Monen kappaleen ongelma

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Nyt juon viinaa. Vituttaa. Se on henkilökohtaisesta

Kahden kappaleen ongelma:
http://cc.oulu.fi/~tf/tiedostot/pub/analmek/luennot/monam.pdf sivu 15 -

Vapaiksi muuttujiksi valitaan R ja r. R on massakeskipiste ja r on "r".

Kolmessa kappaleessa voidaan valita samanlailla koordinaatit: R12, R13 ja R23.

Päädytään samankaltaiseen riippumattomien muuttujien yhtälöön. Koordinaatistossa R12+R13+R3=0 on kolme kahden kappaleen ongelmaa.

Runttapalli sentään kun saan kuvilla elliptisiä pötkylöitä jotka näyttävät ihan oikeilta...

Mutta voihan mahdoton. Systeemi ei toimi mielivaltaisilla massoilla.

Nyt on tosi kyseessä. Kuinka vapaita ovat Lagrangen "vapaat koordinaatit".

Otan kossua ja jätän kaikki muut tekemättä ja mietin tätä.

ps. Siis saan analyyttisesti kipaleet menemään sinne minne niiden pitäisi. Melkein. Hommassa on jokin kusi. Se on tossa vapaudessa veikkaisin, Lagrangen vapaudessa valita koordinaatit miten haluaa... pah

ps2. Ja itseasiassa aivan sama. Mitä vitun väliä on miettiä mitään. Itsetunnon kohotukseksi?. Äh. Mä taidan melankolisoitua täysin. Taidan olla vain joku joka kertoo jotain. Ennenkaikkea taidan olla hiljaa siihen asti kunnes huomaan olenko väärässä vai oikeassa. Vitsi kun nyt näyttää että olen oikeassa, mutta todellisuus on se joka lyö vasaralla päähän.

Idea hyvä, toteutus toimiva, todellisuus todistaa... (Ja nyt ei toimi)

ps3. Siihen asti yritän kunnes huomaan että idea on täysin mahdoton. Nyt olen parametrisoinut r:n kulman funktiona, mutta huomasin että "pienellä jipolla" voin vääntää r:n ajan funktioksi. (Normaalisti kahden kappaleenkin ongelmassa r ajan funktiona on aika kimurantti).

Hullulla hauskat huvit. Kaikenlaisilla eksentrisyydisillä radoilla saan aikaan käppyröitä jotka ovat "todellisia". Verlet-Method sanoo toista.

Jeesus ku otan viinaa ja mietin huomenna tätä lisää (tai ylihuomenna)

ps4. Oli pakko päästä kertomaan tää tarina monen kappaleen ongelmasta ja Lagrangen muuttujien vapaudesta.

Ei maha mitään, päissään ollaan

Sivut

Kommentit (30)

Vierailija
Harhatien opiskelija
Nyt juon viinaa. Vituttaa. Se on henkilökohtaisesta

Kahden kappaleen ongelma:
http://cc.oulu.fi/~tf/tiedostot/pub/analmek/luennot/monam.pdf sivu 15 -

Vapaiksi muuttujiksi valitaan R ja r. R on massakeskipiste ja r on "r".

Kolmessa kappaleessa voidaan valita samanlailla koordinaatit: R12, R13 ja R23.

Päädytään samankaltaiseen riippumattomien muuttujien yhtälöön. Koordinaatistossa R12+R13+R3=0 on kolme kahden kappaleen ongelmaa.

Runttapalli sentään kun saan kuvilla elliptisiä pötkylöitä jotka näyttävät ihan oikeilta...

Mutta voihan mahdoton. Systeemi ei toimi mielivaltaisilla massoilla.

Nyt on tosi kyseessä. Kuinka vapaita ovat Lagrangen "vapaat koordinaatit".

Otan kossua ja jätän kaikki muut tekemättä ja mietin tätä.

ps. Siis saan analyyttisesti kipaleet menemään sinne minne niiden pitäisi. Melkein. Hommassa on jokin kusi. Se on tossa vapaudessa veikkaisin, Lagrangen vapaudessa valita koordinaatit miten haluaa... pah

Tiedä tuosta en. Kokeile numeerisesti ja vertaa analyyttisen ratkaisun
tuloksiin. Numeerisesti tuo on helppo ohjelmoida. Kokeilin kolmen
kappaleen ongelmaa taskutietokoneella (niitä ekoja joskus -83-85).
Aikaintervallia pienentämällä virhe näytti lähestyvän nollaa.
Luulisi nykykoneilla suht tarkan ratkaisun onnistuvan silmänräpellyksessä.

Kossua? Sehän on laimennettua pesuainetta.

Vierailija
AJT
Tiedä tuosta en. Kokeile numeerisesti ja vertaa analyyttisen ratkaisun
tuloksiin. Numeerisesti tuo on helppo ohjelmoida. Kokeilin kolmen
kappaleen ongelmaa taskutietokoneella (niitä ekoja joskus -83-85).
Aikaintervallia pienentämällä virhe näytti lähestyvän nollaa.
Luulisi nykykoneilla suht tarkan ratkaisun onnistuvan silmänräpellyksessä.

Kossua? Sehän on laimennettua pesuainetta.

Numeerisestihan testailen... Verletiä pukkaan ja tulokset ovat samankaltaisia mutta HARMITTAVASTI erilaisia. Sequensy toimii mutta jokin on jeesuksen perseestä.

Ennenkaikkea haistatan vitut numeerisille ratkaisulle... Mulla on analyyttinen ratkaisu joka ei toimi mutta antaa jotain. Perkele kaivan persettäni niin syvälle että huomaan mahdottomuuden tai mahdollisuuden.

ps. Anteeksi herkkähipiäset

Vierailija

Nyt kun olen juonut palttiarallaa 8/9 osan kossupullosta niin en voi muuta kuin pahoitella.

Mitään muuta en pahoittele kuin kielenkäyttöäni.

Hullunhauskaa ideaani en todellakaan pahoittele. Se vain ei toimi nykyään.

Sen kun tietäis miksi se ei toimi.

Filosofiaa:Lagrangen mekaniikka antaa vapauden valita. Minkä helvetin takia valintani ei ole oikein?

Terve Hamilton. Säilyykö Energia?. No sopivilla Lagrangen koortinaateilla säilyy.

Kuinka vapaa on koordinaattien valinta? Nyt ei säily mikään muu kuin juopunut krapula.

Tiedän, syvissä vesissä uin. Mutta perkele kun mietityttää.

Vierailija

"Sundman lähestyi kolmen kappaleen ongelmaa valitsemalla liikeyhtälöihin uuden apumuuttujan, joka oli ajan ja paikkavektorien funktio. Tällä regularisoinnilla vältettiin mm. lähekkäisissä kohtaamisissa syntyviä singulaarisia tilanteita. Vaikka yhtälöiden asteluku apumuuttujan myötä kasvoikin yhdellä, tulivat ne samalla yksinkertaisemmiksi.

Idea ei toki ollut uusi, mutta Sundman pystyi osoittamaan, että apumuuttujan potenssien mukaan esitetty sarjakehitelmä suppeni kaikilla ajanhetkillä ja että tästä kehitelmästä saatiin kullekin ajanhetkelle myös paikkavektorit. Äärettömät sarjat eivät sovellu käytännön laskuihin, esimerkiksi efemeridien määräämiseen, mutta tuloksilla on huomattava teoreettinen merkitys"

http://www.astro.helsinki.fi/vaiheet/10.html

Tässä linkissä on myös hyviä juttuja

http://www.astro.helsinki.fi/seminars/e ... lisuus.pdf

Tässä taitaa olla jo vähän tuhdimpaa tavaraa

http://users.tkk.fi/~jblumme/raportti.pdf

Vierailija
Harhatien opiskelija
Nyt kun olen juonut palttiarallaa 8/9 osan kossupullosta niin en voi muuta kuin pahoitella.

Mitään muuta en pahoittele kuin kielenkäyttöäni.

Hullunhauskaa ideaani en todellakaan pahoittele. Se vain ei toimi nykyään.

Sen kun tietäis miksi se ei toimi.

Filosofiaa:Lagrangen mekaniikka antaa vapauden valita. Minkä helvetin takia valintani ei ole oikein?

Terve Hamilton. Säilyykö Energia?. No sopivilla Lagrangen koortinaateilla säilyy.

Kuinka vapaa on koordinaattien valinta? Nyt ei säily mikään muu kuin juopunut krapula.

Tiedän, syvissä vesissä uin. Mutta perkele kun mietityttää.

Ratkaisu yön aikana löytyy. Jos ei liikaa pesuainetta veressä ole.
Silloin ratkaisun etanoli sumentaa.

V***tut. Kännissä olla taidan. Ihan vaan bissestä. Ja amusella
ajamaan lähteä täytyy. Ei onneksi ihan aikaisin. Täytynee mennä
huilimaan.

totinen
Seuraa 
Viestejä4876
Liittynyt16.3.2005

Löysin vastikään artikkelin jossa sanottiin että joku on kehittänyt mekaniikassa esiintyvä useamman kappaleen ongelmalle samantyyppisen ratkaisun kun on standardiratkaisuna kvanttikenttäteorissa. Olen yrittänyt löytää artikkelia, mutta se ei näytä olevan siinä verkkojulkaisussa missä muistin sen olevan. Alunperinkin löysin netistä vain kaksi mainintaa siitä enkä ole löytänyt enää muistamillani hakusanoilla.

David
Seuraa 
Viestejä8875
Liittynyt25.8.2005
Harhatien opiskelija
Nyt juon viinaa. Vituttaa. Se on henkilökohtaisesta

Kahden kappaleen ongelma:
http://cc.oulu.fi/~tf/tiedostot/pub/analmek/luennot/monam.pdf sivu 15 -

Vapaiksi muuttujiksi valitaan R ja r. R on massakeskipiste ja r on "r".

Kolmessa kappaleessa voidaan valita samanlailla koordinaatit: R12, R13 ja R23.

Jos haluat ratkaista sen, käytä objektien ominaisuuksia ja kenttävuorovaikutuksia hyväksi ja unohda se aika-avaruus.

Vierailija

Hohhjoijaa. Tulipa kirjoitettua perjantai-iltana liikuttuneessa olotilassa vähän joutavanpäiväistä. Kielenkäyttöä pahoittelen.

Monen kappaleen ongelma on ongelma edelleen. Näin selvinpäinkin nuo käppyrät pyörivät "niinkuin niiden pitää". Pyörivät samankaltaisesti mitä todellisuudessa, mutta harmittavasti erilailla.

Nojoo. Taitaapa olla sellainen ongelma joka ei minun järjellä ratkea, mutta pitää vielä jonkun aikaa fundeerata.

Harmittaa tuo päitynyt kirjoittelu. (Tai no ei harmita mutta kielenkäyttöä pahoittelen toistamiseen).

Vierailija

Muistan lukeneeni, että kolmen kappaleen ongelmaan ei ole olemassa analyyttistä ratkaisua (ainakaan nykyisellä matematiikalla).

Vilkaisin vähän tuota kahden kappaleen ongleman pdf-tiedostoa ja näytti aivan käsittämättömältä. Onko se oikeasti niin vaikeata? (Olen suorittanut lukion matematiikan kurssit 1-7 (kaikista 10) ja fysiikan kurssit 1-5 (10 ja 9 vuorotellen).)

Vierailija
Massi^-
Muistan lukeneeni, että kolmen kappaleen ongelmaan ei ole olemassa analyyttistä ratkaisua (ainakaan nykyisellä matematiikalla).

Tämä on tiedossa, mutta hakkaan kuitenkin vielä jonkun aikaa päätäni seinään. Mainitsit että olit saanut hyvät arvosanat fysiikasta ja matematiikasta. Jos meinaat mennä yliopistoon lukemaan fysiikkaa, huomaat että Lagrangen & Hamiltonin formuloima tapa lähestyä Newtonin mekaniikkaa on erittäin käytännöllinen.

Mutta sitten itse asiaan.

Kahden kappaleen ongelman diffis jossa ei ole kulmaliikettä voidaan kirjoittaa muotoon (vakioita en jaksa kirjoitella kovin tarkasti):

r''=k/r^2

Haen tälle yhtälölle periodista ratkaisua. Fysikaalisesti siis kipaleet lähestyvät, törmäävät, loittonevat, lähestyvät, törmäävät... (ja törmäys on täysin kimmoinen).

Ensimmäinen tapa (huonoin tapa) on separoida jolloin saadaan jotain muotoa

r^4=k t^2+C

oleva yhtälö. Tämä ei selvästikään ole periodinen.

Toinen tapa on käyttää Hamiltonia ja energian säilymistä:

dr/dr=k Sqrt(1/r-1/r0)

jolloin r''=d/dt(dr/dt)=A/r^2

Ratkaisu saadaan sijoittamalla r/ro=sinh^2 k ja itse ratkaisu on

r+sinh(r)=kt+C

Mutta keinonen sentään, tämäkään ei ole periodinen muutenkuin integroimalla erikseen positiivisen ja negatiivisen r:n suuntaan -> tarvitaan ei matemaattista päättelyä että saadaan kipaleiden liike määrättyä.

Kun ajattelen yhtälöä

r''=k/r^2

ja sitä että tällaisille diffiksille on yleensä hillittömän monta ratkaisua, niin ei voi muuta kuin hakata päätä seinään kun en ole löytänyt sellaista r(t):tä joka olisi periodinen.

Matemaattisestihan on mahdollista että törmäystä ei tapahdu vaan kappaleet heiluvat periodisesti (mennen toistensa läpi).

Ongelma ratkaisussa

r+sinh(r)=kt+C

on se että r:ää ei voida ilmoittaa t:n funktiona alkeisfunktioiden avulla. Ja pirulauta kun tarvitsisin sellaisen funktion jolla olisi käänteisfunktio.

Voi olla että periodista ratkaisua ei ole, mutta jos joku tietää sen, ilmoita ihmeessä.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Harhatien opiskelija

Kahden kappaleen ongelman diffis jossa ei ole kulmaliikettä voidaan kirjoittaa muotoon (vakioita en jaksa kirjoitella kovin tarkasti):

r''=k/r^2

Haen tälle yhtälölle periodista ratkaisua. Fysikaalisesti siis kipaleet lähestyvät, törmäävät, loittonevat, lähestyvät, törmäävät... (ja törmäys on täysin kimmoinen).

Jotta ne kappaleet voisivat törmätä, niin kaipa tuon yhtälön oikealla puolella pitäisi olla joku toinenkin voimatermi, joka vaikuttaisi vain pienillä r:n arvoilla ja lisäksi vastakkaiseen suuntaan kuin 1/r^2 termi. Eli mahdollinen DY voisi olla

r'' = -k/r^2 + a/r^n

missä n on suurempi kuin 2 (mitä suurempi n, sen "kovempi" törmäys). Suurilla r:n arvoilla 1/r^2 termi dominoi, joten voima pyrkii vetämään kappaleita toisiaan kohti (huomaa - -merkki k:n edessä), kun taas pienillä r:n arvoilla 1/r^n dominoi ja pompauttaa kappaleet loitommalle toisistaan (= "törmäys"; huomaa + -merkki a:n edessä). Ongelmana on taas se, ettei analyyttistä ratkaisua taida löytyä... Vielä mahottomampi taitaisi olla joku paloittain määritelty "törmäysvoima" tyyliin F = inf kun r on pienempi kuin R ja nolla muuten.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

Eipä tuohon Newtonin lakiin kovin paljoa parane lisäillä ylimääräisiä voimatermejä...

Tämä x+sinhx=kt antaa oikeita arvoja.

Esim. törmäysaika kun alkuhetkellä t=0 ja r=r0 -> lopussa t=t r=0,

t=1/k( r0+sinh (r0))

Ja jos törmäys on kimmoinen, sama aika menee takaisintullessa...

Mutta edelleen matemaattisesti on mahdollista että törmäystä ei tapahdu joten tuloksena pitäisi olla periodinen liike.

Ja vielä edelleen: Kaksi kipaletta törmäävät toisiinsa jos mitään muita voimia ei ole kuin Newtonin gravitaatio näiden välillä ja alkutilanne on staattinen.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Harhatien opiskelija
Eipä tuohon Newtonin lakiin kovin paljoa parane lisäillä ylimääräisiä voimatermejä...

Taisin ymmärtää väärin sen, mitä tarkoitit "törmäämisellä". Perinteisessä mielessä kun kaksi kappaletta törmäävät, niin kosketuspinnat aiheuttavat törmäyshetkellä/-aikana voiman jonka antaman impulssin turvin kappaleet sitten singahtavat takaisin tulosuuntiinsa (jos tapahtuu suora nokkakolari). Jos mallissasi kappaleiden välillä vaikuttaa koko ajan vain gravitaatio, niin kappaleet kyllä kohtaavat toisensa, mutta humpsahtavat vain toistensa läpi. Tällaisessa tilanteessa systeemillä ON kulmaliikettä: hetkeä ennen törmäystä \theta on (esim.) nolla, hetki sen jälkeen se on \pi.

Jos kappaleiden paikkoja merkitään x1 ja x2 (1-dim liike), ja määritellään x = x1-x2, niin

x'' = -kx/|x|^3

missä x on vuoron perään positiivinen ja negatiivinen.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

Kyllä kyllä. Ja tuolle yhtälöllesi (yhtälölleni) yritän löytää periodista ratkaisua.

Ratkaisun ei tarvitse olla fysikaalisesti mielekäs - kunhan se toteuttaa kyseisen yhtälön.

ps. Mutta eipä siinä. Vaikka tuo ratkaisu löytyisikin, seuraavat integraalit ovat vähintäänkin triplasti pahempia... mutta saahan sitä analyyttistä ratkaisua etsiä...

ps2: Ja höh, mikään sinun tai minun yhtälö toi ei ole, Newtonihan se ton pukkasi maailmaan.

ps3.

hmk
Tällaisessa tilanteessa systeemillä ON kulmaliikettä...

Tätä olen yrittänyt miettiä. Periaatteessa sillä on kulmaliikettä vain törmäyshetkellä (läpihumpsahtamishetkellä). Muulloin sillä ei ole kulmaliikettä. Periaatteessa siksi että läpihumpsahtamishetkellä kulmaliike on ääretön.

Mutta jos plottaa r:n ja antaa itsellensä ymmärtää että ne todellakin menevät toistensa läpi, homma on periodinen. Suoranaisesti kulmaliikettä ei mielestäni voi soveltaa tähän.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Harhatien opiskelija
Kyllä kyllä. Ja tuolle yhtälöllesi (yhtälölleni) yritän löytää periodista ratkaisua.

Ratkaisun ei tarvitse olla fysikaalisesti mielekäs - kunhan se toteuttaa kyseisen yhtälön.

Joo, sori. Minusta ei kyllä taida olla tässä apua...

Tuo x + sinh(x) = kt + C ei kyllä mielestäni voi olla oikea ratkaisu. Nimittäin derivoimalla t:n suhteen saadaan
x' + cosh(x)*x' = k, mistä x' = k/(1 + cosh(x)). Siis kohtaamishetkellä (x = 0) x' = k/2. Mutta energian säilymislaista seuraa x'(x=0) = inf, sillä kin. energian täytyy kompensoida (-)ääretön pot. energia origossa.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat