Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Avasin nyt sitten viimeinkin tämän ketjun. Tähän voi kirjoitella mitä vaan enemmän ja vähemmän aiheeeseen liittyvää. En nyt kirjoita mitään johdatusta mittakenttiin, koska ne, jotka asiasta jotain tietävät, eivät tarvitse johdatuksiani ja ne jotka eivät asiasta mitään tiedä, tuskin oppivat sitä selityksistänikään.

Mittakentällä A on elektrodynamiikassa annetussa koordinaatistossa (x⁰,x¹,x²,x³) lauseke:

A = A₀dx⁰ + A₁dx¹ + A₂xdx² + A₃dx³

ja jossain toisessa koordinaatistossa (y⁰,y¹,y²,y³) taasen

A = B₀dy⁰ + B₁dy¹ + B₂dy² + B₃dy³

eli koordinaatiston muunnos y = y(x) muuttavat mittakentän A komponentit (A₀, A₁, A₂, A₃) komponenteiksi (B₀, B₁, B₂, B₃). Käytin nyt tässä kirjainta B näihin A:n komponetteihin, ei ole mitään magneettikenttien kanssa tekemistä.

Ylläolevaan tapaan muuntuu koordinaatiston muunnoksissa mittakenttä A jonka avulla voidaan laskea kentänvoimakkuustensori F kaavalla F = dA ja kuten tunnettua, annetussa koordinaatistossa F:n komponentit ovat sähkökentän E ja magneettikentän B komponentteja.

Kuitenkin ylläoleva A ei ole yksikäsitteinen, vaan esimerkiksi mittakenttä A', missä A'(x) = A(x) + dθ(x), θ(x) = θ(x⁰,x¹,x²,x³) on mikä tahansa funktio (tässä siis notaatio x =(x⁰,x¹,x²,x³)) kelpaa, koska tällöin saadaan edelleen sama kentänvoimakkuustensori:

F = dA' = d(A+ dθ) = dA + d²θ = dA,

koska differentiaalioperaattorille d pätee d² = 0.

Yleisemmässä tapauksessa, jota alla tarkastellaan, on P(M,G) pääsäiekimppu, M on monisto ja G on Lien ryhmä. Jos P(M,G):n on määritelty konnektio, niin silloin konnektiota vastaava 1-muotoa merkitään kirjaimella ω. Tällä 1-muodolla ω on muuttujana kunkin pääsäiekimpun pisteen p∈P tangenttiavaruuden TpP vektorit ja se saa arvoja tuon pääsäiekimpun ryhmän G Lie-algebrassa Lie(G).

Pääsäiekimpun P(M,G) sektio on kuvaus s:M -> G siten että yhdistetty kuvaus ∏(s(x)) = x, kaikilla x∈M, missä ∏ on P(M,G):n projektiokuvaus ∏:G -> M, joka kuvaa pisteen x∈M "yllä" olevan säikeen takaisin pisteeseen x. Globaaleja sektioita ei vain yleensä ole olemassa, joten määritelmää pitää rajoittaa lokaaliksi: moniston M avoimessa osajoukossa U määritelty kuvaus s:U -> G, jolle ∏(s(x)) = x on lokaali sektio.

Lokaalien sektioiden valinta vastaa mitan valintaa tai se määritelmän mukaan on se mitan valinta(!). On olemassa vain yksi konnektiomuoto ω (koska se on kiinnitetty kuten Riemannin metriikka Riemannin geometriassa), mutta sen esitykset voivat vaihdella. Lokaali konnektiomuoto annetaan sektion s pullback-kuvauksena * ja annetulla sektiolla s1 on lokaali mitta:

A = s1*ω = (A₀, A₁, A₂, A₃) = A₀dx⁰ + A₁dx¹ + A₂xdx² + A₃dx³

ja annetulla toisella sektiolla s2 on mitta:

A' = s2*ω = (A'₀, A'₁, A'₂, A'₃) = A'₀dx⁰ + A'₁dx¹ + A'₂xdx² + A'₃dx³,

Nämä näyttävät ihan samoilta kuin elektrodynamiikan mitat A ja A' yllä aikaisemmin, mutta yksi merkittävä ero on tosiaankin: nuo komponentit (A₀, A₁, A₂, A₃) ja (A'₀, A'₁, A'₂, A'₃) eivät enää ole skalaarifunktioita, vaan ne saavat arvonsa Lie-algebrassa Lie(G) eli ne ovat matriiseja.

Seuraava aihe onkin sitten muunnosominaisuudet mitan A ja A' välillä. Kaavana se on:

A' = gˉ¹A g + gˉ¹ dg,

tuossa siis sektion arvo s1(p) voidaan kuvata sektion s2 arvoksi s2(p) yksikäsitteisellä ryhmän G alkiolla g(p) koska s2(p) = s1(p)g(p) ja kun piste p vaihtelee muuttuu myös tuo ryhmän alkio.

Täytyy palata tähän sitten myöhemmin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Kommentit (173)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Kirjoitusvirheitä:

Pääsäiekimpun P(M,G) sektio on kuvaus s:M -> G siten että yhdistetty kuvaus ∏(s(x)) = x, kaikilla x∈M.

pitää olla:

Pääsäiekimpun P(M,G) sektio on kuvaus s:M -> P(M,G ) siten että yhdistetty kuvaus ∏(s(x)) = x, kaikilla x∈M.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4589
Liittynyt26.7.2015

Loistavaa, vihdoin mittakenttäketju.
Alkuun antaisin pikaisesti kontribuutioni toisessa ketjussa esillä olleen Yang-Mills kenttäteorian näkökulmasta.

Yang-Mills teoriassa tuo lokaali konnektion 1-muodon pull-back A = s*ω tulkitaan fysikaaliseksi kentäksi, Yang-Millsin kentäksi, joka on tosiaakin Lie(G)-algebra arvoinen 1-muoto kanta-avaruudessa M. Kentän tehtävänä on toteuttaa yhdensuuntaissiirto kahden M:n pisteen välillä.

Yang-Mills kentän lisäksi voidaan tehdä toinenkin pull-back, jolla saadaan ns. Yang-Millsin kentän voimakkuus (field strenght). Sähkömagentismissa tensori F, eli E ja B komponenteista muodostuva tensori, ei olekaan tarkkaan ottaen 'kenttä' vaan 'kenttävoimakkuus'. Fysikaalinen kenttä on edellä mainittu mittakenttä A.

Kenttävoimakkuus F on konnektion kaarevuutta kuvaavan Lie(G)-arvoisen 2-muodon, Ω, pull-back kanta-avaruuteen M. Sähkömagnetismin tapauksessa Lie(G) on abelinen U(1). Standardimallissa mittaryhmä on ei-abelinen, samoin QCD:ssä.

GR:ssä kenttää vastaisivat Γ:t ja kenttävoimakkuutta Riemannin kaarevuustensori. Yang-Mills teoriassa kaarevuus ei tosin ole samalla tavalla aika-avaruuden kaarevuutta kuin GR:ssä.

Konnektion 2-muoto: Ω = dω + ω Λ ω

Tähänkin voisi palata myöhemmin eksplisiittisemmin, mutta lopputuloksena Maxwellin teorian ja U(1) ryhmän tapauksessa kenttävoimakkuudeksi saadaan Fₘₙ = ∂ₘAₙ - ∂ₙAₘ + [Aₘ,Aₙ]. Matriisit A ovat kompleksilukuja, eli 1x1 matriiseja, joten ne kommutoivat ja viimeinen termi häviää. Jäljelle jää sähkömagneettinen tensori Fₘₙ = ∂ₘAₙ - ∂ₙAₘ.

Yang-Mills teoria on jossain mielessä teoriakehys, jossa mittakenttäteoriaan syötetään symmetriaryhmä ja ulos putkahtaa kenttäteoria, joka voidaan kvantisoida. Tosin ei toimi gravitaation tapauksessa, johon syynä käsittääkseni se, että klassiselle gravitaatiolle ei ole olemassa toimivaa Yang-Mills teoriaa.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Nyt kun perjantai-ilta on vihdoin saapunut, niin on aika avata se viinapull..eiku siis se sanainen arkku ja kommentoida. Tämä ketju tullaan varmasti valitsemaan palstan äänestyksessä tylsimmäksi ketjuksi vuonna 2017.

Quantum State kirjoitti:
Loistavaa, vihdoin mittakenttäketju.
Alkuun antaisin pikaisesti kontribuutioni toisessa ketjussa esillä olleen Yang-Mills kenttäteorian näkökulmasta

...

Tuossa viestissäsi on paljon asiaa ja olisin sitä mieltä että otetaan nyt kimpassa projektiksi kahlata läpi näitä  juttuja ihan yksityiskohtaisesti sekä fyysikon että matemaatikon kannalta. Kummallakin tarkastelutavalla on tunnetusti hyviä ja huonoja puolia, kategorisesti sanoen edellinen heiluttelee käsiään detaljien ymmärryksen puutteessa ja jälkimmäinen ei tajua edes mitään itse asiasta, mistä on jatkuvasti saivartelemassa.

Meillä on luultavasti aikaa vaikka vuosia, eli ei ole kiirettä mihinkään. Ja muutkin toki voi kommentoida vapaasti.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä15183
Liittynyt16.2.2011

Kiinnostaa alkeishiukkasten (bi-)spinorit, erityisesti heikon vuorovaikutuksen kentissä.

http://ac.els-cdn.com/S037026931630346X/1-s2.0-S037026931630346X-main.pd...

Jostain tuollaisesta haluaisi saada mahdollisimman tarkan selon ja sitten niihin w-/z-bosonimallinnuksiin...

On se vaan kurjaa, kun työkiireet rajoittaa opiskelua.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Monesti voi mielestäni käydä niin, että liian abstraktissa esityksessä hukkuu oikeastaan ne tavallaan intuitiivisesti käsitettävät ideat. Tähän ketjuun sopii oikeastaan se, että kun puhutaan Lien ryhmistä, niin määritelmän mukaan Lien ryhmä G on C^∞ monisto, jossa G on myös ryhmä ja ryhmän kertolasku on C^∞ kuvaus tuloavaruudelta G x G avaruuteen G.

Esimerkiksi lineaarialgebran matriisiryhmät GL(ℝ,n), GL(ℂ,n), SO(n), SO(m,n), SU(n), SU(m,n), Sp(n),...  ovat Lien ryhmiä ja niiden Lie-algebrat ovat matriiseja. Miksi sitten kehittää esimerkiksi pääsäiekimppujen teoriaa, jossa ei oleteta tätä käytännön tilannetta, jossa ne kimpun ryhmät ovat oikeita matriisiryhmiä?

Vastaus on aika teoreettinen ensinäkemältä: on olemassa Lien ryhmiä G, jotka eivät ole matriisiryhmiä eli sellaisia ryhmiä G ei voi esittää matriiseina A jossain avaruudessa Rᴺ tai  ℂᴺ jossa siis A olisi matriisi  A : ℝᴺ ->ℝᴺ tai A:ℂᴺ -> ℂᴺ.

Tämän vuoksi monissa lähteissä esitetään ensin yleinen tulos ja sitten mainitaan se erikoistapaus, jossa ryhmä G olikin matriisiryhmä ja kaavat yksinkertaistuvat. Esimerkkinä tästä on aikaisemmin kirjoittamani kaava CopyCtrl+Cmittamuunnoksille, tässä on siis matriisikaava:

A' = gˉ¹A g + gˉ¹ dg.

Vielä hämmentävämpää on se, että toisin kuin Lien ryhmät G, kaikki Lien algebrat Lie(G) ovat aina matriiseja tai paremminkin Lie(G) on isomorfinen jonkin GL(n,ℝᴺ) tai GL(n,ℂᴺ) tms. aliryhmän H kanssa, joka on myös Lien mielessä alialgebra eli kommutaattori [x,y] ∈H, jos x,y ∈H.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4589
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Nyt kun perjantai-ilta on vihdoin saapunut, niin on aika avata se viinapull..eiku siis se sanainen arkku ja kommentoida. Tämä ketju tullaan varmasti valitsemaan palstan äänestyksessä tylsimmäksi ketjuksi vuonna 2017.

Quantum State kirjoitti:
Loistavaa, vihdoin mittakenttäketju.
Alkuun antaisin pikaisesti kontribuutioni toisessa ketjussa esillä olleen Yang-Mills kenttäteorian näkökulmasta

...

Tuossa viestissäsi on paljon asiaa ja olisin sitä mieltä että otetaan nyt kimpassa projektiksi kahlata läpi näitä  juttuja ihan yksityiskohtaisesti sekä fyysikon että matemaatikon kannalta. Kummallakin tarkastelutavalla on tunnetusti hyviä ja huonoja puolia, kategorisesti sanoen edellinen heiluttelee käsiään detaljien ymmärryksen puutteessa ja jälkimmäinen ei tajua edes mitään itse asiasta, mistä on jatkuvasti saivartelemassa.

Meillä on luultavasti aikaa vaikka vuosia, eli ei ole kiirettä mihinkään. Ja muutkin toki voi kommentoida vapaasti.

Huomenta! Näin tehdään. Otetaan projektiksi, ja kuten sanoitkin, ei kiirettä. Mulle tässä aiheessa on lukuisia hämäriä kohtia, joiden täsmällistä johtoa hankala sisäistää. Usein jokin välivaihe menee niin mahdottoman matemaattiseksi, että puolessa välissä jonkun välivaiheen lukemista oon jo kadottanut punaisen langan siitä että mitä hemmettiä tässä välivaheessa ollaan tekemässä. Lopputulosta sitten tuijotan ja mietin, että millä aineilla ne matemaatikot saavat aivonsa toimimaan tuolla levelillä. Yksityiskohtiin sisältyy tärkeitä juttuja, mutta jos en täysin ymmärrä, niin se kokonaisuus jää valitettavan käsien vispaamiseksi.

Voisin huomenna kirjotella lisää, ja sitten voitaisiin pysähtyä ja ihmetellä että mistä tämä Yang-Mills touhu lähtee edes liikkeelle. Ehkä vaiheittain edetä rauhassa steppi kerrallaan syvemmälle.

QS
Seuraa 
Viestejä4589
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Monesti voi mielestäni käydä niin, että liian abstraktissa esityksessä hukkuu oikeastaan ne tavallaan intuitiivisesti käsitettävät ideat. Tähän ketjuun sopii oikeastaan se, että kun puhutaan Lien ryhmistä, niin määritelmän mukaan Lien ryhmä G on C^∞ monisto, jossa G on myös ryhmä ja ryhmän kertolasku on C^∞ kuvaus tuloavaruudelta G x G avaruuteen G.

Esimerkiksi lineaarialgebran matriisiryhmät GL(ℝ,n), GL(ℂ,n), SO(n), SO(m,n), SU(n), SU(m,n), Sp(n),...  ovat Lien ryhmiä ja niiden Lie-algebrat ovat matriiseja. Miksi sitten kehittää esimerkiksi pääsäiekimppujen teoriaa, jossa ei oleteta tätä käytännön tilannetta, jossa ne kimpun ryhmät ovat oikeita matriisiryhmiä?

Vastaus on aika teoreettinen ensinäkemältä: on olemassa Lien ryhmiä G, jotka eivät ole matriisiryhmiä eli sellaisia ryhmiä G ei voi esittää matriiseina A jossain avaruudessa Rᴺ tai  ℂᴺ jossa siis A olisi matriisi  A : ℝᴺ ->ℝᴺ tai A:ℂᴺ -> ℂᴺ.

Tämän vuoksi monissa lähteissä esitetään ensin yleinen tulos ja sitten mainitaan se erikoistapaus, jossa ryhmä G olikin matriisiryhmä ja kaavat yksinkertaistuvat. Esimerkkinä tästä on aikaisemmin kirjoittamani kaava CopyCtrl+Cmittamuunnoksille, tässä on siis matriisikaava:

A' = gˉ¹A g + gˉ¹ dg.

Vielä hämmentävämpää on se, että toisin kuin Lien ryhmät G, kaikki Lien algebrat Lie(G) ovat aina matriiseja tai paremminkin Lie(G) on isomorfinen jonkin GL(n,ℝᴺ) tai GL(n,ℂᴺ) tms. aliryhmän H kanssa, joka on myös Lien mielessä alialgebra eli kommutaattori [x,y] ∈H, jos x,y ∈H.

Heti alkoi pään raavinta täällä.

Mulla käsitys, että G-pääsäiekimpun, esim. P(M,G), määritelmä vaatii, että kimppu on varustettu right-G-actionilla (muista enää mikä tuo oli suomeksi, oikea aktiolla tai jotain...).

Lisäksi tuo right-action on vapaa (free). Ja jos free-actionin ymmärrän oikein, niin tarkoittaa sitä, että jos löydetään sellainen g ∈ G, joka ei liikuta pistettä p mihinkään (eli pg = p) niin g on identiteetti. Kaikki muut g:t siis siirtävät pistettä p. Identiteetti ei siirrä, ja se on ainoa joka ei siirrä.

Onko olemassa sellaisia ryhmiä, joista voisi rakentaa määritelmän mukaisen G-pääsäiekimpun, ja ryhmät eivät olisi matriiseilla esitettävissä?

Ajattelen taas tietysti kapeasti, koska mieleen tulee vain sellaisia pääsäiekimppuja, joissa Lien ryhmillä operoidaan johonkin vektoriavaruuteen. Silloin kait ne ovat aina käytännössä isomorfisia GL(n,ℝᴺ) tai GL(n,ℂᴺ) kanssa?

Voi olla että itse olen vaan ymmärtänty jotain päin honkia tässä kohti.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Quantum State kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Nyt kun perjantai-ilta on vihdoin saapunut, niin on aika avata se viinapull..eiku siis se sanainen arkku ja kommentoida. Tämä ketju tullaan varmasti valitsemaan palstan äänestyksessä tylsimmäksi ketjuksi vuonna 2017.

Quantum State kirjoitti:
Loistavaa, vihdoin mittakenttäketju.
Alkuun antaisin pikaisesti kontribuutioni toisessa ketjussa esillä olleen Yang-Mills kenttäteorian näkökulmasta

...

Tuossa viestissäsi on paljon asiaa ja olisin sitä mieltä että otetaan nyt kimpassa projektiksi kahlata läpi näitä  juttuja ihan yksityiskohtaisesti sekä fyysikon että matemaatikon kannalta. Kummallakin tarkastelutavalla on tunnetusti hyviä ja huonoja puolia, kategorisesti sanoen edellinen heiluttelee käsiään detaljien ymmärryksen puutteessa ja jälkimmäinen ei tajua edes mitään itse asiasta, mistä on jatkuvasti saivartelemassa.

Meillä on luultavasti aikaa vaikka vuosia, eli ei ole kiirettä mihinkään. Ja muutkin toki voi kommentoida vapaasti.

Huomenta! Näin tehdään. Otetaan projektiksi, ja kuten sanoitkin, ei kiirettä. Mulle tässä aiheessa on lukuisia hämäriä kohtia, joiden täsmällistä johtoa hankala sisäistää. Usein jokin välivaihe menee niin mahdottoman matemaattiseksi, että puolessa välissä jonkun välivaiheen lukemista oon jo kadottanut punaisen langan siitä että mitä hemmettiä tässä välivaheessa ollaan tekemässä. Lopputulosta sitten tuijotan ja mietin, että millä aineilla ne matemaatikot saavat aivonsa toimimaan tuolla levelillä. Yksityiskohtiin sisältyy tärkeitä juttuja, mutta jos en täysin ymmärrä, niin se kokonaisuus jää valitettavan käsien vispaamiseksi...

Huomenta! 

Viime syksynähän näitä mittateoriajuttuja pohdittiin siinä kvanttiketjussa ja tuolloin tuli asiaa mulla luettua enemmän ja vähemmän, mutta sitten multa se jäi sitten siihen. En tiedä miksi, mutta mua alkoi taas tässä loppukeväällä kiinnostamaan sama asia uudestaan ja nyt olen sitten taas puuhastellut aiheen parissa.

Itse olen myös esimerkiksi taistellut noiden konnektioiden kanssa ja miten ne oikeastaan sitten määräävät niitä kovariantteja derivaattoja eri tapauksissa.  Yksi raivostuttava piirre on myös se tietynlainen abstrakti notaatio, esimerkiksi vaikka kuinka ymmärtäisi pullbackin/projektiot Pi yms. periaatteessa niin on tuskaa kun niitä on muutama peräkkäin ja  siinä jo hypitään monistolta kimpulle ja takas ja sinnetäänne..

Pääasiallinen lähteeni on ollut se toisessa ketjussa mainittu Nakaharan kirja Geometry, Toplogy and  Physics. Tuo kirjakaan ei ole mikään ideaalinen, mutta netistä kyllä tietysti löytyy lisää materiaalia ja kun olen niitä selaillut, niin tuntuu että ne mua kiinnostavat asiat ovat hujan hajan siellä täällä, ei ole oikeastaan sitä yhtä luentomonistetta tms. joka olisi räätälöity juuri mun tarpeisiin, ellen sitten kirjoita sellaista itselleni...No tähän ketjuun kirjoitelen ainakin. Kirjoittaminen on nimittäin  erittäin hyvä oppimistapa, olen todennut sen aikaisemminkin toimivaksi.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Quantum State kirjoitti:
Mulla käsitys, että G-pääsäiekimpun, esim. P(M,G), määritelmä vaatii, että kimppu on varustettu right-G-actionilla (muista enää mikä tuo oli suomeksi, oikea aktiolla tai jotain...).

Lisäksi tuo right-action on vapaa (free). Ja jos free-actionin ymmärrän oikein, niin tarkoittaa sitä, että jos löydetään sellainen g ∈ G, joka ei liikuta pistettä p mihinkään (eli pg = p) niin g on identiteetti. Kaikki muut g:t siis siirtävät pistettä p. Identiteetti ei siirrä, ja se on ainoa joka ei siirrä.

Tuo action on muistaakseni toiminta tässä yhteydessä eli ryhmä G toimii monistolla. Olet oikeassa tuossa oikeassa toiminnassa, G tosiaankin toimii oikealta P(M,G):ssä (mutta miksi se on juuri oikea toiminta hmm. miksei vaan toiminta..?). Vapaa toiminta on juuri sitä mitä sanot (Miksi ihmeessä sitä muuten sanotaan vapaaksi, mistä se on vapaa ja onko sitten olemassa jokin slave action...Vapaus tässä yhteydessä  aiheuttaa sen ,että moniston M pisteen x yllä oleva säie G_x =  Πˉ¹ (x) = {p∈P |   Π(p)  = x } on topologisesti homeomorfinen tai diffeomorfinen ryhmän G kanssa. Tässä on sellainen hienovarainen pointti myös, että voisi ajatella tuon G_x:n olevan suoraan se ryhmä G, mutta näin ei ole. Tuoho G_x:n ei ole mitenkään annettu mitään ryhmän rakennetta suoraan, siihen voidaan liimata tuon G:n indusoima ryhmän kertolasku monilla eri tavoilla, mutta ne eivät ole mitenkään kiinitettyjä.

Quantum State kirjoitti:
Onko olemassa sellaisia ryhmiä, joista voisi rakentaa määritelmän mukaisen G-pääsäiekimpun, ja ryhmät eivät olisi matriiseilla esitettävissä?

En tosiaankaan tiedä sellaista säiekimppua, jossa G ei olisi matriisiryhmä. Konkreettisia esimerkkejä Lien ryhmistä, jotka eivät ole matriisiryhmiä on ilmeisesti vaikea antaa. Eräs tälläinen on Lien ryhmän SL(2,ℝ) peiteavaruus tai peiteryhmä (covering group) . Ryhmän G peiteryhmä G' on "isompi" Lien ryhmä ja se on yhdesti yhtenäinen, esimerkiksi S ¹ :n peiteryhmä on ℝ (= on matriisiryhmä)ja rotaatioryhmän SO(3) peiteryhmä on SU(2) (= on matriisiryhmä). Kaikki Lien ryhmät, jotka eivät ole matriisiryhmiä ovat peiteryhmiä jostain tavallisemmasta matriisiryhmästä.

Quantum State kirjoitti:
Ajattelen taas tietysti kapeasti, koska mieleen tulee vain sellaisia pääsäiekimppuja, joissa Lien ryhmillä operoidaan johonkin vektoriavaruuteen. Silloin kait ne ovat aina käytännössä isomorfisia GL(n,ℝᴺ) tai GL(n,ℂᴺ) kanssa?
Juuri näin, matriisiryhmillähän sitä operoidaan niihin vektoreihin, käytännössä kai aina.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Yksi sellainen ärsyttävä pieni detalji on esimerkiksi seuraava:

Useissa fysiikan lähteissä määritellään kovariantti derivaatta vain antamalla kaava:

Dᵤ  = ∂ᵤ - i g Aᵤ,

tuossa g on kytkentävakio(?) ja Aᵤ mittakenttä. Sitten todistellaan kaikenlaista eikä siinä mitään, mutta miksi ihmeessä tuossa on toi imaginaariyksikkö i?? Asia ei ole niin erilainen verraten tavallisen Riemannin geometrian kovarianttiin derivaattaan:

Dᵤ  = ∂ᵤ - Γᵤ,

tuossa siis Γᵤ on nxn-matriisi, jonka komponentit ovat Christoffelin symboleita Γᵃ ᵤᵥ  = (Γᵤ ) ᵃ ᵥ. Tuon imaginaariyksikön täytyy liittyä siihen Lien ryhmään G.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2213
Liittynyt24.1.2014

Tavallaan tuo Riemannin geometrian Dᵤ  = ∂ᵤ - Γᵤ on helpommin hahmotettavissa, kun tarkastellaan tangenttiavaruuden Tp M vektoria V = Vᵏ∂ₖ pystyvektorina (V¹,...,Vᴺ) jolloin DᵤV on pystyvektori, joka on ∂ᵤV - ΓᵤV, missä siis Γᵤ on matriisi ja V se pystyvektori.

Mä kirjoitin pitkän jutun jossa oli paljon lisää tekstiä ja sitten painoin väärään aikaan hiiren nappia, kursori leijaili juuri silloin jonkun linkin päällä ja tietysti päädyin sinne linkin sivulle ja se tekstini katosi kuin tuhka tuuleen. Harmittaa, olen kyllä yleensä kirjoittanut tekstit Notepadilla mutta tänään en tehnyt niin jostain tuntemattomasta syystä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4589
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Yksi sellainen ärsyttävä pieni detalji on esimerkiksi seuraava:

Useissa fysiikan lähteissä määritellään kovariantti derivaatta vain antamalla kaava:

Dᵤ  = ∂ᵤ - i g Aᵤ,

tuossa g on kytkentävakio(?) ja Aᵤ mittakenttä. Sitten todistellaan kaikenlaista eikä siinä mitään, mutta miksi ihmeessä tuossa on toi imaginaariyksikkö i?? Asia ei ole niin erilainen verraten tavallisen Riemannin geometrian kovarianttiin derivaattaan:

Dᵤ  = ∂ᵤ - Γᵤ,

tuossa siis Γᵤ on nxn-matriisi, jonka komponentit ovat Christoffelin symboleita Γᵃ ᵤᵥ  = (Γᵤ ) ᵃ ᵥ. Tuon imaginaariyksikön täytyy liittyä siihen Lien ryhmään G.

Yritin pikaisesti etsiä, että mistä i alunperin tulee. Jäi sellainen käsitys, että on enempi mittakenttäteorioiden kvanttimaailmasta peräisin, koska teoriat käsittelevät aina jotain kompleksi-arvoista vektorikimppua, ja Lien ryhmänä on jokin GL(N,ℂ) aliryhmä, eli SU(N), U(N) tai vastaava monimutakisempi.

Ilmeisesti alunperin kun noita on kehitelty, niin vertailukohtana ollut Maxwellin teoria U(1) mittaryhmällä. Tuolle on kehitetty kovariantti derivaatta, jonka eteen on tullut i. Sitten kun on tutkittu SU(2) rotaatioryhmää ja haettu sille mittavapautta (eli siis käytännössä tavoiteltu sellaista 2 x 2 kompleksilukumatriisia, joka saisi lokaalin mittavapauden, joka saa riippua avaruuden pisteestä x), niin on päädytty siinäkin kovarianttiin derivaattaan jossa i on tullut näkyviin.

Tämä on taas niin sekava soppa, että heilutan käsiä : ). Riemannin geometriassa (ilman indeksejä nyt pikaisesti) kaarevuustensori on muotoa R = ∂Γ-∂Γ+ΓΓ-ΓΓ. Kaksi jälkimmäistä termiä ovat sama asia kuin jonkin kovektorin kovarianttien derviaattojen kommutointi. Tuosta on johdettavissa ajatus, että mittakenttäteoriassa kahden kovariantin derivatan kommutointi [Dᵤ,Dᵥ] = DᵤDᵥ-DᵥDᵤ = -ig(∂ᵤAᵥ - ∂ᵥAᵤ - ig[Aᵤ,Aᵥ]) = -ig Fᵤᵥ.

Tuossa sitten Fᵤᵥ vastaa Riemannin kaarevuustensoria R. Ryhmän U(1) tapauksessa [Aᵤ,Aᵥ] häviää, mutta SU(2) ryhmän tapauksessa ei häviä ja olisiko tuo i nyt laitettu eteen jotta saadaan reaaliarvoinen Fᵤᵥ lopulliseen Lagrangen tiheyteen, joka ei voi olla kompleksiarvoinen... en minä tiedä. Pitää yrittää selvittää tämäkin.  Pitäisi ensin ymmärtää ihan pohjia myödn noiden 1-muodon ja 2-muodon lokaaliin moniston osaan ja niiden tuominen koordinaatistoon. Kun tässä on mulla vähän vaikeuksia abstraktin esityksen ja koordinaatistoesityksen välillä.

JPI
Seuraa 
Viestejä26018
Liittynyt5.12.2012

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Yksi sellainen ärsyttävä pieni detalji on esimerkiksi seuraava:

Useissa fysiikan lähteissä määritellään kovariantti derivaatta vain antamalla kaava:

Dᵤ  = ∂ᵤ - i g Aᵤ,

tuossa g on kytkentävakio(?) ja Aᵤ mittakenttä. Sitten todistellaan kaikenlaista eikä siinä mitään, mutta miksi ihmeessä tuossa on toi imaginaariyksikkö i?? Asia ei ole niin erilainen verraten tavallisen Riemannin geometrian kovarianttiin derivaattaan:

Dᵤ  = ∂ᵤ - Γᵤ,

tuossa siis Γᵤ on nxn-matriisi, jonka komponentit ovat Christoffelin symboleita Γᵃ ᵤᵥ  = (Γᵤ ) ᵃ ᵥ. Tuon imaginaariyksikön täytyy liittyä siihen Lien ryhmään G.

Tuon i:n "mysteerio" selittyy mielestäni yksinkertaisesti sillä, että lokaailissa infinitesimaalisessa vaihemuunnoksessa δψ = i ω ψ, ω €R, joten invarianssin aikaansaavan termin on oltava myös samaa muotoa.

3³+4³+5³=6³

QS
Seuraa 
Viestejä4589
Liittynyt26.7.2015

Seuraako tuo i itse asiassa sittenkin Lien algebran rakennevakioista. Eli kahden infinitesimaalisen generaattorin kommutointisäännöistä. Rakennevakiossa (tai sen edessä) oleva i takaa sen että kahden elementin kertominen keskenään johtaa siihen, että lopputulos pysyy alkuperäisen lien ryhmän sisällä silloin kun kyseessä kompleksiarvoinen lien ryhmä

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat