Seuraa 
Viestejä1278

Onkohan täällä ollut seuraavanlainen jahtitehtävä. Gepardi vaanii antilooppia, joka on joella juomassa. Gepardin etäisyys antiloopista alussa on L = 60 m kohtisuoraan jokea vastaan. Antilooppi huomaa gepardin ja lähtee pakoon nopeudella v = 80 km/h joen suuntaisesti juosten. Samalla hetkellä gepardia lähtee jahtaamaan antilooppia nopeudella u = 90 km/h niin että sen juoksusuunta on joka hetki antilooppia kohti. Gepardi jaksaa juosta vain 300 m. Saako se antiloopin kiinni?
Asetetaan koordinaatisto niin että gepardi on alussa origossa ja antilooppi pisteessä (L,0) ja antilooppi etenee positiivisen y-akselin suuntaisesti. Pitäisi ratketa alkeisfunktioilla mutta myös numeeriset ratkaisut ovat tervetulleita.

Sivut

Kommentit (107)

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Jos lähdetään tutkimaan siten, että oletetaan gepardin saavuttavan antiloopin, tangentoi käyrä sekä origossa että pisteessä L,S , jossa S on matka, jonka antilooppi juoksee samassa ajassa kuin gepardi 300m.

Sitten vain tarkistetaan, onko käyrällä kulkeva etäisyys origon ja L,S -pisteen välillä vähemmän kuin 300m. Jos on, tarkoittaa se, ettei gepardin tarvitse juosta 90 km/h vaan vähemmän eli antiloopin se olisi saanut kiinni vähemmälläkin ajalla. Päinvastaisessa tapauksessa antilooppi pääsee karkuun.

Onnea laskelmille!

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Tarkennus: tarkoitin tangentoinneilla ko pisteissä x- ja y-akselien suuntaisia derivaattasuoria. Käyrähän on luonnollisesti derivoituva kaikissa pisteissään.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

optimistx
Seuraa 
Viestejä852

Näinonnäreet kirjoitti:
Onkohan täällä ollut seuraavanlainen jahtitehtävä. Gepardi vaanii antilooppia, joka ...

Tehtävän laatija on ollut juonikas. Tuo on sovellus kuuluisasta "dog chasing rabbit" - ongelmasta. Googleen avainsanat dog chasing rabbit curve.

Kun olet ratkaissut sen, niin voimme aloittaa täällä keskustelun, onko gepardi ja antilooppi tai leijona ja buffalo verrattavissa siihen ;)

Pelkäänpä pahoin keskustelukokemuksien perusteella, että gepardi ja antilooppi katsotaan monessa repliikissä AIVAN eri ongelmaksi.

Matemaattista ratkaisua yhtälöineen ei tietenkään voida hyväksyä, kun pistettä ja 0-paksuista käyrää ei ole olemassa. Vai onko joku nähnyt?

(en viittaa tällä HAL9000 mainioon ja liikuttavaan videolinkkiin, josta kiitän)

1. Päätä, mikä (tutkimus-)tulos TUNTUISI mukavalta
2. Etsi tulosta tukevia todisteita, hylkää kaikki muut todisteet
3. Pysy kannallasi lopun elämää ja toista sitä kaikille herkeämättä.
4. Valmis!

http://www.tiede.fi/keskustelu/66231/ei_yliopistollinen_tutkimus_taikako...

Näinonnäreet
Seuraa 
Viestejä1278

Aika monimutkaisia laskelmia on näköjään tehty tuosta dog chasing rabbit -ongelmasta. Mutta voin kertoa että esittämäni ongelman voi ratkaista kirjoittamalla puolisen kymmentä kaavariviä, kun jätetään laskelmien välimuodot pois.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.

optimistx
Seuraa 
Viestejä852

korant kirjoitti:
Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.

Missä kohdassa eläimiä ne matemaattiset pisteet sijaitsivat? Jos ne olivat esim. painopisteissä, niin eläimet olivat jossain vaiheessa enempi sisäkkäin kuin mies ja nainen, kun he ovat "sillai".

Täytyykin kysäistä vaimolta ensi kerralla kriittisellä hetkellä etäisyyttämme, mikrometreissä. Otan kynän ja paperia mukaan projektiin, etten unohda.

1. Päätä, mikä (tutkimus-)tulos TUNTUISI mukavalta
2. Etsi tulosta tukevia todisteita, hylkää kaikki muut todisteet
3. Pysy kannallasi lopun elämää ja toista sitä kaikille herkeämättä.
4. Valmis!

http://www.tiede.fi/keskustelu/66231/ei_yliopistollinen_tutkimus_taikako...

PPo
Seuraa 
Viestejä15371

Näinonnäreet kirjoitti:
Onkohan täällä ollut seuraavanlainen jahtitehtävä. Gepardi vaanii antilooppia, joka on joella juomassa. Gepardin etäisyys antiloopista alussa on L = 60 m kohtisuoraan jokea vastaan. Antilooppi huomaa gepardin ja lähtee pakoon nopeudella v = 80 km/h joen suuntaisesti juosten. Samalla hetkellä gepardia lähtee jahtaamaan antilooppia nopeudella u = 90 km/h niin että sen juoksusuunta on joka hetki antilooppia kohti. Gepardi jaksaa juosta vain 300 m. Saako se antiloopin kiinni?
Asetetaan koordinaatisto niin että gepardi on alussa origossa ja antilooppi pisteessä (L,0) ja antilooppi etenee positiivisen y-akselin suuntaisesti. Pitäisi ratketa alkeisfunktioilla mutta myös numeeriset ratkaisut ovat tervetulleita.
Hetkellä t gebardi on pisteessä (x,y) ja antilooppi pisteessä (L,80t).

Gebardi juoksee antilooppia kohti—>y'=(80t-y)/(L-x) (1)

Gebardin juoksema matka ∫(1+y'^2)^0,5dx=90t Elimnoidaan t—>

∫(1+y'^2)^0,5=9/8*(y+y'*(L-x))

Derivoidaan puolittain ja merkitään k=9/8—>

y''/(1+y'^2)^0,5=1/k(L-x)   alkuhdot y'(0)=0 ja y(0)=0

WA:n avustuksella tämän yhtälön ratkaisuksi saadaan

y=L/2*(k/(k+1)*((L-x)/l)^((k+1)/k)-k/(k-1)*((L-x)/L)^((k-1)/k)+kL/(k^2-1) (2)

Yhtälöstä (1) saadaan antiloopin kulkema matka 80t=y+y'(L-x), joten gebardin ollessa pisteessä

(L,y(L)) antiloopin kulkema matka on y(L), joten ne ovat samassa pisteessä.

Yhtälöstä (2) saadaan, että y(L)= kL/(k^2-1),joten gebardin kulkema matka on

k^2*L/(k^2-1)=60/(1-(8/9)^2)=285,88..<300

Gebardi tavoittaa antiloopin.

PS. Ei ratkennut ihan alkeisfunktioilla.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Merkitään f(t) on gepardin ja antiloopin välinen etäisyys. Etäisyyden muutos riippuu juoksulinjojen välisestä kulmasta. Onnistuisiko tuosta alkeisfunktioin...?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä15371

korant kirjoitti:
Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.
Laskelmani mukaan taitaa sinun numeerinen laskentasi olla hieman hakkoteillä.

korant
Seuraa 
Viestejä8326

PPo kirjoitti:
korant kirjoitti:
Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.
Laskelmani mukaan taitaa sinun numeerinen laskentasi olla hieman hakkoteillä.

Minun numeerinen ratkaisuni on riittävän tarkka ja oikea. Sinun gepardin kulkema matka on virheellinen, sehän on tasan 300 m.

PPo
Seuraa 
Viestejä15371

korant kirjoitti:
PPo kirjoitti:
korant kirjoitti:
Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.
Laskelmani mukaan taitaa sinun numeerinen laskentasi olla hieman hakkoteillä.

Minun numeerinen ratkaisuni on riittävän tarkka ja oikea. Sinun gepardin kulkema matka on virheellinen, sehän on tasan 300 m.

??????????

Minun geardini kulki 286 m.

Näinonnäreet
Seuraa 
Viestejä1278

Itsekin sain saman tuloksen kuin PPo hieman eri tavalla:

Merkitsen derivaattoja x suhteen yläpilkullisina ja t suhteen kirjoitan ne näkyviin. Lasketaan gepardin paikkaa joka saadaan kaavasta:

u = sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2 = sqrt(1+y'^2)*(dx(dt)

Kun gepardin suunta on kohti antilooppia, saadaan:

dy/dx = (vt-y)/(L-x)

Kun differentioidaan t suhteen ja yhdistetään yhtälöt ja merkataan v/u=k, saadaan:

y'' = k*sqrt(1+y'^2)/(L-x)

Nyt voitaisiin ratkaista y' ja y, saadaan alkeisfunktioilla mutta hoksataan että gepardin kulkema matka on s ja ds'=sqrt(1+y'^2)*dx eli voidaan oikaista ja laskea s'. Wolfram Alpha antaa aika monimutkaisen cosh-ln-lausekkeen mutta se voidaan sieventää ja kun otetaan huomioon alkuehdot, saadaan:

s' = (1/2)(L/(L-x/)^k + (L-x)/l)^k)

Intergroimalla 0->L saadaan matka s jonka gepardi juoksee ennen kuin saavuttaa antiloopin (alkuehdot huomioon ottaen):

s = L/(1-k^2) = 286 m.

Onkohan Korantin laskelmassa sisäänrakennettuna että saavuttaa 300 m kohdalla kun tulee niin tarkasti tuo arvo?

korant
Seuraa 
Viestejä8326

Näinonnäreet kirjoitti:
Onkohan Korantin laskelmassa sisäänrakennettuna että saavuttaa 300 m kohdalla kun tulee niin tarkasti tuo arvo?
Ei ole sisäänrakennettuna vaan laskennan päättymisen ehtona. Eli lasketaan numeeerisesti kunnes gepardin kulkema matka on 300 ja tarkastellaan y-koordinaattien eroa. Kun pienennän gepardin kulkemaa matkaa väliin jäävä ero kasvaa.

ÄÄh, pahus !! Tuo lopetusehto oli tietenkin virheellinen koska gepardi vaihtaa suunnan vastakkaiseksi kun on ohittanut antiloopin. Kun muutin lopetusehdoksi y-koordinaattien yhtäsuuruuden saan samat tulokset kuin sinä ja PPo.

En huomannut pienentämisen vaikutusta koska pienensin matkan aluksi 200 metriin ja silloinhan se ei vielä ole saanut saalistaan kiinni.. Ihmettelinkin hieman miten alkuarvot voi olla niin tarkalla.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat