Seuraa 
Viestejä53
Liittynyt22.4.2012

Terve!

Osaan siis laskea Fourier kertoimet, ao, ak sekä bk, mutta niiden sijoittaminen sarjaksi tuottaa hankaluutta.

Yritän kuvailla funkion muodon selkeästi .

http://i44.tinypic.com/2vj6c2h.jpg

Eli amplitudi on A ja kuvassa punainen viiva esittää funktiota. ( kaikki viivat ovat siis samalla korkeudella ja etäisyydet samat kokoajan )

T=2*pii / w

Nyt siis tuloksiksi sain integroimalla ( välillä -T/4 , T/4 )

ao= A
ak= [2*A / (k*pii)] * sin(k * pii/2 )
bk= 0

Nyt nämä pitäis sijottaa k:n kertoimilla 1,2,3,4,.. jne.
varmaankin kaavan f(t) = ao/2 + (summamerkki) ( ak *cos(kwt) + bk*sin(kwt) ) , (k=1 - > ääretön) mukaisesti.

Tässä kohtaa meneekin lukkoon, kirjassa ei juurikaan tästä puhuta, kunhan vain ilmestyvät kivasti..

Oikea vastaus menee näin:

A/2 + 2A/(pii) * cos(wt) - 2A/(3*pii) * cos(3wt) + 2A/(5pii) * cos(5wt) - ..... jne.

Miten tuonne tuo miinusmerkki tulee ja tuossa käydään jotenkin kertoimet 1,3,5 läpi, miten 2 ja 4. kerroin antaa tulokseksi 0?

sitten ak kertoimessa on tuo termi sin(k * pii/2 ), niin tällähän ei niinkuin "tee mitään"? Tarvitaan vain se kerroin siitä sinin/kosinin edestä nimensä mukaisesti?

Kommentit (3)

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14400
Liittynyt16.3.2005

Parillisten termien kerroin on nolla, jos funktio on yhtä kauan ykkösenä ja nollana.
Tuon funktion voi ajatella syntyvän kosinifunktiosta, johon lisätään taajuudeltaan parittomia kerrannaisia. Kolmas kertaluku painaa huippua lyttyyn, joten sen on oltava negatiivisella etumerkillä varustettu. Jos kerroin olisi positiivinen, niin huippuarvo kasvaisi, ja saataisiin suorakulmion asemesta kolmio.
Viides kertaluku on taas positiivinen, kun sillä korjataan kolmannen kertaluvun ylilyöntejä. Jne.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Ohman
Seuraa 
Viestejä1637
Liittynyt17.10.2010
tamdin
Terve!

Osaan siis laskea Fourier kertoimet, ao, ak sekä bk, mutta niiden sijoittaminen sarjaksi tuottaa hankaluutta.

Yritän kuvailla funkion muodon selkeästi .

http://i44.tinypic.com/2vj6c2h.jpg

Eli amplitudi on A ja kuvassa punainen viiva esittää funktiota. ( kaikki viivat ovat siis samalla korkeudella ja etäisyydet samat kokoajan )

T=2*pii / w

Nyt siis tuloksiksi sain integroimalla ( välillä -T/4 , T/4 )

ao= A
ak= [2*A / (k*pii)] * sin(k * pii/2 )
bk= 0

Nyt nämä pitäis sijottaa k:n kertoimilla 1,2,3,4,.. jne.
varmaankin kaavan f(t) = ao/2 + (summamerkki) ( ak *cos(kwt) + bk*sin(kwt) ) , (k=1 - > ääretön) mukaisesti.

Tässä kohtaa meneekin lukkoon, kirjassa ei juurikaan tästä puhuta, kunhan vain ilmestyvät kivasti..

Oikea vastaus menee näin:

A/2 + 2A/(pii) * cos(wt) - 2A/(3*pii) * cos(3wt) + 2A/(5pii) * cos(5wt) - ..... jne.

Miten tuonne tuo miinusmerkki tulee ja tuossa käydään jotenkin kertoimet 1,3,5 läpi, miten 2 ja 4. kerroin antaa tulokseksi 0?

sitten ak kertoimessa on tuo termi sin(k * pii/2 ), niin tällähän ei niinkuin "tee mitään"? Tarvitaan vain se kerroin siitä sinin/kosinin edestä nimensä mukaisesti?

author="" kirjoitti:



Funktiosi on parillinen funktio eli f(x) = f(-x). Tällaisen funktion Fourier-sarja sisältää vain kosinitermejä. Pariton funktio on sellainen, että f(-x) = - f(x). Tämän Fourier-sarjassa on vain sinitermejä.

Termien etumerkit seuraavat ja arvot saat sitten noilla tunnetuilla integraaleilla.

Olkoon meillä f(x) jolla on Fourier-sarja ja joka on määritelty esim. suljetulla välillä (-pii,pii) (tai on jaksollinen jaksona 2 pii) ja f on parillinen funktio. Koska cos(nx) on parillinen fuktio ( n = 0,1,2,...) ja parillisten funktioiden tulo on parillinen, on tulo f(x) cos(nx) siis parillinen. Koska sin(nx) on pariton funktio on f(x) sin(nx) myös pariton (f oli parillinen) ja Fourier-kertoimet ovat

a(n) = (1/pii) Integraali(-pii -> pii) ( f(x) cos(nx) dx) = (2/pii) Integraali (0 -> pii) (f(x) cos(nx) dx) (n = 0,1,2,...)

ja

b(n) = (1/pii) Integraali(-pii -> pii) ( f(x) sin(nx)dx) = 0

Parillisen funktion Fourier-sarja sisältää siis vain kosinitermejä:
f(x)-funktion sarja on a(0) / 2 + Summa (n käy yhdestä äärettömään) (a(n) cos(nx).

Vastaavalla tavalla on helppo näyttää, että parittoman funktion sarja sisältää vain sinitermejä, sillä tulo f(x) sin(nx) on parillinen funktio ja tulo f(x) cos(nx) on nyt pariton funktio.

Huomannet, että kun pariton funktio integroidan esim. välillä -pii,pii, tulos on nolla.

Ohman

hmk
Seuraa 
Viestejä998
Liittynyt31.3.2005
tamdin

ao= A
ak= [2*A / (k*pii)] * sin(k * pii/2 )
bk= 0

Nyt nämä pitäis sijottaa k:n kertoimilla 1,2,3,4,.. jne.
varmaankin kaavan f(t) = ao/2 + (summamerkki) ( ak *cos(kwt) + bk*sin(kwt) ) , (k=1 - > ääretön) mukaisesti.

Tässä kohtaa meneekin lukkoon, kirjassa ei juurikaan tästä puhuta, kunhan vain ilmestyvät kivasti..

Oikea vastaus menee näin:

A/2 + 2A/(pii) * cos(wt) - 2A/(3*pii) * cos(3wt) + 2A/(5pii) * cos(5wt) - ..... jne.

Miten tuonne tuo miinusmerkki tulee ja tuossa käydään jotenkin kertoimet 1,3,5 läpi, miten 2 ja 4. kerroin antaa tulokseksi 0?




Siis ongelmasi on noiden kertoimien sijoittaminen sarjaan? Se on ihan suoraviivaista. Koska bk = 0, sarja sisältää vain kosinitermejä, eli

f(t) = a0/2 + a1*cos(1wt) + a2*cos(2wt) + a3*cos(3wt) + ... (1)

Tämä sarja seuraa suoraan kirjoittamastasi kaavasta sijoittamalla bk = 0. Olit myös antanut kertoimien ak yleisen muodon:

ak= [2*A / (k*pii)] * sin(k * pii/2)

Eri k:n arvoilla saadaan siis:

a1 = [2*A / (1*pii)] * sin(1 * pii/2) = 2A/pii (koska sin(pii/2) = 1)
a2 = [2*A / (2*pii)] * sin(2 * pii/2) = 0 (koska sin(pii) = 0)
a3 = [2*A / (3*pii)] * sin(3 * pii/2) = - 2A/(3pii) (koska sin(3pii/2) = -1)
...

Kun sijoitat nämä kertoimet sarjaan (1), saat funktion f(t) Fourier-sarjakehitelmän.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat