Seuraa 
Viestejä568
Liittynyt10.10.2013

R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Kommentit (14)

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Keckuli kirjoitti:
R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Ilmankos niitä irrationaaliluvuiksi sanotaan?

Tosin kyllä jokaisella irrationaaliluvulla on (päättymätön, jaksoton ) desimaaliesitys, joka voidaan ymmärtää myös sarjakehitelmäksi, esimerkiksi

1, 1010010001 ... = 1 + 1/10 + 1/1000 + 1/1000000 ... = summa(1/10^kn),

missä  kn = 1, 3, 6, 10, ... , eli aritmeettisen summan  1 + 2 + 3 +  ...  n:s osasumma

kn = n(1 + n)/2.

Vai pitäisikö olla vielä tarkempi?

Tällaisia "säännöllisiä" irrationaalilukuja on varmasti yhtä monta* kuin rationaalilukuja ja lisäksi sitten tulevat sellaiset irrationaaliluvut, joiden kehitelmässä ei ole mitään tolkkua. Mutta niilläkin on sarjakehitelmä, esim.

1, 27453736582, ... = 1 + 2/10 + 7/100 + 4/1000  jne.

* Jokaista luonnollista lukua  p > 0 kohti löytyy irrationaaliluku, jonka sarjakehitelmässä ykkösten välissä olevien nollien määrä lisääntyy p:llä.

Keckuli
Seuraa 
Viestejä568
Liittynyt10.10.2013

Sinulla on noissa sarjakehitelmissä joko 3 pistettä ... tai "jne", mikä merkitsee juuri sitä, että niistä voidaan esittää vain likiarvoja. Kyllä niillä vajaavainen sarjakehitelmä on, mutta tarkka arvo on vain äärettömän pienellä osalla. Lukua, jota ei voida esittää tarkasti edes päättymättömällä säännönmukaisella tavalla ei mielestäni ole olemassa, kun sille ei ole tarkkaa kaavaa tai merkintää.

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Keckuli kirjoitti:
Sinulla on noissa sarjakehitelmissä joko 3 pistettä ... tai "jne", mikä merkitsee juuri sitä, että niistä voidaan esittää vain likiarvoja. Kyllä niillä vajaavainen sarjakehitelmä on, mutta tarkka arvo on vain äärettömän pienellä osalla. Lukua, jota ei voida esittää tarkasti edes päättymättömällä säännönmukaisella tavalla ei mielestäni ole olemassa, kun sille ei ole tarkkaa kaavaa tai merkintää.

Et sitten ilmeisesti ymmärä matematiikasta mitään?

JPI
Seuraa 
Viestejä25926
Liittynyt5.12.2012

Opettaja kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Ilmankos niitä irrationaaliluvuiksi sanotaan?

Tosin kyllä jokaisella irrationaaliluvulla on (päättymätön, jaksoton ) desimaaliesitys, joka voidaan ymmärtää myös sarjakehitelmäksi, esimerkiksi

1, 1010010001 ... = 1 + 1/10 + 1/1000 + 1/1000000 ... = summa(1/10^kn),

missä  kn = 1, 3, 6, 10, ... , eli aritmeettisen summan  1 + 2 + 3 +  ...  n:s osasumma

kn = n(1 + n)/2.

Vai pitäisikö olla vielä tarkempi?

Tällaisia "säännöllisiä" irrationaalilukuja on varmasti yhtä monta* kuin rationaalilukuja ja lisäksi sitten tulevat sellaiset irrationaaliluvut, joiden kehitelmässä ei ole mitään tolkkua. Mutta niilläkin on sarjakehitelmä, esim.

1, 27453736582, ... = 1 + 2/10 + 7/100 + 4/1000  jne.

* Jokaista luonnollista lukua  p > 0 kohti löytyy irrationaaliluku, jonka sarjakehitelmässä ykkösten välissä olevien nollien määrä lisääntyy p:llä.

Tuollainen "sarjakehitelmä" on täsmälleen sama asia kuin alkuperäinenkin luku ja sen voi esittää kaikille luvuille: 3 = 3*1;  32 = 3*10 + 2*1;  55,65 = 5*100+5*10+6/10+5/100...  Siis mitä tuo muka "selittää"?

3³+4³+5³=6³

Reifengas
Seuraa 
Viestejä3271
Liittynyt30.5.2010

Reaaliluvut täyttävät lukusuoralta murtolukujen jättämät aukot. Kumpiakin on ääretön määrä. Kiista siitä, kumman ääretön on isompi, kuulostaa riettaalta.

Rinnan rikkahat ajavat,
käsityksin köyhät käyvät.

Keckuli
Seuraa 
Viestejä568
Liittynyt10.10.2013

Opettaja kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
Sinulla on noissa sarjakehitelmissä joko 3 pistettä ... tai "jne", mikä merkitsee juuri sitä, että niistä voidaan esittää vain likiarvoja. Kyllä niillä vajaavainen sarjakehitelmä on, mutta tarkka arvo on vain äärettömän pienellä osalla. Lukua, jota ei voida esittää tarkasti edes päättymättömällä säännönmukaisella tavalla ei mielestäni ole olemassa, kun sille ei ole tarkkaa kaavaa tai merkintää.

Et sitten ilmeisesti ymmärä matematiikasta mitään?

No joo, sori, hyväksyn, että se toinen luku, mikä ei ole summan sarjakehitelmä on luku. Eli luku 1, 1010010001 ... = 1 + 1/10 + 1/1000 + 1/1000000 ... = summa(1/10^kn), Mutta ne toiset, joissa ei ole mitään tolkkua, ja joita on äärettömästi enemmän kuin niitä, joilla on tolkkua, ne eivät ole lukuja. Niille joilla ei ole tolkkua ei ole esittää muuta kuin liliarvoja ja ne ovat siten rationaalilukuja ja menevät sinne pussiin, kun kiistellään siitä kumpia on enemmän tai kumman joukko on mahtavampi: irrationaalilukujen vai rationaalilukujen. Suurimmasta osasta irrationaalilukuja meillä on esittää vain rationaalilukumerkintä.

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Keckuli
Seuraa 
Viestejä568
Liittynyt10.10.2013

Se mitä tahdon sanoa on, että ylivoimaisesti, äärettömän suuri osa, 0:n ja 1:n välissä olevista luvuista ovat muotoa 0+Random(9)/10+Random(9)/100+Random(9)/1000+Random(9)/10000+..., missä Random(9) tuottaa satunnaisluvun 0:sta 9:ään ja niille ei ole minkäänlaista merkintää. Ne voidaan esittää vain rationaalilukuina, vaikka ne ovat irrationaalilukuja.

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

JPI kirjoitti:
Opettaja kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Ilmankos niitä irrationaaliluvuiksi sanotaan?

Tosin kyllä jokaisella irrationaaliluvulla on (päättymätön, jaksoton ) desimaaliesitys, joka voidaan ymmärtää myös sarjakehitelmäksi, esimerkiksi

1, 1010010001 ... = 1 + 1/10 + 1/1000 + 1/1000000 ... = summa(1/10^kn),

missä  kn = 1, 3, 6, 10, ... , eli aritmeettisen summan  1 + 2 + 3 +  ...  n:s osasumma

kn = n(1 + n)/2.

Vai pitäisikö olla vielä tarkempi?

Tällaisia "säännöllisiä" irrationaalilukuja on varmasti yhtä monta* kuin rationaalilukuja ja lisäksi sitten tulevat sellaiset irrationaaliluvut, joiden kehitelmässä ei ole mitään tolkkua. Mutta niilläkin on sarjakehitelmä, esim.

1, 27453736582, ... = 1 + 2/10 + 7/100 + 4/1000  jne.

* Jokaista luonnollista lukua  p > 0 kohti löytyy irrationaaliluku, jonka sarjakehitelmässä ykkösten välissä olevien nollien määrä lisääntyy p:llä.

Tuollainen "sarjakehitelmä" on täsmälleen sama asia kuin alkuperäinenkin luku ja sen voi esittää kaikille luvuille: 3 = 3*1;  32 = 3*10 + 2*1;  55,65 = 5*100+5*10+6/10+5/100...  Siis mitä tuo muka "selittää"?

No kun jotenkin takerruin tuohon otsikkoon ja väitteeseen, että

"Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä."

Ei olisi tietenkään pitänyt, mutta kun heti ensimmäinen mieleen tuleva irrationaaliku oli helposti sarjakehitelmänä esitettävissä ja kun samasta muodosta sai välittömästi numeroituvan määrän uusia, niin en voinut vastustaa kiusausta.

Näin jäkeenpäin ajateltuna tuo oli tietysti kaukaa haettuna, sillä sarjakehitelmiä löytyy pilvin pimein: kaikki transsendenttifunktioiden kehitelmät (e^x, sin x, cos x ...) jotka tuottavat irrationaaliluvun melkein jokaisella  x:llä,  summa (1/n^x)  ja tietysti juurifunktioiden kehitelmät yms. jne. ..... (5 pistettä!) loputtomiin.

Sitäpaitsi irrationaaliluvuilla on harvinaisen runsaasti tarkkoja arvoja, esim.

sin (n), e^n, neliöjuuri(n) ....

Tietysti tämä on taas yhdestä sanasta kiinni kuten melkein kaikki täällä:

mitä tarkoittaa sana "esittää"?

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

Keckuli kirjoitti:
R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Tässä on nyt monta väärinymmärrystä sekaisin.  Jos tuo sun yhtälö R - Q = IR < Q tarkoittaa, että irrationaalilukujen joukko on mahtavuudeltaan (täsmällinen matemaattinen käsite) pienempi kuin Q, niin se on täysin väärin.

Jokaisella reaaliluvulla on 10-järjestelmässä olemassa desimaaliesitys. Se, että emme välttämättä tiedä sitä esitystä tarkasti (so. "ääretön" määrä desimaaleja), ei tee siitä desimaalikehitelmästä mitenkään olematonta. Me emme vain tiedä sitä desimaalikehitelmää, mutta me tiedämme sen olevan olemassa.

Mainitsemallesi luvuille pi ja e ei tunneta myöskään niiden desimaaliesitystä, mutta sellainen toki on olemassa.

Lisäksi, emmehän edes tiedä kaikkia rationaalilukujen m/n  tarkkoja desimaaliesityksiä, koska emme edes tiedä mitään täydellistä listaa alkuluvuista. Siksi vetoaminen desimaaliesitysten "tunnettuuteen" on huuhaata.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Keckuli
Seuraa 
Viestejä568
Liittynyt10.10.2013

Jos heitetään tikkaa reaalilukujanalle eli arvotaan täysin sattumanvaraisesti luku esim. väliltä 0...1. niin todennäköisyys sille, että sillä luvulla olisi jotain merkintää on nolla. Se on vain sattumanvarainen lukujono 0+Random(9)/10+Random(9)/100+... Sille ei ole olemassa kuin vajaavainen rationaaliluku esitys. Ja jos sille ei kerran ole olemassa kuin vajaavainen rationaalilukuesitys, herää kysymys, onko se irrationaaliluku ollenkaan.

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Tetraedri_
Seuraa 
Viestejä174
Liittynyt3.7.2012

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Lisäksi, emmehän edes tiedä kaikkia rationaalilukujen m/n  tarkkoja desimaaliesityksiä, koska emme edes tiedä mitään täydellistä listaa alkuluvuista. Siksi vetoaminen desimaaliesitysten "tunnettuuteen" on huuhaata.


Piin tarrkka desimaalikehitelmä kyllä tunnetaan mm heksadesimaaleissa - sen n:s desimaali voidaan laskea mielivaltaisesta kohtaa yksinkertaisella kaavalla:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_f...

Jos menettäisin hulluuteni, menettäisin kaiken!

Tetraedri_
Seuraa 
Viestejä174
Liittynyt3.7.2012

Tetraedri_ kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
R=reaaliluvut, Q=Rationaaluvut, IR=Irrationaaliluvut.
Rationaalilukuja, joita voidaan esittää on suurempi määrä kuin irrationaalilukuja. Minua se hämmästyttää. Äärettömästi suurin osa reaaliluvuista on täysin sattumanvaraisia lukujonoja, joita ei voida mitenkään esittää kuin likiarvona ja jos ne voidaan esittää likiarvoina, ovat ne rationaalilukuja. Vain hyvin harvoille irrationaaliluvuille kuten pii ja e on tarkka esitysmuoto sarjakehitelmänä. Äärettömän pieni osa luvuista on esitettävissä.

Lisäksi, emmehän edes tiedä kaikkia rationaalilukujen m/n  tarkkoja desimaaliesityksiä, koska emme edes tiedä mitään täydellistä listaa alkuluvuista. Siksi vetoaminen desimaaliesitysten "tunnettuuteen" on huuhaata.


Piin tarrkka desimaalikehitelmä kyllä tunnetaan mm heksadesimaaleissa - sen n:s desimaali voidaan laskea mielivaltaisesta kohtaa yksinkertaisella kaavalla:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_f...

EDIT: ehkä olisi parempi puhua heksadesimaaloesotyksestä :P

Jos menettäisin hulluuteni, menettäisin kaiken!

Opettaja
Seuraa 
Viestejä1983
Liittynyt22.7.2011

Keckuli kirjoitti:
Jos sille ei kerran ole olemassa kuin vajaavainen rationaalilukuesitys, herää kysymys, onko se irrationaaliluku ollenkaan.

Halleluja!

Neutroni
Seuraa 
Viestejä29581
Liittynyt16.3.2005

Tetraedri_ kirjoitti:

Piin tarrkka desimaalikehitelmä kyllä tunnetaan mm heksadesimaaleissa - sen n:s desimaali voidaan laskea mielivaltaisesta kohtaa yksinkertaisella kaavalla:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_f...

Tuossa mielessä kaikki irrationaaluvut, jotka voidaan laskea jollain matemaattisesti määritellyllä tavalla, ovat yhtä tunnettuja. n:s desimaali voidaan laskea aina, jos käytössä on tarpeeksi muistia ja laskentatehoa. Ei sillä ole matemaattisessa mielessä väliä, joudutaanko laskemaan desimaalit 1 - n-1.

Muuten nuo lukukuntien mahtavuudet ovat tunnettua matematiikkaa. Jos se tuntuu ihmeelliseltä, sitten vain opiskelee miten asia on. Se voi tuntua sen jälkeenkin ihmeelliseltä, mutta sitten ainakin tietää miten asia on. Jo keksittyä matematiikkaa on turha yrittää keksiä uudelleen.

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat