Seuraa 
Viestejä10

Itseopiskelen fysiikkaa, ja välillä tulee seinä vastaan. Joskus aiemminkin olen saanut täältä apua, joten ehkä nytkin. Ongelma on tämä vanha tenttitehtävä:

"Auringon pintalämpötila on 6000 K. Arvioi, kuinka suuri osa auringon pinnalla olevien vetyatomien elektroneista on perustilalla."

Olen pähkäillyt tällaista: Perustilalla olevalla vetyatomilla on energiaa 13,6 eV eli noin 2,18 * 10^(-19) J. Kurssikirjassa sanotaan, että niiden atomien osuus, jotka ovat E:n verran perustilaa korkeammalla energiatasolla, on verrannollinen Boltzmannin tekijään exp(-E/kT), jossa k on Boltzmannin vakio. Tästä sitten suoraviivaisesti lasken, että perustilassahan ollaan tasan 0 J perustilaa korkeammalla, joten saadaan exp(-0/kT) = 1.

Tässä vaiheessa menee sormi suuhun. Olen vasta saanut luvun, johon haluttu atomien osuus on verrannollinen. Minulla ei ole harmainta aavistustakaan verrannollisuuskertoimesta. Googlaus tuottaa keskenään ristiriitaisia (tai ristiriitaiselta vaikuttavia, kun en vielä tunne asiaa syvällisesti) ideoita siitä, mikä verrannollisuuskerroin olisi. Yhdessä paikassa sanotaan, että verrannollisuuskerroin on joku "partition factor". Toisessa paikassa lasketaan ilman mitään verrannollisuuskertoimia ja väitetään, että vastaus on jo siinä. Kurssikirjassa ei ole tällaisesta esimerkkitehtävää eikä toisaalta mitään mainintaa mistään verrannollisuuskertoimestakaan. Toisaalla kurssikirjassa varmuuden vuoksi sekoitetaan päätä vielä lisäämällä Boltzmannin tekijän eteen mikrotilojen määrä omega(E), ja silti sanotaan yhtä, että atomien osuus on vain verrannollinen tähän lukuun. Eli yhä puuttuu verrannollisuuskerroin.

Kaikki apu on tervetullutta. Ja kuten aina, rautalankaa saa vääntää ihan niin paljon kuin jaksatte kirjoittaa. Saa vapaasti olettaa, etten tiedä mistään mitään.

t. Samuli

Sivut

Kommentit (42)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Samuli
Seuraa 
Viestejä10

Alonson ja Finnin kirjaa ei löytynyt, mutta jotenkin Ksuomalan kaava ehkä alkaa aueta. Ilmeisesti g_i = 2n^2, eli eri tavat täyttää tietty energiataso.

Alkaa kyllä nyt myös tuntua siltä, että pitäisi olla jokin suoraviivaisempikin tapa ratkaista tehtävä. Missään päin kurssikirjaa ei puhuta mainitakaan mitään g_i-termejä.

JPI
Seuraa 
Viestejä29627

Samuli kirjoitti:
Kurssikirjassa sanotaan, että niiden atomien osuus, jotka ovat E:n verran perustilaa korkeammalla energiatasolla, on verrannollinen Boltzmannin tekijään exp(-E/kT), jossa k on Boltzmannin vakio. Tästä sitten suoraviivaisesti lasken, että perustilassahan ollaan tasan 0 J perustilaa korkeammalla, joten saadaan exp(-0/kT) = 1.

Tuollainen ajattelu ei koske mitenkään sitä montako atomia on perustilassa ja montako sen yläpuolella!

Kaikki tekijät exp(-Ei/kT) ovat nollasta poikkeavia kaikissa lämpötiloissa, jolloin sinun tulee periaatteessa laskea tekijän exp(-Eo/kT) suhde summaan Sigma i:n yli exp(-Ei/kT). Yksityiskohtia, kuten (mitä ne nyt olivatkaan) gi-tekijöiden vaikutusta en nyt ulkoa muista, ovatko ne samat kaikille viritystiloille..hmm..ehkä...en muista, sorry.

Paskamaista kun ei muista, mutta onhan mulla A&F, viitsiskö vilkaista? :-)

3³+4³+5³=6³

Samuli
Seuraa 
Viestejä10

JPI kirjoitti:
Tuollainen ajattelu ei koske mitenkään sitä montako atomia on perustilassa ja montako sen yläpuolella!

Ahaa. Siis ehkä kirjassa on virhe tai esitetty asia jotenkin epätäsmällisesti.

Muuten, osoitteessa https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20110425181919AAlVgVn on pohdittu aika samankaltaista tehtävää. Siellä ainoa vastaus sisältää vain tuon Boltzmannin tekijän osuuden eikä mitään verrannollisuuskertoimia ole edes mietitty. Tuntuu kyseenalaiselta. Mahtaako edes olla oikein?

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3012

Joo, mun aiheen opiskelusta on jo aikaa, mutta tuli mieleen mikä kurssikirja on kyseessä ja mistä tämä tehtävä on peräisin. Jos ne ovat eri kirjasta, niin silloin voisi valoa olla nähtävissä. Onko tuossa koko tehtävä vai oletko mahdollisesti kopioinut vain osan siitä tänne?

Ongelmana tuossa on ton partitiofunktion Z laskeminen:

Z=exp(E0/kT)+exp(E1/kT)+exp(E2/kT)+...,

missä E0 on elektronin perustilan energia ja E1 ensimmäisen viritystilan jne. Jos huomioidaan kvanttimekaniikkaa enemmänkin, ovat energiatasot degeneroituneet (samalla energialla on eri liikemäärämomentin ominaistiloja), jolloin partitiofunktio olisi:

Z=2 [1^2 exp(E0/kT)+exp(E1/kT)+2^2 exp(E2/kT)+.3^2 exp(E3/kT)+..],

tilassa, jossa energia on  En, on olemassa  g(n)=2n^2 eri tilaa, n^2 tulee liikemäärämomentista ja kerroin 2 tulee spinistä.

Tuota summaa Z ei kai pysty laskemaan, ainakaan googletuksen perusteella. Jos voisi, kysytty todennäköisyys tai prosenttiosuus olisi:

p0= exp(E0/kT)/Z.

Voin olla hyvinkin väärässä, sillä kuten sanoin aiheen opiskelusta on aikaa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Samuli
Seuraa 
Viestejä10

Kirja on Chabayn ja Sherwoodin Matter & Interactions (3rd ed.). Se on muuten oikein mukava kirja, mutta tehtävien vastauksia siinä ei ole, mikä on todella surkeaa. Nyt pohtimani tehtävä ei kumminkaan siis ollut kirjasta vaan HY:n laitostentistä. Itse asiassa sama tehtävä on näemmä toistunut useammassakin tentissä. Tehtävä on kokonaisuudessaan se, minkä tänne kopioin. Jotenkin sitä toivoisi, että tenttitehtävät ratkeaisivat kurssikirjan avulla mutta ei se aina näytä olevan niin.

Tajusin tässä googeloinnin tuoksinassa, että valtaosa löytämistäni tämän tyyppisistä tehtävistä pyytää laskemaan suhteen kahta tiettyä energiatasoa asuttavien atomien lukumäärien välillä. Eli ei kysytä yhtä energiatasoa asuttavien määrän suhdetta kokonaismäärään niin kuin nyt tässä tenttitehtävässä kysytään.

Voi olla, että tenttitehtävässä on tarkoitus pakottaa opiskelija tekemään yksinkertaistavia oletuksia. Esim. ehkä voisi vain laskea perustilassa olevien suhteen ensimmäisellä viritystilalla oleviin ja sitten julistaa, että korkeammilla viritystiloilla on niin hirveän pieni määrä atomeista, että saatu tulos on tarpeeksi hyvä approksimaatio kysytylle asialle. Tästähän voisi kysyä laitokselta, mutta kun olen tällainen lauantaiopiskelija, niin ei tule siellä juuri käytyä. Pitää ehkä laittaa sähköpostia.

Tässäkin linkissä oli muuten hyvää apua asiaan: http://www.colorado.edu/physics/TZD/PageProofs1/TAYL15-495-532.I.pdf

Vierailija

Kun nyt sitten otetaan huomioon että vetyatomien energiaspektri on tyyppiä: E_n=E_0 / n**2 niin oikeastaan tuosta tilasummasta tulee aika hankala laskettava muuten kuin numeerisesti.

Karkean approksimaation perustilan atomien osuudesta kummiskin saa kun ottaa laskuissa huomioon vain sen perustilan ja ensimmäisen viritystilan.

Alonso-Finnin otin esiin siksikin että siinä on varsin selkeästi johdettu tuo M-B-jakauma lähtökohdista a) hiukkasten lkm vakio b) hiukkasten kokonaisenergia toinen vakio c) kombinatorisesti laskettu todennäköisyys maksimoituu . Että luulisi sen avulla pääsevän kärryille.

Vierailija

Tuli muuten mieleen M-B-jakaumasta notta jos olisi jokin erikoismateriaali missä elektronien/fononien/whåtever hiukkasten energia riippuisi liikemäärävektorin suunnasta niin mitenköhän hyvin mahtaisi kyseisessä materiaalissa toimia Fourierin tai Ohmin lait?

JPI
Seuraa 
Viestejä29627

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Joo, mun aiheen opiskelusta on jo aikaa, mutta tuli mieleen mikä kurssikirja on kyseessä ja mistä tämä tehtävä on peräisin. Jos ne ovat eri kirjasta, niin silloin voisi valoa olla nähtävissä. Onko tuossa koko tehtävä vai oletko mahdollisesti kopioinut vain osan siitä tänne?

Ongelmana tuossa on ton partitiofunktion Z laskeminen:

Z=exp(E0/kT)+exp(E1/kT)+exp(E2/kT)+...,

missä E0 on elektronin perustilan energia ja E1 ensimmäisen viritystilan jne. Jos huomioidaan kvanttimekaniikkaa enemmänkin, ovat energiatasot degeneroituneet (samalla energialla on eri liikemäärämomentin ominaistiloja), jolloin partitiofunktio olisi:

Z=2 [1^2 exp(E0/kT)+exp(E1/kT)+2^2 exp(E2/kT)+.3^2 exp(E3/kT)+..],

tilassa, jossa energia on  En, on olemassa  g(n)=2n^2 eri tilaa, n^2 tulee liikemäärämomentista ja kerroin 2 tulee spinistä.

Tuota summaa Z ei kai pysty laskemaan, ainakaan googletuksen perusteella. Jos voisi, kysytty todennäköisyys tai prosenttiosuus olisi:

p0= exp(E0/kT)/Z.

Voin olla hyvinkin väärässä, sillä kuten sanoin aiheen opiskelusta on aikaa.

Luulenpa, että energioina Ei tulee käyttää energioita Ei-Eo, koska vain energiaerotuksilla on väliä. Juuri tuossa yllä tarkoitin gi:llä degeneraatiota, se on todellakin 2*n^2. Eikö muuten energiatilan pysyvydellä sitten ole väliä???...hmm..ei kai, vain onko? heh

3³+4³+5³=6³

JPI
Seuraa 
Viestejä29627

Tästä muuten tuli mieleen: Mistä helkkarista se atomi tietää missä lämpötilassa se on, heh? Eli miten vetykaasun lämpötila voi noin suoraviivaisesti vaikuttaa atomin tilojen jakautumaan?

3³+4³+5³=6³

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3012

JPI kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Joo, mun aiheen opiskelusta on jo aikaa, mutta tuli mieleen mikä kurssikirja on kyseessä ja mistä tämä tehtävä on peräisin. Jos ne ovat eri kirjasta, niin silloin voisi valoa olla nähtävissä. Onko tuossa koko tehtävä vai oletko mahdollisesti kopioinut vain osan siitä tänne?

Ongelmana tuossa on ton partitiofunktion Z laskeminen:

Z=exp(E0/kT)+exp(E1/kT)+exp(E2/kT)+...,

missä E0 on elektronin perustilan energia ja E1 ensimmäisen viritystilan jne. Jos huomioidaan kvanttimekaniikkaa enemmänkin, ovat energiatasot degeneroituneet (samalla energialla on eri liikemäärämomentin ominaistiloja), jolloin partitiofunktio olisi:

Z=2 [1^2 exp(E0/kT)+exp(E1/kT)+2^2 exp(E2/kT)+.3^2 exp(E3/kT)+..],

tilassa, jossa energia on  En, on olemassa  g(n)=2n^2 eri tilaa, n^2 tulee liikemäärämomentista ja kerroin 2 tulee spinistä.

Tuota summaa Z ei kai pysty laskemaan, ainakaan googletuksen perusteella. Jos voisi, kysytty todennäköisyys tai prosenttiosuus olisi:

p0= exp(E0/kT)/Z.

Voin olla hyvinkin väärässä, sillä kuten sanoin aiheen opiskelusta on aikaa.

Luulenpa, että energioina Ei tulee käyttää energioita Ei-Eo, koska vain energiaerotuksilla on väliä. Juuri tuossa yllä tarkoitin gi:llä degeneraatiota, se on todellakin 2*n^2. Eikö muuten energiatilan pysyvydellä sitten ole väliä???...hmm..ei kai, vain onko? heh

Tuota, joo ei energian absoluuttisella arvolla ole väliä todennäköisyyteen, jos

p0=  exp(-E1/kt)/Z,

missä Z on tilasumma ja E1 on perustilan energia. Tuo lauseke voidaan kirjoittaa muodossa, kun E on annettu:

p0= exp(E/kT)/exp(E/kT) exp(-E1/kT)/Z = [exp((E-E1)/kT)/exp(E/kT)Z].

Lauseke exp(E/kT)Z=∑exp((E-En)/kT) joten

p0=exp((E-E1)/kT)/∑exp((E-En)/kT).

Saatiin sama todennäköisyys, käytettiin sitten energiatiloja En tai energiatiloja E -En, mikä on kyllä ihan järkeenkäypää, koska energialla ei ole absoluuttisia arvoja, vain energian muutos on mitattavissa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3012

Tuo vetyatomin energiatilojen nollakohta on suoraan sidoksissa vetyatomin potentiaalifunktion V = -1/r + C nollakohdan valintaan. Yleensä valitaan C=0, jolloin elektronin ominaistilojen energiat ovat muotoa En = -13,6eV/n^2, mutta muu vakion C valinta vain siirtää noita energiatilojen numeerisia lukuarvoja.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3012

JPI kirjoitti:
Tästä muuten tuli mieleen: Mistä helkkarista se atomi tietää missä lämpötilassa se on, heh? Eli miten vetykaasun lämpötila voi noin suoraviivaisesti vaikuttaa atomin tilojen jakautumaan?

Tuo on muistaakseni semmoinen statistisen fysiikan perusolettamus, että vaikka yksittäinen atomilla ei voi olla omaa lämpötilaa, kuitenkin se, että atomi ei ole riippumaton ympäristönsä atomien sähkömagneettisesta vuorovaikutuksesta, takaa sen että tälläinen suure T voidaan määritellä tietyissä tapauksissa. Kvanttimekaniikassa sama ajattelutapa toistuu. Olettamus on se, että energia per partikkeli on sama tai paremminkin kaikilla partikkelin vapausasteilla on sama keskimääräinen energia.

Tilastollisesti tämä on ekvipartitioteoreema

Hieman hassua on se, että tavallaan nämä vuorovaikutukset ainakin perusfysiikassa oletetaan lopputilan (kaikki tilat ovat yhtä todennäköisiä) kannalta merkityksettömiksi, vaikka niitä juuri tarvitaan tasoittamaan systeemin tilat energian kannalta samanarvoisiksi. Mutta tällekkin löytyy perusteluita.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

hmk
Seuraa 
Viestejä1087

Vetyatomin energiatasot ovat En = -13.6 eV / n^2, missä n on pääkvanttiluku.

E1 = -13.6 eV

E2 = -3.4 eV

E3 = -1.5 eV

...

E100 = -0.0014 eV

...

Nähdään, että kun n -> inf niin En -> 0. Siispä energian 0 "tuntumassa" on äärettömästi energiatasoja. Toisaalta Boltzmannin jakauman nojalla näillä energiatasoilla on jokin äärellinen (nollaa suurempi) populaatio suhteessa perustilan populaatioon, noin exp(E1/kT). Niinpä näiden virittyneiden tilojen yhteenlaskettu populaatio on äärettömän suuri suhteessa perustilan populaatioon, ja voidaan päätellä, että 0% vetyatomeista on perustilaisia lämpötilassa T = 6000 K. Sama tulos pätee kaikille T > 0.

"Naiivi" Boltzmannin jakauman käyttö ei siis käytännössä toimi vetyatomille (H:n partitiofunktio on ääretön, kun T > 0).

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

Jos nyt hiustenhalkomiseen menee niin

a) tarkasteltaessa äärellistä määrää vetyatomeja, eivät ne voi aivan orjallisesti noudattaa tuota M-B-jakaumaa, jossain kohtaa tulee vastaan energiatila mille ei atomeja enää riitä

b) vetymolekyylien dissosiaatio pitäisi kenties ottaa huomioon kuten myös H-atomien ionisoituminen

c) tapauksen n->ääretön jälkeen tulee sitten se jatkuva energiaspektri elikkäs plasmafaasi mikä myös pitäisi ottaa huomoon

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat