Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

Sivut

Kommentit (30)

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Opettaja kirjoitti:
Olisikohan kyse siitä, että arkuksilla on eri määrittelyjoukot ja tuo -1:tä vastaava  beetta on sinille ja kosinille eri.
Määrittelyjoukot ovat samat [-1,1] mutta arvojoukot eivät. Siksi -1 ei kelpaa.

JPI
Seuraa 
Viestejä25960
Liittynyt5.12.2012

PPo kirjoitti:
Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

1-2*(sin(ß/2))^2 =(sin(ß/2))^2 + (cos(ß/2))^2 - 2*(sin(ß/2))^2 = (cos(ß/2))^2 - (sin(ß/2))^2 mikä ei ole sin(ß/2)

3³+4³+5³=6³

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

1-2*(sin(ß/2))^2 =(sin(ß/2))^2 + (cos(ß/2))^2 - 2*(sin(ß/2))^2 = (cos(ß/2))^2 - (sin(ß/2))^2 mikä ei ole sin(ß/2)

'

Tässä olikin yhtälö ratkaistavana. Syynä on edelleen tuo kulmapuolen määrittelyjoukko, joka siis on sinille ja kosinille eri kun näitä käänteisfunktioita määritellään.  (Ja tosiaan ei tietenkään arkusten määritelyjoukko.)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2211
Liittynyt24.1.2014

PPo kirjoitti:
Opettaja kirjoitti:
Olisikohan kyse siitä, että arkuksilla on eri määrittelyjoukot ja tuo -1:tä vastaava  beetta on sinille ja kosinille eri.
Määrittelyjoukot ovat samat [-1,1] mutta arvojoukot eivät. Siksi -1 ei kelpaa.

Juuri näin, olet oikeassa. Arvojoukot määräävät tässä, eikä määrittelyjoukot.

Riippuu toki miten haluaa määritellä trigonometristen funktioiden sin ja cos käänteisfunktiot, mutta yleensä ne määritellään siten, että:

- funktion arccos(x) määrittelyjoukko on [-1,1] ja arvojoukko [0,π].

- funktion arcsin(x) määrittelyjoukko on [-1,1] ja arvojoukko [-π/2,π/2].

Sun yhtälöiden β on ensimmäisen yhtälön mukaan β = arcos(x) on välillä [0,π], siis β > 0. Sun toisen yhtälön mukaan β = 2arcsin(x) arvojoukko on [-π,π].

Ensimmäisen yhtälön mukaan β > 0 ja β∈[0,π] , joten yhtälöllä sin(β/2) = -1 ei ole ratkaisua. Ainoastaan yhtälöllä sin(β/2) = 1/2 on ratkaisu.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

JPI
Seuraa 
Viestejä25960
Liittynyt5.12.2012

Opettaja kirjoitti:
JPI kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Törmäsin trigonometriseen yhtälöön, joka oli esitetty ei-tavanomaisessa muodossa.
acosx=2asinx(=ß)
Huolimaton ratkaisuni
x=cosß=sin(ß/2)<—>1-2*(sin(ß/2))^2=sin(ß/2)<—>sin(ß/2)=1/2 tai sin(ß/2)=-1—>x=1/2 tai x=-1.
Missä meni pieleen?

1-2*(sin(ß/2))^2 =(sin(ß/2))^2 + (cos(ß/2))^2 - 2*(sin(ß/2))^2 = (cos(ß/2))^2 - (sin(ß/2))^2 mikä ei ole sin(ß/2)

'

Tässä olikin yhtälö ratkaistavana. Syynä on edelleen tuo kulmapuolen määrittelyjoukko, joka siis on sinille ja kosinille eri kun näitä käänteisfunktioita määritellään.  (Ja tosiaan ei tietenkään arkusten määritelyjoukko.)

Ainonii, sorry!

3³+4³+5³=6³

Eusa
Seuraa 
Viestejä15171
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Yhtälö

acosx=(π-1)*asinx 

muodoltaan samanlainen kuin edellinen.

Vastauksen muoto hieman yllätti.

Mikä  on x?

Sini ja kosini saadaan aina suorasta kulmasta joten asinx + acosx = π/2

Tietoa hyödyntäen --> asinx=½ --> x = sin(½).

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Yhtälö

acosx=(π-1)*asinx 

muodoltaan samanlainen kuin edellinen.

Vastauksen muoto hieman yllätti.

Mikä  on x?

Sini ja kosini saadaan aina suorasta kulmasta joten asinx + acosx = π/2

Tietoa hyödyntäen --> asinx=½ --> x = sin(½).

Näppärä ratkaisu.

Ratkaisin hieman toisin (=monimutkaisemmin)) mutta sama vastaus.

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Kokoelmasta löytyi myös vieraan oloinen yhtälö

ata(x-1)+atanx+atan(x+1)=atan3x

Meni aikansa ennen kuin aukeni.

Ratkaise x

Eusa
Seuraa 
Viestejä15171
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Kokoelmasta löytyi myös vieraan oloinen yhtälö

atan(x-1)+atanx+atan(x+1)=atan3x

Meni aikansa ennen kuin aukeni.

Ratkaise x

Huomenta.

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää x-akselin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä15171
Liittynyt16.2.2011

Tuossa "x-akselin suhteen peilattuna" kuvaa piirrostani, oikein olisi sanoa "kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna", x on muuta yhtälöissä. No, muokataan:

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
Tuossa "x-akselin suhteen peilattuna" kuvaa piirrostani, oikein olisi sanoa "kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna", x on muuta yhtälöissä. No, muokataan:

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hyvin päätelty.

Itse ratkaisin ottamalla boldatusta yhtälöstä puolittain tangentit—>

((x-1)+(x+1))/(1-(x-1)(x+1))=(3x-x)(1+3x*x)—>x=0 taix=±1/2

Eusa
Seuraa 
Viestejä15171
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Tuossa "x-akselin suhteen peilattuna" kuvaa piirrostani, oikein olisi sanoa "kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna", x on muuta yhtälöissä. No, muokataan:

Triviaaliratkaisu on x = 0.

Kun järjestetään: atan(x-1)+atan(x+1) = atan3x-atanx,

nähdään piirtämällä, että jos onnistuu 3x = x+1 ja x on x-1:n vastaluku, saadaan ratkaisu. Huomaamisessa auttaa, että 3x-x =x+1+x-1.

Onnistuu, x=½. Saman voi esittää kolmioiden yhteisen kateetin suhteen peilattuna, eli x=-½. Liekö muita ratkaisuja, analyyttisesti voi tosiaan olla työläs... Ei ainakaan välillä -½...½ ole muita kuin nuo 3 ratkaisua. Niin ja nimittäjäthän ovat 2. asteen polynomeja termeissä, niiden erotuksista voidaan saada vain 2 nollakohtaa, joten vain nuo 3 ratkaisua on olemassa.

Hyvin päätelty.

Itse ratkaisin ottamalla boldatusta yhtälöstä puolittain tangentit—>

((x-1)+(x+1))/(1-(x-1)(x+1))=(3x-x)(1+3x*x)—>x=0 taix=±1/2

Ok, ei silti pahan työläs. Mulla jäänyt näemmä pois, että viittaan tietysti derivaatan nimittäjiin yllä.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Löytyi ikävän näköinen yhtälö

asinx/acosx=3π/4-atan[(tan1-1)/(tan1+1)]

Ratkaisu löytyi viimein kun ymmärsin soveltaa oikealla puolella olevaan atan-termiin edellisessä tehtävässä käyttämääni menetelmää käänteisesti.

Mikä on x?

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat