Pari paradoksia (matematiikka)

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Muistelin tässä paria kuulemaani paradoksia. On mahdollista, että näistä on puhuttu täällä ennenkin ja siinä tapauksessa pahoittelen toistoa.

1. On maanantai ja vanki odottaa teloituskammiossa teloitusta. Vanginvartija ilmoittaa, että hänet tullaan teloittamaan viimeistään sunnuntaina mutta siten, että hän ei edellisenä päivänä tiedä kuolevansa seuraavana päivänä.

Vanki lähtee päättelemään: minut teloitetaan viimeistään sunnuntaina mutta silloin tietäisin sen lauantaina, koska ainoastaan sunnuntai on jäljellä. Näin ollen on pois suljettua, että minut telotettaisiin sunnuntaina. Hyvä, ehkä minut teloitetaan sitten lauantaina. Mutta silloinhan tietäisin sen perjantaina, koska sunnuntai oli poissuljettu ja lauantai on ainoa mahdollinen teloituspäivä. He eivät voi siis teloittaa minua lauantaina. Ja jos he teloittaisivat minut perjantaina niin tietäisin sen torstaina ja myös perjantai on poissuljettu.

Vanki päättelee samaan tapaan takautuvasti maanantaihin asti ja tulee siihen tulokseen, että häntä ei voida teloittaa lainkaan - vanginvartija siis vain pelotteli häntä. Hän elää sellissään huolettomasti kunnes hänet teloitetaan torstaina. Eikä vanki tiennyt sitä edellisenä päivänä!

Vangin päättely näyttää loogiselta mutta jokin siinä menee vikaan. En kuitenkaan osaa perustella, missä vika on. Voisiko pelin asetelman jotenkin formuloida matemaattisesti?

2. Todistetaan väite: KAIKKI luonnolliset luvut ovat kiinnostavia.

Tehdään vastaoletus: Löytyy ainakin yksi ei-kiinnostava luonnollinen luku. Tai yleisemmin: ei-kiinnostavat luonnolliset luvut muodostavat joukon, jonka koko on vähintään yksi. Nyt luonnollisten lukujen ominaisuuksista seuraa, että tällä joukolla on yksikäsitteinen pienin alkio siis pienin ei-kiinnostava luonnollinen luku. Mutta nythän on kiinnostavaa tietää mikä tämä pienin ei-kiinnostava luonnollinen luku on, joten ei-kiinnostava luku onkin itseasiassa kiinnostava. Päädyttiin ristiriitaan, joten kaikki luonnolliset luvut ovat kiinnostavia.

Tässä on tietenkin ongelmana määritellä "kiinnostavuus", mutta sama päättely voitaisiin mahdollisesti tehdä myös jonkin täsmällisemmän ominaisuuden suhteen. Joka tapauksessa esimerkistä herää kysymys, kuinka laajasti matemaattista todistamista voidaan ylipäätään soveltaa?

Muokkaus: Viestiä hieman lyhennetty.

Kommentit (7)

Vierailija

1. Teloittajat eivät analysoi noin ja tavallaan pelaavat eri säännöillä. Teloituspäivän siirtäminen sunnuntailta lauantaille ja niin edelleen vaatii saman päättelyketjun. Jos sitä ei käydä läpi, kaikki päivät lauantaita lukuunottamatta tuntuvat sopivilta.

2. Päätelmä nojaa lujasti termiin "kiinnostava", monilla muilla adjektiiveilla vastaväite ei tee löydetystä ei-väitteen-toteuttavasta luvusta väitteen toteuttavaa. Esimerkiksi väitteessä voi korvata termin kiinnostava termillä keltainen. Nyt vastaväite ei tee löydetystä luvusta keltaista (mitä se sitten onkaan).

o_turunen
Seuraa 
Viestejä10611
Liittynyt16.3.2005

Olisiko sittenkin niin, että sunnuntai on se päivä, jolloin teloitusta ei voi suorittaa. Vanki voidaan aivan hyvin teloittaa tiistaina, jos hän ei sitä edellisenä päivänä tiedä. Samalla perusteella keskiviikkona, torstaina, perjantaina ja lauantaina.

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi.
Korant: Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Vierailija

Joo, sunnuntai on ehdottomasti poissuljettu koska vanki tietäisi sen lauantaina. Muut päivät ovatkin sitten ongelmallisempia. Oletetaan, että vanki on elossa vielä perjantaina. Eikö hän silloin väistämättä tiedä teloituspäivän olevan lauantai?

Leone
Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005

1. Tarkastellaan kuolinhetkeä. Virhe (pseudo)päättelyssä on siinä, että vanki tietää vasta seuraavan päivän puolella, ettei hän kuollutkaan edellisenä päivänä. Näin ollen esimerkiksi lauantain viimeisen sekunnin kuluessakaan hän ei tiedä kuoleeko tänään vai vasta sunnuntaina. Vasta sunnuntain puolella hän tietää kuolevansa sinä päivänä.

Näin siis myös sunnuntai on käypä päivä. Vastaavasti voitaisiin tarkastella myös teloituksen alkamishetkeä, jos sille on olemassa samanlaiset kriteerit.

Vierailija
Leone
1. Tarkastellaan kuolinhetkeä. Virhe (pseudo)päättelyssä on siinä, että vanki tietää vasta seuraavan päivän puolella, ettei hän kuollutkaan edellisenä päivänä. Näin ollen esimerkiksi lauantain viimeisen sekunnin kuluessakaan hän ei tiedä kuoleeko tänään vai vasta sunnuntaina. Vasta sunnuntain puolella hän tietää kuolevansa sinä päivänä.

Näin siis myös sunnuntai on käypä päivä. Vastaavasti voitaisiin tarkastella myös teloituksen alkamishetkeä, jos sille on olemassa samanlaiset kriteerit.

Noh muutetaan alku asetelmaa niin että teloitus tapahtuu aina kukon laulun aikaan; kukko laulaa aina täsmälleen samaan aikaan päivässä ja minuutin ajan.

Vierailija

1. Vankia ei voida teloittaa sunnuntaina, koska se on takaraja ja silloin hän tietäisi sen lauantaina. Maanantaina ei voida vielä sanoa mitään muista päivistä. Jos hän olisi perjantaina elossa, niin mahdollisten teloituspäivien joukkoon kuuluu vielä lauantai ja sunnuntai. Mutta sunnuntaihan ei käy, joten torstai on päivä jolloin jäljellä on vielä 2 aidosti mahdollista teloituspäivää.

2. Ominaisuus, jonka avulla lukuja luokitellaan vaikuttaa lopputulokseen. "Kiinnostavuudella" ei ole täsmällistä matemaattista määriltelmää, joten ei voida tietää miten se suhtautuu lukujen ja joukkojen muihin ominaisuuksiin (kuten numeroituvuus, äärettömyys jne.).

Leone
Seuraa 
Viestejä4564
Liittynyt16.3.2005
Toinen totuus totuudesta
Leone
1. Tarkastellaan kuolinhetkeä. Virhe (pseudo)päättelyssä on siinä, että vanki tietää vasta seuraavan päivän puolella, ettei hän kuollutkaan edellisenä päivänä. Näin ollen esimerkiksi lauantain viimeisen sekunnin kuluessakaan hän ei tiedä kuoleeko tänään vai vasta sunnuntaina. Vasta sunnuntain puolella hän tietää kuolevansa sinä päivänä.

Näin siis myös sunnuntai on käypä päivä. Vastaavasti voitaisiin tarkastella myös teloituksen alkamishetkeä, jos sille on olemassa samanlaiset kriteerit.




Noh muutetaan alku asetelmaa niin että teloitus tapahtuu aina kukon laulun aikaan; kukko laulaa aina täsmälleen samaan aikaan päivässä ja minuutin ajan.

Tässä tapauksessa vika on siinä, että esimerkiksi päätelmää "perjantai ei voi olla teloituspäivä" vanki ei voi tehdä, jos hänet on teloitettu joko maanantaina, tiistaina, keskiviikkona tai torstaina. Koko päättelyssä on siis aluksi käytetty oletusta, että teloitus EI tapahdu mainittuina päivinä.

Tällaista lupausta vartija ei kuitenkaan antanut.

Uusimmat

Suosituimmat