Seuraa 
Viestejä1591

ps. olen huono matiikassa

Sivut

Kommentit (38)

L
Seuraa 
Viestejä7979

Eteenpäin

En ole minkään sortin matemaatikko, mutta uskaltaisin sanoa, että voi, mutta vain ja ainoastaan siinä tapauksessa, että säde on äääretön. Onko äärettömän kokoisessa ympyråssä mitään mieltä, on varmaan sitten ihan eri asia.

Reifengas
Seuraa 
Viestejä4489

Kehä on aina ääretön lineaarisessa avaruudessa.

Kehään tarvitaan toinen ulottuvuus, eikä se sitten enää olekaan ääretön.

Heleppoa kun heinänteko.

Rinnan rikkahat ajavat,
käsityksin köyhät käyvät.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
eteenpäin
Seuraa 
Viestejä1591

Reifengas kirjoitti:
Kehä on aina ääretön lineaarisessa avaruudessa.

Kehään tarvitaan toinen ulottuvuus, eikä se sitten enää olekaan ääretön.

Heleppoa kun heinänteko.

Tämä vaikuttaa siltä, että jotain fiksua on ilmaistu.

Selitä silti uudestaan silleen, että kaltaiseni tyhmäkin ymmärtää

eteenpäin
Seuraa 
Viestejä1591

Eli suora <-> ääretön ympyrä?

ps. olen ollut reippaasti yli vuoden pois foorumilta, ja systeemit näyttää käyneen melkosen myllyn läpi. Olenko aivan sokea, kun en löydä viestin muokkausnappulaa mistään?

Reifengas
Seuraa 
Viestejä4489

eteenpäin kirjoitti:
Reifengas kirjoitti:
Kehä on aina ääretön lineaarisessa avaruudessa.

Kehään tarvitaan toinen ulottuvuus, eikä se sitten enää olekaan ääretön.

Heleppoa kun heinänteko.

Tämä vaikuttaa siltä, että jotain fiksua on ilmaistu.

Selitä silti uudestaan silleen, että kaltaiseni tyhmäkin ymmärtää

Ensin on viiva, mikä menee äärettömyyteen. Yksi ulotutuvuus. Aina suoraan eteenpäin. Onhan se selvä äärettömyys, vai mitå?

Sitten joku keksii vääntää sitä suoraa!

Vääntää niin paljon, että tullaankin takaisin  tutulle suoralle.

Niinpä on tehty jonkinlainen kehä.

Rinnan rikkahat ajavat,
käsityksin köyhät käyvät.

Reifengas
Seuraa 
Viestejä4489

Siinä itseensä kerityssä kehässä se äärettömyyteen jatkava suora sitten pyörii.

Edelleenkin heleppoa kun heinänteko.

On ääretön, eikä kumminkaan ole.

Rinnan rikkahat ajavat,
käsityksin köyhät käyvät.

L
Seuraa 
Viestejä7979

eteenpäin

Kirjoitit:

”Eli suora <-> ääretön ympyrä?”

Reifengas varmaan tarkoitti sitä, että kun naaman edessä on ympyrä, ja alkaa kasvattamaan sen sädettä, näyttää naaman edessä oleva pätkä kaaresta ”suoristuvan”. Samahan tapahtuu, jos siirtää tarkkailupistettä lähemmäksi, jolloin näkyvissä oleva osa kaarta taas ”suoristuu”.

Tuo efekti katoaa, jos sädettä kasvatettaessa tarkkailupistettä nostetaan myös. Minun arkijärjelläni ympyrän muoto pysyy ja kaari on edelleen kaareva.

Kuten sinäkin huomasit Wikistä, ympyrällä ja suoralla on näköjään jokin matemaattinen yhteys. Sama asia ne eivät käsittääkseni kuitenkaan ole, edes äärettömän säteisessä ympyrässä. Itse olettaisin, että äärettömän säteinen ympyrä vaan ei ole mielekäs käsite. Voihan tietenkin myös olla, että se on matematiikassa hyvin määritelty käsite ja käyttökelpoinenkin jossain.

Palstalla on edelleen muutamia matematiikkaan syvällisesti perehtyneitä kirjoittajia jäljellä, vaikka asiallisten kirjoittajien määrä yleisesti ottaen on ollut voimakkaassa laskussa, joten eiköhän joku noista tämän keskustelun jossain vaiheessa huomaa.

Ja:

”Olenko aivan sokea, kun en löydä viestin muokkausnappulaa mistään?”

Kyseinen toiminto on poistettu. Asiasta on keskusteltu laajemminkin palstalla.

Vierailija

Jos ajatellaan, että kehä on 2pii kertaa r eli halkaisija kertaa pii niin tuo piihän on päättymätön desimaaliluku eli näyttäisi siltä, että kehä ikään kuin olisi ääretön. Mutta eikö edellytys ole silloin, että myös halkaisijan pitäisi olla aina päättymätön desimaaliluku??

Itse ajattelen näin: Alussa kaikki muodot olivat skalaareja puumaisia tai salamamaisia muodottomuuksia eli epäsymmetrisiä. Mutta neljäs päivä toi mukanaan elämän ja symmetrian. Ympyrän, pallon, kuution, neliön jne. Nuo ovat kaikki symmetriset muodot kaiketi tensoreja.

Koska siis ympyrä on elämän vertauskuva; niin se ei välttämättä ole äärettömän iso, vaan tuomittu JAKAUTUMAAN kahdeksi tai muuta sellaista. En usko, että piin päättymättömyys johtaa siihen, että kehä olisi jatkuvassa liikkeessä tai jatkuvasti suurenemassa, vaan ennemmin jakaantumassa.

Mutta voihan olla niinkin, että kun kerran kvarkkien sisällä on alati uusia kvarkkeja??? ...... niin jotenkin atomien ollessa kyseessä mennään äärettömyyteen jotenkin ......??

JPI
Seuraa 
Viestejä29954

Pitää muistaa, että ääretön EI ole luku. Kaksi ympyrää voi olla kehältään ääretöntä mutta niistä ei voi sanoa ovatko ne yhtä suuria.
Äärettömän kehän ja äärettömän yleensä matematiikassa tulee ajatella tarkoittavan raja-arvoa kun jokin luku kasvaa rajatta tai lähestyy jotakin lukua mielivaltausen lähelle. Esim:
1/(1-x) lähestyy ääretöntä kun x lähestyy 1:stä tai 2pi*r lähestyy ääretöntä kun r lähestyy ääretöntä. Ääreton ei siis lukuna tarkoita mitään, koska se ei ole luku. Vielä esim:
oo/oo = ? ei ole määritelty kysymyskään matematiikassa, se ei siis ole 1 kuten vaikkapa a/a, missä a on luku. Ainoastaan raja-arvon käsitettä käyttämällä tuo voidaan laskea osamääränä kahdelle ääretöntä lähestyvällä lausekkeelle, esim x^2/x, osoittaja ja nimittäjä lähestyvät molemmat ääretöntä kun x lähestyy ääretöntä ja koko osamääräkin sitä lähestyy, eikä ykköstä. Sen sijaan x/x^2 lähestyy nollaa, eikä ykköstä, kun x lähestyy ääretöntä. Kumpaakaan tapausta ei siis voi määrittää osamääränä oo/oo.

3³+4³+5³=6³

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Tuohon aloittajan kysymykseen, voiko ympyrän kehä olla ääretön, siis pituudeltaan ääretön, vastaus on hieman kinkkinen, koska se riippuu mitä ympyrällä tarkoitetaan. Ihan perusgeometriassa ympyrä on se tason pisteiden P joukko, jotka ovat vakioetäisyydellä annetusta tason pisteestä O. Jos tuo etäisyys on suuruudeltaan luku R, niin tällöin kehän pituus on  2πR, tässä tarkastelussa ei siis käsitellä tapausta, jossa tuo etäisyys R on ääretön.

Kuitenkin voi leikkiä ajatuksella, mitä tapahtuu kun R on lähestyy ääretöntä. Intuitiivisesti silloin kyseessä on suora, joka saadaan, kun R-säteisen ympyrän keskipiste O  etääntyy siten, että yksi ympyrän piste P pysyy  paikallaan. Nyt tuo raja-arvona saadun suoran suunta riippuu siitä, mihin suuntaan tasossa O etääntyy. Tuon pisteen O pitää nimittäin etääntyä, siten että, se lähestyy jotain rajasuoraa, kun R->oo.

Voidaan myös tutkia, mitä tapahtuu, jos pidetäänkin O paikallaan, ja annetaan säteen R kasvaa rajatta. Tällöin tuo "ympyrä" on intuitiivisesti "äärettömän kaukaisten" pisteiden joukko. Itseasiassa osoittautuu, että tietyssä geometrian laajennuksessa (=laajennettu kompleksitaso) tämä joukko onkin vain yksi piste, siis lähinnä 0-säteinen "ympyrä".

Asia miksi joskus on hyödyllistä kutsua tason suoria ympyröiksi, on se että, (kuten edellä annetussa linkissä mainitaan) ympyrät ja suorat käyttäytyvät samalla tavalla tietyssä geometrisessa muunnoksessa. Tämä muunnos on nimeltään inversio, ja sen yksinkertaisin muoto on kompleksiluvun (eli tason pisteen)  z  muunnos pisteeksi 1/z*, missä * merkitsee kompleksigonjugaattia.

Hieman laajemmin, inversio  määritellään annetun kiinteän ympyrän suhteen tiettynä muunnoksena, jossa ympyrän sisällä olevat pisteet kuvautuvat ympyrän ulkopuolisille pisteille ja kääntäen, ympyrän kehä pysyy paikallaan. Katso esimerkiksi kuvat linkistä:

https://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_geometry

missä piste P' on pisteen P inversio ympyrän   ø suhteen (merkinnät kuten kuvassa).

Tällä inversiolla on hämmästyttäviä ominaisuuksia:

- Se kuvaa ympyrän ø sisällä olevan ympyrän Y, joka kulkee ympyrän ø keskipisteen kautta suoraksi L ja vastaavasti ympyrän ø ulkopuolella oleva suora L kuvautuu ympyräksi Y.

- Se kuvaa ympyrän ø sisällä olevat ympyrät Y (jotka ei kulje ø:n keskipisteen kautta) ympyrän ø ulkopuolella oleviksi ympyröiksi Y' ja kääntäen.

Tarkemmin asiaa tutkien, mikä tahansa ympyrä Y, joka ei kulje ø:n keskipisteen kautta, kuvautuu ympyräksi Y', joka ei myöskään kulje sen keskipisteen kautta.

Nimenomaan tuo inversio ei tunne eroa ympyröiden ja suorien välillä, se on sellainen muunnos, joka käsittelee niitä samalla tavalla., siksi inversiogeometriassa voidaan ympyröitä ja suoria kutsua vain ympyröiksi (laajennetussa mielessä).

Tuon inversion näennäisestä "helppoudesta" (no ainakin matemaatikolle) huolimatta, se on keskeinen muunnos matematiikan osa-alueen funktioteorian Möbius-kuvausten teoriassa. Näitä kuvaukset pulpahtelevat aina silloin tällöin mitä ihmeellisimmissä yhteyksissä. Esimerkiksi suppean suhteellisuusteorian Lorentz-muunnokset ovat oleellisesti sama asia kuin Möbius-kuvaukset.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
...kompleksiluvun (eli tason pisteen)  z  muunnos pisteeksi 1/z*, missä * merkitsee kompleksigonjugaattia.

Onko tuo yleinen notaatio? En ole kunnolla opiskellut kompleksimerkintöjä, mutta tuntuisi, että riittäisi merkitä z*. Jos esitetään noin, 1/z*, tulkitsisin, että otetaan kompleksikonjukaatista käänteisluku, joka olisikin jotain x/(xx+aa)+(a i)/(xx+aa), kun z = x + ai, x reaaliosa... ?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Eusa kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
...kompleksiluvun (eli tason pisteen)  z  muunnos pisteeksi 1/z*, missä * merkitsee kompleksigonjugaattia.

Onko tuo yleinen notaatio? En ole kunnolla opiskellut kompleksimerkintöjä, mutta tuntuisi, että riittäisi merkitä z*. Jos esitetään noin, 1/z*, tulkitsisin, että otetaan kompleksikonjukaatista käänteisluku, joka olisikin jotain x/(xx+aa)+(a i)/(xx+aa), kun z = x + ai, x reaaliosa... ?

Ei vaan, kas niinhän se avautuukin renkaaksi. Sorry, luin silmät ristissä.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Möbiuksestahan tulee mieleen möbiuksen nauha - voisiko sanoa, että kun ääretönkehäinen ympyrä kehrätään äärelliskehäiseksi, saadaan möbiusnauha? Tällaisesta ajattelutavasta on renormalisaatiotutkiskelussani minulla joitain kokemuksia...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Eusa kirjoitti:
Möbiuksestahan tulee mieleen möbiuksen nauha - voisiko sanoa, että kun ääretönkehäinen ympyrä kehrätään äärelliskehäiseksi, saadaan möbiusnauha? Tällaisesta ajattelutavasta on renormalisaatiotutkiskelussani minulla joitain kokemuksia...

Ei ole sukua keskenään: Möbiuksen nauhalla ja Möbius-kuvauksella ei ole mitään tekemistä keskenään, paitsi se että kumpaakin on tutkinut sama henkilö.

Möbius-kuvaus on kuvaus, jossa kompleksiluku z kuvautuu luvuksi (az+b)/(cz+d), missä kaikki luvut ovat kompleksilukuja ja ad-bc ei ole =0. Näennäisesti tuo kuvaus on varsin tylsän näköinen rationaalifunktio, eihän esimerkiksi reaaliluvun x kuvautuminen luvuksi (ax+b)/(cx+d) ole mitenkään syvällistä touhua.

Kompleksiluvuilla z kaikki on totaalisesti toisin, tuo tylsän näköinen kuvaus osoittautuu olevan erittäin rikas ominaisuuksiltaan, sellaiset kuvaukset esimerkiksi ovat oleellisesti samat kuin Lorentz-muunnokset suhteellisuusteoriassa.

Möbius-kuvaus kuvaa, ympyrän (laajennetussa mielessä) Y ympyräksi Y'. Se siis säilyttää ympyrät (laajennetussa mielessä).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Tiedän kyllä, ettei Möbiuksen nauha liity kuvausmatematiikkatyökaluihin. Henkilön nimestä muistin tämän toisen asian. Kiitos, kun palautit mieleen kompleksiavaruutta.

Kysymys on mielestäni aiheen mukainen: "Voisiko sanoa, että kun ääretönkehäinen ympyrä kehrätään äärelliskehäiseksi, saadaan möbiusnauha?"

Möbiusnauhan reunamuotoon kun låhdetään sitomaan energiaa niin, että se muodostaa nauhan pintaa, on siinä kaksi reunaa (varausdualismi) ja periaatteessa mielivaltainen potentiaalin sitoutumismahdollisuus. Konvertoidaan Möbiusnauhan geometria 3D-pinnaksi. Kun tyhjö sitten mallinnetaan virtuaalisena 4D-Kleinin pullona, jossa potentiaali pitkittäisvärähtelee pullon 3D-pintaa pitkin, saadaan hiukkasia eri kulmissa leikatuista ajallisesti johdonmukaisista "ääretönkehäisistä" ympyräleikkauksista ja poikittainen aalto muodostuu omiaan. Möbiusnauhan leveyden voisi vaikka määrittää suhde aikaan / avaruusajan kaarevuuteen - voisi selvitä, kun sovittaisi geometriaa havaintodataan.

Kovasti kiinnostaa päästä joskus mallintamaan tuota kolmelle ainesukupolvelle, saisiko jotain pelittävää kasaan...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

JPI
Seuraa 
Viestejä29954

Tulipa mieleen Hamiltonin kvaterniot. Konformikuvauksia käyttämällä voimme 2D:ssä ratkaista monimutkaisia 2D:hen redusoitavia ongelmia. Hamilton haaveili että kvaterniolla voitaisiin vastaava tehdä 3D:ssä/4D:ssä. Hamiltomin ja muidenkin pettymykseksi todettiin kuitenkin että kvaternioilla ei ole vastaavaa ominaisuutta kuin kompleksiluvuillama, niillä ei voi yleistää konformikuvauksia 3D tai 4D avaruuteen.  Kun asiaa tarkemmin tutkitaan, niin kompastuskiveksi osoittautaa se, että kompleksikonjukaati on kvaternioilla ilmaistavissa pelkästään kvaternioiden kertolaskulla päinvastoin kuin kompleksiluvuilla.

Olen joskus miettinyt sitä, että voitaisiko silti sopivalla kvaternioiden yleistyksellä saada aikaan jonkinlainen konformikuvausta vastaava juttu, joka toimisi 3D:ssä kuten se toimii 2D:ssä kompleksiluvuilla.

Tuskin ?

3³+4³+5³=6³

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

JPI kirjoitti:
Tulipa mieleen Hamiltonin kvaterniot. Konformikuvauksia käyttämällä voimme 2D:ssä ratkaista monimutkaisia 2D:hen redusoitavia ongelmia. Hamilton haaveili että kvaterniolla voitaisiin vastaava tehdä 3D:ssä/4D:ssä. Hamiltomin ja muidenkin pettymykseksi todettiin kuitenkin että kvaternioilla ei ole vastaavaa ominaisuutta kuin kompleksiluvuillama, niillä ei voi yleistää konformikuvauksia 3D tai 4D avaruuteen.  Kun asiaa tarkemmin tutkitaan, niin kompastuskiveksi osoittautaa se, että kompleksikonjukaati on kvaternioilla ilmaistavissa pelkästään kvaternioiden kertolaskulla päinvastoin kuin kompleksiluvuilla.

Olen joskus miettinyt sitä, että voitaisiko silti sopivalla kvaternioiden yleistyksellä saada aikaan jonkinlainen konformikuvausta vastaava juttu, joka toimisi 3D:ssä kuten se toimii 2D:ssä kompleksiluvuilla.

Tuskin ?

Se, mitä matkan varrella olen ymmärtänyt, on johdattanut minua kuvaukseen, jossa on tuo virtuaalinen syklinen kleinin 4d-pullopinta antamassa spin½-ympyröitä sitä leikatessa. Silloin voitaneen unohtaa kompleksisuus kokonaan ja tuplamonistona mallinaten nojautua konformikuvauksissa (peilattuihin?) 4x4 -reaalimatriiseihin. Vaan täytyy kahlata viralliset kurssit kunnolla läpi, ennen kuin voi sanoa tarkoin mitä on näkyvissä...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat