Continuum hypothesis

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ehkä palstan tasosota valittamisen sijasta olisi hyvä aloittaa aihe jostakin mielenkiintoisesta. Itse olen viime aikoina miettinyt seuraava ongelmaa:

http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

En tiedä suomenkielistä nimeä. Onko joka tapauksessa olemassa joukkoa, jonka kardinaliteetti eli mahtavuus on suurempi kuin luonnollisten lukujen ja pienempi kuin reaalilukujen? Äärellisten joukkojen kokoa on helppoa verrata mutta tilanne mutkistuu, kun alkioita on ääretön määrä. Voidaan kuitenkin käyttää seuraavia määritelmiä. Ilmaisen ne mahdollisemman yksinkertaisesti.

Joukot A ja B ovat yhtä mahtavia mikäli voit kaikki joukkojen A ja B alkiot asettaa pareihin.

Joukko A on mahtavampi tai yhtä mahtava kuin B mikäli voit jokaiselle A:n alkiolle määrätä vastinparin joukossa B siten, että "koko joukko B täyttyy".

Joukko A on mahtavampi mikäli se on "mahtavampi tai yhtä mahtava" mutta ei "yhtä mahtava".

Eli etsitään seuraavanlaista joukkoa (joukko X):

- Kaikkille kyseisen joukon alkioille voidaan määritellä vastinpari luonnollisista luvuista siten, että kaikkia luonnollisia lukuja käytetään.
- Ei voida kuitenkaan asettaa joukon alkioita ja luonnollisia lukuja pareihin.

( Eli alkioita on "enemmän" kuin luonnollisia lukuja. )

- Kaikille reaaliluvuille voidaan määritellä vastinpari kyseisestä joukosta siten, että joukko täyttyy.
- Ei voida kuitenkaan asettaa reaalilukuja ja kyseisen joukon alkioita pareihin.

( Eli alkioita on vähemmän kuin reaalilukuja. )

Sivut

Kommentit (40)

Vierailija

Pieni gallup: Onko kukaan koskaan kuullutkaan kyseisestä asiasta?

Reaaliluvuista voisi vielä sen verran sanoa, että niiden mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen potenssijoukon. Potenssijoukkolla tarkoitetaan kaikkien osajoukkojen joukkoa. Jokainen reaaliluku voidaan siis samaistaa johonkin luonnollisten lukujen osajoukkoon. Alla on esimerkkejä:

{1}
{2}
{7, 8 , 875653}
{1, 3, 5...}

Vierailija

Olen joskus tuosta kuullut, mutta pitäisi tietää enemmän teoriaa, jotta ymmärtäisi kunnolla. Tämänhetkisten tietojeni perusteella tuntuisi siltä, että rationaaliluvut kävisivät, mutta ei kai tuo mikään kovin kummoinen juttu olisi jos siihen olisi näin yksinkertainen ratkaisu.

Vierailija

Oho. Ehdit vastata, kun kirjoitin uutta viestiä.

Massi^-
En asiasta paljoakaan tiedä, mutta eikö rationaalilukujen joukko käy? Jos ei käy, niin miksi ei?

Rationaaliluvut eivät käy, koska niiden mahtavuus on sama kuin luonnollisten lukujen. Niitä on siis "yhtä paljon".

Rationaaliluvut voidaan siis esittää muodossa q / m, missä q on kokonaisluku ja m on luonnollinen luku. Nämä voidaan levittää tasoon ja kiertää ne sillä tavalla, että jokaiselle rationaaliluvulle voidaan antaa numero. Jos joukon mahtavuus on pienempi tai yhtä suuri kuin luonnollisten lukujen mahtavuus, kutsutaankin joukkoa numeroituvaksi.

Vierailija

Ai niin. Jotain tuon tapaista olen joskus lukeunut jostain, mutta en silloin ymmärtänyt sitä. En nytkään ymmärrä kaikkia yksityiskohtia, mutta ymmärrän sen verran, että uskon väitteen.

Onko sitten luonnollisten lukujen kaksialkioisista osajoukoista koostuva joukko numeroituva?

Edit: Titetenkin on, koska se on periaatteessa sama kuin rationaaliluvut. Onko sama juttu 3,4,5... alkioisten kanssa?

Vierailija
Massi^-
Onko sitten luonnollisten lukujen kaksialkioisista osajoukoista koostuva joukko numeroituva?

Itse asiassa kaikki äärelliset luonnollisten lukujen osajoukot ovat numeroituvia. Aika erikoista eikö?

Mutta tarkastellaan vielä antamaasi esimerkkiä. Kysessä on joukot muotoa {a, b}, missä alkioiden järjestyksellä ei tietenkään ole mitään väliä. Tässä on yksi mahdollinen numerointitapa:

1 = {1, 1}

2 = {2, 1}
3 = {2, 2}

4 = {3, 1}
5 = {3, 2}
6 = {3, 3}

...

Näin saadaan kaikki mahdolliset lukuparit.

Vierailija
zat
Itse asiassa kaikki äärelliset luonnollisten lukujen osajoukot ovat numeroituvia.

Määritellään ensin vähän joukkoja:

J(1, 1) = {1}
J(1, 2) = {2}
...
J(2, 1) = {1, 1}
J(2, 2) = {2, 1}
J(2, 3) = {2, 2}
...
J(3, 1) = {1, 1, 1}
J(3, 2) = {2, 1, 1}
J(3, 3) = {2, 2, 1}
J(3, 4) = {2, 2, 2}
J(3, 5) = {3, 1, 1}
J(3, 6) = {3, 2, 1}
...
...

Täten kaikki äärelliset luonnollisten lukujen osajoukot voidaan numeroida vaikka seuraavasti:

1 = J(1, 1)

2 = J(1, 2)
3 = J(2, 1)

4 = J(1, 3)
5 = J(2, 2)
6 = J(3, 1)

7 = J(1, 4)
8 = J(2, 3)
9 = J(3, 2)
10 = J(4, 1)

...

Nyt voidaan esim. joukoille {21, 421, 765} ja {1, 241, 785, 86, 7, 7544} asettaa numerot. Joukon alkioiden järjestyksellä ei siis ole mitään väliä.

Vierailija

Kontinuumihypoteesi siis käsittelee äärettömien lukujoukkojen "kokoa" eli niiden mahtavuutta. Cantorin joukko-opissa voidaan näyttää, että seuraavaksi isoin mahtavuus luonnollisten lukujen joukon (aleph0) jälkeen on sen potenssijoukolla. Siis sillä joukolla joka muodostuu luonnollisten lukujen joukon kaikista mahdollisista osajoukoista (2^aleph0).

Kontinuumihypoteesi väittää nyt, että tämän potenssijoukon mahtavuus on sama kuin reaalilukujen joukon, eli kontinuumin (aleph1). Siis hypoteesi sanoo, että 2^aleph0=aleph1. Eli luonnollisten lukujen ja reaalilukujen "väliin" ei mahtuisi mitään joukkoa, joilla olisi näistä poikkeava koko. Kun mennään reaalilukuja suurempiin mahtavuuksiin, niin niitä löytyy itse asiassa äärettömän paljon toinen toistaan yhä suurempia mahtavuuksia.

Tuo kontinuumihypoteesi ei enää oikeastaan ole mikään ongelma, sillä Gödel jo aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesia ei voi todistaa vääräksi eikä myöskään oikeaksi joukko-opin aksioomeista lähtien. Eli hypoteesin voi halutessaan sisällyttää yhdeksi aksioomaksi joukko-oppiin.

Vierailija
Snaut
Kontinuumihypoteesi siis käsittelee äärettömien lukujoukkojen "kokoa" eli niiden mahtavuutta. Cantorin joukko-opissa voidaan näyttää, että seuraavaksi isoin mahtavuus luonnollisten lukujen joukon (aleph0) jälkeen on sen potenssijoukolla. Siis sillä joukolla joka muodostuu luonnollisten lukujen joukon kaikista mahdollisista osajoukoista (2^aleph0).

Kontinuumihypoteesi väittää nyt, että tämän potenssijoukon mahtavuus on sama kuin reaalilukujen joukon, eli kontinuumin (aleph1). Siis hypoteesi sanoo, että 2^aleph0=aleph1. Eli luonnollisten lukujen ja reaalilukujen "väliin" ei mahtuisi mitään joukkoa, joilla olisi näistä poikkeava koko. Kun mennään reaalilukuja suurempiin mahtavuuksiin, niin niitä löytyy itse asiassa äärettömän paljon toinen toistaan yhä suurempia mahtavuuksia.

Tuo kontinuumihypoteesi ei enää oikeastaan ole mikään ongelma, sillä Gödel jo aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesia ei voi todistaa vääräksi eikä myöskään oikeaksi joukko-opin aksioomeista lähtien. Eli hypoteesin voi halutessaan sisällyttää yhdeksi aksioomaksi joukko-oppiin.




Ei se ihan noin mene. On helppoa todistaa, että luonnollisten lukujen potenssijoukon mahtavuus on sama kuin reaalilukujen. Kyse on siitä, että mahtuuko sinne väliin mitään.

Cantorin joukko-opissa voidaan näyttää, että seuraavaksi isoin mahtavuus luonnollisten lukujen joukon (aleph0) jälkeen on sen potenssijoukolla.



Ei. Voidaan kyllä näyttää, että potenssijoukon mahtavuus on suurempi kuin alkuperäisen joukon.

Tuo kontinuumihypoteesi ei enää oikeastaan ole mikään ongelma, sillä Gödel jo aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesia ei voi todistaa vääräksi eikä myöskään oikeaksi joukko-opin aksioomeista lähtien. Eli hypoteesin voi halutessaan sisällyttää yhdeksi aksioomaksi joukko-oppiin.

Älä unohda Paul Cohenia.

Vierailija
zat
Snaut
Kontinuumihypoteesi siis käsittelee äärettömien lukujoukkojen "kokoa" eli niiden mahtavuutta. Cantorin joukko-opissa voidaan näyttää, että seuraavaksi isoin mahtavuus luonnollisten lukujen joukon (aleph0) jälkeen on sen potenssijoukolla. Siis sillä joukolla joka muodostuu luonnollisten lukujen joukon kaikista mahdollisista osajoukoista (2^aleph0).

Kontinuumihypoteesi väittää nyt, että tämän potenssijoukon mahtavuus on sama kuin reaalilukujen joukon, eli kontinuumin (aleph1). Siis hypoteesi sanoo, että 2^aleph0=aleph1. Eli luonnollisten lukujen ja reaalilukujen "väliin" ei mahtuisi mitään joukkoa, joilla olisi näistä poikkeava koko. Kun mennään reaalilukuja suurempiin mahtavuuksiin, niin niitä löytyy itse asiassa äärettömän paljon toinen toistaan yhä suurempia mahtavuuksia.

Tuo kontinuumihypoteesi ei enää oikeastaan ole mikään ongelma, sillä Gödel jo aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesia ei voi todistaa vääräksi eikä myöskään oikeaksi joukko-opin aksioomeista lähtien. Eli hypoteesin voi halutessaan sisällyttää yhdeksi aksioomaksi joukko-oppiin.




Ei se ihan noin mene. On helppoa todistaa, että luonnollisten lukujen potenssijoukon mahtavuus on sama kuin reaalilukujen. Kyse on siitä, että mahtuuko sinne väliin mitään.

Cantorin joukko-opissa voidaan näyttää, että seuraavaksi isoin mahtavuus luonnollisten lukujen joukon (aleph0) jälkeen on sen potenssijoukolla.



Ei. Voidaan kyllä näyttää, että potenssijoukon mahtavuus on suurempi kuin alkuperäisen joukon.

Tuo kontinuumihypoteesi ei enää oikeastaan ole mikään ongelma, sillä Gödel jo aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesia ei voi todistaa vääräksi eikä myöskään oikeaksi joukko-opin aksioomeista lähtien. Eli hypoteesin voi halutessaan sisällyttää yhdeksi aksioomaksi joukko-oppiin.



Älä unohda Paul Cohenia.

Oikeassa olet, muisti alkaa näköjään hieman pettämään näin vanhemmiten.

Mitä Coheniin tulee niin hänhän aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesin negaatio ei myöskään tuo ristiriitoja joten yhdessä Gödelin todistuksen kanssa tämä tarkoittaa, että hypoteesi on täysin riippumaton joukko-opin aksioomeista ja täten sen voi joko hyväksyä tai sitten ei. Mutta en näe asiaa kuitenkaan ongelmana vaikka joukko-opista meillä täten onkin useita versioita.

Vierailija
Snaut
Mitä Coheniin tulee niin hänhän aikoinaan todisti, että kontinuumihypoteesin negaatio ei myöskään tuo ristiriitoja joten yhdessä Gödelin todistuksen kanssa tämä tarkoittaa, että hypoteesi on täysin riippumaton joukko-opin aksioomeista ja täten sen voi joko hyväksyä tai sitten ei. Mutta en näe asiaa kuitenkaan ongelmana vaikka joukko-opista meillä täten onkin useita versioita.

Hypoteesia ei voi todistaa oikeaksi eikä vääräksi joukko-opin aksioomista lähtien, mikä on periaatteessa aika mielenkiintoista. Monet miettivätkin mahdollisia uusia aksioomia, jolla väitteen saisi joko todistettua tai kumottua.

Toisaalta kumoamiseen tarvitaan ainoastaan vastaesimerkki. Ehdotuksia, palstalaiset?

Reaalilukujen sijaan on helpompaa tarkastella luonnollisten lukujen potenssijoukkoa. Äsken näytettiin, että kaikki äärelliset luonnollisten lukujen osajoukot ovat numeroituvia (unohdin muuten tyhjän joukon). Näihin eivät siis sisälly esimerkiksi joukot {1, 3, 5, 7...} tai {1, 2, 4, 8...}.

Jos vaikka saisi semmoisen joukon väsättyä mihin sisältyy tietynlaiset äärettömät osajoukot...

Vierailija

Jos otetaan sellaiset luonnollisten lukujen osajoukot, joissa on käytetty vain osaa numeroista, esimerkiksi 0-4 (silti 10-järjestelmässä), onko joukon mahtavuus silti yhtä suuri, kuin reaalilukujen? Entä, jos otetaan reaalilukujen joukko, josta on otettu pois jotain lukuja, esim rationaaliluvut ja transkendenttiluvut?

Vierailija
Massi^-
Jos otetaan sellaiset luonnollisten lukujen osajoukot, joissa on käytetty vain osaa numeroista, esimerkiksi 0-4 (silti 10-järjestelmässä), onko joukon mahtavuus silti yhtä suuri, kuin reaalilukujen?



Tarkoitatko lukuja, joissa esiinty vain numerot välillä 0 ja 4? Eli siis: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21... Nämähän voitaisiin helposti samaistaa alkuperäisiin luonnollisiin lukuihin ja saataisiin sama tilanne uudelleen: 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 4 = 4, 10 = 5, 11 = 6...

Massi^-
Entä, jos otetaan reaalilukujen joukko, josta on otettu pois jotain lukuja, esim rationaaliluvut ja transkendenttiluvut?

Luulisin, että poistettaessa numeroituva määrä alkioita numeroitumattomasta(?) joukosta, joukko pysyy numeroitumattomana. Pitää tarkistaa. Toinen CH:n esitysmuoto on:

Mikä tahansa joukon reaalilukuja mahtavuus on äärellinen, sama kuin luonnollisten lukujen eli numeroituva tai sama kuin reaalilukujen.

Edit: Pitää myös miettiä noita transkendenttilukuja.

Vierailija
zat
Toisaalta kumoamiseen tarvitaan ainoastaan vastaesimerkki. Ehdotuksia, palstalaiset? :wink:

Koska kontinuumihypoteesi on joukko-opin aksioomista riippumaton, ei vastaesimerkkiä ole olemassa. Tämä tietenkin sillä oletuksella, että joukko-oppi on ristiriidaton järjestelmä ;-)

Massi^-
Entä, jos otetaan reaalilukujen joukko, josta on otettu pois jotain lukuja, esim rationaaliluvut ja transkendenttiluvut?

Jos poistetaan reaaliluvuista rationaaliluvut, jää jäljelle ylinumeroituva irrationaalilukujen joukko. Transkendenttiluvut poistamalla jäljelle jää algebrallisten lukujen joukko, joka on vain numeroituva.

Hieman OT: Kumpi on oikein, "transkendenttinen" vai "transsendenttinen"?

Vierailija
Samuli
Koska kontinuumihypoteesi on joukko-opin aksioomista riippumaton, ei vastaesimerkkiä ole olemassa. Tämä tietenkin sillä oletuksella, että joukko-oppi on ristiriidaton järjestelmä

On paljon asioita, jotka ovat riippumattomia joukko-opin aksioomista. Silti ne voivat olla totta tai ei.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat