Seuraa 
Viestejä45973

kaava F = G * m_1 * m_2 / r^2 olettaa massat pistemäisiksi, jolloin se ei anna oikeaa tulosta esim. maapallon sisällä vaikuttavisa voimista. Kuinka suuren kiihtyvyyden maapallo kohdistaa kappaleeseen, joka on etäisyydellä x maapallon keskipisteestä, jos oletetaan, että maapallo on homogeeninen (tiheys vakio)? Ainakin kun x = 0 m, a = 0. Integroimallahan tuo tulee, mutta en osannut muodostaa oikeaa lauseketta..

Olisi kiva tietää tuo funktio a(x).

Sivut

Kommentit (67)

Paul M
Seuraa 
Viestejä8643

Keskipisteessä on painovoima nolla, mutta paine on jotain muuta.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
bosoni
Seuraa 
Viestejä2704

Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa. Maan sisällä siis vetovoimaa aiheuttaa vain se "alle jäävä pallo". Verrannollisuuksia tutkimalla saat vastauksen, että painovoima pienenee lineaarisesti keskelle päin mentäessä.

Tuosta onkin jo helppo päätellä, että kappaleeseen vaikuttava voima on

F=x/R*mg, missä R on maan säde.

Ja tämä siis oletuksella, että tiheys olisi vakio. Oikeastihan se ei ole vakio.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Hmm... tällä tavalla asiaa saa vähän yksinkertaistettua (kait). Eli siellä sisällä ollessa tilanne vastaa sitä, että kun ollaan pisteessä A, ja maapallon keskipiste on pisteessä O, niin kuvitellaan taso, joka on kohtisuorassa janaa AO vastaan, ja kulkee pisteen A kautta. Sitten sen pallon osa, joka on tason yläpuolella (jos piste O on tason alapuolella), "peilataan" sen tason suhteen, ja pallosta vähennetään se tason yläpuolinen osa. Tällöin saadaan sellainen vähän oudon muotoinen kappale, jonka aiheuttama vetovoima pitäisi saada laskettua.

Jokin kumma integraali se on, mutta...

Bosoni
Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa. Maan sisällä siis vetovoimaa aiheuttaa vain se "alle jäävä pallo".

"Ulkopuolelle/päälle jäävä pallo" aiheuttaa vastakkaisen voiman, joka kumoaa ytimeen päin vetävää voimaa. Seki pitäis ottaa huomioon, eikö?
________________________________________________________________

[ydin]---------------------[mittauskohta]¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Erkkimon

"Ulkopuolelle/päälle jäävä pallo" aiheuttaa vastakkaisen voiman, joka kumoaa ytimeen päin vetävää voimaa. Seki pitäis ottaa huomioon, eikö?

Ei aiheuta. Symmetriasyistä onton pallon sisällä on täysin painotonta joka kohdassa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

H
Seuraa 
Viestejä2622
msdos464
Hmm... tällä tavalla asiaa saa vähän yksinkertaistettua (kait). Eli siellä sisällä ollessa tilanne vastaa sitä, että kun ollaan pisteessä A, ja maapallon keskipiste on pisteessä O, niin kuvitellaan taso, joka on kohtisuorassa janaa AO vastaan, ja kulkee pisteen A kautta. Sitten sen pallon osa, joka on tason yläpuolella (jos piste O on tason alapuolella), "peilataan" sen tason suhteen, ja pallosta vähennetään se tason yläpuolinen osa. Tällöin saadaan sellainen vähän oudon muotoinen kappale, jonka aiheuttama vetovoima pitäisi saada laskettua.

Jokin kumma integraali se on, mutta...


Aika monimutkaista. Koita mielummin laskea ensin r säteisen renkaan m=2*pi*r*rho*dA vetovoima. Sitten r säteinen taso (r käy 0 -> r). Sitten pallo r=Rcosa. (a käy -90 -> 90).

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
msdos464
Likiarvon saisi, kun arvioisi sen pallon koostuvan vaikka 1000 sylinteristä. Voisi laskea laskimella tuon...

Miksi pitää integroida. Miksei tuo päättelyni kelpaa? Voin laittaa sen "verrannollisuuksia tutkimalla" osuudenkin, jollei ole mitään periaatteellista vastustusta.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

bosoni
msdos464
Likiarvon saisi, kun arvioisi sen pallon koostuvan vaikka 1000 sylinteristä. Voisi laskea laskimella tuon...



Miksi pitää integroida. Miksei tuo päättelyni kelpaa? Voin laittaa sen "verrannollisuuksia tutkimalla" osuudenkin, jollei ole mitään periaatteellista vastustusta.



Eli siis tämä:

Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa.



Siis... oletatko, että se ontto pallo on samalla massaton, vai onko se vain äärettömän ohutseinäinen? Miksi tuo oletus pitäisi paikkansa?

Oletaan, että olen siis tyhjässä avaruudessa planeetan pinnalla, jonka kuori on vain 10 cm paksuinen. Sen pinnalla on tietenkin painovoima, koska planettalla on massaa (oletetaan säde ja massa samaksi kuin maalla).

No, jos teen siihen kuoreen reijän, ja menen vaikka 5 m syvälle sen pallon sisälle, niin väitätkö, että olisin silloin painottomassa tilassa?

Maan sisällä siis vetovoimaa aiheuttaa vain se "alle jäävä pallo"



Ei sinne alle jää kokonaista palloa, ja yläpuolelle tulee massaa, joka vetäisi minua ylöspäin.

Verrannollisuuksia tutkimalla saat vastauksen, että painovoima pienenee lineaarisesti keskelle päin mentäessä.

Hmm... tuntuu oudolta, että se pienenisi lineaarisesti. No onhan pallo tietysti melko symmetrinen kappale, mutta odotin jotain... a(x) = (1-(x/R)^n)g muotoista (n siis ainakin yli kahden).

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
msdos464

Eli siis tämä:

Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa.



Siis... oletatko, että se ontto pallo on samalla massaton, vai onko se vain äärettömän ohutseinäinen? Miksi tuo oletus pitäisi paikkansa?

[/quote]

Se pitää paikkaansa minkäpaksuisella pallolla tahansa. Koko ontossa alueessa todella on painoton tila, eikä edes tiheyden tarvitse olla vakio. Pallosymmetrinen tietenkin pitää olla.

Jos ilman kaavoja haluaa hakea analogian, niin voi ajatella vaikka tapausta, jossa metallipalloon tuodaan varaus. Koska johteessa varaukset pääsevät liikkumaan vapaasti, niin varaukset asettuvat siten, että kaikki varauksia liikuttelevat sähkökentät kumoutuvat johteessa. Tiedetään, että ne asettuvat johdekappaleen pinnalle, ja pallon tapauksessa tietysti täysin pallosymmetrisesti. koko pallon sisällä sähkökenttä on siis 0, kun varukset ovat pinnalla tasaisesti jakautuneena.

Varauksen aiheuttama sähkökenttähän on matemaattisesti täysin samaa muotoa kuin gravitaatiolailla, joten pinnalle vietyjen massojen aiheuttama gravitaatio on myös nolla joka kohdassa pallon sisällä. (eli ontto pallo gravitaation tapauksessa) Nyt sitten vain kasaat tällaisia kuoria päällekkäin, ja kaikkien kuorien aiheuttama painovoimakenttä on tasan 0 joka kohdassa onttoa aluetta, vaikka pallon kuori olisi nyt paksukin.

Eli nyt päädyttiin siis analogian kautta ilman matematiikkaa siihen, että pallon sisällä vain se "alle jäävä" pallo vaikuttaa vetovoimallaan.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

msdos464

Oletaan, että olen siis tyhjässä avaruudessa planeetan pinnalla, jonka kuori on vain 10 cm paksuinen. Sen pinnalla on tietenkin painovoima, koska planettalla on massaa (oletetaan säde ja massa samaksi kuin maalla).

No, jos teen siihen kuoreen reijän, ja menen vaikka 5 m syvälle sen pallon sisälle, niin väitätkö, että olisin silloin painottomassa tilassa? :shock:

Et ilmeisesti ole newtonisi oikein kunnolla lukenut. Siis homogeenisen pallon sisällä olevaan kappaleeseen vaikuttaa ainostaan sen alapuolen sijaitseva massa. Tästä seuraa siis, että onton pallon sisäpuolella (missä siis kaikki massa on keskittynyt kuoreen) ei ole painovoimaa.

Gravitaatio ei ole vain painovoimaa, vaan se on kaksisuuntaista, siis sekä veto- että painovoimaa. Syntyä kumminkin tarkastellaan lähteestä, eli tulee tarkastella lähtevänä vetovoimana. Painovoima on siruiksi jälleen osittuneiden gravitonien paluuvirta.

Gravitaatiovaikutus avaruudessa yleisesti ja varsin suurilla etäisyyksillä tehtäneen lähdemassan keskipisteestä. Kun tullaan lähelle lähdemassaa,
etäsiyys on vedettävä pinnasta. Maan aiheuttama vetovoimakiihtyvyys siis sen pinnassa noin 9.8 m/s^2. Kun etäisyydestä seuraa vaikutusalan
kasvaminen pintana, vetovoima siis heikkenee suhteessa etäisyyden
neliöön. Meidän ei tarvitse välittää yhtään mitään siitä, mikä gravitaatio on jossakin maapallon sisällä ja että se keskipisteessä ottaen huomioon voimat vastasuuntiin = 0.

Kysyt varsin vaikeita, ja erityisen vaikeata on tietää, miten gravitaatio muuttuu mentäessä maapallon pinnasta alaspäin. Jos Maa olisi kauttaaltaan tasatiheä, suurin gravitaatio olisi sen pinnassa. Vaan
tiheys kasvaa sisään mentäessä lopulta ihan raudan tiheydeksi.
Siten maapallon suurin vetovoima on jossakin pinnan alapuolella.
Siis vaikka syvissä kaivoksissa jo suurempi kuin pinnassa.

Lisäys. Lähietäisyydellä Maasta siis gravitaation laskemisen lähtökohtana pinnan gravitaatiokiihtyvyys. Vaan etäsiyydessä verrataan annettua etäisyyttä pinna etäisyyteen keskispisteestä. Siis etäisyydellä vaikka Maan säteen verran Maan pinnasta gravitaatiovoima pitäisi olla neljänneksen siitä mitä pinnassa.

Vaikka yleisperiaaatteet ovat tässä erittäin yksinkertaiset ja selvät, tarkat lasekmiset ovat vaieka asia, jota eivät näy hallitsevan edes ammattitähtitieteilijät. Vaikkapa Auringon massasta on esitetty lukuja, jotka suhtautuvat toisiinsa jopa suhteessa 1:3. Maan massa tiedettäenen sen sijaan melko tarkasti.

David
Seuraa 
Viestejä8877
Snaut
msdos464

Oletaan, että olen siis tyhjässä avaruudessa planeetan pinnalla, jonka kuori on vain 10 cm paksuinen. Sen pinnalla on tietenkin painovoima, koska planettalla on massaa (oletetaan säde ja massa samaksi kuin maalla).

No, jos teen siihen kuoreen reijän, ja menen vaikka 5 m syvälle sen pallon sisälle, niin väitätkö, että olisin silloin painottomassa tilassa?




Et ilmeisesti ole newtonisi oikein kunnolla lukenut. Siis homogeenisen pallon sisällä olevaan kappaleeseen vaikuttaa ainostaan sen alapuolen sijaitseva massa. Tästä seuraa siis, että onton pallon sisäpuolella (missä siis kaikki massa on keskittynyt kuoreen) ei ole painovoimaa.

Jos ei nyt sentään ihan puuta heinää kirjoiteltaisi.

Gravitaation vaikutus kustakin massahiukkasesta heikkenee etäisyyden neliössä. Jos olen pallon sisällä seinämän läheisyydessä kaukana keskustasta niin taatusti vetovoima on suurin lähintä massahiukkasta kohti. Jos sidosvoimat pitävät tuon massahiukkasen kiinni siinä kuoressa niin kyllähän liike tapahtuu kohti tuota lähintä massahiukkasta.

Tästä saa Newton sitten olla mitä mieltä haluaa, jos muuta väittää.

David
Jos ei nyt sentään ihan puuta heinää kirjoiteltaisi.

Gravitaation vaikutus kustakin massahiukkasesta heikkenee etäisyyden neliössä. Jos olen pallon sisällä seinämän läheisyydessä kaukana keskustasta niin taatusti vetovoima on suurin lähintä massahiukkasta kohti. Jos sidosvoimat pitävät tuon massahiukkasen kiinni siinä kuoressa niin kyllähän liike tapahtuu kohti tuota lähintä massahiukkasta.

Tästä saa Newton sitten olla mitä mieltä haluaa, jos muuta väittää.

Vetovoima on suurin lähintä hiukkasta kohti, tämä on totta. Ota kuitenkin huomioon voiman suunta. Lähellä olevat hiukkaset vetävät aika paljon eri suuntaan, jolloin niiden aiheuttama suurempi voima tavallaan kumoutuu. Kaukana olevat hiukkaset taas vetävät samaan suuntaan.

hmk
Seuraa 
Viestejä1093
David

Jos ei nyt sentään ihan puuta heinää kirjoiteltaisi.

Gravitaation vaikutus kustakin massahiukkasesta heikkenee etäisyyden neliössä. Jos olen pallon sisällä seinämän läheisyydessä kaukana keskustasta niin taatusti vetovoima on suurin lähintä massahiukkasta kohti. Jos sidosvoimat pitävät tuon massahiukkasen kiinni siinä kuoressa niin kyllähän liike tapahtuu kohti tuota lähintä massahiukkasta.

Tästä saa Newton sitten olla mitä mieltä haluaa, jos muuta väittää.

"Newtonin mielipide":

http://www.kineticbooks.com/physics/tri ... 06/sp.html

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

David
Seuraa 
Viestejä8877
hmk
David

Jos ei nyt sentään ihan puuta heinää kirjoiteltaisi.

Gravitaation vaikutus kustakin massahiukkasesta heikkenee etäisyyden neliössä. Jos olen pallon sisällä seinämän läheisyydessä kaukana keskustasta niin taatusti vetovoima on suurin lähintä massahiukkasta kohti. Jos sidosvoimat pitävät tuon massahiukkasen kiinni siinä kuoressa niin kyllähän liike tapahtuu kohti tuota lähintä massahiukkasta.

Tästä saa Newton sitten olla mitä mieltä haluaa, jos muuta väittää.




"Newtonin mielipide":

http://www.kineticbooks.com/physics/tri ... 06/sp.html

Niinpä niin, olen pitänyt noita yhtälöitä lähinnä likiarvoina. Onhan selvää, että kun etäisyys kasvaa niin resultantin suunta on enenevissä määrin suoraan jokaista massahiukkasta kohti. Etäisyyden kasvaessa gravitaatiokentän voimakkuus heikkenee, mutta vaikutus lisääntyy. Maapallon pinalla gravitaatio vetää meitä vähän joka suuntaan, mutta kaukana maapallosta sen vaikutu on melkolailla kohtisuoraan maapallon keskustaa kohti, koska maapallo alkaa etäältä olla yksi piste.

Kun taas ollaan pallon sisällä, voidaan ajatella että seinämä koostuu pienistä magneeteista. Jokainen voi kuvitella itsensä rautakappaleeksi j funtsata mihin suuntaan mahtaa liikettä tapahtua. Takuulla törmäys lähimpään seinään on todennäköisin.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä35108
David

Kun taas ollaan pallon sisällä, voidaan ajatella että seinämä koostuu pienistä magneeteista. Jokainen voi kuvitella itsensä rautakappaleeksi j funtsata mihin suuntaan mahtaa liikettä tapahtua. Takuulla törmäys lähimpään seinään on todennäköisin.

Sauvamagneettien kenttä on dipolikenttä, joka vaimenee etäisyyden kasvaessa nopeammin kuin pistevarauksen kenttä. Se on siis hyvin huono analogia tähän tilanteeseen.

Pallosymmetrisen massajakaumen kenttä on johdettu hyvin monessa korkeakoulutason fysiikan perusoppikirjassa. Kirjastosta löytänet sellaisen, ja voit katsoa miten asia lasketaan, jos et itse jaksa integroida. Ei se mikään hirveän paha lasku ole itse tehtäväksikään, jos integraalilaskun perusteet on hanskassa. Tulokset ovat tosiaan sellaiset, että homogeeninen massajakauma pallonkuorella aiheuttaa ulkopuolelle kentän, joka on samanlainen kuin kuoren massaisen pistemassan kenttä, ja pallonkuoren sisällä kenttä on nolla joka pisteessä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat