cannot define the natural numbers as a subset of the real numbers using only the language of the theory of the real numbers, and therefore we cannot express arithmetical statements in the language of the theory. --

How would we ordinarily define the natural numbers as a subset of the real numbers? The real numbers 0 and 1 can be identified with the corresponding natural numbers, and using addition of real numbers we get the natural numbers as the subset of the real numbers containing 0, 1, 1+1, 1+1+1, and so on. However, this "and so on" cannot be expressed in the language of the theory of real numbers.--




Eli ymmärtääkseni Franzén tarkoittaa, että reaalilukujen teoriasta puuttuu induktioaksioom. Siksi reaalilukujen teoria ei ole sillä tavalla sofistikoitunutta, että sillä voisi kuvata luonnollisten lukujen käyttäytymistä.

En nyt osaa sanoa, valottaako tämä nyt Riemannin hypoteesin mahdollista riippumattomuutta (undecidability -- mitä se oikein on suomeksi?), mutta on tässä meillä nyt ainakin hyvin konkreettinen esimerkki siitä, että Gödelin lauseet eivät päde ollenkaan aina.




Tommy-rot, sanoisi Nero Wolfe.

Ohman




Tuon sarkastisen ja lyhyen kommenttini lisäksi:

No eiväthän ne Gödelin lauseet päde muihin kuin niihin asioihin, joita ne koskevat!

Näiden asioiden kanssa joutuu helposti niin syvällisille vesille,logiikan ja joukko-opin kiemuroihin, ettei sinne paremmin mieli tee mennä, varsinkaan tällaisella keskustelupalstalla. Pitäisi kirjoittaa niin tavattoman eksaktisti ja käyttää täysin määriteltyjä käsitteitä, muuten joku "tietäjä" iskee kimppuun kuin sika limppuun.

Esim. : On olemassa ns. Robinson-aritmetiikka.Sitten on Q (rationaalisten kuntien teoria, "murtoluvut") ja R (reaalilukujen aksiomaattinen teoria). Julia Robinson on osoittanut, että voidaan konsruoida Q-predikaatti Nat joka on tosi vain luonnollisilla luvuilla (perustuu melko monimutkaisiin ideoihin). Näin ollen Q:n sisällä voidaan konsruoida luonnollisten lukujen teoria. Q on Robinson-aritmetiikan laajennus ja sellaisena epätäydellinen eikä ole täydellistettävissäkään.

Toisaalta Tarski on todistanut, että R on täydellinen ja siis ei ole R-predikaattia, jolla luonnolliset luvut voidaan poimia esiin.
Vaikka luonnolliset luvut ovat reaalilukujen osajoukko, niin reaalilukujen "puhdas" teoria ei sisällä koko luonnollisten lukujen teoriaa!

Toisin sanoen, jos teoria T käsittelee monimutkaisempaa struktuuria kuin mitä ovat luonnolliset luvut, aritmetiikan epätäydellisyys ei sinänsä implikoi T:n epätäydellisyyttä!

J.n.e.,j.n.e.,...

Enpä tarvo tässä suossa nyt pitempään.

Ohman

Cargo
Seuraa 
Viestejä979
Liittynyt27.8.2007

Kysyin eräältä matemaatikolta tätä asiaa ja vastaus on pähkinänkuoressa seuraavanlainen:

Herra professori
Täydellisyysaksiooma ei ole predikaattilogiikassa ilmaistavissa, vaan se on ns. toisen kertaluvun logiikan lause. Tästä syystä Gödelin epätäydellisyyslausetta ei voi sellaisenaan soveltaa teorioihin, joissa käytetään täydellisyysaksioomaa.
Tämä ei kuitenkaan ollenkaan tarkoita sitä, että reaali- ja kompleksianalyysissä selvittäisiin ilman epätäydellisyysilmiöitä: toisen kertaluvun logiikalla ei nimittäin ole olemassa täydellistä todistussysteemiä. Eli jos analyysiä tehdään käyttämällä täydellisyysaksioomaa ja tutkitaan väitteitä, jotka ovat niinikään toisen kertaluvun logiikassa muotoiltuja, niin päädytään varmasti epätäydelliseen systeemiin: on olemassa väitteitä, joita ei voida todistaa tosiksi eikä epätosiksi. Esimerkiksi kontinuumihypoteesi on tällainen väite.



Eli vaikka täydellisyysaksiooma erottaakin analyysin aritmetiikasta, niin systeemit pysyvät epätäydellisinä. Riemannin hypoteesista ei siis voida sanoa mitään muuta varmaa kuin sen, että se lähettää myös jatkossakin matemaatikoita mielisairaalaan enemmän kuin mikään muu probleema.

" sähkö (se sähkö, jota tuotetaan mm. voimalaitoksissa) ei ole energiaa "
- Vastaaja_s24fi

“Jos et ole kaksikymppisenä vihreä, sinulla ei ole sydäntä. Mutta jos et ole nelikymppisenä perussuomalainen, sinulla ei ole aivoja.”
- Cargo

Newcastle
Seuraa 
Viestejä55
Liittynyt13.12.2011

Itse tein seuraavanlaisen pienen pohdinnan joskus samasta aiheesta:

Riemannin hypoteesin totuusarvoon ei voida ottaa kantaa <=> Ei voida löytää nollakohtaa joka ei olisi muotoa t*i+1/2

Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla <=> Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla

<=> Riemannin hypoteesi tosi

, joka on ristiriidassa alkuperäisen väitteen kanssa.

=> Riemannin hypoteesin totuusarvoon voidaan ottaa kantaa

Kertokaa ihmeessä jos löydätte jonkun ajatteluvirheen.

Vierailija
Newcastle

Riemannin hypoteesin totuusarvoon ei voida ottaa kantaa <=> Ei voida löytää nollakohtaa joka ei olisi muotoa t*i+1/2

Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla <=> Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla

<=> Riemannin hypoteesi tosi

, joka on ristiriidassa alkuperäisen väitteen kanssa.

=> Riemannin hypoteesin totuusarvoon voidaan ottaa kantaa

Kertokaa ihmeessä jos löydätte jonkun ajatteluvirheen.




Minusta tuntuu, että asia menee näin: Lause "Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla." ei implikoi lausetta "Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla." Edellinen lause tarkoittaa tässä yhteydessä, että ei ole keinoa johtaa aksioomista käsin päättelysääntöjen avulla tilannetta, jossa tunnettaisiin ko. suoralla oleva nollakohta. Tämä on ihan eri asia kuin se, ettei tällaista nollakohtaa olisi olemassa.

Muutenkin tuntuu, että sekoitat totuuden ja todistuvuuden. Riemannin hypoteesin mahdollinen ratkeamattomuus tarkoittaa sitä, ettei sitä ehkä voi todistaa eikä myöskään sen negaatiota välttämättä voida todistaa. Jollain muulla tavalla kuin formaalilla todistuksella voimme kyllä saada tietoa hypoteesin totuusarvosta: esim. löytämällä vaikkapa ihan sattumalta vastaesimerkin.

Mutta: lukekaa näitä minun horinoitani aiheesta, kuin sellaisen tekstiä, joka ei oikeasti tiedä aiheesta juuri mitään. Olen ihan kiitollinen, jos joku korjaa mahdollisia väärinymmärryksiä tässä minun tekstissäni.

Newcastle
Seuraa 
Viestejä55
Liittynyt13.12.2011
Samuli
Newcastle

Minusta tuntuu, että asia menee näin: Lause "Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla." ei implikoi lausetta "Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla." Edellinen lause tarkoittaa tässä yhteydessä, että ei ole keinoa johtaa aksioomista käsin päättelysääntöjen avulla tilannetta, jossa tunnettaisiin ko. suoralla oleva nollakohta. Tämä on ihan eri asia kuin se, ettei tällaista nollakohtaa olisi olemassa.

Muutenkin tuntuu, että sekoitat totuuden ja todistuvuuden. Riemannin hypoteesin mahdollinen ratkeamattomuus tarkoittaa sitä, ettei sitä ehkä voi todistaa eikä myöskään sen negaatiota välttämättä voida todistaa. Jollain muulla tavalla kuin formaalilla todistuksella voimme kyllä saada tietoa hypoteesin totuusarvosta: esim. löytämällä vaikkapa ihan sattumalta vastaesimerkin.

Mutta: lukekaa näitä minun horinoitani aiheesta, kuin sellaisen tekstiä, joka ei oikeasti tiedä aiheesta juuri mitään. Olen ihan kiitollinen, jos joku korjaa mahdollisia väärinymmärryksiä tässä minun tekstissäni.




Jos lause ei ole todistettavissa, miksi vastaesimerkin löytämistä ei voida pitää todistuksena? Tietysti se ei ole "algebrallinen" todistus, mutta pitäisi olla ihan yhtä pätevä todistusmuoto.

Päättelin tuon ekan jutun näin:

Väittämä: Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla <=> Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla

<=
Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla => Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla (aika triviaalia, jos haluaa uskoa)

=>
Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla => Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla

<=> (Sama lause eri tavalla muotoiltuna)

Ei(Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla) <= Ei( Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla)

Tässä hiukan "epätriviaali" kääntö, joka ei ehkä niin uskottava

Voidaan löytää nollakohta, joka kyseisellä suoralla <= On olemassa nollakohta kyseisellä suoralla

On olemassa nollakohta kyseisellä suoralla => Voidaan löytää nollakohta kyseisellä suoralla

Eli
Ei voida löytää nollakohtaa, joka EI kyseisellä suoralla <=> Ei ole olemassa nollakohtaa, joka EI kyseisessä suoralla

Jos asiaa ajattelee käytännössä, mielestäni, jos käymällä läpi minkä tahansa kompleksitason osa-alueen ja ei VOI löytää nollakohtaa, ei sitä myöskään ole olemassa. Tai jos nollakohtaa ei ole olemassa, ei sitä myöskään voi löytää.

Ymmärsin, että jos Riemannin hypoteesiin pätee göödelin lause, niin sillä ei ole totuusarvoa. Riemannin hypoteesia voidaan kuitenkin testata etsimällä nollakohtia, Kontinuumihypoteesia taas ei voida periaatteessa testata "etsimällä/kokeilemalla", vai onko siihenkin kenties joku metodi?

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Newcastle
Jos lause ei ole todistettavissa, miksi vastaesimerkin löytämistä ei voida pitää todistuksena? Tietysti se ei ole "algebrallinen" todistus, mutta pitäisi olla ihan yhtä pätevä todistusmuoto.



Tietysti vastaesimerkki on todistus sille, että väite "Kaikki nollakohdat ovat suoralla" ei pidä paikkaansa. Matematiikassa ei taida kyllä olla mitään arvoa sillä onko todistus algebrallinen tai jotain muuta.

Jos asiaa ajattelee käytännössä, mielestäni, jos käymällä läpi minkä tahansa kompleksitason osa-alueen ja ei VOI löytää nollakohtaa, ei sitä myöskään ole olemassa. Tai jos nollakohtaa ei ole olemassa, ei sitä myöskään voi löytää.



Milläs tutkit kaikki tason pisteet?

Ymmärsin, että jos Riemannin hypoteesiin pätee göödelin lause, niin sillä ei ole totuusarvoa. Riemannin hypoteesia voidaan kuitenkin testata etsimällä nollakohtia, Kontinuumihypoteesia taas ei voida periaatteessa testata "etsimällä/kokeilemalla", vai onko siihenkin kenties joku metodi?



Tuo ekaa en kyllä tiedä. Eikä paljon kiinnosta ja luulempa, että nämä jutut eivät hirveästi muita kuin loogikkoja kiinnostakaan, koska mitenkään ei voi todistaa, onko väite todistettavissa muuten kuin todistamalla.
Tuo testaus ei ikinä todista hypoteesia oikeaksi, koska kaikkia mahdollisuuksia ei voi läpi käydä. (Tämä pätee aina kun mahdollisuuksia on ääretön määrä oli väite mikä tahansa.) Kontinuumihypoteesia voisi ihan samalla lailla testata konstruoimalla vähintään numeroituvia ja enintään reaalilukujen mahtavuisia joukkoja ja tutkimalla, josko ne siihen väliin mahtuisivat.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat