Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...

Sivut

Kommentit (43)

PPo
Seuraa 
Viestejä13546
Liittynyt10.12.2008
Jusb3
Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...


max(1,2,3)=3, min(1,2,3)=1

Astronomy
Seuraa 
Viestejä3976
Liittynyt12.6.2007
Jusb3
Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...


Ne kysyy sinulta siis jotain, mistä et ole ennen koskaan kuullutkaan... Onko ope joku isoEGO joka ehkä haluaa näyttää teille miten helvetillisen vaikeaa matematiikka osaa ollakkaan. Varsinkin jos sitä ei itse osaa opettaa? Jos olet trolli niin lopeta samantien, muuten me tullaan ja näytetään sulle närhen munat!

"The universe is a big place, perhaps the biggest".
"Those of you who believe in telekinetics, raise my hand".
Kurt Vonnegut
"Voihan fusk." Minä

pöhl
Seuraa 
Viestejä930
Liittynyt19.3.2005
Jusb3
Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää

Kyllä sen pitäisi selvitä kun kysymykset lukee huolellisesti.
Jusb3
itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat

Tarkastellaan reaalilukujen osajoukkoa A. Tällöin max A=M, jos M kuuluu joukkoon A ja mikään M:ää suurempi luku M' ei kuulu A:han. Vastaavasti min A=m, jos m kuuluu joukkoon A ja mikään m:ää pienempi luku m' ei kuulu A:han.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Enempää miettimättä; jos olisi paperia ja kynä voisi keksiä selkeämmänkin ratkaisun. Mutta kirjoita itse puhtaaksi.
Takuuta en kyllä tästä anna:

6. Jos arvot x0ssa on samat, niin löytyy ympäristö, jossa kumpikin funktio on enintään epsilonin päässä arvostaan x0:ssa ja siis myös max/min. Jos taas eri, niin max/min -arvo on jomman kumman funktion arvo, vaikkapa f(x0) Jos epsilon on alle puolet arvojen erosta x0:ssa, niin löytyy ympäristö, jossa min/max -funktio on koko ajan f ja siis jatkuva.

7. Tämä on vähän vaikea selittää, mutta: Tuo ylärajafunktio saa suurimman arvon ja ->0, kun x ->oo. Jos g saa positiivisen arvon, löytyy suljettu väli, jonka ulkopuolella g saa vain tätä pienempiä arvoja. Vastaava tilanne, jos g saa negatiivisen arvon. Koska g(0) = 0, 0 on pienin/suurin arvo, jos g ei vaihda merkkiään.

Siis löytyy suljettu väli, joka ulkopuolella suurinta/pienintä arvoa ei voi saada (ellei ole nolla). Suljetulla välillä jatkuvana funktiona g saa suurimman/pienimmän arvonsa tällä välillä ja siis koko R:ssä.

Mitä tulee noihin funktioihin M ja m tulee, niin tuossa tehtävässähän ne määritellään, vain nuo Max ja Min -kö ei aukea? Siinähän on vain kahdesta luvusta f(x) ja g(x) suurempi/pienempi.

PPo
Seuraa 
Viestejä13546
Liittynyt10.12.2008
Jusb3
Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...


6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia
7. Jos g on vakiofunktio, g:llä on suurin ja pienin arvo.
Jos g ei ole vakiofunktio, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo perustuu lauseeseen" jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä. Tehtävänä on siis sopivan suljetun välin konstruoiminen.

Kiitos paljon avusta, noin olin nuo min ja max ajatellutkin, mutta oli hyvä saada varmistus. Nyt vaan enää sopivat vastaukset muodostamaan.

Edit: eli olisiko vastaus siis että ei saavuta, mikäli ylärajafunktio ->oo kun x->oo

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
PPo

6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia



Jos nipotus sallitaan, niin tuo on kehäpäätelmä, sillä

abs(f(x)) = max(f(x), 0) - min(f(x), 0) .

Ja ainoa vakiofunktio, joka ehdon toteuttaa on 0.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
Jusb3
Kiitos paljon avusta, noin olin nuo min ja max ajatellutkin, mutta oli hyvä saada varmistus. Nyt vaan enää sopivat vastaukset muodostamaan.

Edit: eli olisiko vastaus siis että ei saavuta, mikäli ylärajafunktio ->oo kun x->oo




Totta kai se voi saavuttaa, mutta ei välttämättä.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
PPo
Jusb3
Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...


6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia
7. Jos g on vakiofunktio, g:llä on suurin ja pienin arvo.
Jos g ei ole vakiofunktio, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo perustuu lauseeseen" jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä. Tehtävänä on siis sopivan suljetun välin konstruoiminen.

Suurin on pienîn vain, jos g =0 aina? Korjataan vielä, kun siinä oli itseisarvo, että toinen on varmasti.

PPo
Seuraa 
Viestejä13546
Liittynyt10.12.2008
visti
PPo
Jusb3
Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...


6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia
7. Jos g on vakiofunktio, g:llä on suurin ja pienin arvo.
Jos g ei ole vakiofunktio, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo perustuu lauseeseen" jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä. Tehtävänä on siis sopivan suljetun välin konstruoiminen.

Suurin on pienîn vain, jos g =0 aina?

Suurin ja pienin arvo on aina. Ratkaisussa triviaalitapaus joudutaan vain käsittelemään erikseen.

PPo
Seuraa 
Viestejä13546
Liittynyt10.12.2008
Opettaja
PPo

6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia



Jos nipotus sallitaan, niin tuo on kehäpäätelmä, sillä

abs(f(x)) = max(f(x), 0) - min(f(x), 0) .

Ja ainoa vakiofunktio, joka ehdon toteuttaa on 0.


Näille opiskelijoille on varmaankin luennolla esitetty lauseina, että jatkuvien funktioiden summa, erotus, osamäärä ja itseisarvo ovat jatkuvia.
Tähän vedoten antamistani yhtälöistä voidaan päätellä M:n ja m:n jatkuvuus, joten en ymmärrä viittausta kehäpäätelmään.

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011
PPo
Opettaja
PPo

6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia



Jos nipotus sallitaan, niin tuo on kehäpäätelmä, sillä

abs(f(x)) = max(f(x), 0) - min(f(x), 0) .

Ja ainoa vakiofunktio, joka ehdon toteuttaa on 0.


Näille opiskelijoille on varmaankin luennolla esitetty lauseina, että jatkuvien funktioiden summa, erotus, osamäärä ja itseisarvo ovat jatkuvia.
Tähän vedoten antamistani yhtälöistä voidaan päätellä M:n ja m:n jatkuvuus, joten en ymmärrä viittausta kehäpäätelmään.



No en minä ihan tosissani ollut. Sen verran totuutta tuossa on, että pitää sen itseisarvofunktion tosiaan olla jatkuvaksi todistettuna, mikä ei ihan sanomalla onnistu.

visti
Seuraa 
Viestejä6331
Liittynyt16.11.2009
PPo
PPo
Jusb3
Tuli harjoitustehtäväksi seuraavaa:

6. Olkoot R:ssä määritellyt funktiot f ja g jatkuvia pisteessä x0 ∈ R. Selvitä ovatko
M (x) = max {f (x), g(x)} ja m(x) = min {f (x), g(x)} jatkuvia pisteessä x0 ∈ R.

7. Funktio g on jatkuva R:ssä ja toteuttaa kaikilla x ∈ R ehdon |g(x)|≤ |x|/(1+x^2) Saavuttaako g suurimman tai pienimmän arvonsa R:ssä?

Ensinnäkin olisi mielenkiintoinen tietää mitä kyseisissä tehtävissä halutaan tietää, itselle ei ainakaan auennut, ja toisekseen mitä määritelmät min{} ja max{} tarkoittavat. Ei mielestäni oltu luennoilla käsitelty eikä muutkaan luennoilla olleet tienneet...


6. M ja m voidaan esittää f:n ja g:n avulla seuraavast
M(x)=(f(x)+g(x)+abs(f(x)-g(x))/2 ja m(x)=(f(x)+g(x)-abs(f(x)-g(x))/2 ( abs tarkoittaa itseisarvoa)--->
M ja m ovat jatkuvia, koska f ja g ovat jatkuvia
7. Jos g on vakiofunktio, g:llä on suurin ja pienin arvo.
Jos g ei ole vakiofunktio, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo perustuu lauseeseen" jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä. Tehtävänä on siis sopivan suljetun välin konstruoiminen.


Suurin ja pienin arvo on ai
na. Ratkaisussa triviaalitapaus joudutaan vain käsittelemään erikseen.[/quote] V I S T I
Olet oikeassa. Onhan g(0)= 0. Jäi huomiotta.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
visti
PPo
7. Jos g on vakiofunktio, g:llä on suurin ja pienin arvo.
Jos g ei ole vakiofunktio, suurimman ja pienimmän arvon olemassaolo perustuu lauseeseen" jatkuvalla funktiolla on suurin ja pienin arvo suljetulla välillä. Tehtävänä on siis sopivan suljetun välin konstruoiminen.


Suurin ja pienin arvo on ai
na. Ratkaisussa triviaalitapaus joudutaan vain käsittelemään erikseen.[/quote] V I S T I
Olet oikeassa. Onhan g(0)= 0. Jäi huomiotta.[/quote]
author="" kirjoitti:



PPo,Visti:

No konstruoikaapa nyt jokin suljettu väli a <= x <= b. g saa tällä välillä tietenkin suurimman ja pienimmän arvon. Mutta mistä tiedätte, ettei se saa tämän välin ulkopuolella vielä suurempaa tai pienempää arvoa?

Jos f(x) = l x l / (1+ x^2), pitää siis olla l g(x) l <= f(x).Nyt f(x) = f(-x) ja 1/2 >= f(x) >= 0. f(1) = f-1) = 1/2 ja näissä pisteissä f saa globaalin maksimiarvon. f(0) = 0 ja tämä on f:n globaali minimi. Välin -1 <= x <= 1 ulkopuolella f vähenee kun l x l kasvaa.

Aina pitää siis olla f(x) >= g(x) >= -f(x) .Jos nyt otat välin a<= x <= b, niin g:n täytyy pysyä noissa f:n määräämissä rajoissa, mutta mistä tosiaan tiedät, ettei se saa tuon välin ulkopuolella suurempaa tai pienempää arvoa kuin tuolla välillä?Tiedetään myös kyllä, että g(0) = 0, mutta g voi saada myös negatiivisia arvoja.

Vähän täsmällisyyttä todistuksiin, arvoisat nimimerkit!Antakaapa ihan sitova todistus!

Ohman

PPo
Seuraa 
Viestejä13546
Liittynyt10.12.2008
Ohman

PPo,Visti:

No konstruoikaapa nyt jokin suljettu väli a <= x <= b. g saa tällä välillä tietenkin suurimman ja pienimmän arvon. Mutta mistä tiedätte, ettei se saa tämän välin ulkopuolella vielä suurempaa tai pienempää arvoa?

Jos f(x) = l x l / (1+ x^2), pitää siis olla l g(x) l <= f(x).Nyt f(x) = f(-x) ja 1/2 >= f(x) >= 0. f(1) = f-1) = 1/2 ja näissä pisteissä f saa globaalin maksimiarvon. f(0) = 0 ja tämä on f:n globaali minimi. Välin -1 <= x <= 1 ulkopuolella f vähenee kun l x l kasvaa.

Aina pitää siis olla f(x) >= g(x) >= -f(x) .Jos nyt otat välin a<= x <= b, niin g:n täytyy pysyä noissa f:n määräämissä rajoissa, mutta mistä tosiaan tiedät, ettei se saa tuon välin ulkopuolella suurempaa tai pienempää arvoa kuin tuolla välillä?Tiedetään myös kyllä, että g(0) = 0, mutta g voi saada myös negatiivisia arvoja.

Vähän täsmällisyyttä todistuksiin, arvoisat nimimerkit!Antakaapa ihan sitova todistus!

Ohman


Tarkastellaan ensin tapausta g(x)>=0 ja g ei ole vakio----> on olemassa x0 s.e. g(x0)>0.
f(x)-->0, kun abs(x)-->oo joten g(x)-->0 kun abs(x)-->oo,---> on olemassa M siten, että abs(g(x))M.
Suljetulla välillä [-M,M] g:llä on suurin arvo, joka on vähintään g(x0) ja pienin arvo g(0).
Jos g saa myös negatiivisia arvoja, käsittely oleelisesti sama kuin edellä.
En jaksa toistaa.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat