Seuraa 
Viestejä12874
Liittynyt10.12.2008

Kappale putoaa 108 m ajassa 5 s, kun se lähtee levosta. Mikä on sen rajanopeus, kun ilmanvastus on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen?
Tehtävään ei ollut vastausta joten olen hieman epävarma saamastani tuloksesta.

Sivut

Kommentit (55)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

PPo kirjoitti:
Kappale putoaa 108 m ajassa 5 s, kun se lähtee levosta. Mikä on sen rajanopeus, kun ilmanvastus on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen?
Tehtävään ei ollut vastausta joten olen hieman epävarma saamastani tuloksesta.

No, ihan pikaisesti laskeskelin näin:

Liikeyhtälö my'' = -mg - ky', missä k ja m ovat tuntemattomia. Tuo voidaan kirjoittaa muodossa y'' + k/m y' = - g.

Tuon ratkaisu on muotoa y(t) = A exp(- k/m t) + B - mg/k t. Rajanopeus toteuttaa yhtälön k/m V = -g (y'' = 0!), saadaan -mg/k = V. Koska y(0) = 0, kun t = 0, saadaan A + B = 0. Koska y'(0) = 0, saadaan -k/m A - m/k g = 0. Tuosta saa A = - m²/k² g ja siten B = m²/k². Siis:

y(t) = - m²/k² g exp(-k/m t) + m²/k² + mg/k t.

Kun tuohon sijoittaa t = 5 ja y(5) = 108 saa toisen asteen yhtälön suureelle m/k ja siten sen jälkeen voi laskea V = V = -m/k g.

Tuo ylläoleva voi olla väärinkin päätelty tai laskettu mutta näin hätäisesti tuo näyttäisi toimivan.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä29581
Liittynyt16.3.2005

Kappaleeseen vaikuttava voima on F = m*g - c*v, jossa c on ilmanvastuskerroin.

Nopeudelle saadaan yhtälö dv/dt = g - (c/m)*v, merkataan jatkossa c/m = e.

Seaparoidaan muuttujat ja integroidaan:

integraali(0, v, dv/(g-ev)) = integraali(0, t, dt)

sijoitus(0, v, (-1/e)*ln(g-ev)) =(-1/e)*( ln(g-ev) - ln(g)) = (-1/e)*ln(1-e*v/g) = t

Sitten vähän algebraa:

v(t) = (g/e)*(1-exp(-e*t))

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Kappale putoaa 108 m ajassa 5 s, kun se lähtee levosta. Mikä on sen rajanopeus, kun ilmanvastus on suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen?
Tehtävään ei ollut vastausta joten olen hieman epävarma saamastani tuloksesta.

No, ihan pikaisesti laskeskelin näin:

Liikeyhtälö my'' = -mg - ky', missä k ja m ovat tuntemattomia. Tuo voidaan kirjoittaa muodossa y'' + k/m y' = - g.

Tuon ratkaisu on muotoa y(t) = A exp(- k/m t) + B - mg/k t. Rajanopeus toteuttaa yhtälön k/m V = -g (y'' = 0!), saadaan -mg/k = V. Koska y(0) = 0, kun t = 0, saadaan A + B = 0. Koska y'(0) = 0, saadaan -k/m A - m/k g = 0. Tuosta saa A = - m²/k² g ja siten B = m²/k². Siis:

y(t) = - m²/k² g exp(-k/m t) + m²/k² + mg/k t.

Kun tuohon sijoittaa t = 5 ja y(5) = 108 saa toisen asteen yhtälön suureelle m/k ja siten sen jälkeen voi laskea V = V = -m/k g.

Tuo ylläoleva voi olla väärinkin päätelty tai laskettu mutta näin hätäisesti tuo näyttäisi toimivan.

No persiilleenhän se meni, tuolla eksponenttifunktion sisällä on myös tuntematon k/m. Jos sen huomioi saa kai yhtälön, joka pitää ratkaista numeerisesti. Epäilen kyllä olevani ns. väärillä jäljillä..

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä29581
Liittynyt16.3.2005

Lisää integrointia (tulee opiskeluajat mieleen, silloin se oli helppoa, mutta nyt ei):

s(t) = (g/e)*t + (g/e^2)(exp(-e*t)-1)

Tehtävän alkutietojen perusteella saadaan e:lle yhtälö:

s(0)*e^2 - g*t*e - g*(exp(-e*t)-1) = 0

Öööö... Eksponenttifunktiot ja polynomit samassa yhtälössä -> voimasanoja ja aivon rasittumista. Tässä vaiheessa minä olen alkanut aina koodata.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä29581
Liittynyt16.3.2005

Fuskasin Wolframilla. Se tietää, että e = 0.0787367 s^-1.

Raja-arvo, kun t kasvaa rajatta v(ääretön) = g/e = 124.6 m/s. Käytin g:lle arvoa 9,81 m/s^2.

Näinonnäreet
Seuraa 
Viestejä971
Liittynyt27.5.2013

Yleensä ilmannopeus on verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin; jos verrannollisuuskerroin on k, saadaan ratkaisu:

v(t) = sqrt(mg/k)*tanh(sqrt(kg/m)*t)

missä tuo edessä oleva neliöjuurilauseke on rajanopeus.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

Näinonnäreet kirjoitti:
Yleensä ilmannopeus on verrannollinen nopeuden toiseen potenssiin; jos verrannollisuuskerroin on k, saadaan ratkaisu:

v(t) = sqrt(mg/k)*tanh(sqrt(kg/m)*t)

missä tuo edessä oleva neliöjuurilauseke on rajanopeus.

Näin varmaan on, mutta nyt tuo k ja m ovat tuntemattomia, mutta suhteen k/m tuntemus riittää tässä tehtävässä. Lisäksi tuo v(t):n lauseke pitää integroida vielä kerran ajan suhteen, jotta päästää käyttämään tehtävässä annettua tietoa y(5) = 108m, joka on ilmeisesti aika paha yhtälö ratkaistavasti analyyttisesti. Ilmeisesti numeerinen likiarvo on tähän se "oikea" vastaus.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä15168
Liittynyt16.2.2011

Sain lineaarisesti keskiarvokiihtyvyydellä approksimoiden 125,1 m/s.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12874
Liittynyt10.12.2008

Neutroni kirjoitti:
Lisää integrointia (tulee opiskeluajat mieleen, silloin se oli helppoa, mutta nyt ei):

s(t) = (g/e)*t + (g/e^2)(exp(-e*t)-1)

Tehtävän alkutietojen perusteella saadaan e:lle yhtälö:

s(0)*e^2 - g*t*e - g*(exp(-e*t)-1) = 0

Öööö... Eksponenttifunktiot ja polynomit samassa yhtälössä -> voimasanoja ja aivon rasittumista. Tässä vaiheessa minä olen alkanut aina koodata.

t=5,g=10 e=x

Kirjotin boldatun yhtälön muotoon

x=10(5+1/x*(e^(-5x)-1)/108—>laskimella iteroiden x=0,0910953....—>rajanopeus 10/x=110 m/s

Yhtälö sama mutta numeerinen ratkaisu hieman eri?

Pitäisköhän tarkastaa WA:lla?

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

Näinonnäreet kirjoitti:
tanhx:n integraali on ln(coshx) eli ei lainkaan paha.

Ei varmaan, mutta ratkaise yhtälö y = ln(cosh x)  x:n suhteen annetulla y analyyttisesti ilman numeerista laskentaa, tästä on kysymys.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

PPo
Seuraa 
Viestejä12874
Liittynyt10.12.2008

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Näinonnäreet kirjoitti:
tanhx:n integraali on ln(coshx) eli ei lainkaan paha.

Ei varmaan, mutta ratkaise yhtälö y = ln(cosh x)  x:n suhteen annetulla y analyyttisesti ilman numeerista laskentaa, tästä on kysymys.

x=e^y+√(e^(2y)-1)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

PPo kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Näinonnäreet kirjoitti:
tanhx:n integraali on ln(coshx) eli ei lainkaan paha.

Ei varmaan, mutta ratkaise yhtälö y = ln(cosh x)  x:n suhteen annetulla y analyyttisesti ilman numeerista laskentaa, tästä on kysymys.

x=e^y+√(e^(2y)-1)

Ahaa, no sitten homma on hallinnassa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2201
Liittynyt24.1.2014

Näinonnäreet kirjoitti:
No WA:llahan tuo voidaan laskea helposti. Sain m/k arvoksi 279 m ja rajanopeudeksi 52 m/s, kun on neliöllinen vastuskaava.

Todella hienoa.

Et sitten viitsinyt lukea sitten alkuperäistä tehtävänantoa, jossa on nopeuteen verrannollinen ilmanvastus. Ei jatkoon.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat