Ääretön/ääretön

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Ääretön/ääretön= x

Määrittäkää x. Te tiedätte kuitenkin matematiikan " virallisen kannan" tuohon.

Sivut

Kommentit (58)

Vierailija

ääretön/ääretön ei sellaisenaan ole määritelty. Jos äärettömyydet ovat tulleet jostain raja-arvona, saadaan usein tulos muokkaamalla lauseke johonkin toiseen muotoon, josta äärettömyydet saadaan pois.

Vierailija

Jos halutaan käyttää ääretöntä laskuissa eikä haluta loogisia ristiriitoja, on se määriteltävä tietyllä tavalla. Mitään ääretön jaettuna äärettömällä ei voida määritellä.

Esimerkki: ( a > 0 )

lim (x -> 0+) [ (a / x) / (1 / x) ] = ääretön / ääretön = ?

Toisaalta:

lim (x -> 0+) [ (a / x) / (1 / x) ] = lim (x -> 0+) [ a / 1 ] = a

Vierailija

Oikea sana lienee määrittelemätön.

Teillä, jotka puhutte lukuisista vieläpä erikokoisista äärettömyyksistä,
ei ole hajuakaan mikä äärettömyys on.

Vierailija

...ei kukaan ole puhunut erikokoisista äärettömyyksistä...kiva asenne teillä, kun pitää päästä vittuilemaan muille.

Eikä minullakaan ollut mitään lisättävää tähän ketjuun, minut voinee bannata.

Vierailija

Mennäänpä ongelmaan reaalimaailman kautta. Avaruuden ääretön kolmiulotteinen tila. Siinä on ääretön määrä myös ainetta. Vaan tämä ainene määrähän, tilan täytön määrä, on keskimääräsuhteessa tilan äärettömyyteen. Varmaan hyvin riittää, kun nähdyltä vajaan 13 miljardin
valovuoden säteiseltä alueelta laskemme kaiken aineen ja sitten sen suhteen neliövalovuosien tilaan. Suhde massana tai tilavuusyksikköinä
tilan melkoisen suureen lukuun. Samoin voimme laskea potentiaalisen ja vapaana olevan elii liikkuvien hiukkasten suhteen tilavuuteen.

Yleisestikin ääretön/ ääretön on jokin täsmäluku, kylläkin ongelmana aina ensin x. Alamme johtaa, äärellsistä luvuista kummankin äärettömyyden osaluvuista a ja b

x = a:b eli ääretön/ ääretön on a:b tai voimme merkiten äärettömät kirjaimin A:B = a:b. Jotta x olisi mahdollsimman täsmäävä, a:n suhteessa
A:han ja b:n suhteessa B.hen pitää olal mahdollisimman edustava.
Eli ainene ja avaruuden tilankin tapauksessa otimme suurimman todetun määrän ainetta ja vastaavaa avaruustilaa.

Matemaatikkojen kannalta tuon johtelun kehittämisessä pitäväksi todistukseksii voi olla kehittelemistä. Kuitenkin x siis suhteesta
ääretön/ääretön on täsmäluku, se on varsin varmaa. Sen sijaan ongelma tulee siitä, ovatko määrittelyyn käytetyt äärelliset osajoukot äärettömyyksiinsä nähden riittävän edustavia. Jos ei, suhdetta
ääretön/ääretön ei voida tarkasti määrittää, eli tulos silloin, kuten
aikanani vanhassa koulussa opetettiin, on epämääräinen.

Lisäys. Äärellinne osajoukko edsutaa ääretöntä koko joukkoaan, jos molemmat ovat samalla tavoin tiheitä eli jaoltaan samalla tavoin homogeenisia.

Vierailija

Yksinkertaista: ∞/∞ on tietysti 1. ∞-∞ on puolestaan 0 ja ∞+∞=2∞.
Sitäpaitsi ∞+1 on enemmän kuin ääretön. ∞*∞=∞^2 paljonkos on ∞^∞???

pöhl
Seuraa 
Viestejä878
Liittynyt19.3.2005

Yleensä äärettömyyttä käsitellessä on sovittava laskusäännöt. Koska ääretön ei ole reaaliluku, ei äärettömyydelle voi suoraan sanoa vaikkapa, että 0+ääretön=ääretön, vaikka 0+x=x kaikilla reaaliluvuilla. Matemaatikkona minä voin tarpeen mukaan sopia äärettömyyden laskusäännöt siten, että saan järkeviä tuloksia. Yleensä määrittelen laajennettuun reaalilukujoukkoon äärettömälle ehdot, että se on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku, ääretön+ääretön=ääretön, x+ääretön=ääretön kaikilla reaaliluvuilla x, jos x>0, on x*ääretön=ääretön ja niin edelleen.

Vierailija
Puuhikki
Yleensä äärettömyyttä käsitellessä on sovittava laskusäännöt. Koska ääretön ei ole reaaliluku, ei äärettömyydelle voi suoraan sanoa vaikkapa, että 0+ääretön=ääretön, vaikka 0+x=x kaikilla reaaliluvuilla. Matemaatikkona minä voin tarpeen mukaan sopia äärettömyyden laskusäännöt siten, että saan järkeviä tuloksia. Yleensä määrittelen laajennettuun reaalilukujoukkoon äärettömälle ehdot, että se on suurempi kuin mikä tahansa reaaliluku, ääretön+ääretön=ääretön, x+ääretön=ääretön kaikilla reaaliluvuilla x, jos x>0, on x*ääretön=ääretön ja niin edelleen.

Aivan, näin on. Eli kun on tarvis käsitellä äärettömyyksiä "tavallisten" reaalilukujen kera eikä niinkään Cantorin transfiniittisten joukkojen tapaan, niin yleensä käytetään lukualueena ns. laajennettua reaalilukujen joukkoa (extended reals), siis joukkoa [−∞, +∞]. Tässä pätee mm. a+∞=∞ ja a/∞=0 mutta useimmiten lausekkeet tyyppiä ∞-∞ ja ∞/∞ jätetään kuitenkin määrittelemättä kyseisessä laajennuksessa.

Vierailija
Ikonen
Yksinkertaista: ääretön/ääretön on tietysti 1. ääretön-ääretön on puolestaan 0 ja ääretön+ääretön=2ääretön.
Sitäpaitsi ääretön+1 on enemmän kuin ääretön. ääretön*ääretön=ääretön^2 paljonkos on ääretön^ääretön?

Kirjan Pyramidi 3 mukaan (Luku 3.4, sivu 56)
ääretön/ääretön ei ole määritelty
ääretön-ääretön ei ole määritelty
ääretön+1 = ääretön
ääretön+ääretön = ääretön
ääretön*ääretön = ääretön

Kuten Puuhikki totesi, ääretön ei ole reaaliluku, joten sille on sovittu tietyt laskusäännöt. Luulisin, että

ääretön^ääretön = ääretön*ääretön*ääretön*... = ääretön

Korvasin ääretön-merkin sanalla ääretön, koska koneeni ei tue sitä.

Vierailija

Ovatkohan nämä Ikosen viestit pelkkää trollausta, vai etkö vain käsitä että koska ääretön EI OLE REAALILUKU, sille ei päde reaalilukujen aksioomat. Viestisi lausekkeet eivät yksinkertaisesti ole määriteltyjä.

Vierailija
Liittynyt
Oikea sana lienee määrittelemätön.

Teillä, jotka puhutte lukuisista vieläpä erikokoisista äärettömyyksistä,
ei ole hajuakaan mikä äärettömyys on.


No ei ihan näinkään.

Joukoilla on erilaisia MAHTAVUUKSIA. Yksinkertaisimmillaan jos A="omena ja päärynä" ja B="omena, päärynä ja appelsiini", niin joukko B on mahtavampi, kuin joukko A, koska joukkoon B kuuluu enemmän alkioita.

Myös äärettömät joukot voivat erota mahtavuudeltaan toisistaan. Helpoimmat näistä tapauksista ovat ne, joissa toinen ääretön joukko on numeroituva ja toinen ääretön joukko ylinumeroituva.

Numeroituva joukko tarkoittaa sitä, että joukon alkiot voidaan asettaa jonoon, ja periaatteessa jokaiselle joukon alkiolle voidaan määrittää järjestysluku, monentenako ko. alkio on tässä jonossa. Esim luonnollisten lukujen joukko on numeroituva. Luonnolliset luvut voidaan laittaa jonoon esim 0,1,2,3,... ja minkä tahansa luonnollisen luvun voidaan todeta olevan tässä jonossa.

Ylinumeroituva joukko taas tarkoittaa sitä, ettei tällaista jonoa voida konstruoida. Esimerkki ylinumeroituvasta joukosta olkoon vaikka reaalilukujen joukko.

Tällöin siis reaalilukujen joukon mahtavuus on suurempi kuin luonnollisten lukujen joukon mahtavuus, vaikka molemmat ovat äärettömiä joukkoja.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat