Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

Tässä keskustelussa jaatte tietämystänne ja mielipiteitä pienimmän vaikutuksen periaatteesta :)

Sähkömagnetismi, hiukkaset, kvanttikentät, kvanttimekaniikka, liike ja energia yleisemminkin, Feynmanin polkuintegraalit, valon käyttäytyminen, standardimalli, hiukkasfysiikka, supersymmetriat, mekaniikan peruslait, erityinen ja yleinen suhteellisuusteoria - kaikki hyödyntävät muodossa tai toisessa pienimmän vaikutuksen periaatetta. Myös säieteoriat, vaikka pyrkivätkin olemaan perustavanlaatuisia. Periaate on teoreettisen fysiikan yksi kulmakivi.

Pienimmän vaikutuksen periaate (oikeammin stationäärisen/pienimmän/suurimman) on fundamentaali periaate, joka ilmaistaan ajan, paikan ja energian avulla. Aika, paikka, tapahtumat ja vuorovaikutukset ovat tuossa periaatteessa kytköksissä toisiinsa.

Luonnossa tapahtumien kulku hakeutuu polulle, jonka historia integroituna ajan yli seuraa tiettyä lainalaisuutta. Kukaan ei
oikeastaan varmasti tiedä, miksi näin tapahtuu, ja mikä tätä reittiä ohjaa.

https://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action

Käytännön teorioiden rakennuksessa periaate ilmenee yleisimmin joko:

Lagrangen funktiona:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

Kenttäteorioissa Lagrangen tiheytenä:
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_%28field_theory%29

Aiheeseen kuuluu läheisesti energian käsite ylipäänsä, symmetriat ja Noetherin teoreema.

Pienimmän vaikutuksen periaatteesta, sekä ajan ja avaruuden suhteesta nousee teleologinen ja filosofinenkin kysymys: Miksi avaruus pyrkii ohjaamaan luonnonlait ja vuorovaikutukset tätä periaatetta noudattaen, ja miten se sen toteuttaa.

Jos keskustelijoilla on syvempää ymmärrystä esim. topologisista kvanttikentistä tai LQG:stä, niin jakakaa tietonne siitä, miten periaate toimii niissä.

Onko yksikään modernin fysiikan teoria täysin vapaa pienimmän vaikutuksen periaatteesta?

Mitä matematiikka osaa kertoa meille tämän syvimmästä olemuksesta?

Onko informaatioteorioilla mitään annettavaa?

Onko avaruus käsitteenä kytköksissä periaatteeseen, vai voidaanko se muotoilla ilman avaruutta ?

Sivut

Kommentit (128)

Fizikisto
Seuraa 
Viestejä526
Liittynyt19.2.2014

Vain klassiset systeemit noudattavat pienimmän vaikutuksen periaatetta. Se voidaan johtaa kvanttimekaniikan polkuintegraaliformulaatiosta tarkastelemalla rajaa, jossa Planckin vakio lähestyy nollaa.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2052
Liittynyt24.1.2014

Hyvä keskustelunavaus. En nyt kirjoita pitkästi, koska ei ole aikaa, mutta kommentoisin sen verran, että tuo avauksen aihepiiri on kyllä laaja ja siksi rajoitan juttuni vain pariin kommenttiin.

Jos rajataan aihepiiri klassiseksi mekaniikaksi ennen Maxwellin teorioita, ei ollut kai olemassa muuta fundamentaalia fysikaalista vuorovaikutusta kuin Newtonin gravitaatioteorian mukainen. Tämä teoria voidaan muotoilla Lagrangen tai Hamiltonin mekaniikan avulla: L = T - V tai H = T + V jne.

Toinen juttu on sitten erilaisten mekaniikan probleemoiden ratkaiseminen erilaisten variaatioperiaatteiden avulla. Nämä taasen ovat pohjimmiltaan vain matematiikkaa, joissa näppärillä variaatiolaskennan menetelmillä saadaan esiin systeemiä kuvaavat differentiaaliyhtälöt. Tällöin tulee vastaan tilanteita, jolloin Lagrangen funktiota L ei välttämättä ole edes olemassa, koska esimerkiksi potentiaalifunktiota ei ole olemassa, edes ajasta riippuvassa tapauksessa. Silloin Lagrangen mekaniikan mukainen pienimmän vaikutuksen periaate ei ole voimassa, vaan se sijasta voidaan käyttää d'Alembertin periaatetta, joka ei laske   funktion L integraalin ∫Ldt variaatiota (δ∫Ldt=0 , vaan se laskee variaatioiden integraalin: ∫(δT + δW) dt =0. Mutta tämä on vain matematiikkaa, siinä ei siis ole mitään uutta fysiikkaa, ei synny Newtonin gravitaation rinnalle uusia vuorovaikutuksia.

Klassisesti Lagrangen funktion olemassaolo on kytketty potentiaalifunktion olemassaoloon tai sen ajasta riippuviin yleistyksiin. 

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

Fizikisto kirjoitti:
Vain klassiset systeemit noudattavat pienimmän vaikutuksen periaatetta. Se voidaan johtaa kvanttimekaniikan polkuintegraaliformulaatiosta tarkastelemalla rajaa, jossa Planckin vakio lähestyy nollaa.

Olet oikeassa siinä, että kvanttimekaniikasta saadaan ulos klassinen polku, jonka todennäköisyys asettuu siis 1:ksi lopulta.

Hmm. mutta etteikö polkuintegraali hyödyntäisi samaa vaikutuksen periaatetta kuin klassinenkin polku.

Jokainen polku antaa oman kontribuutionsa todennäköisyyteen, josta edelleen saadaan todennäköisyysamplitudi eri lopputuloksille.

Mutta jos minä nyt oikein hahmotan, niin kunkin polun antama "lisä" todennäköisyyteen on luokkaa exp(i S / h), missä S on aktio, joka saadaan integroimalla Lagrangen funktio koko polun yli. Eikös tässä nimenomaan ne "huonot" polut anna pienen kontribuution ja vaikutusperiaatteen mukaiset oikeat polut suuren kontribuution.

Fizikisto
Seuraa 
Viestejä526
Liittynyt19.2.2014

Quantum State kirjoitti:
Fizikisto kirjoitti:
Vain klassiset systeemit noudattavat pienimmän vaikutuksen periaatetta. Se voidaan johtaa kvanttimekaniikan polkuintegraaliformulaatiosta tarkastelemalla rajaa, jossa Planckin vakio lähestyy nollaa.

Olet oikeassa siinä, että kvanttimekaniikasta saadaan ulos klassinen polku, jonka todennäköisyys asettuu siis 1:ksi lopulta.

Hmm. mutta etteikö polkuintegraali hyödyntäisi samaa vaikutuksen periaatetta kuin klassinenkin polku.

Jokainen polku antaa oman kontribuutionsa todennäköisyyteen, josta edelleen saadaan todennäköisyysamplitudi eri lopputuloksille.

Mutta jos minä nyt oikein hahmotan, niin kunkin polun antama "lisä" todennäköisyyteen on luokkaa exp(i S / h), missä S on aktio, joka saadaan integroimalla Lagrangen funktio koko polun yli. Eikös tässä nimenomaan ne "huonot" polut anna pienen kontribuution ja vaikutusperiaatteen mukaiset oikeat polut suuren kontribuution.

Mitä klassisempi systeemi, sitä vähemmän kontribuutiota ne "huonot polut" antavat. Kunnolla kvanttimekaaniselle systeemille "huonotkin polut" antavat merkittävän kontribuution, muutoinhan se olisi klassinen systeemi. Kuten kirjoititkin, polun kontribuutio on verrannollinen  tekijään exp(i S / hbar). Imaginaariyksikön vuoksi eri ratojen vaikutukset muuttavat vain amplitudin vaihetta. Karkeasti voi sanoa, että kaikki sellaiset polut ovat merkittäviä, joiden vaikutus on korkeintaan noin redusoidun Planckin vakion etäisyydellä klassisen radan vaikutuksesta. Silloin tuon tekijän vaihe ei oskilloi liian voimakkaasti, eivätkä eri polkujen kontribuutiot kumoa toisiaan.

QS
Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Hyvä keskustelunavaus. En nyt kirjoita pitkästi, koska ei ole aikaa, mutta kommentoisin sen verran, että tuo avauksen aihepiiri on kyllä laaja ja siksi rajoitan juttuni vain pariin kommenttiin.

Jos rajataan aihepiiri klassiseksi mekaniikaksi ennen Maxwellin teorioita, ei ollut kai olemassa muuta fundamentaalia fysikaalista vuorovaikutusta kuin Newtonin gravitaatioteorian mukainen. Tämä teoria voidaan muotoilla Lagrangen tai Hamiltonin mekaniikan avulla: L = T - V tai H = T + V jne.

Toinen juttu on sitten erilaisten mekaniikan probleemoiden ratkaiseminen erilaisten variaatioperiaatteiden avulla. Nämä taasen ovat pohjimmiltaan vain matematiikkaa, joissa näppärillä variaatiolaskennan menetelmillä saadaan esiin systeemiä kuvaavat differentiaaliyhtälöt. Tällöin tulee vastaan tilanteita, jolloin Lagrangen funktiota L ei välttämättä ole edes olemassa, koska esimerkiksi potentiaalifunktiota ei ole olemassa, edes ajasta riippuvassa tapauksessa. Silloin Lagrangen mekaniikan mukainen pienimmän vaikutuksen periaate ei ole voimassa, vaan se sijasta voidaan käyttää d'Alembertin periaatetta, joka ei laske   funktion L integraalin ∫Ldt variaatiota (δ∫Ldt=0 , vaan se laskee variaatioiden integraalin: ∫(δT + δW) dt =0. Mutta tämä on vain matematiikkaa, siinä ei siis ole mitään uutta fysiikkaa, ei synny Newtonin gravitaation rinnalle uusia vuorovaikutuksia.

Klassisesti Lagrangen funktion olemassaolo on kytketty potentiaalifunktion olemassaoloon tai sen ajasta riippuviin yleistyksiin. 

Tässä tulikin monta hyvää näkökulmaa esille.

Langrangen ja Hamiltonin mekaniikassa se piirre, että ne pitävät sisällään pienimmän vaikutuksen periaatteen, vaikka se ei suoraan näykään. Hamiltonhan muotoileekin asian siten, että systeemin kehitys kahden tilan välillä tapahtuu siten, että vaikutusfunktio on stationäärinen.

Lagrange ei suoraan samaa ilmaise, mutta Euler-Lagrangenkin yhtälö tekee juurikin saman, ja on johdettavissa Hamiltonin periaatteesta.

Maxwell ei tosiaan tutkinut pienimmän vaikutuksen periaatetta, mutta sinänsä mielenkiintoista, että Maxwellin yhtälöiden kanssa pelatessa vaikutusperiaatteen avulla voidaan laskea vaikkapa että mihin kohtaan johdinta varaukset asettuvat kentässä. Ne tottelevat tuota samaa vaikutusperiaatetta.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14782
Liittynyt16.2.2011

Kommentoin nyt vain tuota kysymystä:

Onko avaruus käsitteenä kytköksissä periaatteeseen, vai voidaanko se muotoilla ilman avaruutta ?

Avaruus on käsittääkseni erityisen kytköksissä tuohon periaatteeseen. Ei suinkaan siten, että periaate joutuisi noudattamaan avaruutta, vaan niin, että avaruus pohjimmiltaan muodostuu tuon periaatteen varaan. Kaikki mitattava asettuu johdonmukaisuusjärjestykseen ja suure, jolla avaruus virittyy on selvästikin tiheys; sen voi löytää hierarkisesti kuinka yksinkertaisista tai monimutkaisista fysikaalisista ympäristöistä tahansa.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

QS
Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

Fizikisto kirjoitti:
Quantum State kirjoitti:
Fizikisto kirjoitti:
Vain klassiset systeemit noudattavat pienimmän vaikutuksen periaatetta. Se voidaan johtaa kvanttimekaniikan polkuintegraaliformulaatiosta tarkastelemalla rajaa, jossa Planckin vakio lähestyy nollaa.

Olet oikeassa siinä, että kvanttimekaniikasta saadaan ulos klassinen polku, jonka todennäköisyys asettuu siis 1:ksi lopulta.

Hmm. mutta etteikö polkuintegraali hyödyntäisi samaa vaikutuksen periaatetta kuin klassinenkin polku.

Jokainen polku antaa oman kontribuutionsa todennäköisyyteen, josta edelleen saadaan todennäköisyysamplitudi eri lopputuloksille.

Mutta jos minä nyt oikein hahmotan, niin kunkin polun antama "lisä" todennäköisyyteen on luokkaa exp(i S / h), missä S on aktio, joka saadaan integroimalla Lagrangen funktio koko polun yli. Eikös tässä nimenomaan ne "huonot" polut anna pienen kontribuution ja vaikutusperiaatteen mukaiset oikeat polut suuren kontribuution.

Mitä klassisempi systeemi, sitä vähemmän kontribuutiota ne "huonot polut" antavat. Kunnolla kvanttimekaaniselle systeemille "huonotkin polut" antavat merkittävän kontribuution, muutoinhan se olisi klassinen systeemi. Kuten kirjoititkin, polun kontribuutio on verrannollinen  tekijään exp(i S / hbar). Imaginaariyksikön vuoksi eri ratojen vaikutukset muuttavat vain amplitudin vaihetta. Karkeasti voi sanoa, että kaikki sellaiset polut ovat merkittäviä, joiden vaikutus on korkeintaan noin redusoidun Planckin vakion etäisyydellä klassisen radan vaikutuksesta. Silloin tuon tekijän vaihe ei oskilloi liian voimakkaasti, eivätkä eri polkujen kontribuutiot kumoa toisiaan.

Vielä tähän QM/klassinen vaikutusfunktioon.

Niin, kvanttimekaniikassa ei tietysti voi kysyä polkua A:sta B:hen, vaan todennäköisyysamplitudia tapahtuman mittaamiseksi B:ssä, senjälkeen kun systeemi on kehittynyt ajan suhteen A:sta eteenpäin.

Schrödingerin aaltofunktion rakentamisessa massahiukkaselle mukana oli mm. Hamiltonin mekaniikan ja optiikan formalismi, sekä Fermatin alkuperäinen periaate, jonka mukaan valonsäteet hakeutuvat rajapinnoissa lyhimmän ajan antaville poluille. (Nämä vain yksittäisiä osia, mukana liuta muitakin näkökulmia, kuten hyvin tiedetään).

Fermatin periaate on toisessa muodossaan aallon vaiheen mahdollisimman pientä vaihtelua kahden pisteen välillä. Tämä käytännössä vaiheen vaikutusfunktion minimoimista.

Yhtälön rakentamisessa 'arvattiin' aaltofunktion muodoksi Z = a exp(i φ), jossa φ vaihe. Myöhemmin lopulliseksi aaltofunktioksi muodostui nykyisinkin tutun näköinen ψ = a exp(i S/hbar), jossa S Hamiltoinin muotoilema vaikutusfunktio.

Aaltofunktio voidaan käsitellä Hamiltoinin-Jacobin yhtälöllä, jossa tulee jo melko eksplisiittisen näköisenä esille Hamiltoinin energia, kineettinen ja potentiaali. Schrödinger (ainkain lähteiden mukaan) löysi yhtöstä Lagrangen funktion, ja rakensi vaikutusfunktion, jonka minimoi Euler-Lagrangen yhtälöllä. Lopputuloksena lähes valmis Schrödingerin aaltoyhtälö, sisältäen välivaiheisiin piilotettuna...pienimmän vaikutuksen periaatteen.

Feynmanin polkuintegraaleissa minimointi ei ole näkyvissä, siellä näkyy suoraan oikeastaan vain vaikutusfunktiot, ilman näkyvää minimointia. Polkuintegraaleista voidaan tosin johtaa Schrödingerin aaltoyhtälö.

Itse näkisin, että kvanttimekaniikka ei ole vapaa pienimmän vaikutuksen periaatteesta tod.näk.amplitudin selvittämisessä. Se ei tietysti kuvaa todellista polkua, joka (kuten Fizikisto painottikin) toteutuu vain klassisessa fysiikassa.

ksuomala
Seuraa 
Viestejä2828
Liittynyt30.3.2014

Quantum State kirjoitti:
Fizikisto kirjoitti:
Quantum State kirjoitti:
Fizikisto kirjoitti:
Vain klassiset systeemit noudattavat pienimmän vaikutuksen periaatetta. Se voidaan johtaa kvanttimekaniikan polkuintegraaliformulaatiosta tarkastelemalla rajaa, jossa Planckin vakio lähestyy nollaa.

Olet oikeassa siinä, että kvanttimekaniikasta saadaan ulos klassinen polku, jonka todennäköisyys asettuu siis 1:ksi lopulta.

Hmm. mutta etteikö polkuintegraali hyödyntäisi samaa vaikutuksen periaatetta kuin klassinenkin polku.

Jokainen polku antaa oman kontribuutionsa todennäköisyyteen, josta edelleen saadaan todennäköisyysamplitudi eri lopputuloksille.

Mutta jos minä nyt oikein hahmotan, niin kunkin polun antama "lisä" todennäköisyyteen on luokkaa exp(i S / h), missä S on aktio, joka saadaan integroimalla Lagrangen funktio koko polun yli. Eikös tässä nimenomaan ne "huonot" polut anna pienen kontribuution ja vaikutusperiaatteen mukaiset oikeat polut suuren kontribuution.

Mitä klassisempi systeemi, sitä vähemmän kontribuutiota ne "huonot polut" antavat. Kunnolla kvanttimekaaniselle systeemille "huonotkin polut" antavat merkittävän kontribuution, muutoinhan se olisi klassinen systeemi. Kuten kirjoititkin, polun kontribuutio on verrannollinen  tekijään exp(i S / hbar). Imaginaariyksikön vuoksi eri ratojen vaikutukset muuttavat vain amplitudin vaihetta. Karkeasti voi sanoa, että kaikki sellaiset polut ovat merkittäviä, joiden vaikutus on korkeintaan noin redusoidun Planckin vakion etäisyydellä klassisen radan vaikutuksesta. Silloin tuon tekijän vaihe ei oskilloi liian voimakkaasti, eivätkä eri polkujen kontribuutiot kumoa toisiaan.

Vielä tähän QM/klassinen vaikutusfunktioon.

Niin, kvanttimekaniikassa ei tietysti voi kysyä polkua A:sta B:hen, vaan todennäköisyysamplitudia tapahtuman mittaamiseksi B:ssä, senjälkeen kun systeemi on kehittynyt ajan suhteen A:sta eteenpäin.

Schrödingerin aaltofunktion rakentamisessa massahiukkaselle mukana oli mm. Hamiltonin mekaniikan ja optiikan formalismi, sekä Fermatin alkuperäinen periaate, jonka mukaan valonsäteet hakeutuvat rajapinnoissa lyhimmän ajan antaville poluille. (Nämä vain yksittäisiä osia, mukana liuta muitakin näkökulmia, kuten hyvin tiedetään).

Fermatin periaate on toisessa muodossaan aallon vaiheen mahdollisimman pientä vaihtelua kahden pisteen välillä. Tämä käytännössä vaiheen vaikutusfunktion minimoimista.

Yhtälön rakentamisessa 'arvattiin' aaltofunktion muodoksi Z = a exp(i φ), jossa φ vaihe. Myöhemmin lopulliseksi aaltofunktioksi muodostui nykyisinkin tutun näköinen ψ = a exp(i S/hbar), jossa S Hamiltoinin muotoilema vaikutusfunktio.

Aaltofunktio voidaan käsitellä Hamiltoinin-Jacobin yhtälöllä, jossa tulee jo melko eksplisiittisen näköisenä esille Hamiltoinin energia, kineettinen ja potentiaali. Schrödinger (ainkain lähteiden mukaan) löysi yhtöstä Lagrangen funktion, ja rakensi vaikutusfunktion, jonka minimoi Euler-Lagrangen yhtälöllä. Lopputuloksena lähes valmis Schrödingerin aaltoyhtälö, sisältäen välivaiheisiin piilotettuna...pienimmän vaikutuksen periaatteen.

Feynmanin polkuintegraaleissa minimointi ei ole näkyvissä, siellä näkyy suoraan oikeastaan vain vaikutusfunktiot, ilman näkyvää minimointia. Polkuintegraaleista voidaan tosin johtaa Schrödingerin aaltoyhtälö.

Itse näkisin, että kvanttimekaniikka ei ole vapaa pienimmän vaikutuksen periaatteesta tod.näk.amplitudin selvittämisessä. Se ei tietysti kuvaa todellista polkua, joka (kuten Fizikisto painottikin) toteutuu vain klassisessa fysiikassa.

Jaahas. Tänään on näköjään kiellettyä käpistellä tuosta quotatusta osasta vähemmän olennaisia osia pois tahikka boldata olennaisempia. No ajattelin vain mainita että "lopputuloksena lähes valmis Schrödingerin yhtälö" - jutska kuulostaa samantapaiselta puuhastelulta mitä olen itsekin harrastanut. Lähdetään siitä että värähtelevien kompleksivektorien normi säilyy kun liikutaan hyperbelisiä käyriä pitkin ja sitten niihin hyperbelisiin käyriin lisätään epsilonin verran perturbaatiota niin kompleksivektorien vaiheeseen tulee tutun näköistä lisätermiä. Sitten jos oletetaan että hyperbelin kertoimet eivät olekaan vakioita niin saadaankin jotain mikä muistuttaa Schrödingeriä varautuneelle hiukkaselle EM-kentässä. 

Tosin voi olla ettei tämä ole mikään kovin uusi tai mullistava havainto. 

Pienimmän vaikutuksen periaatteeseen liittyen, onko Bernsteinin probleema(https://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein%27s_problem) tuttu?

JPI
Seuraa 
Viestejä25471
Liittynyt5.12.2012

Quantum State kirjoitti:

Niin, kvanttimekaniikassa ei tietysti voi kysyä polkua A:sta B:hen, vaan todennäköisyysamplitudia tapahtuman mittaamiseksi B:ssä, senjälkeen kun systeemi on kehittynyt ajan suhteen A:sta eteenpäin.


Jep mutta eikös Feynmanin kvanttimekaniikan path integral formulaatiossa kuitenkin "lasketa" aktio S erilaisia polkuja pitkin? Lainausmerkit sanassa lasketa siksi, että eihän noita polkuja lasketa missään vaan ikäänkuin laaketaan, siis huomioidaan. :-)

3³+4³+5³=6³

QS
Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

JPI kirjoitti:
Quantum State kirjoitti:

Niin, kvanttimekaniikassa ei tietysti voi kysyä polkua A:sta B:hen, vaan todennäköisyysamplitudia tapahtuman mittaamiseksi B:ssä, senjälkeen kun systeemi on kehittynyt ajan suhteen A:sta eteenpäin.


Jep mutta eikös Feynmanin kvanttimekaniikan path integral formulaatiossa kuitenkin "lasketa" aktio S erilaisia polkuja pitkin? Lainausmerkit sanassa lasketa siksi, että eihän noita polkuja lasketa missään vaan ikäänkuin laaketaan, siis huomioidaan. :-)

Mikähän olisi oikea termi. Hmm. Feynmanin polkuintegraali komentaa: "Monistukaa, tutkikaa kaikki polut. Ja sitten takaisin ja raportoikaa, mars!" ;D

No joo.

Mutta kieltämättä polkuintegraaleilla kaikkien polkujen vaikutus huomioidaan, ulospäin näyttävät tuovan eri vaihtoehtoiset historiat todellisemmiksi. Se integraalihan ikäänkuin käy jokaisessa pienessä aikaikkunassa evoluutiossa ja tutkii pienen pätkän eteenpäin. Ja keräilee amplitudit kasaan.

Vaikka ne eivät lopputuloksessa ole todellisia, vain yksi polku on todellinen mittausvaiheessa, ja sen amplitudi.

Ihan alkuperäisessä kvanttimekaniikassa polut eivät olleet näkyvässä roolissa, vain todennäköisyys.

JPI
Seuraa 
Viestejä25471
Liittynyt5.12.2012

Quantum State kirjoitti:
JPI kirjoitti:
Quantum State kirjoitti:

Niin, kvanttimekaniikassa ei tietysti voi kysyä polkua A:sta B:hen, vaan todennäköisyysamplitudia tapahtuman mittaamiseksi B:ssä, senjälkeen kun systeemi on kehittynyt ajan suhteen A:sta eteenpäin.


Jep mutta eikös Feynmanin kvanttimekaniikan path integral formulaatiossa kuitenkin "lasketa" aktio S erilaisia polkuja pitkin? Lainausmerkit sanassa lasketa siksi, että eihän noita polkuja lasketa missään vaan ikäänkuin laaketaan, siis huomioidaan. :-)

Mikähän olisi oikea termi. Hmm. Feynmanin polkuintegraali komentaa: "Monistukaa, tutkikaa kaikki polut. Ja sitten takaisin ja raportoikaa, mars!" ;D

No joo.

Mutta kieltämättä polkuintegraaleilla kaikkien polkujen vaikutus huomioidaan, ulospäin näyttävät tuovan eri vaihtoehtoiset historiat todellisemmiksi. Se integraalihan ikäänkuin käy jokaisessa pienessä aikaikkunassa evoluutiossa ja tutkii pienen pätkän eteenpäin. Ja keräilee amplitudit kasaan.

Vaikka ne eivät lopputuloksessa ole todellisia, vain yksi polku on todellinen mittausvaiheessa, ja sen amplitudi.

Ihan alkuperäisessä kvanttimekaniikassa polut eivät olleet näkyvässä roolissa, vain todennäköisyys.

 

No niinhän se on. Toisaalta kaksoisrakokoettakin voidaan tarkastella polkuintegraalien avulla, tällöin kahden makroskooppisesti toisistaan poikkeavan polun ympäristössä kulkevat polut antavat amplitudiin merkittävän vaikutuksen, ei ainoastaan yksi klassista polkua vastaava polku ympäristöineen, eihän klassista polkua edes tuossa ole, vai onko? Kaksi klassista polkua yhdelle hiukkasella kenties? :-)
On muuten mielenkiintoista mitä aiemmin totesit kvanttimekaniikasta. Nimittäin se, että koko pienimmän vaikutuksen periaatetta ei edes käytetä polkuintegraaliformulaatiossa, jolloin voidaan todellakin ajatella, että jälkimmäinen on syvällisempi lähtökohta.

3³+4³+5³=6³

QS
Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

Niinpä, polkuintegraalilähestymistä voisi pitää perustavanlaatuisempana kuin muita formulointeja. Jotenkin kiehtova tuo perusta, niinkuin sanoitkin: Polkuja haetaan perin klassisen lainalaisuuden mukaan, mutta toisaalta...ei niitä kuitenkaan ole.

Täytyypä kaivella esille, miten velmu-Feynman alunperin rakensi polkuintegraalit. Siinä oli jotenkin mukana Huygensin periaate (eli vanha hyvä teoria aaltorintaman käyttäytymiseen), kvanttimekaniikan lisäksi. Nero kaveri tämä Mr. F jokatapauksessa.

Jossain artikkelissa kuvattiin hyvin principle of least action:

Kivi, joka liikkuu hitaasti vähän kaareutuneessa aika-avaruudessa - luonto komentaa: Follow the path of least action!

Kivi, joka liikkuu millä tahansa nopeudella kaareutuneessa aika-avaruudessa - luonto komentaa: Follow the path of maximal aging (or maximal proper time)!

Feynmanin polkuintegraalien elektroni - luonto komentaa: Explore all paths!

:)

QS
Seuraa 
Viestejä4420
Liittynyt26.7.2015

Ajauduin polkuintegraalin syntyhistoriaan, ja Feynman-tyylinen veijaritarina hänen Nobel-luennostaan. Feynman oli utelias löytämään tavan jolla QM voitaisiin rakentaa vaikutusfunktioin avulla, mutta ajautui melko erilaisille poluille...polkuintegraaleihin.

Dirac oli pelaillut Huygensin periaatteen kanssa, joka voidaan kirjoittaa kvanttimekaniikkaa muistuttavassa muodossa:

ψ(x,t2) = ∫ G(x,y)ψ(y,t2)dy

jossa aalto kehittyy propagaattorin, G:n avulla.

Dirac kirjoitti pyörittelyn jälkeen: "...we then have <xn,tn|x0,t0> as the analogue of exp(i/hbar S)."

Feynman ei oikein syttynyt 'analogioista' vaan tinkasi edellisen illan kaljanjuonnin jälkeen, että mitä hemmetin analogia. Mitä se S tässä tekee. Onko se nyt equal vai analogy, että mitä hä :)

----

Feynmanin omin sanoin

http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1965/feynman-le...

(Löytyy hakemalla, noin puolivälissä tekstiä: "So that didn't help me very much, but when I was struggling with

this problem...")

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat