Sivut

Kommentit (231)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

jto kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Tässä eräs aika uusi opus aiheesta: Mark J.D. Hamilton: Mathematical Gauge Theory (Springer 2017),

Kannattaneeko noita oppikirjoista löytyviä juttuja kopioida tänne?Vaan mikäpäs siinä, kukin taaplaa tyylillään.

No näitä juttuja 10 vuotta satunnaisesti seuranneena, itseisarvona täällä ei ole keskustella tieteestä, vaan nostattaa omaa kuvitteellista profiiliaan. Sad :)

Ette vain osaa, nimimerkit jto ja käyttäjä-7929, teillä ei ole lahjoja tai koulutusta tähän keskusteluun. Menkää muualle.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
jto kirjoitti:
käyttäjä-7929 kirjoitti:
Tässä eräs aika uusi opus aiheesta: Mark J.D. Hamilton: Mathematical Gauge Theory (Springer 2017),

Kannattaneeko noita oppikirjoista löytyviä juttuja kopioida tänne?Vaan mikäpäs siinä, kukin taaplaa tyylillään.

No näitä juttuja 10 vuotta satunnaisesti seuranneena, itseisarvona täällä ei ole keskustella tieteestä, vaan nostattaa omaa kuvitteellista profiiliaan. Sad :)

Ette vain osaa, nimimerkit jto ja käyttäjä-7929, teillä ei ole lahjoja tai koulutusta tähän keskusteluun. Menkää muualle.


Tuolla sanailullasi osoitit jto:n väitteen olevan validi. :v§

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Rattoisaa alkavaa iltapäivää kaikille. Jääkaapissa odottaa kylmä olut, jonka avaan tämän kirjoitettuani. Eli paljon olisi kommentoitavaa, mutta mennään yksi asia kerrallaan. Tuossa tutkiskelin mun Jacksonia (se ED-kirja), että mitä siellä noista Coulombin mitoista sanotaan

QS kirjoitti:
Mäkin availen näitä paholaisen lippaita omaan tyyliini :D

Hiukan jatkan ajatuskulkua, jolla perusteltiin Coulombin mitan asettamista edellisessä viestissä.

Edellisessä viestissä päädyttiin Maxwellin yhtälöihin skalaari- ja vektoripotentiaaleilla φ ja A:

∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t), ja
∇²φ = 0.

missä φ ja A eivät ole ilmiselvästi kovariantteja. Ne ovat vain ajassa jokin skalaari φ ja avaruudessa jokin vektori A. Coulombin mitaksi saatiin φ = 0 ja ∇·A = 0, joille perusteluna yhtälöiden helppo ratkeaminen. Jos noista väkisin väännetään nelipotentiaali Aᵘ = (0, Aⁱ)ᵀ, niin huomataan, että tuo nelivektori käyttäytyy puskussa melko huonosti.

Tämä kaikki kirjoittamasi on ihan oikein, eikä siinä mitään. Jackson asettaa tuon Coulombin mitan hieman yleisemmässä tapauksessa, missä ei enää oleteta virrantiheysvektorin J tai varaustiheyden ρ olevan nollia. Sitten Jackson käyttää vielä julkeasti (tässä luvussa) SI-yksiköitä. Yhtälöitäsi vastaavat yhtälöt ovat nyt, kun ehto ∇·A = 0 on asetettu:

∇²φ = -ρ/ε₀
∇²A - 1/c² ∂²A/∂t²- 1/c²∂(∇φ)/∂t= -μ₀J

Sähköstatiikassa potentiaali φ on vain paikan x funktio. mutta tässä dynaamisessa tilanteessa φ on myös ajan t funktio, siis tuo Poissonin yhtälö on:

∇²φ(x,t) = -ρ(x,t)/ε₀.

Yllättävää kyllä, tuo voidaan ratkaista  ℝ³:ssa ihan samalla kaavalla kuin sähköstatiikassa eli:

φ(x,t) = 1/4𝜋ε₀ ∫d³y ρ(y,t) / |x-y|.

Ton kun sijoittaa tuohon vektoripotentiaalin A aaltoyhtälöön ja siirtää sen termin oikealle aaltoyhtälön lähdetermiksi, saa lopulta yhtälön ∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² =-μ₀J + 1/c²∂(∇φ)/∂t.

Kuitenkin tässä tilanteessa tuo potentiaali φ ei ole enää nollafunktio, en nyt sitten tiedä onko tällä mitään suurempaa merkitystä, mutta tulihan nyt mieleen mainita tästä.

Tuo potentiaalin lauseke on mielenkiintoinen ihan itsessään, sillä se ei ole millään tavalla viivästynyt potentiaali, se rekisteröi varauksen aiheuttaman potentiaalin samalla hetkellä koko avaruudessa. Wikipediakin mainitsee tästä seuraavaa artikkelissaan Gauge fixing

The instantaneous nature of these potentials appears, at first sight, to violate causality, since motions of electric charge or magnetic field appear everywhere instantaneously as changes to the potentials. This is justified by noting that the scalar and vector potentials themselves do not affect the motions of charges, only the combinations of their derivatives that form the electromagnetic field strength.

Joo, yksiköt on haastavia ED:ssaä. Griffiths, josta perusasiat tsekkasin, käyttää myös SI-yksiköitä. Itse kirjoitin Lorentzin-Heavisiden yksiköissä c=1 lisäyksellä. Yksiköt saattaa mennä mulla pieleen siellä täällä, mutta yhtälöiden ominaisuudet kait tässä tärkeintä. Vaikka olisihan ne yksiköt hyvä pitää tarkasti mukana.

Tuo suhtiksen kausaliteetin rikkova potentiaali on kyllä hyvä huomio sekin. Periaatteessa osoitus siitä, että potentiaalit eivät ole fysikaalisia otuksia. Tai mitä nyt sitten kukainenkin sanalla fysikaalinen tarkoittaa. Mutta olen ennenkin ollut hiukan vastarannan kiiski, kun kuulee lausahduksen 'universumi rakentuu kvanttikentistä'. Kvanttikentät muodostetaan klassisista ei-fysikaalisista potentiaaleista, jotka muuttuvat operaattorikentiksi, jotka käsittelevät tilavektoreita ja muuntavat ne lopulta todennäköisyyksiksi. No on toki olemassa kvanttiteorioita, joilla ei ole klassista vastinetta, mutta silti mua on aina epäilyttänyt se, että pidetään kvantti(operaattori)kenttiä fysikaalisina objekteina.

Lähteet tosiaan kuten sanoitkin: skalaaripotentiaali saadaan yhtälöstä ∇²φ = -ρ myös Coulombin mitassa. Se mun aiempi Coulombin mitan erikoistapaus φ = 0 (ja ∇·A = 0) oli enempi lähtötilanne Maxwellin teorian kvantisointiin ilman lähteitä.

Tuo kvantisointi voidaan tosiaan tehdä useissa eri mitoissa (Coulomb, Lorentz, Feynman ja ties mitä), joissa jokaisessa omat haasteensa. Erikoinen suo, kun yrittää ymmärtää, että mikä on pohjimmainen syy eri tavalla eteneviin kvantisointeihin. Esim Lorenzin mitta ∂ᵥAᵛ = 0 johtaa käsittämättömään operaattorien kommutointiin, jossa päällisin puolin nolla on eri suuri kuin nolla. Tuo sitten korjataan erinäisillä taikatempuilta vaikuttavilla rakennelmilla.

Monet mieltävät käsittääkseni yleistasolla, että klassisen teorian kvantisointi on ns. arvaamista. Eri klassisista teorioista (eri Lagrangen tiheyksistä ja mitoista) päästään yhteen ja samaan kvanttietoriaan hiukan eri reittejä pitkin. Kun kvanttiteoria on valmis, niin se yksi oikea kvanttiteoria antaa klassisella rajalla oikeat ennuseet, vaikka klassisia tuon ennusteen antavia teorioita olisi useita (tai ei yhtään). En sitten tiedä onko oikea ajattelutapa.

Mutta joo. Jos tuota sunkin kirjoittamaa lähteillä varustettua Coulombin mittaa seurataan, ja kirjoitetaan nelipotentiaalin Aᵘ avulla, niin klassinen Maxwellin yhtälö saa muodon

∂ᵞ ∂ᵧ Aᵘ(x) - ∂ᵘ [∂ᵥAᵛ(x)] = sᵘ(x),

missä Aᵘ(x) = (φ, Aⁱ) on se nelipotentiaali ja sᵘ(x) = (ρ, Jⁱ) on mainitsemasi ρ ja J nelivirtana. Lorenzin mitassa tuo yhtälö on

∂ᵞ ∂ᵧ Aᵘ = sᵘ.

Ja tuosta klassinen vuorovaikutuksia sisältävä Lagrangen tiheys on melko yksinkertainen 𝓛 = -½( ∂ᵥAᵤ )( ∂ᵛAᵘ ) - Aᵤsᵘ.

Kvantisointiin harmi kyllä ei riitä, koska lähteet pitää kaivaa esille Diracin yhtälöstä, jossa mukana spinorit jne.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

QS kirjoitti:

Tuo suhtiksen kausaliteetin rikkova potentiaali on kyllä hyvä huomio sekin. Periaatteessa osoitus siitä, että potentiaalit eivät ole fysikaalisia otuksia. Tai mitä nyt sitten kukainenkin sanalla fysikaalinen tarkoittaa.

Jep. Potentiaali tarkoittaa mahdollista energeettistä fysikaalista tapahtumaa.

Lukiolaispoika kysyi eilen voisinko auttaa, kun hän ei käsittänyt tunnilla selitettyä gravitaatiokentän potentiaalienergiaa. Nollatasohan on sellaisessa tilanteessa, jossa gravitaatioilmiö ei muuta testimassakappaleen ja gravitaationielun keskusmassakappaleen etäisyyttä - eli jossain hyvin kaukana, jossa muiden gravitaationielujen vaikutus voittaa tarkasteltavan. Annoin toisen vaihtoehdon; testimassakappale on ympyräkiertoradalla, jolloin sen etäisyys säilyy - kuinka suuri työ tarvitaan, että se palautetaan suoraan nielua kohti putoavalle radalle? Noin tulee ehkä konkreettisemmin ilmi millaisesta energiasta kullakin etäisyydellä ja kullakin massalla on kyse. Keskusteltiin myös siitä kuinka kappaleet ovat toistensa suhteen erillisiä mutta ulkopuolisen suhteen samaa kappaletta ja energian tulee säilyä kaikenlaisissa tarkasteluissa. Paulin kieltosääntö ja epävarmuusperiaate ehkäisevät kappaletta koskaan saavuttamasta gravitaation potentaalienergiansa negatiivista äärettömyyttä - ei voi päästä yhteiseen pisteeseen keskuskappaleen kanssa...

Kuten aiemmassa kommentissani "manifestoin", globaali tilallisuus ilmentää jatkuvana geometriana ei-fysikaalista potentiaali-/liike-energiaa ja rakenteinen aine diskreettiä fysikaalista vuorovaikutusenergiaa (zikzak) - noiden tulee olla yhteensä nolla kaikkien havaitsijoiden mittaamana (mm. Feynmanin mukaan).

Tensorialgebralla olisikin haaste esittää diskreetin aineen kvanttitilojen ylläpito tyhjön dynamiikalla, sillä sitähän tarkoittaa yhtäältä gravitaation ja inertian vastaavuus ja toisaalta gravitaatiokentän energian ja aine-energian vastaavuus. Nythän yleisesti on aineella muodostettu liikeyhtälö - muodostakaamme liikkeellä aineyhtälö. Silloin tyhjön skalaarimäärää varioitaisiin tensoreilla ja saataisiin aikaan paikallisia Paulin eksluusion mukaisia kvanttitiloja. Selvää lienee, että tyhjölle tarvitaan ominaisuudeksi vähintäänkin jotain etäisyyspariteetin ja vastakkaisvaiheisuuden tapaista...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Todettakoon vielä, että liike- ja potentiaalienergian samankaltaisuudella tarkoitan sitä, että potentiaalin nollatason valinnalla voidaan saada erilaisia liikkeitä ja siksi kumpikaan eivät fysikaalista energiaa. Vasta kun tapahtuu törmäys ja vuorovaikutuksia, fysikaalisuus astuu peliin mukaan; kiihtyvyydet ja vuorovaikutukseen osallistuvan aineksen massa määrittävät fysikaalisen tapahtuman, joka ei ole periaatteessa koordinaatistovalinnalla suhteellisesti määriteltävissä vaan luonteeltaan absoluuttinen muutos.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5413

QS kirjoitti:

...

Monet mieltävät käsittääkseni yleistasolla, että klassisen teorian kvantisointi on ns. arvaamista. Eri klassisista teorioista (eri Lagrangen tiheyksistä ja mitoista) päästään yhteen ja samaan kvanttietoriaan hiukan eri reittejä pitkin. Kun kvanttiteoria on valmis, niin se yksi oikea kvanttiteoria antaa klassisella rajalla oikeat ennuseet, vaikka klassisia tuon ennusteen antavia teorioita olisi useita (tai ei yhtään). En sitten tiedä onko oikea ajattelutapa.

...

Ylisosiaalisia nämä joulut prkl, rentoudun nörtteilemällä. Tämän yllä oleva sanomani jäi hitusen elaboroimattomaan tilaan, ja menee ohi ketjun otsikonkin. Mutta:

Klassinen systeemi voidaan kuvata faasiavaruuteen (phase space), jonka kantavektorit {q₁,..,qⱼ, p₁,..,pⱼ}, missä qⱼ on yleistetty koordinaatti ja pⱼ vastaava liikemäärä. Kun faasiavaruus yleistetään euklidisesta ℝ²ʲ dim=2j avaruudesta vähän abstarktimmaksi, voidaan klassinen systeemi kuvata symplektisen moniston M sileinä funktiona ja niistä muodostuvina Hamiltonin vektorikenttinä. Käytännössä tuo symplektinen monisto M on jonkin moniston N kotangentti-kimppu T*N, ja tämä monisto N on eräänlainen todellinen avaruus, jossa mekaniikan hituset liikkuvat. Lisäksi tarvitaan symplektisiä k-muotoja ω laskujen tekemiseen. Anyway, tämä vain alustus-jargonina, joka tiiviisti: klassinen systeemi kuvataan symplektisen moniston (M,ω), hamiltonin funktion H(q,p) ja Poissonin algebran {·,·} avulla. Funktiosta H monistoon muodostuu Hamiltonin vektorikenttiä X. Vektorikenttien algebraan sisältyy tosin myös lien algebroja [·,·]. No, näitä tarinoita voisi jatkaa hamaan tappiin asti.

Klassinen tila-avruus on (M,ω), klassiset observaabelit ovat sileitä funktioita esim. q ja p ∈ C∞(M), ja observaabelien Poissonin algebra {qⱼ,pⱼ} = 1.

Kvanttimekaniikan tila-avaruus on kompleksinen Hilbertin avaruus H, observaabelit avaruuden H operaattoreita A(H) ja B(H) jne, ja näiden Lien algebra [A,B] = iħ.

Kvantisointi olisi jokin (?) morfismi Q (isomorfismi,homo-,homeo-,diffeo- mitä niitä nyt on, luoja ja matemaatikko yksin tietävät), joka olisi löydettävissä klassisten ja kvantti-rakenteiden välille tyyliin Q: (M,ω) --> H, Q: p --> B, Q: {,}=1 --> [,]=iħ, ja joka toimisi matemaattisesti täsmällisenä kvantisointi-koneena.

Moinen täsmällisesti määritelty Q voisi olla olemassa, mutta fysikaalisesti voidaan myös väittää, että täsmällinen Q:n löytäminen on dekoherenssin seurauksena mahdotonta. Informaatio tarkasta teoriasta on hävinnyt, kun tutkitaan klassiseen tila-avaruuteen rakennettua teoriaa, koska käänteinen Q⁻¹ (kvantti -> klassinen) on liian monimutkainen ja 'häviöllinen' tapahtuma. Eli kun tutkitaan klassisia teorioita, ollaan hukattu liikaa informaatiota tarkasta kvanttiteoriasta. Tuo Q, joka kvantisoi klassisen systeemin, on väistämättä vain valistunut 'arvaus', jonka rakentaminen vaatii ei-aina-kovin-hyvin-perusteltuja oletuksia  ja sen sellaista. Takaisin joulun sosiaalisiin hetkiin.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

QS kirjoitti:
QS kirjoitti:

...

Monet mieltävät käsittääkseni yleistasolla, että klassisen teorian kvantisointi on ns. arvaamista. Eri klassisista teorioista (eri Lagrangen tiheyksistä ja mitoista) päästään yhteen ja samaan kvanttietoriaan hiukan eri reittejä pitkin. Kun kvanttiteoria on valmis, niin se yksi oikea kvanttiteoria antaa klassisella rajalla oikeat ennuseet, vaikka klassisia tuon ennusteen antavia teorioita olisi useita (tai ei yhtään). En sitten tiedä onko oikea ajattelutapa.

...

Ylisosiaalisia nämä joulut prkl, rentoudun nörtteilemällä. Tämän yllä oleva sanomani jäi hitusen elaboroimattomaan tilaan, ja menee ohi ketjun otsikonkin. Mutta:

Klassinen systeemi voidaan kuvata faasiavaruuteen (phase space), jonka kantavektorit {q₁,..,qⱼ, p₁,..,pⱼ}, missä qⱼ on yleistetty koordinaatti ja pⱼ vastaava liikemäärä. Kun faasiavaruus yleistetään euklidisesta ℝ²ʲ dim=2j avaruudesta vähän abstarktimmaksi, voidaan klassinen systeemi kuvata symplektisen moniston M sileinä funktiona ja niistä muodostuvina Hamiltonin vektorikenttinä. Käytännössä tuo symplektinen monisto M on jonkin moniston N kotangentti-kimppu T*N, ja tämä monisto N on eräänlainen todellinen avaruus, jossa mekaniikan hituset liikkuvat. Lisäksi tarvitaan symplektisiä k-muotoja ω laskujen tekemiseen. Anyway, tämä vain alustus-jargonina, joka tiiviisti: klassinen systeemi kuvataan symplektisen moniston (M,ω), hamiltonin funktion H(q,p) ja Poissonin algebran {·,·} avulla. Funktiosta H monistoon muodostuu Hamiltonin vektorikenttiä X. Vektorikenttien algebraan sisältyy tosin myös lien algebroja [·,·]. No, näitä tarinoita voisi jatkaa hamaan tappiin asti.

Klassinen tila-avruus on (M,ω), klassiset observaabelit ovat sileitä funktioita esim. q ja p ∈ C∞(M), ja observaabelien Poissonin algebra {qⱼ,pⱼ} = 1.

Kvanttimekaniikan tila-avaruus on kompleksinen Hilbertin avaruus H, observaabelit avaruuden H operaattoreita A(H) ja B(H) jne, ja näiden Lien algebra [A,B] = iħ.

Kvantisointi olisi jokin (?) morfismi Q (isomorfismi,homo-,homeo-,diffeo- mitä niitä nyt on, luoja ja matemaatikko yksin tietävät), joka olisi löydettävissä klassisten ja kvantti-rakenteiden välille tyyliin Q: (M,ω) --> H, Q: p --> B, Q: {,}=1 --> [,]=iħ, ja joka toimisi matemaattisesti täsmällisenä kvantisointi-koneena.

Moinen täsmällisesti määritelty Q voisi olla olemassa, mutta fysikaalisesti voidaan myös väittää, että täsmällinen Q:n löytäminen on dekoherenssin seurauksena mahdotonta. Informaatio tarkasta teoriasta on hävinnyt, kun tutkitaan klassiseen tila-avaruuteen rakennettua teoriaa, koska käänteinen Q⁻¹ (kvantti -> klassinen) on liian monimutkainen ja 'häviöllinen' tapahtuma. Eli kun tutkitaan klassisia teorioita, ollaan hukattu liikaa informaatiota tarkasta kvanttiteoriasta. Tuo Q, joka kvantisoi klassisen systeemin, on väistämättä vain valistunut 'arvaus', jonka rakentaminen vaatii ei-aina-kovin-hyvin-perusteltuja oletuksia  ja sen sellaista. Takaisin joulun sosiaalisiin hetkiin.


Ihan hyvää pohdintaa. Ollaan nimenomaan jatkuvuuden ja diskreetin maastossa, jossa informaatio dekoheroituu noiden kahden kesken. Päädytään tietysti siihen, että kvantisointi kertoo lopulta tilastollisuusesta, ei satunnaisuudesta yksittäistapahtumalle. Dekoherenssi on piilomaailma, mahdollisesti tietoisuuden analogia, kuin saippuapala tutkijan näpeissä... :)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Ajattelin tässä kesäkauden kunniaksi herätellä henkiin vanhan mittakenttäketjun ja tällä kertaa ajattelin kirjoitella differentiaalimuodoista ja niiden käytöstä fysiikassa. Mutta koska on kuitenkin perjantai-ilta (heh...) ajattelin tyytyä vaan ihan lyhyeen esittelyyn, jossa Maxwellin yhtälöt annetaan differentiaalimuotojen avulla. Eli ihan vaan mainintana ilman mitään sen kummempia detaljeja.

Monistossa M, jossa on annettu metriikka g, voidaan määritellä differentiaalimuotoihin operoiva ★-operaattori eli keksijänsä mukaan Hodgen tähtioperaattori. Perusidea tähtioperaattorissa on se, että se antaa isomorfismin n-ulotteisen moniston M k-muotojen ja (n-k)-muotojen välillä. Tämä isomorfismi riippuu annetusta metriikasta, koska ★ määritellään metriikan avulla.

Siis Hodgen tähtioperaattori★ riippuu metriikasta g ja metriikan signatuurista tietyllä, sopivasti valitulla tavalla. Perusidea on kuitenkin aina se, että se liittää jokaiseen n-ulotteisen moniston M k-muotoon ω yksikäsitteisen (n-k)-muodon ★ω.  

Maxwellin yhtälöt voidaan esittää differentiaalimuotojen avulla hyvin kompaktissa muodossa:

  dF = 0
d★F = μ₀ J,

joissa nyt kentänvoimakkuus F on 2-muoto, ★F on myös 2-muoto ja d★F on 3-muoto ja 4-virrantiheys J on myös 3-muoto. Koska 4-ulotteisen moniston  3-muodoilla on aina 4 komponenttia ei formalismi ole aivan pielessä!

Nuo Maxwellin yhtälöt ovat siis päteviä annetussa fiksatussa taustan aika-avaruudessa, jonka määrää metriikka g, eli SM-kentän kontribuutio Einsteinin kenttäyhtälön energia-impulssitensoriin katsotaan olemattomaksi.
 
On siinä lyhyet yhtälöt tosiaankin, jotenkin jännää on se,m että tuo ensimmäinen yhtälö dF = 0 ei riipu ollenkaan metriikasta g, ainoastaan jälkimmäinen yhtälö sisältää (★-operaattorin välityksellä) riippuvuuden aika-avaruuden metriikasta g.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Erittäin kauniissa muodossa Maxwellin yhtälöt kirjottamallasi tavalla ilmaistuna!

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

On siinä lyhyet yhtälöt tosiaankin, jotenkin jännää on se,m että tuo ensimmäinen yhtälö dF = 0 ei riipu ollenkaan metriikasta g, ainoastaan jälkimmäinen yhtälö sisältää (★-operaattorin välityksellä) riippuvuuden aika-avaruuden metriikasta g.

Mielenkiintoinen yksityiskohta. Kenttävoimakkuus F on mittapotentiaalin A ulkoinen derivaatta, F = dA. Tunnetusti d² = 0, joten F = d(dA) = 0 metriikasta riippumatta, koska ulkoisen derivaatan määrittely ei vaadi metriikkaa.

Tästä voi kysyä, että onko aina olemassa sellainen A, että F = dA. Jos ei ole, niin dF = 0 ei toteudu. Vastaus vaatii käsittääkseni algebrallista topologiaa, de Rahm kohomologiaa ynnä muita salatieteitä. Sileille ja differentoituville moinistoille ainakin paikallisesti moinen A on olemassa, mikä tarkoittanee sitä, että sähkömagnetismi toimii vallan mainiosti kunhan maailmankaikkeuden topologiassa ei ole teräviä reunoja (heh, tämä päätelmä oli vain hatusta vedetty).

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

QS kirjoitti:
Erittäin kauniissa muodossa Maxwellin yhtälöt kirjottamallasi tavalla ilmaistuna!

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

On siinä lyhyet yhtälöt tosiaankin, jotenkin jännää on se,m että tuo ensimmäinen yhtälö dF = 0 ei riipu ollenkaan metriikasta g, ainoastaan jälkimmäinen yhtälö sisältää (★-operaattorin välityksellä) riippuvuuden aika-avaruuden metriikasta g.

Mielenkiintoinen yksityiskohta. Kenttävoimakkuus F on mittapotentiaalin A ulkoinen derivaatta, F = dA. Tunnetusti d² = 0, joten F = d(dA) = 0 metriikasta riippumatta, koska ulkoisen derivaatan määrittely ei vaadi metriikkaa.

Tästä voi kysyä, että onko aina olemassa sellainen A, että F = dA. Jos ei ole, niin dF = 0 ei toteudu. Vastaus vaatii käsittääkseni algebrallista topologiaa, de Rahm kohomologiaa ynnä muita salatieteitä. Sileille ja differentoituville moinistoille ainakin paikallisesti moinen A on olemassa, mikä tarkoittanee sitä, että sähkömagnetismi toimii vallan mainiosti kunhan maailmankaikkeuden topologiassa ei ole teräviä reunoja (heh, tämä päätelmä oli vain hatusta vedetty).


https://arxiv.org/pdf/1903.04627

Ei se aivan epäkelpo päätelmä ole.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä523

QS kirjoitti:
Erittäin kauniissa muodossa Maxwellin yhtälöt kirjottamallasi tavalla ilmaistuna!

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

On siinä lyhyet yhtälöt tosiaankin, jotenkin jännää on se,m että tuo ensimmäinen yhtälö dF = 0 ei riipu ollenkaan metriikasta g, ainoastaan jälkimmäinen yhtälö sisältää (★-operaattorin välityksellä) riippuvuuden aika-avaruuden metriikasta g.

Mielenkiintoinen yksityiskohta. Kenttävoimakkuus F on mittapotentiaalin A ulkoinen derivaatta, F = dA. Tunnetusti d² = 0, joten F = d(dA) = 0 metriikasta riippumatta, koska ulkoisen derivaatan määrittely ei vaadi metriikkaa.

Tästä voi kysyä, että onko aina olemassa sellainen A, että F = dA. Jos ei ole, niin dF = 0 ei toteudu. Vastaus vaatii käsittääkseni algebrallista topologiaa, de Rahm kohomologiaa ynnä muita salatieteitä. Sileille ja differentoituville moinistoille ainakin paikallisesti moinen A on olemassa, mikä tarkoittanee sitä, että sähkömagnetismi toimii vallan mainiosti kunhan maailmankaikkeuden topologiassa ei ole teräviä reunoja (heh, tämä päätelmä oli vain hatusta vedetty).

En nyt ehkä ymmärtänyt mitä ajoit tuossa takaa.

Jos on olemassa sellainen A että F = dA, niin F on eksakti muoto. Tällöin on dF = d(d(A)) = 0 ja F on suljettu muoto.

Jokainen eksakti muoto on suljettu mutta  jokainen suljettu muoto ei ole eksakti eli voi olla dF = 0 vaikka ei ole sellaista muotoa A että F = dA..

Sen sijaan jos dB = 0 niin F = dA = d(A+B) eli tässä tullaan siihen "gauge"-juttuun, A:han voidaan lisätä tuollainen B ilman että F muuttuu.

En ole juurikaan tätä ketjua seurannut. Kuten jo alussa sanoin, en ole varma, ymmärsinkö tarkoituksesi.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

käyttäjä-7929 kirjoitti:
QS kirjoitti:
Erittäin kauniissa muodossa Maxwellin yhtälöt kirjottamallasi tavalla ilmaistuna!

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

On siinä lyhyet yhtälöt tosiaankin, jotenkin jännää on se,m että tuo ensimmäinen yhtälö dF = 0 ei riipu ollenkaan metriikasta g, ainoastaan jälkimmäinen yhtälö sisältää (★-operaattorin välityksellä) riippuvuuden aika-avaruuden metriikasta g.

Mielenkiintoinen yksityiskohta. Kenttävoimakkuus F on mittapotentiaalin A ulkoinen derivaatta, F = dA. Tunnetusti d² = 0, joten F = d(dA) = 0 metriikasta riippumatta, koska ulkoisen derivaatan määrittely ei vaadi metriikkaa.

Tästä voi kysyä, että onko aina olemassa sellainen A, että F = dA. Jos ei ole, niin dF = 0 ei toteudu. Vastaus vaatii käsittääkseni algebrallista topologiaa, de Rahm kohomologiaa ynnä muita salatieteitä. Sileille ja differentoituville moinistoille ainakin paikallisesti moinen A on olemassa, mikä tarkoittanee sitä, että sähkömagnetismi toimii vallan mainiosti kunhan maailmankaikkeuden topologiassa ei ole teräviä reunoja (heh, tämä päätelmä oli vain hatusta vedetty).

En nyt ehkä ymmärtänyt mitä ajoit tuossa takaa.

Jos on olemassa sellainen A että F = dA, niin F on eksakti muoto. Tällöin on dF = d(d(A)) = 0 ja F on suljettu muoto.

Jokainen eksakti muoto on suljettu mutta  jokainen suljettu muoto ei ole eksakti eli voi olla dF = 0 vaikka ei ole sellaista muotoa A että F = dA..


Kyllä. Sileän moniston k-muoto F ∈ Ωᵏ(M) on

a) suljettu, jos dF = 0, ja
b) eksakti, jos ∃ A ∈ Ωᵏ⁻¹(M) : dF = 0

Kuten totesitkin b ⇒ a, mutta a ⇒ b ei aina päde. Toisin sanoen a ⇔ b ei aina päde.  

Huolimattoman lauseeni "onko aina olemassa sellainen A, että F = dA. Jos ei ole, niin dF = 0 ei toteudu" loppuosa olisi pitänyt muotoilla "..Jos ei ole, niin ensimmäinen Maxwellin yhtälö dF = 0 on fysikaalisesti epäkelpo, koska ei ole olemassa sähkömagneettista mittapotentiaalia A"

käyttäjä-7929 kirjoitti:
Sen sijaan jos dB = 0 niin F = dA = d(A+B) eli tässä tullaan siihen "gauge"-juttuun, A:han voidaan lisätä tuollainen B ilman että F muuttuu.

Näin on.

käyttäjä-7929 kirjoitti:
En ole juurikaan tätä ketjua seurannut. Kuten jo alussa sanoin, en ole varma, ymmärsinkö tarkoituksesi.

Harva jaksaa seurata tätä ketjua, joten hienoa, että edes joku. Ja tosiaan hyvä ettet ymmärtänyt, koska kirjoitukseni oli puutteellinen.

Anyway. Kohomologiateorialla voidaan löytää ne tapaukset, joilloin myös a ⇔ b (ekvivalenssi) pätee. En valitettavasti tunne tästä enempää teknisiä yksityiskohtia.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Iltapäivää, kirjoittelin tässä ajanvietteeksi muutaman mietelmän noista k-muodoista ( aihepiiri on sellainen jonka kanssa on tullut puuhasteltua)

Kuten yllä jo useasti sanottu, eksakti muoto on aina suljettu eli b ⇒ a (QS:n merkinnöin), mutta käänteinen ei aina päde. Suljetuille k-muodoille käytetään merkintää:

Zᵏ(M) = {ω∈Ωᵏ(M) | dω = 0}

ja eksakteille:

Bᵏ(M) = {ω∈Ωᵏ(M) | ∃ β ∈ Ωᵏ⁻¹(M)  siten että dβ = ω}.

Ehto d² = takaa sen että Bᵏ(M) ⊂ Zᵏ(M). Nyt kumpikin noista on k-muotojen avaruuden Ωᵏ(M) aliavaruuksia ja siten erityisesti Bᵏ(M) on Zᵏ(M):n aliavaruus (kumpikin ääretönulotteisia reaalikertoimisia). Voidaan siis muodostaa tekijäavaruus (joka on myös vektoriavaruus):

Hᵏ(M) = Zᵏ(M) / Bᵏ(M).

Tämä on k:s de Rham kohomologia(ryhmä) monistolle M. Vaikka tuo on kelpo vektoriavaruus (kts * alla ), sille riittää useasti vain abelin ryhmästä  = (Ωᵏ(M) , + ) periytyvä yhteenlasku.

Tuo ryhmä Hᵏ(M) = Zᵏ(M) / Bᵏ(M) antaa tietoa suljetun muodon epäintegroituvuudesta eli vaikka  dω = 0 emme voi "integroida" sitä jos Hᵏ(M) ≠ 0  eli ei löydy "potentiaalia" β siten että dβ = ω.
 
Kohomologiaryhmällä H¹(M) on sovellus ED:ssä, jos sähkömagneettinen kenttätensori F on annettu kahden eri mitan avulla:  

F = dA₁
F = dA₂,

niin tällöin 0 ≡ F - F = dA₂ -  dA₁ = d (A₂ - A₁) ja jos kohomologiaryhmä H¹(M) = 0, niin tällöin jokainen suljettu muoto on eksakti  ja siten  ∃ f Ω⁰(M) eli funktio f, jolle A₂ - A₂ = df eli

A₂ = A₂ + df.

Tässä muodossahan yleensä esitetään tuo mitan valinnanvapaus. Mutta jos  H¹(M) ≠ 0 niin silloin voidaan vain tietää että

A₂ = A₂ + X,

missä X on jokin 1-muoto, jolla ei ole esitystä  X = df.

Vaikka olisikin  H¹(M) ≠ 0 niin voidaan kuitenkin aina löytää lokaalisti määritelty (ei koko monistossa) funktio f, jolle A₂ = A₂ + df esimerkiksi tietyssä pisteen p ∈ M ympäristössä U. Kohomologiaryhmän epätriviaalisuus estää vain sen, että näistä lokaaleuista f ei voida "parsia kokoon" yhtä koko monistolla M määriteltyä funktiota f sellainen olisi väistämättä moniarvoinen.

*)
Kohomologia jo sanana on sukua homologialle samaan tapaan kuin kovektori on vektorille. On nimittäin olemassa homologiaryhmät Hₖ(M) samaan tapaan kuin kohomologiaryhmät Hᵏ(M), ja tietyssä mielessä on Hₖ(M)* =  Hᵏ(M). Näitä tuli opiskeltua joskus aikanaan melkoisen intensiivisesti ja hauskaa oli.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Tuohon yllä olevaan sitten pujahti virhe:

SIJ kirjoitti:

niin tällöin 0 ≡ F - F = dA₂ -  dA₁ = d (A₂ - A₁) ja jos kohomologiaryhmä H¹(M) = 0, niin tällöin jokainen suljettu muoto on eksakti  ja siten  ∃ f Ω⁰(M) eli funktio f, jolle A₂ - A₂ = df eli

tuossa tietysti pitää olla  A₂ - A₁ = df ja vastaavasti muissakin kohdissa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltapäivää, kirjoittelin tässä ajanvietteeksi muutaman mietelmän noista k-muodoista ( aihepiiri on sellainen jonka kanssa on tullut puuhasteltua)

Kuten yllä jo useasti sanottu, eksakti muoto on aina suljettu eli b ⇒ a (QS:n merkinnöin), mutta käänteinen ei aina päde. Suljetuille k-muodoille käytetään merkintää:

Zᵏ(M) = {ω∈Ωᵏ(M) | dω = 0}

ja eksakteille:

Bᵏ(M) = {ω∈Ωᵏ(M) | ∃ β ∈ Ωᵏ⁻¹(M)  siten että dβ = ω}.

Ehto d² = takaa sen että Bᵏ(M) ⊂ Zᵏ(M). Nyt kumpikin noista on k-muotojen avaruuden Ωᵏ(M) aliavaruuksia ja siten erityisesti Bᵏ(M) on Zᵏ(M):n aliavaruus (kumpikin ääretönulotteisia reaalikertoimisia). Voidaan siis muodostaa tekijäavaruus (joka on myös vektoriavaruus):

Hᵏ(M) = Zᵏ(M) / Bᵏ(M).

Tämä on k:s de Rham kohomologia(ryhmä) monistolle M. Vaikka tuo on kelpo vektoriavaruus (kts * alla ), sille riittää useasti vain abelin ryhmästä  = (Ωᵏ(M) , + ) periytyvä yhteenlasku.

Tuo ryhmä Hᵏ(M) = Zᵏ(M) / Bᵏ(M) antaa tietoa suljetun muodon epäintegroituvuudesta eli vaikka  dω = 0 emme voi "integroida" sitä jos Hᵏ(M) ≠ 0  eli ei löydy "potentiaalia" β siten että dβ = ω.
 
Kohomologiaryhmällä H¹(M) on sovellus ED:ssä, jos sähkömagneettinen kenttätensori F on annettu kahden eri mitan avulla:  

F = dA₁
F = dA₂,

niin tällöin 0 ≡ F - F = dA₂ -  dA₁ = d (A₂ - A₁) ja jos kohomologiaryhmä H¹(M) = 0, niin tällöin jokainen suljettu muoto on eksakti  ja siten  ∃ f Ω⁰(M) eli funktio f, jolle A₂ - A₁ = df eli

A₂ = A₁ + df.

Tässä muodossahan yleensä esitetään tuo mitan valinnanvapaus. Mutta jos  H¹(M) ≠ 0 niin silloin voidaan vain tietää että

A₂ = A₁ + X,

missä X on jokin 1-muoto, jolla ei ole esitystä  X = df.

Vaikka olisikin  H¹(M) ≠ 0 niin voidaan kuitenkin aina löytää lokaalisti määritelty (ei koko monistossa) funktio f, jolle A₂ = A₁ + df esimerkiksi tietyssä pisteen p ∈ M ympäristössä U. Kohomologiaryhmän epätriviaalisuus estää vain sen, että näistä lokaaleuista f ei voida "parsia kokoon" yhtä koko monistolla M määriteltyä funktiota f sellainen olisi väistämättä moniarvoinen.

*)
Kohomologia jo sanana on sukua homologialle samaan tapaan kuin kovektori on vektorille. On nimittäin olemassa homologiaryhmät Hₖ(M) samaan tapaan kuin kohomologiaryhmät Hᵏ(M), ja tietyssä mielessä on Hₖ(M)* =  Hᵏ(M). Näitä tuli opiskeltua joskus aikanaan melkoisen intensiivisesti ja hauskaa oli.

Siinäpä napakka pikakurssi kohomologiaan.

Tähän liittyy Poincaren lemma, joka sanoo, että mikäli pisteen p ∈ M lokaalissa ympäristössä U oleva käyrä/silmukka voidaan deformoida  esteettä pisteeksi p, on jokainen U:n suljettu k-muoto myös eksakti. Tuon toteutuessa aiemmin mainitun b ⇒ a lisäksi a ⇒ b pätee. Mutta  U:n sisältäessä "reikiä", ei a ⇒ b päde.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Kohomologia jo sanana on sukua homologialle samaan tapaan kuin kovektori on vektorille. On nimittäin olemassa homologiaryhmät Hₖ(M) samaan tapaan kuin kohomologiaryhmät Hᵏ(M), ja tietyssä mielessä on Hₖ(M)* =  Hᵏ(M). Näitä tuli opiskeltua joskus aikanaan melkoisen intensiivisesti ja hauskaa oli.

Hauskuus on tärkeää. Onhan todellakin leivottavissa myös kontrahomologia. :)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Eusa kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Kohomologia jo sanana on sukua homologialle samaan tapaan kuin kovektori on vektorille. On nimittäin olemassa homologiaryhmät Hₖ(M) samaan tapaan kuin kohomologiaryhmät Hᵏ(M), ja tietyssä mielessä on Hₖ(M)* =  Hᵏ(M). Näitä tuli opiskeltua joskus aikanaan melkoisen intensiivisesti ja hauskaa oli.

Hauskuus on tärkeää. Onhan todellakin leivottavissa myös kontrahomologia. :)

Siis oikeasti kohomologia kuuluisi olla kontrahomologia samoin kuin vektori esitetään kontravariantein koordinaatein. Homologia on kovarianttia eli koordinaatit skaalautuvat lineaarisesti, ei käänteisesti, mitä kontra tarkoittaa...

Kohomologia nyt vain on jäänyt (ehkä lyhyempänä)  sanana käyttöön. Henkilökohtaisesti kaikki epäjohdomukaisuudet loogisessa tieteessä pakkaavat pikkaisen häiritsemään, mistä taipumus välillä jääräpäiseen omaan käsitteistöön.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Iltapäivää, mun piti jo vastata aikaisemmin, mutta jouduin kertaamaan aika paljon aiheeseen liittyviä juttuja.

QS kirjoitti:

Tähän liittyy Poincaren lemma, joka sanoo, että mikäli pisteen p ∈ M lokaalissa ympäristössä U oleva käyrä/silmukka voidaan deformoida  esteettä pisteeksi p, on jokainen U:n suljettu k-muoto myös eksakti.


Minäkin aluksi muistelin asian olleen jotenkin näin, mutta ei se ollutkaan ihan näin! Tästä myöhemmin lisää mutta ensin:

Tuo mainitsemasi polun deformointi pisteeksi merkitsee että  ympäristön U perusryhmä Π₁(U) = {e}. Tuo perusryhmä määritellään pisteestä p alkavien ja siihen päättyvien polkujen ekvivalenssiluokkina, joissa ekvivalenssirelaatio on se, että polku a ja polku b ovat ekvivalentteja, jos a voidaan muuntaa jatkuvasti poluksi b.  Nuo ekvivalenssiluokat muodostavat tosiaankin ryhmän. Jos tuo perusryhmä sisältää vain yhden alkion e, niin silloin kaikki (esimerkiksi) pisteestä p alkavat polut voidaan jatkuvasti muuntaa toisikseen ja silloin alueen sanotaan olevan yhdesti yhtenäinen.

Jos nyt on siis   Π₁(U) = {e} ja  1-muodolle ω pätee dω = 0 (suljettu), niin tällöin voidaan määritellä tuossa ympäristössä U funktio f kaavalla f(x) =  ∫ ω, missä integraali otetaan mitä tahansa polkua pitkin pisteestä p pisteesen x. Funktion arvo ei riipu käytetystä integroimispolusta koska dω = 0.

Vastaava ei kuitenkaan päde 2-muodoille, sillä jos tarkastellaan seuraavaa monistoa M = ℝ³/ {0}, eli ℝ³, josta on origo poistettu. Tämä avaruus on yhdesti yhtenäinen eli  Π₁(M) = {e} ja siten toteuttaa mainitsemasi polkujen deformointiominaisuuden, mutta kuitenkin on olemassa sellainen 2-muoto ω∈Ω²(M), joka on suljettu, dω = 0, mutta ei ole olemassa 1-muotoa β , jolle dβ = ω. Tämä näkyy myös siitä että de Rhamin ryhmä H²(M) = Z²(M) / B²(M) ≈ ℝ, jos olisi ollut H²(M) = 0 olisivat kaikki suljetut muodot olleet eksakteja.

Poincaren lemmassa on riittävä ominaisuus se, että ympäristö U on kutistuva (contractible), niin silloin suljetut muodot ovat eksakteja. Tuo kutistuvuus on sitten tyypillinen epähavainnollinen matemaattinen käsite:

Avaruus X on kutistuva, jos identtinen kuvaus id : X → X, id(x) = x ja vakiokuvaus v : X → X, v(x) = x₀ ∈X ovat keskenään homotooppisia eli ne voidaan jatkuvasti muuntaa toisikseen (määritelmässä ei väliä mikä vakiokuvaus)

Kutistuva avaruus on aina yhdesti yhtenäinen, mutta ei kääntäen. Siis kutistuvat avaruudet ovat osajoukko yhdesti yhtenäisistä avaruuksista.Eräs esimerkki yhdesti yhtenäisestä avaruudesta, joka ei ole kutistuva on pallo S², kuten myös tuo aikaisempi ℝ³/ {0}.

Tuo kutistuvuus kyllä ansaitsee merkityksensä tuon Poincaren lemman todistuksessa, mun kirjani todistaa sen tähdenmuotoiselle ympäristölle U (star-shaped), mikä tarkoittaa, että kiinteästä pisteestä p alkavat ja pisteeseen q∈U  päättyvät  suoranpätkät kuuluvat  aina ympäristöön U kaikilla q.

QS kirjoitti:

...
Mutta  U:n sisältäessä "reikiä", ei a ⇒ b päde.

Heh tämä oli kyllä sopivan epämääräisesti ilmaistu, jotta lauseen totuusarvoa ei pääse arvioimaan haha hah...Nimittäin tuo pallo S² ei sisällä reikiä, mutta silti Poincare ei päde, ellei sitten jotenkin tulkitse sitä pallon sisusta "reiäksi"...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Tähän liittyy Poincaren lemma, joka sanoo, että mikäli pisteen p ∈ M lokaalissa ympäristössä U oleva käyrä/silmukka voidaan deformoida  esteettä pisteeksi p, on jokainen U:n suljettu k-muoto myös eksakti.


Minäkin aluksi muistelin asian olleen jotenkin näin, mutta ei se ollutkaan ihan näin! Tästä myöhemmin lisää mutta ensin:

Tuo mainitsemasi polun deformointi pisteeksi merkitsee että  ympäristön U perusryhmä Π₁(U) = {e}. Tuo perusryhmä määritellään pisteestä p alkavien ja siihen päättyvien polkujen ekvivalenssiluokkina, joissa ekvivalenssirelaatio on se, että polku a ja polku b ovat ekvivalentteja, jos a voidaan muuntaa jatkuvasti poluksi b.  Nuo ekvivalenssiluokat muodostavat tosiaankin ryhmän. Jos tuo perusryhmä sisältää vain yhden alkion e, niin silloin kaikki (esimerkiksi) pisteestä p alkavat polut voidaan jatkuvasti muuntaa toisikseen ja silloin alueen sanotaan olevan yhdesti yhtenäinen.

Jos nyt on siis   Π₁(U) = {e} ja  1-muodolle ω pätee dω = 0 (suljettu), niin tällöin voidaan määritellä tuossa ympäristössä U funktio f kaavalla f(x) =  ∫ ω, missä integraali otetaan mitä tahansa polkua pitkin pisteestä p pisteesen x. Funktion arvo ei riipu käytetystä integroimispolusta koska dω = 0.

Vastaava ei kuitenkaan päde 2-muodoille, sillä jos tarkastellaan seuraavaa monistoa M = ℝ³/ {0}, eli ℝ³, josta on origo poistettu. Tämä avaruus on yhdesti yhtenäinen eli  Π₁(M) = {e} ja siten toteuttaa mainitsemasi polkujen deformointiominaisuuden, mutta kuitenkin on olemassa sellainen 2-muoto ω∈Ω²(M), joka on suljettu, dω = 0, mutta ei ole olemassa 1-muotoa β , jolle dβ = ω. Tämä näkyy myös siitä että de Rhamin ryhmä H²(M) = Z²(M) / B²(M) ≈ ℝ, jos olisi ollut H²(M) = 0 olisivat kaikki suljetut muodot olleet eksakteja.

Poincaren lemmassa on riittävä ominaisuus se, että ympäristö U on kutistuva (contractible), niin silloin suljetut muodot ovat eksakteja. Tuo kutistuvuus on sitten tyypillinen epähavainnollinen matemaattinen käsite:

Avaruus X on kutistuva, jos identtinen kuvaus id : X → X, id(x) = x ja vakiokuvaus v : X → X, v(x) = x₀ ∈X ovat keskenään homotooppisia eli ne voidaan jatkuvasti muuntaa toisikseen (määritelmässä ei väliä mikä vakiokuvaus)

Kutistuva avaruus on aina yhdesti yhtenäinen, mutta ei kääntäen. Siis kutistuvat avaruudet ovat osajoukko yhdesti yhtenäisistä avaruuksista.Eräs esimerkki yhdesti yhtenäisestä avaruudesta, joka ei ole kutistuva on pallo S², kuten myös tuo aikaisempi ℝ³/ {0}.

Tuo kutistuvuus kyllä ansaitsee merkityksensä tuon Poincaren lemman todistuksessa, mun kirjani todistaa sen tähdenmuotoiselle ympäristölle U (star-shaped), mikä tarkoittaa, että kiinteästä pisteestä p alkavat ja pisteeseen q∈U  päättyvät  suoranpätkät kuuluvat  aina ympäristöön U kaikilla q.

Totta. Palasin pitkästä aikaa Nakaharan Geometry, Topology and Physics teokseen, josta Poincaren lemma : "If a coordinate neighbourhood U of a manifold M is contractible to a point p ∈ M, any closed r-form on U is also exact."

Kyse tosiaan ympäristön U kutistuvuudesta eikä polkujen deformoinnista kuten muistelin.

Homotopian sentään muistan ainakin alkeiden osalta. Yhdesti yhtenäisen tason U perusryhmä on tuo Π₁(U) = {e}. Jos tasoon tehdään reikä (pakko se reikä on jotenkin saada mukaan...), muuttuu perusryhmä huomattavasti. Pisteestä p alkavat ja siihen päättyvät polut, jotka eivät tee silmukkaa reiän ymäri, modostavat ekvivalenssiluokan [e]. Yhdesti reiän ympäri kiertävät polut muodostavat luokan [1], kahdesti kiertävät luokan [2] jne. Kun huomoidaan polkujen suunta, saadaan luokat [-1],[-2] jne. Ideana se, että esim kerran reiän ympäri silmukan tekevä käänteispolku ja vastaava kerran silmukan tekevä polku eivät ole keskenään homotooppisia. Ekvivalenssiluokista muodostuu ääretön joukko {...,[-2],[-1],[e],[1],[2],...}. Reiällisen tason perusryhmä onkin Π₁(U) = ℤ eli kokonaislukujen joukko, joka on ryhmä.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

...
Mutta  U:n sisältäessä "reikiä", ei a ⇒ b päde.

Heh tämä oli kyllä sopivan epämääräisesti ilmaistu, jotta lauseen totuusarvoa ei pääse arvioimaan haha hah...Nimittäin tuo pallo S² ei sisällä reikiä, mutta silti Poincare ei päde, ellei sitten jotenkin tulkitse sitä pallon sisusta "reiäksi"...
[/quote]

Olin erittäinkin epämääräinen :)

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Ajan kuluksi Maxwellin suhteesta bosoneihin W ja Z. Voidaan ajatella Lorentzryhmän vektoriesityksenä (½,½) muuntuvia hitusia, jotka ovat spin-1 vektoribosoneja. Muita esityksiä ovat esim. skalaariesitys (0,0), vasenkiraalinen spinori (½,0), oikeakiraalinen (0,½) ja Diracin spinori (½,0) ⊕ (0,½).

Vektoriesityksen (½,½) vapaa teoria, siis ei-vuorovaikuttava, laaditaan siten, että vaikutus S = ∫ d⁴x 𝓛 saadaan Lorentz-skalaariksi ja S johtaa lokaaliin liikeyhtälöön. Vektoribosonikenttä B ja derivaatat voivat käytännössä olla muodoissa BᵘBᵤ, ∂ᵘBᵛ ∂ᵤBᵥ, ∂ᵘBᵛ ∂ᵥBᵤ tai ∂ᵘBᵤ, joista viimeinen ei muuta liikeyhtälöitä. Nämä muodot voi perustella, mutta jääköön vaikka eri postaukseen.

Vektoriesityksen Lagrangen tiheys voidaan kirjoittaa 𝓛ᴾ = b ∂ᵘBᵛ ∂ᵤBᵥ + c ∂ᵘBᵛ ∂ᵤBᵥ + d BᵘBᵤ, missä b,c ja d ovat vakioita (yläindeksi-P on nimeämiseen). Liikeyhtälöiksi saadaan 2d Bᵘ = 2( b ∂ᵥ∂ᵛ Bᵘ + c ∂ᵘ∂ᵥBᵛ ), jotka kirjoitetaan yleensä hiukan toisessa muodossa ja vakiot toisin asetettuna

m² Bᵘ = ½ ∂ᵥ ( ∂ᵛ Bᵘ - ∂ᵘ Bᵛ), ja vastaava Lagrangen tiheys
𝓛ᴾ = ½ (∂ᵘBᵛ ∂ᵤBᵥ - ∂ᵘAᵛ ∂ᵥBᵤ) + m² BᵘBᵤ.

Nämä kuvaavat massallisia vektoribosoneita. Kun asetetaan massa m=0 ja merkitään kenttää A, saadaan massattomille bosoneille liikeyhtälö

½ ∂ᵥ ( ∂ᵛ Aᵘ - ∂ᵘ Aᵛ) = 0, ja vastaava
𝓛ᴹ = ½ ∂ᵘAᵛ (∂ᵤAᵥ - ∂ᵥAᵤ).

𝓛ᴹ eroaa 𝓛ᴾ:stä vain massatermin m² AᵘAᵤ puuttumisena. 𝓛ᴹ toteuttaa lokaalin mittasymmetrian Aᵤ → Aᵤ' = Aᵤ + ∂ᵤ a(x). Tuo symmetriahan on peräisin U(1) mittasymmetriasta, mikä ei tosin näy selkeästi koordinaatistoesityksessä. Liikeyhtälö on Maxwellin yhtälö ilman lähteitä.

Spinoriesitykselle (½,0) ⊕ (0,½) voidaan kirjoittaa erinäisillä päättelyillä ja γ-matriiseilla vapaan teorian 𝓛ᴰ = -m Ψ Ψ* + iΨ* γᵤ ∂ᵘΨ , missä notaationa Ψ* = Ψ† γ₀. Spinoriin Ψ on yhdistetty oikea- ja vasenkiraalinen spinori yhdeksi Ψ:ksi. Liikeyhtälöt ovat (i γᵤ∂ᵘ - m)Ψ = 0 ja vastaava Ψ*:lle.

𝓛ᴰ ei ole invariantti Ψ:n lokaalissa U(1) muunnoksessa, tosin globaali U(1) muunnos säilyttää invarianssin. Symmetria tässä siis globaali symmetria Ψ → Ψ' = exp(ia) Ψ ja Ψ* → (Ψ*)' = Ψ* exp(-ia), missä a on jokin reaaliluku.

Massattoman vektoribosonikentän ja massallisen spinorikentän vapaat teoriat 𝓛ᴹ ja 𝓛ᴰ noudattavat eri symmetrioita: 𝓛ᴹ sisäinen lokaali U(1), ja 𝓛ᴰ sisäinen globaali U(1). Ulkoinen symmetria molemmille on Lorentz.

Yhteinen sisäinen symmetria löytyy, kun vuorovaikutusteoria kirjoitetaan 𝓛 = 𝓛ᴰ + 𝓛ᴹ + 𝓛ᴵ = -mΨΨ* + iΨ* γᵤ∂ᵘ Ψ + ∂ᵘAᵛ (∂ᵤAᵥ - ∂ᵥAᵤ) + Aᵤ Ψ* ∂ᵘΨ, missä 𝓛ᴵ = Aᵤ Ψ* ∂ᵘΨ on vuorovaikutustermi. Osoittautuu, että tämä 𝓛 on invariantti myös lokaalissa U(1) muunnoksessa. Jos bosonikenttä Aᵤ olisi massallinen, lokaali U(1) symmetria ei toimisi, joka on peruste fotonin massattomuudelle.

Lokaali U(1)-muunnos kirjoitetaan usein vakion g avulla exp(i g a(x)), jolla vuorovaikutustermiin hierotaan mukaan kytkinvakio g Aᵤ Ψ*∂ᵘΨ. Noetherin teoreemalla (globaalin U(1):n seurauksena) saadaan säilyvä nelivirta Jᵘ = -g Ψ* γᵘ Ψ.

Euler-Lagrange antaa kolme liikeyhtälöä, joista kaksi spinorin ja vektoribosonin vuorovaikutusta, mutta kolmas klassisestikin käsitettävä

∂ᵤ( ∂ᵘ Aᵛ - ∂ᵛ Aᵘ ) = Jᵛ. Tensorimuodossa tuo on ∂ᵤ Fᵛᵘ = Jᵛ. Tämä eräs tapa "löytää" Maxwellin yhtälöt.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat