Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

Tarkastellaan vesisumussa putoavaa pallonmuotoista vesipisaraa, johon putoamisen aikana kertyy lisää massaa. Oletetaan, että pisaran säde r on alussa pieni ja kuvataan massan kertymistä lausekkeella m'=dm/dt=C*πr^2*v. Näillä oletuksilla pisaran liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0
Määritä vakiot A,B jaC.
Vähän helpompi jatkotehtävä
Tämä on ilkeä epälineaarinen differentiaaliyhtälö, mutta sille löytyy erikoisratkaisu olettamalla, että pisaran kiihtyvyys on vakio.
Määritä tämä vakiokiihtyvyys.

Sivut

Kommentit (57)

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

CE-hyväksytty kirjoitti:
Eikö ole mitään alkuarvoja, tyyliin y(0)=5 tms?
Kun muodostetaan liikeyhtälöä, jota kysytään, alkuarvoja ei tarvita.

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

CE-hyväksytty kirjoitti:
Juu.

Tuleeko tuosta niin että

a = y'' = -Cg / (A+B) ?

Eli jos kertoimet tiedettäisiin, niin silloin tiedettäisiin myös kiihtyvyys?

Ei ihan mutta aika lähellä kuitenkin.

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

CE-hyväksytty kirjoitti:
Ai niin. Eipä olekaan niin, että jos tämän alkuperäisen

A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0

jakaa y:llä, tulee

A*y''+B*y''+C*g=0,

koska matka ei ole y, vaan dy.

Ei tule, vaan

A*y''+B*(y')^2/y+C*g=0

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Liittynyt30.4.2005

PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
Ai niin. Eipä olekaan niin, että jos tämän alkuperäisen

A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0

jakaa y:llä, tulee

A*y''+B*y''+C*g=0,

koska matka ei ole y, vaan dy.

Ei tule, vaan

A*y''+B*(y')^2/y+C*g=0

Niinhän mä sanoin, että eipä olekaan niin että tulee.

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Liittynyt30.4.2005

y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

CE-hyväksytty
Seuraa 
Viestejä29006
Liittynyt30.4.2005

PPo kirjoitti:
CE-hyväksytty kirjoitti:
y'' * y ei ole sama kuin (y')^2 
y'' * y = (d^2 y) / (d t^2) * y  = (d^2 y^2) / (d t^2) 
ja
(y')^2 = (dy / dt) * (dy / dt) = (d^2 y^2) / (d^2 t^2) 

Mutta kuitenkin yritteillä
y = e^(kt)
y' = k * e^(kt)
y'' = k^2 * e^(kt)
yrittäessä
k^2*e^(kt) * e^(kt)
on sama kuin
(ke^(kt))^2, eli
k^2*e^(2kt)
.

Eikö olisi järkevämpää lähteä liikkeell yhtälöstä F=dp/dt?

Ei hajuakaan.

PPo
Seuraa 
Viestejä12879
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
Tarkastellaan vesisumussa putoavaa pallonmuotoista vesipisaraa, johon putoamisen aikana kertyy lisää massaa. Oletetaan, että pisaran säde r on alussa pieni ja kuvataan massan kertymistä lausekkeella m'=dm/dt=C*πr^2*v. Näillä oletuksilla pisaran liikeyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
A*y''*y+B*(y')^2+C*g*y=0
Määritä vakiot A,B jaC.
Vähän helpompi jatkotehtävä
Tämä on ilkeä epälineaarinen differentiaaliyhtälö, mutta sille löytyy erikoisratkaisu olettamalla, että pisaran kiihtyvyys on vakio.
Määritä tämä vakiokiihtyvyys.
Klassisen mekaniikan liikeyhtälöiden mitätöiminen on nähtävästi paljon helpompaa kuin niiden kirjoittaminen.

Kyseessä on kuitenkin melko suoraviivainen tehtävä. Toki vähän joutuu yhtälöitä pyörittelemään, mutta sehän ei älyä vaadi korantin todistuksen mukaan toisin kuin prekessiomomentin  tai todellisen hitausvoiman ymmärtäminen.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat