Matemaattiset aksioomat

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Luennoitsija totesi kaiken matematiikan perustuvan muutamaan aksioomaan, joista kaikki muut matemaattiset kaavat on johdettu.

Mutta mikä tarkalleen ottaen on aksiooma?
Montako niitä on?
Missä niitä voisi tarkastella?

(Ja huomenta vaan kaikille!)

Terveisin Deus Ex

Kommentit (7)

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

Tuolla on esimerkki vektoreihin liittyvistä aksioomista. Ne ovat aika intuitiivisia, jos vain nuo symbolit sattuvat olemaan tuttuja. (ja jos ajattelee nuo aksioomat tavallisten vektorien laskusääntöjen kautta, voi mennä aika abstaktiksikin, jos ajattelee muunlaisia vektoriavaruuksia) Suomennellaan jos tarvitsee.

http://fi.wikipedia.org/wiki/Vektoriavaruus

Vertailun vuoksi tuohon edelliseen ehkä vähän tutummat reaalilukujen aksioomat: (niitä on enemmänkin kuin nämä)

1.Vaihdantalaki a+b = b+a, ab = ba
2.Liitäntälaki a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc)=(ab)c
3.Osittelulaki a(b+c)=ab+ac
4.Nolla 0+a=a
5.Vastaluku x+a=0, x=-a
6.Ykkönen 1a=a
7Käänteisluku xa=1, x=1/a, x ei ole 0

Kannattaa huomata, että nämä aksioomat pätevät siis vain reaalilukuihin, eikä päde kaikille matemaattisille olioille, joille on omat aksioomansa.

Myös esimerkiksi Euklidisen avaruuden aksioomat eivät päde kaareviin avaruuksiin jne.

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

Lukujärjestelmät taitavat lähteä liikkeelle Peanon aksioomista, joiden avulla voidaan määritellä luonnolliset luvut. Sitten kokonaisluvuille ja rationaaliluvuille on lisäaksioomansa. Yleisemmin kaikki "kauniit" lukujärjestelmät (kuten rationaali- ja reaaliluvut) toteuttavat ns. kunta-aksioomat.

Vierailija
Deus Ex
Luennoitsija totesi kaiken matematiikan perustuvan muutamaan aksioomaan, joista kaikki muut matemaattiset kaavat on johdettu.

Mutta mikä tarkalleen ottaen on aksiooma?
Montako niitä on?
Missä niitä voisi tarkastella?

(Ja huomenta vaan kaikille!)

Terveisin Deus Ex


Hyviä kysymyksiä.

Lainaan vikipediaa:


Aksiooma on matematiikassa peruskäsitteiden epäsuora määritelmä, jota käytetään päättelyssä muiden tulosten todistamiseen. Matematiikassa mikä tahansa ristiriidaton lausejoukko voidaan asettaa aksioomajärjestelmäksi. Toivottavaa on, että aksioomia ei voida johtaa toisista aksioomista vaan että aksioomajoukko on pienin mahdollinen peruskäsitteiden määrittelemiseen riittävä lausejoukko; näin ollen aksioomia ei todisteta. Toivottavaa on myös, että aksioomista voidaan johtaa mahdollisimman paljon lauseita. Aksioomien lisäksi tarvitaan päättelysääntöjä. Matematiikassa päättelysääntöinä käytetään enimmäkseen logiikan päättelysääntöjä. Myös logiikka on aksiomatisoitu.

Luennoitsija varmaan tarkoitti Zermelo-Fraenkelin joukko-aksioomia lisättynä valinta-aksioomalla (ZFC). Näistä seitsemästä aksioomasta pitäisi pystyä johtamaan kaikki matematiikan teoreemat. Tätä ei kuitenkaan pidä ottaa kirjaimellisesti. Lisäksi tarvitaan predikaatti- ja propositiologiikan aksioomat ja päättelysäännot. Tästä tulee yhteensä 23 aksioomaa ja 2 sääntöä.

Aksioomia voit tarkastella vaikkapa osoittessa: http://de2.metamath.org/mpegif/mmset.html#axioms. Kun kelaat vähän alaspäin näet taulukoita joissa on yhteensä kerrottu kaikki aksiooat joita tarviset.

Vierailija
Tarkkailija
"Colen aksiooma: Älykkyyden summa Maassa on vakio; väestö on kasvussa."

..eli joukossa tyhmyys tiivistyy

Uusimmat

Suosituimmat