Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olen kysynyt 4-vuotta tätä aina välillä jokaiselta jonka tiedän opiskelevan vähintään lukion pitkää matematiikkaa. Kukaan ei ole osannut vastata täsmällisillä vastauksilla, vaikka laskutoimitus vaikuttaa yksinkertaiselta.

Peluutetaan lottoa ilman lisänumeroita numeroilla 1-6 nykyisen loton numeroiden 1-39 sijasta. Lottonumeroita on kuitenkin tavalliset 7kpl ilman lisänumeroita. Kaikki numerot tulee satunnaisessa järjestyksessä.
Loton voittonumerot määrittyy samalla tavalla, kun tavallisessakin lotossa. Tarkkaa numeroiden ilmestymisjärjestystä ei pidä arvata, vaan täytyy arvata ainoastaan samat numerot, jotka peluutuksessa tulee voittojen saamiseksi.

Kysymyksiä on kaksi joihin jonkun hullun mielenkiinnon vuoksi haluaisin tarkat vastaukset:
1. Montako eri numerosarjaa on yhteensä 7 oikein, 6 oikein, 5 oikein, 4 oikein, 3 oikein, 2 oikein ja 1 oikein.
2. Mikä on todennäköisyys satunnaisilla numeroilla saada 7 oikein, 6 oikein, 5 oikein, 4 oikein, 3 oikein, 2 oikein ja 1 oikein.

On pitänyt vuosia lisätä tämä kysymys tänne, koska täällä on varmasti joku nero joka osaa nämä laskea. Aina homma on kuitenkin jäänyt puoli tiehen.

Kommentit (12)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30818
Liittynyt16.3.2005
internautti
Peluutetaan lottoa ilman lisänumeroita numeroilla 1-6 nykyisen loton numeroiden 1-39 sijasta. Lottonumeroita on kuitenkin tavalliset 7kpl ilman lisänumeroita. Kaikki numerot tulee satunnaisessa järjestyksessä.
Loton voittonumerot määrittyy samalla tavalla, kun tavallisessakin lotossa. Tarkkaa numeroiden ilmestymisjärjestystä ei pidä arvata, vaan täytyy arvata ainoastaan samat numerot, jotka peluutuksessa tulee voittojen saamiseksi.



Tuo eroaa hyvin oleellisesti tavallisesta lotosta siinä, että lotossa sama numero voi esiintyä vain kerran, mutta tuossa noppapelissä joka riviin tulee väistämättä ainakin kaksi samaa. Se johtaa siihen, että todennäköisyydet käyttäytyvät täysin eri tavoin. Lotossa jokainen rivi on yhtä todennäköinen, mutta tuossa noppapelissä tietyt rivit ovat todennäköisempiä kuin toiset.

Kysymyksiä on kaksi joihin jonkun hullun mielenkiinnon vuoksi haluaisin tarkat vastaukset:
1. Montako eri numerosarjaa on yhteensä 7 oikein, 6 oikein, 5 oikein, 4 oikein, 3 oikein, 2 oikein ja 1 oikein.
2. Mikä on todennäköisyys satunnaisilla numeroilla saada 7 oikein, 6 oikein, 5 oikein, 4 oikein, 3 oikein, 2 oikein ja 1 oikein.



Näihin kysymyksiin ei voi vastata ilman lisäoletusta siitä, mikä on oikea tai arvattu rivi. Ja noilla oletuksillakin tehtävä on niin vaikea, että jos haluaa vain tietää vastaukset, on helpointa ohjelmoida pieni tietokoneohjelma ratkaisemaan ne raa'alla voimalla.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä30818
Liittynyt16.3.2005
korant
Seitsemän oikein sarjoja voi olla 7! = 5040 kappaletta eli kuinka moneen eri järjestykseen ne voi asettaa.



Tuo pätee silloin, kun ne järjestettävät alkiot ovat erotettavissa toisistaan. Mutta nopanheitossa niin ei välttämättä ole. Esimerkiksi sarja 1,1,1,1,1,1,1 on täysin mahdollinen ja sitä ei voi järjestää kuin yhdellä tavalla. Noilla ehdoilla ei voi tulla sellaista sarjaa, jossa kaikki olisivat erilaisia, koska mahdollisia arvoja on kuusi ja heitetään 7 kertaa.

Nuo, joissa kaikki ovat samoja, ovat kaikkein epätodennäköisimpiä tuloksia.Sen todennäköisyys on 1/6^7 = noin 1/280000. Mutta sarja, jossa on kuusi ykköstä ja yksi kakkonen voidaan saada 7 tavalla ja on 7 kertaa todennäköisempi. Tuollaisessa pelissä kannattaisi arvata vain kaikkein todennäköisimpiä sarjoja.

Tarjoan tehtävän osaratkaisuna todennäköisyyden laskentaa sille, että saadaan kaikki 7 oikein.

Tässä voi käyttää ns. multinomikerrointa, itselläni on hyllyssä Pekka Tuomisen Todennäköisyyslaskenta 1.

Löytyy varmaan muistakin todennäköisyyslaskennan kirjoista ja googlaamalla.

Multinomikerroin on [size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525]! / ( [size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525][size=85:35y6y525]1[/size:35y6y525]! * [size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525][size=80:35y6y525]2[/size:35y6y525]! [size=120:35y6y525]* .... * [/size:35y6y525][size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525][size=80:35y6y525]k[/size:35y6y525]! )

Tässä tehtävässä ilman alaviitettä oleva n = 7 eli heittojen lukumäärä ja

[size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525][size=85:35y6y525]1[/size:35y6y525] = tietyn rivin ykkösten lukumäärä
[size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525][size=85:35y6y525]2[/size:35y6y525] = tietyn rivin kakkosten lukumäärä
jne.
[size=120:35y6y525]n[/size:35y6y525][size=85:35y6y525]6[/size:35y6y525] = tietyn rivin kuutosten lukumäärä

Aikaisemmin Neutroni tuossa totesi, että "tuossa noppapelissä tietyt rivit ovat todennäköisempiä kuin toiset.", mikä pitää paikkansa.

Ja täyden rivin saamisen todennäköisyys riippuu siitä, onko rivi jo tehty vai ei.

Kuvitellaan, että rivi on tehty. Kyseisen, olemassa olevan rivin todennäköisyys saadaan sijottamalla luvut multinomikertoimeen ja ja kamalla saatu luku kaikkien mahdollisten sarjojen lukumäärällä 6 potenssiin 7 = 279936

Hankalampi on tapaus, jossa riviä ei ole vielä tehty.

Tällöinkin todennäköisyys on laskettavissa niin, että käydään jotenkin (voi olla hankalaa...) läpi kaikki mahdolliset oikeat rivit ja kuvitellaan, että ensin täytät kyseisen rivin ja sitten vielä arvonnassa tulee sama rivi.

Kerrotaan kyseiset (samat ) todennäisyydet keskenään ja lasketaan eri vaihtoehdot yhteen.

Yritän havainnollistaa tätä ajatuksenjuoksua:

On rouvat A ja B ja kummallakin laukussa 9 punaista palloa ja yksi valkoinen pallo. (Näissä tehtävissä esiintyy usein herrat A, B, C ja valkoiset ja punaiset pallot. Vaihdoin huvikseni herrat rouviksi mutta pidin nuo pallot samanvärisinä )

Tuon heikon kevennyksen jälkeen lasketaan todennäköisyys sille, että A ja B nostavat umpimähkään valitun pallon laukustaan ja että pallot ovat saman värisiä.

Vaihtoehdot ovat siis että molemmat nostavat punaisen pallon tai että molemmat nostavat valkoisen pallon.

Suoraan lukuina 9/10 * 9/10 + 1/10 * 1/10 = 0,82

------------

Tämän verran sain tästä irti, voi olla että multinomikerrointa soveltamalla voi noita muitakin todennäköisyyksiä laskea, mutta vaikeammaksi menee, koska jos halutaan esim. 5 oikein tulos, niin pitää ottaa huomioon, että 5 oikeaa ja 2 väärää voivat sijoittua eri tavoilla heittosarjaan jne.

Jos päättelyssä on virhe, niin kertokaa toki, jonkin verran aikaa meni tätä miettiessä

Tämä taitaa kuulua sarjaan "helpolta kuulostavia tehtäviä".....

-Pekka Haapala

Vähän tarkennusta omaan tekstiin, koska muokkausaika oli ja meni:

Multinomikertoimesta esimerkkinä vaikka se, kuinka moneen järjestykseen luvut 1,2,2,3,3,3 voi asettaa

Tulee 6! / ( 1! * 2! * 3! ) = 60

Seuraavassa olisi ehkä ollut parempi sanoa "tietyn yhdistelmän ykkösten jne. lukumäärä" tms. Multinomikertoimella saa lasketuksi rivien/heittosarjojen lukumäärän, joissa on [size=120:2d2xcfmd]n[/size:2d2xcfmd][size=85:2d2xcfmd]1[/size:2d2xcfmd] kappaletta ykkösiä, [size=120:2d2xcfmd]n[/size:2d2xcfmd][size=85:2d2xcfmd]2[/size:2d2xcfmd] kappaletta kakkosia jne. Vertaa yo. esimerkkiin.

[size=120:2d2xcfmd]n[/size:2d2xcfmd][size=85:2d2xcfmd]1[/size:2d2xcfmd] = tietyn rivin ykkösten lukumäärä
[size=120:2d2xcfmd]n[/size:2d2xcfmd][size=85:2d2xcfmd]2[/size:2d2xcfmd] = tietyn rivin kakkosten lukumäärä
jne.
[size=120:2d2xcfmd]n[/size:2d2xcfmd][size=85:2d2xcfmd]6[/size:2d2xcfmd] = tietyn rivin kuutosten lukumäärä

Ensimmäinen tapaus, jossa rivi on jo tehty (ja tunnetaan), vastaa palloesimerkissä sitä, että toinen rouvista on nostanut pallon laukusta ja näyttänyt sen. Todennäköisyys saada sama väri on tällöin joko 0,9 tai 0,1 riippuen siitä minkä värinen pallo käteen on sattunut ja näytetty.

Jälkimmäisessä tapauksessa, jossa yhdistelmää ei ole vielä tehty, se arvotaan, niin kuin säikeen aloittaja toteaa.

Barbaari
Seuraa 
Viestejä13621
Liittynyt4.10.2007
Neutroni
korant
Seitsemän oikein sarjoja voi olla 7! = 5040 kappaletta eli kuinka moneen eri järjestykseen ne voi asettaa.



Tuo pätee silloin, kun ne järjestettävät alkiot ovat erotettavissa toisistaan. Mutta nopanheitossa niin ei välttämättä ole. Esimerkiksi sarja 1,1,1,1,1,1,1 on täysin mahdollinen ja sitä ei voi järjestää kuin yhdellä tavalla. Noilla ehdoilla ei voi tulla sellaista sarjaa, jossa kaikki olisivat erilaisia, koska mahdollisia arvoja on kuusi ja heitetään 7 kertaa.

Nuo, joissa kaikki ovat samoja, ovat kaikkein epätodennäköisimpiä tuloksia.Sen todennäköisyys on 1/6^7 = noin 1/280000. Mutta sarja, jossa on kuusi ykköstä ja yksi kakkonen voidaan saada 7 tavalla ja on 7 kertaa todennäköisempi. Tuollaisessa pelissä kannattaisi arvata vain kaikkein todennäköisimpiä sarjoja.


Minkälainen on kaikista todennäköisin sarja?

Sellainen jossa on vain kaksi samaa numeroa. Mutta koska järjestyksellä ei ole väliä niin kaikki rivit ovat yhtä todennäköisiä ja erilaisia rivejä voi olla 792 kpl.

Barbaari
Tyyliin tällainen? 1-1-2-2-3-4-5?
Pitäisi kai sanoa että yksi sama numero eli esim. 1 1 2 3 4 5 6.
Korjaan vielä noita todennäköisyyksiä. Jos järjestys huomiodaan niin silloin kaikki sarjat ovat yhtä todennäköisiä mutta kun ei huomioida niin todennäköisin rivi on sellainen jossa vain yksi sama numero.

Tähän vielä jatkoa:

On täytetty edellä mainittu rivi 1123456.

Kyseiset numerot voidaan saada
7! / ( 2! * 1! * 1! * 1! * 1! * 1! ) = 2520 eri tavalla
Kaikki rivejä on 6 ^ 7 = 279 936 kappaletta
Todennäköisyys saada 7 oikein rivillä 1123456 on 2520 / 279936 = 0,009002…. Pyöristettynä 0,009

Yritelmä laskea 6 oikein:

A) Luku 1 esiintyy sarjassa vain kerran
Esimerkkinä sarja 1223456. Tämä voidaan saada 2520 tavalla samalla laskulla kuin yllä 7 oikein.
Tässä voidaan valita se luku, joita on 2 kappaletta 5 eri tavalla (luvut 2-6).
Yhteensä näitä on 2520 * 5 = 12 600 kappaletta

B) Jokin luvuista 2-6 puuttuu ja ykkösiä on kolme kappaletta.
Esimerkkinä sarja 1113456. Tämä voidaan saada 7! / ( 3! * 1! * 1! * 1! * 1! ) = 840 eri tavalla
Tässä voidaan valita se luku, joka puuttuu, 5 eri tavalla (luvut 2-6).
Yhteensä näitä on 840 * 5 = 4200 kappaletta

C) Jokin luvuista 2-6 puuttuu ja ykkösiä on kaksi kappaletta
Esimerkkinä sarja 1133456. Tämä voidaan saada 7! / ( 2! * 2! * 1! * 1! * 1! ) = 1260 eri tavalla
Koska puuttuva luku voidaan valita 5 eri tavalla luvuista 2-6 ja
koska luku, joka ykkösen lisäksi esiintyy 2 kertaa voidaan valita 4 eri tavalla
on näitä yhteensä 1260 * 4 * 5 = 25200 kappaletta

Yhteensä 6 oikein rivejä riville 1123456 on 12600 + 4200 + 25200 = 42000 kappaletta

Todennäköisyys saada 6 oikein kyseisellä rivillä 1123456 on 42000 / 279936 = 0,150034... … pyöristettynä 0,15

Pikkaisen vaikuttaa ison tuntuiselta

Jos joku pystyy ohjelmoimaan nämä tai on muuten laskenut, niin olen kiinnostunut ovatko laskuni oikein.

5 oikein -laskua olen myös hahmotellut mutta se on kesken…

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat