Painovoimasta maan sisällä

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

kaava F = G * m_1 * m_2 / r^2 olettaa massat pistemäisiksi, jolloin se ei anna oikeaa tulosta esim. maapallon sisällä vaikuttavisa voimista. Kuinka suuren kiihtyvyyden maapallo kohdistaa kappaleeseen, joka on etäisyydellä x maapallon keskipisteestä, jos oletetaan, että maapallo on homogeeninen (tiheys vakio)? Ainakin kun x = 0 m, a = 0. Integroimallahan tuo tulee, mutta en osannut muodostaa oikeaa lauseketta..

Olisi kiva tietää tuo funktio a(x).

Sivut

Kommentit (67)

Vierailija

En nyt mitään varmaa voi mennä sanomaan, mutta muistaakseni painovoima siellä sisällä kasvaa lineaarisesti pintaan saakka.

Paul M
Seuraa 
Viestejä8560
Liittynyt16.3.2005

Keskipisteessä on painovoima nolla, mutta paine on jotain muuta.

Hiirimeluexpertti. Majoneesitehtailija. Luonnontieteet: Maailman suurin uskonto. Avatar on halkaistu tykin kuula

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa. Maan sisällä siis vetovoimaa aiheuttaa vain se "alle jäävä pallo". Verrannollisuuksia tutkimalla saat vastauksen, että painovoima pienenee lineaarisesti keskelle päin mentäessä.

Tuosta onkin jo helppo päätellä, että kappaleeseen vaikuttava voima on

F=x/R*mg, missä R on maan säde.

Ja tämä siis oletuksella, että tiheys olisi vakio. Oikeastihan se ei ole vakio.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Hmm... tällä tavalla asiaa saa vähän yksinkertaistettua (kait). Eli siellä sisällä ollessa tilanne vastaa sitä, että kun ollaan pisteessä A, ja maapallon keskipiste on pisteessä O, niin kuvitellaan taso, joka on kohtisuorassa janaa AO vastaan, ja kulkee pisteen A kautta. Sitten sen pallon osa, joka on tason yläpuolella (jos piste O on tason alapuolella), "peilataan" sen tason suhteen, ja pallosta vähennetään se tason yläpuolinen osa. Tällöin saadaan sellainen vähän oudon muotoinen kappale, jonka aiheuttama vetovoima pitäisi saada laskettua.

Jokin kumma integraali se on, mutta...

Vierailija
Bosoni
Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa. Maan sisällä siis vetovoimaa aiheuttaa vain se "alle jäävä pallo".

"Ulkopuolelle/päälle jäävä pallo" aiheuttaa vastakkaisen voiman, joka kumoaa ytimeen päin vetävää voimaa. Seki pitäis ottaa huomioon, eikö?
________________________________________________________________

[ydin]---------------------[mittauskohta]¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
Erkkimon

"Ulkopuolelle/päälle jäävä pallo" aiheuttaa vastakkaisen voiman, joka kumoaa ytimeen päin vetävää voimaa. Seki pitäis ottaa huomioon, eikö?

Ei aiheuta. Symmetriasyistä onton pallon sisällä on täysin painotonta joka kohdassa.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
msdos464
Hmm... tällä tavalla asiaa saa vähän yksinkertaistettua (kait). Eli siellä sisällä ollessa tilanne vastaa sitä, että kun ollaan pisteessä A, ja maapallon keskipiste on pisteessä O, niin kuvitellaan taso, joka on kohtisuorassa janaa AO vastaan, ja kulkee pisteen A kautta. Sitten sen pallon osa, joka on tason yläpuolella (jos piste O on tason alapuolella), "peilataan" sen tason suhteen, ja pallosta vähennetään se tason yläpuolinen osa. Tällöin saadaan sellainen vähän oudon muotoinen kappale, jonka aiheuttama vetovoima pitäisi saada laskettua.

Jokin kumma integraali se on, mutta...


Aika monimutkaista. Koita mielummin laskea ensin r säteisen renkaan m=2*pi*r*rho*dA vetovoima. Sitten r säteinen taso (r käy 0 -> r). Sitten pallo r=Rcosa. (a käy -90 -> 90).

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
msdos464
Likiarvon saisi, kun arvioisi sen pallon koostuvan vaikka 1000 sylinteristä. Voisi laskea laskimella tuon...

Miksi pitää integroida. Miksei tuo päättelyni kelpaa? Voin laittaa sen "verrannollisuuksia tutkimalla" osuudenkin, jollei ole mitään periaatteellista vastustusta.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
bosoni
msdos464
Likiarvon saisi, kun arvioisi sen pallon koostuvan vaikka 1000 sylinteristä. Voisi laskea laskimella tuon...



Miksi pitää integroida. Miksei tuo päättelyni kelpaa? Voin laittaa sen "verrannollisuuksia tutkimalla" osuudenkin, jollei ole mitään periaatteellista vastustusta.



Eli siis tämä:

Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa.



Siis... oletatko, että se ontto pallo on samalla massaton, vai onko se vain äärettömän ohutseinäinen? Miksi tuo oletus pitäisi paikkansa?

Oletaan, että olen siis tyhjässä avaruudessa planeetan pinnalla, jonka kuori on vain 10 cm paksuinen. Sen pinnalla on tietenkin painovoima, koska planettalla on massaa (oletetaan säde ja massa samaksi kuin maalla).

No, jos teen siihen kuoreen reijän, ja menen vaikka 5 m syvälle sen pallon sisälle, niin väitätkö, että olisin silloin painottomassa tilassa?

Maan sisällä siis vetovoimaa aiheuttaa vain se "alle jäävä pallo"



Ei sinne alle jää kokonaista palloa, ja yläpuolelle tulee massaa, joka vetäisi minua ylöspäin.

Verrannollisuuksia tutkimalla saat vastauksen, että painovoima pienenee lineaarisesti keskelle päin mentäessä.

Hmm... tuntuu oudolta, että se pienenisi lineaarisesti. No onhan pallo tietysti melko symmetrinen kappale, mutta odotin jotain... a(x) = (1-(x/R)^n)g muotoista (n siis ainakin yli kahden).

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005
msdos464

Eli siis tämä:

Oikean vastauksen saat, kun oletat, että onton pallon sisällä ei ole painovoimaa.



Siis... oletatko, että se ontto pallo on samalla massaton, vai onko se vain äärettömän ohutseinäinen? Miksi tuo oletus pitäisi paikkansa?

[/quote]

Se pitää paikkaansa minkäpaksuisella pallolla tahansa. Koko ontossa alueessa todella on painoton tila, eikä edes tiheyden tarvitse olla vakio. Pallosymmetrinen tietenkin pitää olla.

Jos ilman kaavoja haluaa hakea analogian, niin voi ajatella vaikka tapausta, jossa metallipalloon tuodaan varaus. Koska johteessa varaukset pääsevät liikkumaan vapaasti, niin varaukset asettuvat siten, että kaikki varauksia liikuttelevat sähkökentät kumoutuvat johteessa. Tiedetään, että ne asettuvat johdekappaleen pinnalle, ja pallon tapauksessa tietysti täysin pallosymmetrisesti. koko pallon sisällä sähkökenttä on siis 0, kun varukset ovat pinnalla tasaisesti jakautuneena.

Varauksen aiheuttama sähkökenttähän on matemaattisesti täysin samaa muotoa kuin gravitaatiolailla, joten pinnalle vietyjen massojen aiheuttama gravitaatio on myös nolla joka kohdassa pallon sisällä. (eli ontto pallo gravitaation tapauksessa) Nyt sitten vain kasaat tällaisia kuoria päällekkäin, ja kaikkien kuorien aiheuttama painovoimakenttä on tasan 0 joka kohdassa onttoa aluetta, vaikka pallon kuori olisi nyt paksukin.

Eli nyt päädyttiin siis analogian kautta ilman matematiikkaa siihen, että pallon sisällä vain se "alle jäävä" pallo vaikuttaa vetovoimallaan.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija
msdos464

Oletaan, että olen siis tyhjässä avaruudessa planeetan pinnalla, jonka kuori on vain 10 cm paksuinen. Sen pinnalla on tietenkin painovoima, koska planettalla on massaa (oletetaan säde ja massa samaksi kuin maalla).

No, jos teen siihen kuoreen reijän, ja menen vaikka 5 m syvälle sen pallon sisälle, niin väitätkö, että olisin silloin painottomassa tilassa? :shock:

Et ilmeisesti ole newtonisi oikein kunnolla lukenut. Siis homogeenisen pallon sisällä olevaan kappaleeseen vaikuttaa ainostaan sen alapuolen sijaitseva massa. Tästä seuraa siis, että onton pallon sisäpuolella (missä siis kaikki massa on keskittynyt kuoreen) ei ole painovoimaa.

Vierailija

Gravitaatio ei ole vain painovoimaa, vaan se on kaksisuuntaista, siis sekä veto- että painovoimaa. Syntyä kumminkin tarkastellaan lähteestä, eli tulee tarkastella lähtevänä vetovoimana. Painovoima on siruiksi jälleen osittuneiden gravitonien paluuvirta.

Gravitaatiovaikutus avaruudessa yleisesti ja varsin suurilla etäisyyksillä tehtäneen lähdemassan keskipisteestä. Kun tullaan lähelle lähdemassaa,
etäsiyys on vedettävä pinnasta. Maan aiheuttama vetovoimakiihtyvyys siis sen pinnassa noin 9.8 m/s^2. Kun etäisyydestä seuraa vaikutusalan
kasvaminen pintana, vetovoima siis heikkenee suhteessa etäisyyden
neliöön. Meidän ei tarvitse välittää yhtään mitään siitä, mikä gravitaatio on jossakin maapallon sisällä ja että se keskipisteessä ottaen huomioon voimat vastasuuntiin = 0.

Kysyt varsin vaikeita, ja erityisen vaikeata on tietää, miten gravitaatio muuttuu mentäessä maapallon pinnasta alaspäin. Jos Maa olisi kauttaaltaan tasatiheä, suurin gravitaatio olisi sen pinnassa. Vaan
tiheys kasvaa sisään mentäessä lopulta ihan raudan tiheydeksi.
Siten maapallon suurin vetovoima on jossakin pinnan alapuolella.
Siis vaikka syvissä kaivoksissa jo suurempi kuin pinnassa.

Lisäys. Lähietäisyydellä Maasta siis gravitaation laskemisen lähtökohtana pinnan gravitaatiokiihtyvyys. Vaan etäsiyydessä verrataan annettua etäisyyttä pinna etäisyyteen keskispisteestä. Siis etäisyydellä vaikka Maan säteen verran Maan pinnasta gravitaatiovoima pitäisi olla neljänneksen siitä mitä pinnassa.

Vaikka yleisperiaaatteet ovat tässä erittäin yksinkertaiset ja selvät, tarkat lasekmiset ovat vaieka asia, jota eivät näy hallitsevan edes ammattitähtitieteilijät. Vaikkapa Auringon massasta on esitetty lukuja, jotka suhtautuvat toisiinsa jopa suhteessa 1:3. Maan massa tiedettäenen sen sijaan melko tarkasti.

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat