Seuraa 
Viestejä958
Liittynyt27.5.2013

Onkohan täällä ollut seuraavanlainen jahtitehtävä. Gepardi vaanii antilooppia, joka on joella juomassa. Gepardin etäisyys antiloopista alussa on L = 60 m kohtisuoraan jokea vastaan. Antilooppi huomaa gepardin ja lähtee pakoon nopeudella v = 80 km/h joen suuntaisesti juosten. Samalla hetkellä gepardia lähtee jahtaamaan antilooppia nopeudella u = 90 km/h niin että sen juoksusuunta on joka hetki antilooppia kohti. Gepardi jaksaa juosta vain 300 m. Saako se antiloopin kiinni?
Asetetaan koordinaatisto niin että gepardi on alussa origossa ja antilooppi pisteessä (L,0) ja antilooppi etenee positiivisen y-akselin suuntaisesti. Pitäisi ratketa alkeisfunktioilla mutta myös numeeriset ratkaisut ovat tervetulleita.

Sivut

Kommentit (107)

Eusa
Seuraa 
Viestejä14806
Liittynyt16.2.2011

Jos lähdetään tutkimaan siten, että oletetaan gepardin saavuttavan antiloopin, tangentoi käyrä sekä origossa että pisteessä L,S , jossa S on matka, jonka antilooppi juoksee samassa ajassa kuin gepardi 300m.

Sitten vain tarkistetaan, onko käyrällä kulkeva etäisyys origon ja L,S -pisteen välillä vähemmän kuin 300m. Jos on, tarkoittaa se, ettei gepardin tarvitse juosta 90 km/h vaan vähemmän eli antiloopin se olisi saanut kiinni vähemmälläkin ajalla. Päinvastaisessa tapauksessa antilooppi pääsee karkuun.

Onnea laskelmille!

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14806
Liittynyt16.2.2011

Tarkennus: tarkoitin tangentoinneilla ko pisteissä x- ja y-akselien suuntaisia derivaattasuoria. Käyrähän on luonnollisesti derivoituva kaikissa pisteissään.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

optimistx
Seuraa 
Viestejä852
Liittynyt14.1.2008

Näinonnäreet kirjoitti:
Onkohan täällä ollut seuraavanlainen jahtitehtävä. Gepardi vaanii antilooppia, joka ...

Tehtävän laatija on ollut juonikas. Tuo on sovellus kuuluisasta "dog chasing rabbit" - ongelmasta. Googleen avainsanat dog chasing rabbit curve.

Kun olet ratkaissut sen, niin voimme aloittaa täällä keskustelun, onko gepardi ja antilooppi tai leijona ja buffalo verrattavissa siihen ;)

Pelkäänpä pahoin keskustelukokemuksien perusteella, että gepardi ja antilooppi katsotaan monessa repliikissä AIVAN eri ongelmaksi.

Matemaattista ratkaisua yhtälöineen ei tietenkään voida hyväksyä, kun pistettä ja 0-paksuista käyrää ei ole olemassa. Vai onko joku nähnyt?

(en viittaa tällä HAL9000 mainioon ja liikuttavaan videolinkkiin, josta kiitän)

1. Päätä, mikä (tutkimus-)tulos TUNTUISI mukavalta
2. Etsi tulosta tukevia todisteita, hylkää kaikki muut todisteet
3. Pysy kannallasi lopun elämää ja toista sitä kaikille herkeämättä.
4. Valmis!

http://www.tiede.fi/keskustelu/66231/ei_yliopistollinen_tutkimus_taikako...

Näinonnäreet
Seuraa 
Viestejä958
Liittynyt27.5.2013

Aika monimutkaisia laskelmia on näköjään tehty tuosta dog chasing rabbit -ongelmasta. Mutta voin kertoa että esittämäni ongelman voi ratkaista kirjoittamalla puolisen kymmentä kaavariviä, kun jätetään laskelmien välimuodot pois.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Pienensin laskenta-askelen 0,1 µsekuntiin jolloin väli pieneni arvoon 2 µm joten ilmeisesti tarkka arvo on että saavuttaa tarkalleen mutta ei ehdi haukata palaakaan.

korant
Seuraa 
Viestejä8326
Liittynyt16.12.2013

Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.

optimistx
Seuraa 
Viestejä852
Liittynyt14.1.2008

korant kirjoitti:
Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.

Missä kohdassa eläimiä ne matemaattiset pisteet sijaitsivat? Jos ne olivat esim. painopisteissä, niin eläimet olivat jossain vaiheessa enempi sisäkkäin kuin mies ja nainen, kun he ovat "sillai".

Täytyykin kysäistä vaimolta ensi kerralla kriittisellä hetkellä etäisyyttämme, mikrometreissä. Otan kynän ja paperia mukaan projektiin, etten unohda.

1. Päätä, mikä (tutkimus-)tulos TUNTUISI mukavalta
2. Etsi tulosta tukevia todisteita, hylkää kaikki muut todisteet
3. Pysy kannallasi lopun elämää ja toista sitä kaikille herkeämättä.
4. Valmis!

http://www.tiede.fi/keskustelu/66231/ei_yliopistollinen_tutkimus_taikako...

PPo
Seuraa 
Viestejä12692
Liittynyt10.12.2008

korant kirjoitti:
Eikö PPo osaa matemaattista ratkaisua ??
Tehtävä kinkkinen mutta uskoakseni ei mahdoton. Tarvitsen vähän laskuaikaa. Jos onnistun, palaan asiaan.

PPo
Seuraa 
Viestejä12692
Liittynyt10.12.2008

Näinonnäreet kirjoitti:
Onkohan täällä ollut seuraavanlainen jahtitehtävä. Gepardi vaanii antilooppia, joka on joella juomassa. Gepardin etäisyys antiloopista alussa on L = 60 m kohtisuoraan jokea vastaan. Antilooppi huomaa gepardin ja lähtee pakoon nopeudella v = 80 km/h joen suuntaisesti juosten. Samalla hetkellä gepardia lähtee jahtaamaan antilooppia nopeudella u = 90 km/h niin että sen juoksusuunta on joka hetki antilooppia kohti. Gepardi jaksaa juosta vain 300 m. Saako se antiloopin kiinni?
Asetetaan koordinaatisto niin että gepardi on alussa origossa ja antilooppi pisteessä (L,0) ja antilooppi etenee positiivisen y-akselin suuntaisesti. Pitäisi ratketa alkeisfunktioilla mutta myös numeeriset ratkaisut ovat tervetulleita.
Hetkellä t gebardi on pisteessä (x,y) ja antilooppi pisteessä (L,80t).

Gebardi juoksee antilooppia kohti—>y'=(80t-y)/(L-x) (1)

Gebardin juoksema matka ∫(1+y'^2)^0,5dx=90t Elimnoidaan t—>

∫(1+y'^2)^0,5=9/8*(y+y'*(L-x))

Derivoidaan puolittain ja merkitään k=9/8—>

y''/(1+y'^2)^0,5=1/k(L-x)   alkuhdot y'(0)=0 ja y(0)=0

WA:n avustuksella tämän yhtälön ratkaisuksi saadaan

y=L/2*(k/(k+1)*((L-x)/l)^((k+1)/k)-k/(k-1)*((L-x)/L)^((k-1)/k)+kL/(k^2-1) (2)

Yhtälöstä (1) saadaan antiloopin kulkema matka 80t=y+y'(L-x), joten gebardin ollessa pisteessä

(L,y(L)) antiloopin kulkema matka on y(L), joten ne ovat samassa pisteessä.

Yhtälöstä (2) saadaan, että y(L)= kL/(k^2-1),joten gebardin kulkema matka on

k^2*L/(k^2-1)=60/(1-(8/9)^2)=285,88..<300

Gebardi tavoittaa antiloopin.

PS. Ei ratkennut ihan alkeisfunktioilla.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14806
Liittynyt16.2.2011

Merkitään f(t) on gepardin ja antiloopin välinen etäisyys. Etäisyyden muutos riippuu juoksulinjojen välisestä kulmasta. Onnistuisiko tuosta alkeisfunktioin...?

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12692
Liittynyt10.12.2008

korant kirjoitti:
Koska menee noin tarkalle tarkensin vielä numeerista ratkaisua ja siihen näyttää jäävän 22,5 µm väliä eli ei saa kiinni jos ajatellaan pisteinä mutta tietty ulottuvuudet huomioiden pääsee puraisemaan persuuksiin.
Laskelmani mukaan taitaa sinun numeerinen laskentasi olla hieman hakkoteillä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat