Sivut

Kommentit (732)

hmk
Seuraa 
Viestejä1060

Jos voiman määritelmä on F = dp/dt, niin onko Newtonin 2. laki (F = dp/dt) näin ollen "vain" määritelmä; eli sillä ei ole mitään aitoa fysikaalista sisältöä? Ja eikö 2. lain korollaari tilanteessa p = vakio <--> F = 0 olekin Newtonin 1. laki, eli 1. laki on täten redundantti (turha)?

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

hmk
Seuraa 
Viestejä1060

AUTS! Mun piti lähettää tuo viesti siihen trolliketjuun, eikä tähän. :(  Saako sitä millään pois, tai siirrettyä?

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

hmk kirjoitti:
Jos voiman määritelmä on F = dp/dt, niin onko Newtonin 2. laki (F = dp/dt) näin ollen "vain" määritelmä; eli sillä ei ole mitään aitoa fysikaalista sisältöä? Ja eikö 2. lain korollaari tilanteessa p = vakio <--> F = 0 olekin Newtonin 1. laki, eli 1. laki on täten redundantti (turha)?

Aina, kun ilmenee jotain mitattavaa, voidaan mitata myös nollasta poikkeava p , vaikka ∑p olisikin nolla. Rakenne redusoituna vuorovaikutuksen signaalit eivät ole missään koordinaatisossa aloillaan.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

hmk kirjoitti:
Jos voiman määritelmä on F = dp/dt, niin onko Newtonin 2. laki (F = dp/dt) näin ollen "vain" määritelmä; eli sillä ei ole mitään aitoa fysikaalista sisältöä? Ja eikö 2. lain korollaari tilanteessa p = vakio <--> F = 0 olekin Newtonin 1. laki, eli 1. laki on täten redundantti (turha)?

Tämä lienee tuli väärään ketjuun, mutta kyllähän se tänne mahtuu myös. Vastaan lyhyesti, kun olen nyt kirjautunut sisään:

Tuo NI on itseasiassa inertiaalikoordinaatistojen olemassaololause, sen formulaatio on vaan tuollainen. Jos ei esimerkiksi newtoniaalisessa maailmassa olisi olemassa yhtään inertiaalikoordinaatistoa, olisi tilanne sellainen että vaikka massaan m  EI vaikuttaisi yhtään voimaa F olisi se kpl kiihtyvässä liikeessä siinä koordinaatistossa. Tämä aiheuttaisi ongelmia myös NII:lle, koska lausekkeesta F = ma ei voi tietää kuinka paljon tuosta kiihtyvyydestä on sitä koordinaatiston kiihtyvyyttä ja siten myös todellinen voima F olisi huonosti määritelty.

Joe on olemassa 1 kpl inertiaaleja, niin sitten  on olemassa ne kaikki ja elämä on helpompaa: F = ma on hyvin määritelty niissä koordinaatistoissa jne. Tästä oli juttua joskus aikoinaan tällä palstalla.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:
Välimerkkien jysäyttely on elämän suola ;P

Tuli mieleeni, että tuon k·r - wt invarianssin voisi ajatella niin, että esim. jos jossain liikkuu aalto, jossa on n kpl kupuja tai laaksoja, niin tuo lukumäärä n on havaitsijasta riippumaton. Tai niin, että aallon mukana liikkuvan informaation määrä ei voi vaihdella havaitsijoiden välillä.

Itse pohdin myös tätä samaa tänään aikaisemmin ja tässä kai tulee se skalaariaallon ja tensoriaallon ero näkyviin. Jos S on sinimuotoinen skalaariaalto, niin silloin:

S(x,t) = sin(k·r - wt ) = sin(kr' - w't' ) = S(x',t')

Kommentoin nyt omaa vastaustani. Tuossa tuo S(x,t) on oikeastaan hyvin yleinen siniaalto. Sen vaihenopeus on

v = w/k, missä k =sqrt(k·k) eli tuon aallon nopeus ei ole mitenkään rajoitettu ja siten ei oikein ole mielekästä puhua Lorentz-invarianssista. Vasta kun olettaa tuon dispersiorelaation olevan muotoa ck = w, voidaan puhua Lorentz-zinvarianssista.

SIJ kirjoitti:

...

mitenkäs toi muuntaminen menee jos on useampi aalto, esim:

S(x,t) = S₁ sin(k₁·r - w₁t ) + S₂ sin(k₂·r - w₂t )

niin tosta Lorentzilla:

S(x',t') = S₁ sin(k'₁·r' - w'₁t' ) + S₂ sin(k'₂·r' - w'₂ t' ) = S(x,t)

eli siis summan muunnos on muunnoksien summa. Tuo yleistynee, jos skalaariaalto S on siniaaltojen Fourier-esitys tai paremminkin exponenttifunktion avulla esitetty:

S(x,t) =  ∫d³k dw S(k,w) exp(i(k·r - w t ))

niin tosta saa tekemällä  Lorentz-muunnoksen:

S(x',t') =  ∫d³k' dw' S(k',w') exp( i(k'·r' - w' t') ),

Hmm, nuo kai ovat samat, niiden ainakin pitäisi olla ??

[/quote]

Vastaavasti tuossa pitää noiden aaltojen toteuttaa ehdot ck = w kaikilla k ja w eli w ja k eivät ole riippumattomia ja siten tuo integrointikin on yli 3d-pinnan  c²k²- w² = 0 eikä koko R ⁴:n

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

hmk
Seuraa 
Viestejä1060

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
hmk kirjoitti:
Jos voiman määritelmä on F = dp/dt, niin onko Newtonin 2. laki (F = dp/dt) näin ollen "vain" määritelmä; eli sillä ei ole mitään aitoa fysikaalista sisältöä? Ja eikö 2. lain korollaari tilanteessa p = vakio <--> F = 0 olekin Newtonin 1. laki, eli 1. laki on täten redundantti (turha)?

Tämä lienee tuli väärään ketjuun, mutta kyllähän se tänne mahtuu myös. Vastaan lyhyesti, kun olen nyt kirjautunut sisään:

Tuo NI on itseasiassa inertiaalikoordinaatistojen olemassaololause, sen formulaatio on vaan tuollainen. Jos ei esimerkiksi newtoniaalisessa maailmassa olisi olemassa yhtään inertiaalikoordinaatistoa, olisi tilanne sellainen että vaikka massaan m  EI vaikuttaisi yhtään voimaa F olisi se kpl kiihtyvässä liikeessä siinä koordinaatistossa. Tämä aiheuttaisi ongelmia myös NII:lle, koska lausekkeesta F = ma ei voi tietää kuinka paljon tuosta kiihtyvyydestä on sitä koordinaatiston kiihtyvyyttä ja siten myös todellinen voima F olisi huonosti määritelty.

Joe on olemassa 1 kpl inertiaaleja, niin sitten  on olemassa ne kaikki ja elämä on helpompaa: F = ma on hyvin määritelty niissä koordinaatistoissa jne. Tästä oli juttua joskus aikoinaan tällä palstalla.

Joo, makes sense, kiitos.  Muistankin nyt, että palstalla on käsitelty tuota joskus. Ehkäpä se NI pitäisi sitten muotoilla tuolla tavalla, eikä sillä "perinteisellä" tavalla. ;)

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

PPo
Seuraa 
Viestejä14658

hmk kirjoitti:
Jos voiman määritelmä on F = dp/dt, niin onko Newtonin 2. laki (F = dp/dt) näin ollen "vain" määritelmä; eli sillä ei ole mitään aitoa fysikaalista sisältöä? Ja eikö 2. lain korollaari tilanteessa p = vakio <--> F = 0 olekin Newtonin 1. laki, eli 1. laki on täten redundantti (turha)?
N II on enemmän.

Sehän sanoo

Jos kappaleeseen vaikuttaa useita voimia F1,F2,...., niin niiden yhteisvaikutus on sama kuin kappaleeseen vaikuttaisi yksi voima F =∑Fi

Trash
Seuraa 
Viestejä2076

Trash kirjoitti:
Energiavirrat tuossa askarruttaa. Nehän eivät nyt ole "tasapainossa" tuossa aaltoputkessa; kappaleen sisällä sm-aaltoina toiseen suuntaan siirtyy energiaa enemmän kuin toiseen. Mihin energia putken toisessa päässä katoaa, ja mistä toisen pään energia kumpuaa?

Energiavirtojen kannalta tilannetta voisi ajatella toisinkin. Olkoon vaikka heijastava aurinkopurje johon molemmista suunnista kohdistuu säteilyä, mutta toisesta suunnasta paljon energisempää, lyhytaaltoisempaa. Aivan alussa purje heijastaa säteilyn samansuuruisena takaisin lähtösuuntaansa. Erilaiset säteilyt tuottavat purjeeseen erilaisen voiman jolloin purje alkaa kiihtyä. Nopeuden kasvaessa aallonpituudet heijastuessaan alkavat muuttua; lyhytaaltoisen aallonpituus kasvaa ja toisinpäin. Kiihtyminen loppuu kun heijastunut aallonpituus vastaa vastakkaiseen puoleen kohdistuvaa säteilyä. Tavallaan siis näyttää siltä että säteilyt, energiavirrat lävistävät purjeen. Ja liikemäärä säilyy.

Myös aaltoputken peileihin kohdistuu samalla tavalla säteilyä, energiaa. Mutta kun purjeessa lyhytaaltoinen säteily matkasi purjeen läpi liikkeen suunnassa, on sen putkessa, eli putken seinämissä edettävä vastakkaiseen suuntaan. Säteilyn tuottama ero näissä tapauksissa on, että purjeeseen kohdistuvat säteilyt puristavat purjetta kasaan, kun taas aaltopuken sisällä oleva säteily venyttää putkea.

Veikeään on se että jos kyse olisikin säteilypulsseista, etenisi pulssien tuottamat paineaallot putken seinämissä tai purjeen sisällä äänennopeudella. Kun siis putken sisällä valo etenee päästä toiseen valonnopeudella, palaa se putken seinämiä pitkin äänen nopeudella takaisin toiseen päähän. Tavallaan tulee mieleen Newtonin kehto jossa reunapallot korvataan valolla.

Ääneen ajattelua tosta putken roolista vielä. Jospa putki hajoaa, miten valo karkaa? Jos putki ajatellaan massattomaksi, niin ainoa vaihtoehto lienee silloin että putken on katkettava täsmälleen keskeltä kahteen osaan. Silloin informaatio putken hajoamisesta siirtyy valonnopeudella putken päihin jolloin valo pääsee putken ansasta karkuun. Aallot jakautuvat silloin tasan molempiin suuntiin, vaikka putken nopeus olisi mikä. Liikemäärä säilyy.

Mutta entä jos putken reitillä on vastassa on seinä? Jos putki hajoaa ennen törmäystä, silloin vain puolet aalloisa törmää seinään. Mutta jos ehjä putki törmää. Silloin putken etuosa hajoaa ensin, takaosan vielä heijastaessa aaltoja.

Liikemäärän säilyminen selittyy sillä että seinän tilalle voidaan asettaa toinen samanlainen aaltoputki. Siinä tapahtuu käänteinen reaktio, ja taas kokonaisliikemäärä säilyy.

OJP.
Seuraa 
Viestejä901

    Vähän est/yst tausta tietoa.

  - ...Jatkoa  suhteellisuusteorin  kehittelyn pohdiskelua  (vrt. kommentit   siviulla 1 - 10)

         - Kuten aevoisat keskustelijat tietävätkin.... suppean  suhteellisuusteorian  inertiaalikoordinaatisto - järjestelmä on kaikkialla ...samanlainen,  (skalaari)koska  ...kaarevuus  Lorenzin muunnoksella  häviää kun  siirrytään  koordinaatistosta toiseen. Sanotaan, että ...avaruus - aikaan ...liitty  (globaali)  universumin symmetria.

- Yst;ssä Lorenzin muunnosta voidaan käyttää vain ...paikallisesti - kysymys  on tällöin lokaalista symmetriasta. Siirtyminen  globaalista symmetriasta paikalliseen symmetriaan aikaansaa  ,,,, jännityksiä ....avaruusajan eri ...pisteiden välillä ,kun koordinaatistojen muunnksen ..``..mitta.``..vaihtelee....nämä jännitykset kuvaavat  ...gravitaatiota. 

-Yst;n mukaan  gravitaatiota kuvataan  aika - avaruuden pisteinä, jotka ovat ...paikallisesti ...suoraan verrannollisia  paikalliseen ...massaan kun massaan  sisällytetään yhtälön E = M . C`2 kaikki; liike - energia, sähköenergia , paine , mukaanlukien gravitaatiokentän energia.

--Ekvivalenssi periaatteen mukaan  est on voimassa kunkin ...pisteen... paikallisessa`` ympäristössä `` po. inertiaalikoordinaatistossa.

....

- Kuten tiedämme Einstein ei ollut  ...täysin ...tyytyväinen yleiseen suhteellisuusteoriaan . Gravitaatio ja sähkömagnetismi kuvataan eri perustein. Edellinen on avaruus - ahan geometrinen ominaisuus muutta jälkimmäinen eräs sen kenttä, joka toteuttaa Maxwellin yhtälöt.

-Einsteinin mukaan  yhtälöiden käsittely edellytti myös sähkömagnetisoinnin geometrisointia.( Alam lähteet)

.....

Tarkoittaneen samoista aksiomista lähteväämatemaattisen järjestelmän soveltamista sekä  est;hen että yst;hen.

Osmo, Otto, Juhani Päivinen

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Laskeskelin edelleen noita seisovia aaltoja ja sain lopulta onneksi samat kaavat kuin QS esitti jo aikaisemmin ja jotka löytyvät myös hänen animaatiostaan eli:

E'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] + √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']
B'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] - √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']

Nämä voi kirjoittaa myös muodossa:

E' = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[kx - wt] + √(1+β)/(1-β) E₀ sin[kx + wt]
B' = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[kx - wt] - √(1+β)/(1-β) E₀ sin[kx + wt],

koska  kx - wt = k'x' - w't' ja kx + wt = k'x' + w't' (Lorentz-invarianssi), koska kx - wt voidaan kirjoittaa muodossa K·R, missä K = (k, w) ja R = (x,t) ja sisätulo Minkowskin tapaan. Nyt vähän hämää tuo aaltovektori K, koska tuosta saadaan 4 erilaista kombinaatiota eli (k,w), (-k,w), (k.-w) ja (-k,-w). Tuolle sin[kx + wt] aallolle käytettäisiin aaltovektoria K = (k,-w) ja tuo -w negatiivisena hämää jotenkin (jos w > 0). MItä tuosta nyt pitäisi ajatella?

QS kirjoitti:
Trash kirjoitti:
Energiavirrat tuossa askarruttaa. Nehän eivät nyt ole "tasapainossa" tuossa aaltoputkessa; kappaleen sisällä sm-aaltoina toiseen suuntaan siirtyy energiaa enemmän kuin toiseen. Mihin energia putken toisessa päässä katoaa, ja mistä toisen pään energia kumpuaa?

Tämän laskeminen oli mulla seuraavana mielessä, kunhan on aikaa.

Pääpiirteissään: Lepokoordinaatistossa aaltojen energia etenee kumpaankiin suuntaan, mutta energian siirtymistä kuvaava vektori on ajan suhteen keskimäärin nolla. Eli keskimäärin energia ei laatikon pituussuunnassa siirry.

Kun laatikko liikkuu, niin energian tuleekin siirtyä laatikon liikesuunnassa. Sähkömagneettinen aalto on laatikossa, ja laatikko liikkuu, joten tuon energian virtausta kuvaavan Poyntingin vektorin tulee mielestäni osoittaa liikesuuntaan.

Katsotaan joku päivä kun ehdin tähän.


Yritin laskea tätä viikko sitten, mutta koko projekti jäi vähän viimeistelemättömäksi. Laitan kuitenkin laskujen tulokset tähän näkyviin, näihin pitää suhtautua erittäin kriittisesti, en ole mitenkään varma niiden oikeellisuudesta. Lisäksi mulla on tossa kaikki vakiot = 1 eli c = ε= μ = 1.

Ensin lepokoordinaatistossa:
---------------------------
Sähkökenttä E ja magneettikenttä B:

E(x,t) = (0, 2E₀ cos(wt) sin(kx), 0)
B(x,t) = (0, 0, -2E₀ cos(kx) sin(wt))

E(x,t)·E(x,t) = 4E₀² cos²(wt) sin²(kx)

B(x,t)·B(x,t) = 4E₀² cos²(kx) sin²(wt),

josta energiatiheydelle e(x,t) saadaan:

e(x,t) = ½(E(x,t)·E(x,t) + B(x,t)·B(x,t)) = 2E₀² (cos²(wt sin²(kx) + cos²(kx) sin²(wt))
         = E₀² (1 - cos(2tw) cos(2kx) ).
 
Poyntingin vektori S = E x B, josta saa laskun jälkeen:

S = ( E₀² sin(2wt) sin(2kx), 0, 0).

Valituista yksiköistä johtuen  EM-kentän momentin tiheys P = S:

P =  ( E₀² sin(2wt) sin(2kx), 0, 0).
 
Aikakeskiarvo yli jakson T määritellään jaksolliselle funktiolle f(t) kaavalla:

<f> = 1/T   0∫T f(t) dt,

missä merkintä a∫b tarkoittaa määrättyä integraalia yli välin [a,b]. Nyt sitten:

<e> = E₀²
<P> = 0,

kun integroidaan yli [0,𝜋/w], hmm. Toi vaikuttaisi oikealta. Kentän momentti on keskimäärin nolla ja keskimäärin energiatiheys vakio.

Jatkuu...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Jatkuu...

Sitten siirrytään liikkuvaan koordinaatistoon ja kirjoitetaan E ja B lyhyesti käyttäen  merkintää A = √(1+β)/(1-β) ja 1/A =  √(1-β)/(1+β), jolloin kaavoista:

E'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] + √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']
B'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] - √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']

saadaan:

E'(x',t') = 1/A sin[k'x' - w't'] + A E₀ sin[k'x' + w't']
B'(x',t') = 1/A sin[k'x' - w't'] - A E₀ sin[k'x' + w't'].

EM-kentän energiatiheys:

e(x',t') = ½(E(x',t')·E(x',t') + B(x',t')·B(x',t')) = E₀² (1/A² sin²(wt - kx) + A² sin²(kx + tw))

Poyntingin vektori eli impulssin tiheys:

S = P = E x B = E₀²(1/A² sin²(wt - kx) -  A² sin²(kx + tw), 0 , 0 ).

Tosta saa varmaan jotain nollasta poikkeavaa aikakeskiarvoille, kun  <cos²t> = <sin²t> = ½:

<e(x',t')> = ½E₀²(1/A² + A² )

<P(x',t')> = ½E₀²(1/A² - A² ).

Siis kun A > 1, esiintyy tuo momentin virta keskimäärin, hmm...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Tuohon ylläolevaan voisi tietysti lisätä ne pilkut, koska ollaan liikkuvassa koordinaatistossa:

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

EM-kentän energiatiheys:

e'(x',t') = ½(E'(x',t')·E'(x',t') + B'(x',t')·B'(x',t')) = E₀² (1/A² sin²(w't' - k'x') + A² sin²(k'x' + t'w'))

S' = P' = E' x B' = E₀²(1/A² sin²(w't' - k'x') -  A² sin²(k'x' + t'w'), 0 , 0 ).

Tosta saa varmaan jotain nollasta poikkeavaa aikakeskiarvoille, kun  <cos²t> = <sin²t> = ½:

<e'(x',t')> = ½E₀²(1/A² + A² )

<P'(x',t')> = ½E₀²(1/A² - A² ).

Siis kun A > 1, esiintyy tuo momentin virta keskimäärin, hmm...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Laskeskelin edelleen noita seisovia aaltoja ja sain lopulta onneksi samat kaavat kuin QS esitti jo aikaisemmin ja jotka löytyvät myös hänen animaatiostaan eli:

E'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] + √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']
B'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] - √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']

Nämä voi kirjoittaa myös muodossa:

E' = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[kx - wt] + √(1+β)/(1-β) E₀ sin[kx + wt]
B' = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[kx - wt] - √(1+β)/(1-β) E₀ sin[kx + wt],

koska  kx - wt = k'x' - w't' ja kx + wt = k'x' + w't' (Lorentz-invarianssi), koska kx - wt voidaan kirjoittaa muodossa K·R, missä K = (k, w) ja R = (x,t) ja sisätulo Minkowskin tapaan. Nyt vähän hämää tuo aaltovektori K, koska tuosta saadaan 4 erilaista kombinaatiota eli (k,w), (-k,w), (k.-w) ja (-k,-w). Tuolle sin[kx + wt] aallolle käytettäisiin aaltovektoria K = (k,-w) ja tuo -w negatiivisena hämää jotenkin (jos w > 0). MItä tuosta nyt pitäisi ajatella?

Jänniä etumerkit tässä, totta. Pitäisikö miettiä aaltovektorin määritelmästä. Sehän märitellään vaiheen gradienttivektorina k(r) = ∇f(r) = (∂_x f, ∂_y f, ∂_z f), missä f on aallon vaihe. Minkowskiavaruudessa aika mukana, jolloin vaihe φ = K·X = k·x - wt. Tässä käsittääkseni valitaan metriikka siten, että k·x on euklidisen avaruuden aaltovektori +k₁x+k₂y+k₃z. Tuolla tavalla määriteltynä neli-aaltovektori saadaan vaiheesta φ neligradientilla K = ∂φ = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tuossa aika-komponentin osittaisderivaatta määritellään negatiivisella etumerkillä, jotta komponentti w olisi positiivinen.

Edellisellä kaavalla aallolle sin(kx-wt) saadaan aaltovektori K=(w,k) ja aalolle sin(kx+wt) = -sin(-(kx+wt) ) = -sin( -kx-wt) vastaavasti K=(w, -k). Molempien w on sama riippumatta mihin suuntaan etenee, mutta avaruuskomponentit vaihtavat etumerkkiä.

En tiedä onko tämä nyt sitten yhtään sen selvempää :)

QS kirjoitti:
Trash kirjoitti:
Energiavirrat tuossa askarruttaa. Nehän eivät nyt ole "tasapainossa" tuossa aaltoputkessa; kappaleen sisällä sm-aaltoina toiseen suuntaan siirtyy energiaa enemmän kuin toiseen. Mihin energia putken toisessa päässä katoaa, ja mistä toisen pään energia kumpuaa?

Tämän laskeminen oli mulla seuraavana mielessä, kunhan on aikaa.

Pääpiirteissään: Lepokoordinaatistossa aaltojen energia etenee kumpaankiin suuntaan, mutta energian siirtymistä kuvaava vektori on ajan suhteen keskimäärin nolla. Eli keskimäärin energia ei laatikon pituussuunnassa siirry.

Kun laatikko liikkuu, niin energian tuleekin siirtyä laatikon liikesuunnassa. Sähkömagneettinen aalto on laatikossa, ja laatikko liikkuu, joten tuon energian virtausta kuvaavan Poyntingin vektorin tulee mielestäni osoittaa liikesuuntaan.

Katsotaan joku päivä kun ehdin tähän.


Yritin laskea tätä viikko sitten, mutta koko projekti jäi vähän viimeistelemättömäksi. Laitan kuitenkin laskujen tulokset tähän näkyviin, näihin pitää suhtautua erittäin kriittisesti, en ole mitenkään varma niiden oikeellisuudesta. Lisäksi mulla on tossa kaikki vakiot = 1 eli c = ε= μ = 1.

Ensin lepokoordinaatistossa:
---------------------------
Sähkökenttä E ja magneettikenttä B:

E(x,t) = (0, 2E₀ cos(wt) sin(kx), 0)
B(x,t) = (0, 0, -2E₀ cos(kx) sin(wt))

E(x,t)·E(x,t) = 4E₀² cos²(wt) sin²(kx)

B(x,t)·B(x,t) = 4E₀² cos²(kx) sin²(wt),

josta energiatiheydelle e(x,t) saadaan:

e(x,t) = ½(E(x,t)·E(x,t) + B(x,t)·B(x,t)) = 2E₀² (cos²(wt sin²(kx) + cos²(kx) sin²(wt))
         = E₀² (1 - cos(2tw) cos(2kx) ).
 
Poyntingin vektori S = E x B, josta saa laskun jälkeen:

S = ( E₀² sin(2wt) sin(2kx), 0, 0).

Valituista yksiköistä johtuen  EM-kentän momentin tiheys P = S:

P =  ( E₀² sin(2wt) sin(2kx), 0, 0).
 
Aikakeskiarvo yli jakson T määritellään jaksolliselle funktiolle f(t) kaavalla:

<f> = 1/T   0∫T f(t) dt,

missä merkintä a∫b tarkoittaa määrättyä integraalia yli välin [a,b]. Nyt sitten:

<e> = E₀²
<P> = 0,

kun integroidaan yli [0,𝜋/w], hmm. Toi vaikuttaisi oikealta. Kentän momentti on keskimäärin nolla ja keskimäärin energiatiheys vakio.

Jatkuu...[/quote]

Mä sain samat tulokset kun silloin muutama viikko sitten.

Tuon myöhemmän viestisi lorentzmuunnettujen energia- ja liikemäärätiheyksiin en koskaan ehtinyt. Sun tulokset ainakin näyttävät hyvältä.Mäkin tsekkaan kun ehdin.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

EM-kentän energiatiheys:

e'(x',t') = ½(E'(x',t')·E'(x',t') + B'(x',t')·B'(x',t')) = E₀² (1/A² sin²(w't' - k'x') + A² sin²(k'x' + t'w'))

S' = P' = E' x B' = E₀²(1/A² sin²(w't' - k'x') -  A² sin²(k'x' + t'w'), 0 , 0 ).

Tässä oli yksi kohta, joka aiheutti mietintää. Jos siirrytään liikkuvaan koordinaatistoon, niin esim. muunnettu E-kenttä on tosiaan aiemmin kirjoittamasi:

E'(x',t') = 1/A sin[k'x' - w't'] + A E₀ sin[k'x' + w't'].

Aaltovektorissa K'=(w',k') on kuitenkin K'oira haudattuna. Summatussa aallossa E'(x',t') esiintyy kahdenlaisia k' ja w' komponentteja. Toinen positiivisen x'-akselin suuntaan liikkuvan, ja toinen negatiivisen x'-akselin suuntaan liikkuvan aallon. Lopullinen esitys koordinaatistossa (x',t') on

E'(x',t') = 1/A E₀ sin ( 1/A (kx'-wt') ) + A E₀ sin ( A (kx'-wt') )
B'(x',t') = 1/A E₀ sin ( 1/A (kx'-wt') ) - A E₀ sin ( A (kx'-wt') ).

Lepokoordinaatiston k ja w muuntuvat eri kertoimella riippuen aallon suunnasta, joka näkyy sinin sisällä 1/A ja A kertoimena.

Energiatiheys olisi sitten

e'(x',t') = ½(E'(x',t')·E'(x',t') + B'(x',t')·B'(x',t'))
      = (E₀²/A²) [  A⁴ sin²( A (kx' - wt') ) +  sin²( 1/A (kx' - wt') )  ]

ja Poyntingin vektori jokin vastaava hiukan ikävän näköinen.

Vai olenko väärässä?

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Mulla oli kentissä merkkivirhe, vaiheessa pitää olla - ja +.  Ne muunnetut pitäisi olla:

E'(x',t') = 1/A E₀ sin ( 1/A (kx'-wt') ) + A E₀ sin ( A (kx' + wt') )
B'(x',t') = 1/A E₀ sin ( 1/A (kx'-wt') ) - A E₀ sin ( A (kx' + wt') ).

Laskemani energiatiheyskin on siis väärin. Yritän huomenna uusiksi, öit  ;)

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Jatkuu...

Sitten siirrytään liikkuvaan koordinaatistoon ja kirjoitetaan E ja B lyhyesti käyttäen  merkintää A = √(1+β)/(1-β) ja 1/A =  √(1-β)/(1+β), jolloin kaavoista:

E'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] + √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']
B'(x',t') = √(1-β)/(1+β) E₀ sin[k'x' - w't'] - √(1+β)/(1-β) E₀ sin[k'x' + w't']

saadaan:

E'(x',t') = 1/A sin[k'x' - w't'] + A E₀ sin[k'x' + w't']
B'(x',t') = 1/A sin[k'x' - w't'] - A E₀ sin[k'x' + w't'].

EM-kentän energiatiheys:

e(x',t') = ½(E(x',t')·E(x',t') + B(x',t')·B(x',t')) = E₀² (1/A² sin²(wt - kx) + A² sin²(kx + tw))

Poyntingin vektori eli impulssin tiheys:

S = P = E x B = E₀²(1/A² sin²(wt - kx) -  A² sin²(kx + tw), 0 , 0 ).

Tosta saa varmaan jotain nollasta poikkeavaa aikakeskiarvoille, kun  <cos²t> = <sin²t> = ½:

<e(x',t')> = ½E₀²(1/A² + A² )

<P(x',t')> = ½E₀²(1/A² - A² ).

Siis kun A > 1, esiintyy tuo momentin virta keskimäärin, hmm...

No niin. Vedän takaisin eilisen monimutkaistuksen, jossa väitin, että k' ja w' täytyy ensin laskea k:n ja w:n sekä kertoimen A ja 1/A avulla kohdalleen. Jostain syystä olin (taas) moodissa, jossa aivot eivät hyväksyneet k'x' - w't' = kx-wt invarianssia. Kun sain ties monennenko kerran tämän palikan kohdalleen, niin totean, että laskit täysin oikein. Sain samat tulokset <e(x',t')> = ½E₀²(1/A² + A² ) asti. Varmastikin <P> on myös oikein.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Iltaa,

QS kirjoitti:

...Jänniä etumerkit tässä, totta. Pitäisikö miettiä aaltovektorin määritelmästä. Sehän märitellään vaiheen gradienttivektorina k(r) = ∇f(r) = (∂_x f, ∂_y f, ∂_z f), missä f on aallon vaihe. Minkowskiavaruudessa aika mukana, jolloin vaihe φ = K·X = k·x - wt. Tässä käsittääkseni valitaan metriikka siten, että k·x on euklidisen avaruuden aaltovektori +k₁x+k₂y+k₃z. Tuolla tavalla määriteltynä neli-aaltovektori saadaan vaiheesta φ neligradientilla K = ∂φ = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tuossa aika-komponentin osittaisderivaatta määritellään negatiivisella etumerkillä, jotta komponentti w olisi positiivinen.

Tosiaankin näinhän se on, se on se metriikka, joka kummittelee tuossa taustalla. Yllä olisi olisi g =diag(-1, 1, 1, 1) ja K kovariantti vektori ja X = (t, x) kontravariantti, tai no merkintä K·X ei sitä paljasta mutta se summaesitys voisi olla φ = XᵘKᵤ. Siis tossa olisi antamasi K  (= Kᵤ ) = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tämä oikeastan oli ollut mulla sellainen hämärä alue, mutta nyt asia vaikuttaa selkeämmältä.

Mulla on muuten ollut joulupukin toivelistalla pitkään kirja joka käsittelisi nimenomaan aaltoliikeoppia melko matemaattisesti, ei siis ihan perusoppikirja vaan joku "aaltoliikkeen jatkokurssi"-tyylinen kirja. Siinä olisi sitten kaikki samassa kirjassa, kun nyt aihepiiri on siroteltu sinne tänne eri kirjoihin ED-kirja esittelee paljon, mutta ei kaikkea, jokin mekaanisten värähtelyiden opus taas hieman eri tavalla, kolmas käsittelee Fourier-muunnoksia matemaattisesti ym.
 

QS kirjoitti:

Edellisellä kaavalla aallolle sin(kx-wt) saadaan aaltovektori K=(w,k) ja aalolle sin(kx+wt) = -sin(-(kx+wt) ) = -sin( -kx-wt) vastaavasti K=(w, -k). Molempien w on sama riippumatta mihin suuntaan etenee, mutta avaruuskomponentit vaihtavat etumerkkiä.

En tiedä onko tämä nyt sitten yhtään sen selvempää :)


Kyllä selvensi, paljonkin, esimerkiksi tuo gradienttijuttu oli oikein hyvä tietää.

QS kirjoitti:

No niin. Vedän takaisin eilisen monimutkaistuksen, jossa väitin, että k' ja w' täytyy ensin laskea k:n ja w:n sekä kertoimen A ja 1/A avulla kohdalleen. Jostain syystä olin (taas) moodissa, jossa aivot eivät hyväksyneet k'x' - w't' = kx-wt invarianssia. Kun sain ties monennenko kerran tämän palikan kohdalleen, niin totean, että laskit täysin oikein. Sain samat tulokset <e(x',t')> = ½E₀²(1/A² + A² ) asti. Varmastikin <P> on myös oikein.

Hyvä että laskuni vaikuttaa oikealta. Laskussani oli muuten sellainen pieni yksityiskohta, jota käytin sen kummemmin ajattelematta, vasta jälkeenpäin huomasin pienen jujun siinä eli tuo aikakeskiarvo yli jakson. Käytin kirjana Griffithsin introduction to Electrodynamics ja  katsoin sieltä mitä on aikakeskiarvo siniaallolle ( no, Griffiths käyttää kosiniaaltoa ja hieman eri notaatiota ) ja siellä oli kaava:

1/T  0∫T cos² (kx - wt + δ) dt = ½,

missä T on jakso , 2𝜋/T = w ja δ on jokin vakiovaihe. Tuo kaava on tosi, mutta ihan suoraan sitä ei näe, sillä integroitava cos² (kx - wt + δ) on kuitenkin myös muuttujan x funktio ja integroimalla jää jäljelle muuttujan x funktio, mutta tässä tapauksessa tuo x:n funktio on vakio.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS kirjoitti:

...Jänniä etumerkit tässä, totta. Pitäisikö miettiä aaltovektorin määritelmästä. Sehän märitellään vaiheen gradienttivektorina k(r) = ∇f(r) = (∂_x f, ∂_y f, ∂_z f), missä f on aallon vaihe. Minkowskiavaruudessa aika mukana, jolloin vaihe φ = K·X = k·x - wt. Tässä käsittääkseni valitaan metriikka siten, että k·x on euklidisen avaruuden aaltovektori +k₁x+k₂y+k₃z. Tuolla tavalla määriteltynä neli-aaltovektori saadaan vaiheesta φ neligradientilla K = ∂φ = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tuossa aika-komponentin osittaisderivaatta määritellään negatiivisella etumerkillä, jotta komponentti w olisi positiivinen.

Tosiaankin näinhän se on, se on se metriikka, joka kummittelee tuossa taustalla. Yllä olisi olisi g =diag(-1, 1, 1, 1) ja K kovariantti vektori ja X = (t, x) kontravariantti, tai no merkintä K·X ei sitä paljasta mutta se summaesitys voisi olla φ = XᵘKᵤ. Siis tossa olisi antamasi K  (= Kᵤ ) = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tämä oikeastan oli ollut mulla sellainen hämärä alue, mutta nyt asia vaikuttaa selkeämmältä.

Hmm, nyt ihan lyhyesti kommentoin, kun on muuta ohjelmaa tässä eli noissa ylläolevissa lienee indeksit väärinpäin (mulla ei ole nyt kunnon lähteitä käsillä), siis alaindeksinen suure ∂ᵤ = (∂₀, ∂₁, ∂₂, ∂₃) on gradientti ja  (∂⁰, ∂¹, ∂², ∂³) =  (-∂₀, ∂₁, ∂₂, ∂₃) on kontravariantti operaattori, niin silloin K = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k) on kontravariantti vektori K.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS kirjoitti:

...Jänniä etumerkit tässä, totta. Pitäisikö miettiä aaltovektorin määritelmästä. Sehän märitellään vaiheen gradienttivektorina k(r) = ∇f(r) = (∂_x f, ∂_y f, ∂_z f), missä f on aallon vaihe. Minkowskiavaruudessa aika mukana, jolloin vaihe φ = K·X = k·x - wt. Tässä käsittääkseni valitaan metriikka siten, että k·x on euklidisen avaruuden aaltovektori +k₁x+k₂y+k₃z. Tuolla tavalla määriteltynä neli-aaltovektori saadaan vaiheesta φ neligradientilla K = ∂φ = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tuossa aika-komponentin osittaisderivaatta määritellään negatiivisella etumerkillä, jotta komponentti w olisi positiivinen.

Tosiaankin näinhän se on, se on se metriikka, joka kummittelee tuossa taustalla. Yllä olisi olisi g =diag(-1, 1, 1, 1) ja K kovariantti vektori ja X = (t, x) kontravariantti, tai no merkintä K·X ei sitä paljasta mutta se summaesitys voisi olla φ = XᵘKᵤ. Siis tossa olisi antamasi K  (= Kᵤ ) = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k). Tämä oikeastan oli ollut mulla sellainen hämärä alue, mutta nyt asia vaikuttaa selkeämmältä.

Hmm, nyt ihan lyhyesti kommentoin, kun on muuta ohjelmaa tässä eli noissa ylläolevissa lienee indeksit väärinpäin (mulla ei ole nyt kunnon lähteitä käsillä), siis alaindeksinen suure ∂ᵤ = (∂₀, ∂₁, ∂₂, ∂₃) on gradientti ja  (∂⁰, ∂¹, ∂², ∂³) =  (-∂₀, ∂₁, ∂₂, ∂₃) on kontravariantti operaattori, niin silloin K = (-∂₀φ, ∂₁φ, ∂₂φ, ∂₃φ) = (w, k) on kontravariantti vektori K.


Nyt tästä ei kyllä ota oikein selvää. Miten kontraktoituu?... Luulen, että joudut kirjoittamaan tämän vielä auki seikkaperäisemmin ainakin.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

OJP.
Seuraa 
Viestejä901

    - Pientä vebaalista selitystä  yleisen suhteellisuusteorian ....jännittävistä syntyvaiheista  Berliinissä  25.11.1915.

-Eimstein esitti Tiede Akatemialle  viikon välein  4.11.18.25 marraskuuta  v.1915  yleistä suhteellisuus teoriaa koskevan työnsä. 

-Vielä 18.11, Einstein esitti  avaruus - ajan ja aineen yhteispeliä kuvaavat  kenttäyhtälöt muodossa ;muodossa

                      Rij = V Tij jossa 

---Rij  on kymmene ajasta ja paikasta riippuvan luvun kokoelma ns.  Riccin kaarevuustensori , joka kuvaa avaruuden ja ajan muodostaman geometrian eräitä kaarevuusominaisuuksia. 

---Tij on ns. Lauen  enerfia - pulssi tensori , jolla on myöskin  (10) kymmenen paikasta ja ajasta riippuvaa komponenttia., joka edustaa ...aineen ja energian ...jakautumaa avaruudessa.

--(v = epäolennainen verrannollisuus kerroin.

Tämä yhtälö johti ...vaikeuksiin se ei ollut ...yleinen. 

--Marraskuisen viikon aikana Einstein ...kehitti - keksi ... parannuksen ongelmaan.  25.11,  hän esitti  Tiedeakatemialle   kenttäyhtälönsä  nyt muodossa ;

     Rij =  - v (Tij -I/2 gij T) , jossaa   T   on tensotista Tij saatava yksi luku. ja gij  avaruuden ja ajan geometriaan liittyvä ...metrinen perustensori... jonka avulla voidaan rakentaa ...kaarevuustensori Rij.

-Asian tekee mielenkiintoiseksi, koska Hillbertillä oli esittää samat kenttäyhtälöt. Hän ei kuitenkaan koskaan  haluunut yst;ä omaksi ansiokseen vaan  kunnia kuului aina Einsteinille.

--Hillbert sanoi juosseensa  est/yst kehitystyön--- maratonilla ---vain viimeiset kierrokset  ja nekin matemaatikkona, varsinaisen   kymmenen vuotta kestäneen ..luovan kehitystyön tekijä oli  Einsten.

Vrt, Nyky -  fysiikan lähde kirjallisuus.

Osmo, Otto, Juhani Päivinen

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat