Sivut

Kommentit (233)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Quantum State kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Jatkoa tolle edelliselle viestille:

Vektorikimppu E = E(M,G) saadaan siten että jokaiseen moniston M pisteeseen p liitetään reaali-tai kompleksiarvoinen n-ulotteinen vektoriavaruus V tai tarkemmin merkiten V_p ja ryhmä G toimii vasemmalta avaruudessa V. Selvyyden vuoksi olkoon tästä lähtien V_p = ℂᴺ eli pisteeseen p liittyy n-ulotteinen kompleksinen vektoriavaruus. Mikä tahansa V_p:n vektori S(p) voidaan esittää muodossa S(p) = Sⁱ(p)Fᵢ, missä Fᵢ:t ovat ℂᴺ:n standardikantavektoreita F₁ = (1,0,0,...,0), F₂=(0,1,0,...,0) jne., F as frame, you know.

Lokaalisti voidaan määritellä moniston M pisteen p ympäristössä U ℂᴺ-arvoinen "vektorikenttä" S kaavalla:

S(q) =  Sⁱ(q)Fᵢ, missä q∈U  tai lyhyesti S = SⁱFᵢ.

Tämä on siis sama asia kuin vektorikimpun E pisteen p ympäristössä U määritelty lokaali sektio. Vastaavasti nuo kantavektorit Fᵢ ovat nyt siis ympäristössä U määriteltyjä lokaaleita sektioita. Kuinka iso tuo ympäristö U voi olla, on sitten kokonaan toinen aihe ja se riippuu tuosta monistosta M, joillain monistoilla on mahdollista löytää globaalit kantasektiot Fᵢ, mutta "yleensä" ei se onnistu.

Kovariantti derivaatta ∇_X(S) on operaatio, jolla lokaaleita sektioita S voidaan derivoida moniston vektorien X suunnassa, siis eräänlainen suunnattu derivaatta. Tässä siis X_p∈TpM.
 
Kovariantin derivaatan tulee toteuttaa seuraavat ehdot:

1. ∇_X (a₁ S₁ + a₂S₂) = a₁∇_X(S₁) + a₂∇_X(S₂)

2. ∇_(a₁ X₁ + a₂X₂)(S) = a₁∇_X₁(S) + a₂∇_X₂(S)

3. ∇_X(fS) = X(f)S + f ∇_X(S),

missä S, S₁, S₂ ovat lokaaleja sektioita, f monistolla M (p:n ympäristössä U) määritelty funktio ja a₁, a₂ ovat kompleksilukuja.

Oletetaan, että vektorikimpulla E on määritelty konnektio-operaattori ∇, joka toteuttaa ehdot 1-3 ja valitaan pisteen p ympäristössä U määritelty lokaali sektio Z, jonka esitys kantavektorien Fᵢ avulla on Z = ZⁱFᵢ. Voisi tietysti puhua sektioista  Lasketaan Z:n kovariantti derivaatta koordinaattikantavektorin Eᵣ = ∂ᵣ suuntaan:

∇_Eᵣ(Z) = ∇_Eᵣ(ZⁱFᵢ)
        = Eᵣ(Zⁱ)Fᵢ + Zⁱ∇_Eᵣ(Fᵢ)

Koska Zⁱ on funktio on myös Eᵣ(Zⁱ) joukossa U määritelty funktio, no problem. Seuraava termi riippuu sitten annetusta konnektiosta ∇. Voidaan määritellä Christoffelin symbolit Γᵏᵣᵢ kaavalla:

∇_Eᵣ(Fᵢ) = ΓᵏᵣᵢFₖ.

Jos konnektio on annettu on Christoffelin symbolit määrätty ja kääntäen antamalla funktiot Γᵏᵣᵢ voidaan määritellä konnektio-operaattori ∇. Tossa kaavassa on hyvä huomata, että:

- indeksi k = 1,...,n = vektorikimpun ℂᴺ dimensio.
- indeksi i = 1,...,n = vektorikimpun ℂᴺ dimensio.
- indeksi r, moniston M dimensio m.

Tässä varmaan on se sun QS esimerkki kvanttimekaniikkaketjusta paikallaan, missä moniston M päällä oli säikeenä 1-ulotteinen kompleksiavaruus eli lokaali sektio S ≡ ψF₁. Nyt siis k = i = 1  ja tuo kaava ∇_Eᵣ(Fᵢ) = ΓᵏᵣᵢFₖ voidaan kirjoittaa muodossa:

∇_Eᵣ(F₁) = Γᵏᵣ₁Fₖ = Γ¹ᵣ₁F₁ = ωᵣF₁,

missä on määritelty ωᵣ ≡ Γ¹ᵣ₁  silloin:

 ∇_Eᵣ(S) = ∇_Eᵣ(ψF₁)
         = (∂ᵣψ)F₁ + ψ ∇_Eᵣ(F₁)
         = (∂ᵣψ)F₁ + ψ ωᵣF₁
         = (∂ᵣψ + ψ ωᵣ)F₁
         = (∂ᵣ + ωᵣ)(ψF₁)
         = (∂ᵣ + ωᵣ)(S),

mikä on lyhyemmin merkittynä:

 ∇_ᵣ = ∂ᵣ + ωᵣ.

Tässä nyt siis  ωᵣ on skalaarifunktio.

Tuo oli itse asiassa todella ymmärrettävä lähestyminen kovarianttiin derivaattaan, ja ilman pääsäiekimppua, joka ilmeisesti jossain mielessä 'upotettu' standardikantavektoreihin Fᵢ ?

Hyvä että jos niistä oli hyötyä, tuolleen yritin itselleni purkaa auki tuota ∇_ᵣ = ∂ᵣ + ωᵣ "mysteeriä". Olen joskus leikkinyt yleisten konnektioiden kanssa enemmänkin ja tuo ylläoleva nyt sitten sopi mielestäni tähän. Olet oikeassa noista standardikantavektoreista, siinä että niiden valinta tavallaan ei ole pakollinen vaan voidaan käyttää muita kantavektoreita  Fᵢ', jotka saadaan matriisilla g∈GL(n,ℂ). Lokaalisti voidaan siis käyttää kantavektorien  tai oikeammin lokaalien sektioiden F(q) = (F₁(q),...,Fₘ(q)) sijasta uusia sektioita     H(q) = ( H₁(q),..., Hₘ(q)), missä q ∈ U, missä U moniston M avoin osajoukko. Näiden välillä on pisteestä q riippuva matriisirelaatio: H(q) = g(q) F(q), joka käytännössä antaa H:n vektorit F:n lineaarikombinaationa.
Quantum State kirjoitti:
Oon jossain nähnyt vastaavanlaisen johdon, missä pääsäiekimppu (frame bundle LM) pidettiin mukana, mutta assosioidun vektorikimpun E(M,G,V_p) ja framebundlen LM(M,G) välille luotiin kuvaus. Kuvauksella saatiin liikuttua E:n ja LM:n välillä siten, että LM-kimppuun syntyi 'funktio', jonka arvot ovat E-kimpun vektoriavaruus V_p arvoisia, ja funktio sisälsi myös E:n sektion s: M->V_p. Sitten rakennettiin kovariantti derivaatta pääsäiekimpussa LM tuohon funktioon kohdistuen. Eli derivoinnin kohteena on lopulta LM:ssä asuva funktio, jonka arvo on säiekimpun E vektoriavaruus-arvoinen. Päätyi lopulta V_p-vektorikentän derivoimiseen. Ja sama lopputulos kuin sulla, jos muistan oikein.
Tässä varmaankin on monenlaista lähtökohtaa käytettävissä, miten haluaa edetä ja lopputulos on sitten sama.Hieman makuasia tai mikä on milloinkin keskeistä tms.
Quantum State kirjoitti:

Tuo kaava ∇_Eᵣ(Fᵢ) = ΓᵏᵣᵢFₖ on tosiaan mittakenttienkin ytimessä. Tästähän oli puhetta aiemminkin, eli Γᵏᵣᵢ korvautuu Lie(G) arvoisilla matriiseilla, jossa k ja i indeksit Lie Algebrasta ja r moniston ulottuvuudesta. Yksityiskohdat raavitaan auki ajan mittaan, heh.

Ajauduin muuten jostain lillukanvarresta Lien rymien ja -algebran käsittelyyn differentiaaligeometrian näkökulmasta. Aihe, josta ei ole aiemmin jäänyt mun päähän kuin pintapuolisia juttuja. Nyt syttyi into tutkia syvemmin. Tuohonkin sivuhaaraan voisi palata joskus, mielenkiintoinen maailma.

. Toi kaava ∇_Eᵣ(Fᵢ) = ΓᵏᵣᵢFₖ on tosiaankin keskeinen, kuten jo sanoi, palataan siihen sitten jossain kohtaa.

Siinä toimii muuten se konnektiokertoimien Γᵏᵣᵢ muunnoskaava melkein sellaisenaan samaan tapaan kuin esimerkiksi suhteellisuusteorian tai Riemannin geometrian muunnoskaavat, vaikka nyt muunnetaankin säikeen ℂᴺ kantavektoreita F -> H (yllä määritellyt). Siitä muunnoskaavasta tulee juuri mittateorian mukainen lauseke, kun sen laskee auki ja laskin tuossa sen, mutta tuloksen kirjoittaminen esimerkiksi tänne vaatisi siistimistä, jota en jaksa tehdä nyt. Tavallaan siis tuo pelkkä konnektiolähestymistapa, ilman kimppuja  tuottaa oikeanäköisiä tuloksia.

Toisaalta kyllä pääsäiekimpuissa on tiettyä eleganssia...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Ylläolevassa:

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Näiden välillä on pisteestä q riippuva matriisirelaatio: H(q) = g(q) F(q), joka käytännössä antaa H:n vektorit F:n lineaarikombinaationa.

olisi tietysti puhdasoppisesti parempi kertoa F(q) ryhmän g(q)∈GL(n,ℂ) alkiolla oikealta. Ei poliittisista syistä vaan, että tällöin näkyy se implisiittinen pääsäiekimppustruktuuri paremmin, joka tässäkin on mukana.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5627

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

Toisaalta kyllä pääsäiekimpuissa on tiettyä eleganssia...

Pääsäiekimput ovat niin elegantteja, että kertasin itselleni tulevan varalle Lien ryhmän ja algebran.

Lien ryhmä G on sileä monisto. Ryhmällä on yleensä laskutoimituksena tulo. Tulo on kuvaus μ: GxG --> G: μ(gh)=gh, jossa g ja h ovat ryhmän G alkioita. Tämä on sileä kuvaus tulomonistosta G x G takaisin monistoon G. Ryhmän rakenteessa myös käänteikuvaus i: G --> G, g --> gˉ¹. Ja neutraalialkio e=ggˉ¹, jolloin ge=eg=g.

Monisto on abstarkti otus, jossa ei voida suorittaa käytännöllisiä laskutoimituksia. Tätä varten monistoon valitaan kartta (chart) ja karttakuvaus, joista saadaan käytännössä koordinaatisto. Tarkasti ottaen esim. dim=3 rotaatioryhmän SO(3) θ,φ,ψ-kulmia sisältävät matriisit on parametrisoitu noilla kulmilla johonkin valittuun SO(3)-moniston karttaan.

Lien ryhmään G liitetään Lien Algebra Lie(G).

Määritellään kuvaus l_g: G --> G. Kuvausta sanotaan vasen-transalaatioksi (left translation) alkion g suhteen. Määritellään l_g toimimaan johonkin G:n alkioon h seuraavasti: l_g(h) = gh. Eli jokin valittu alkio g toimii johonkin valittuun alkioon h vasemmalta ja tuottaa jonkin lopputuloksen.

Valitaan jonkin pisteen h tangenttiavaruuden ThG vektori v. Vektori v voidaan työntää eteepäin (push-forward operaatio) g:n avulla: l_g* v_h = v_gh. Alaindeksi _h ja _gh tarkoittavat, että aluksi vektori pisteessä h ja operaation jälkeen pisteessä gh.

Mielikuvana voi katsella moniston pinnalla olevaa tangenttivektoria ja työntää sitä isolla kädellä johonkin suuntaan. Iso käsi on operaatio l_g*. Mikäli työnnön jälkeen v on sama kuin ennen työntöä, kyseessä on vasen-invariantti (left-invariant) vektori. Vasen, koska push-forward suoritetaan l_g kuvausta käyttäen. Vektori on siirtynyt gh laskutoimituksen 'määräämän matkan' moniston pinnalla johonkin suuntaan.

Voidaan tehdä myös vektorikentälle V, jolloin l_g* V = V. Vektorikenttä säilyy samana työnnön jälkeen. Kaikki vektorikentät eivät tätä toteuta, joten V on osajoukko kaikista G:n vektorikentistä.

Kertauksena tässä välissä: Tangenttikimppu TG on G:n kaikkien tangenttiavaruuksien joukko. TG on itsekin monisto. Vektorikenttä on tuon moniston TG sektio. Kaikkien vektorikenttien joukko on kaikkien mahdollisten sektioiden joukko Γ(TG).

Kaikkien moniston G vasen-invarianttien vektorikenttien joukkoa, joka siis Γ(TG):n osajoukko, voidaan kutsua nimellä L(G).

Määritellään sulkuoperaattori [.,.]. Annetaan suluille nimeksi Lien sulut, jotka eivät vielä tässä vaiheessa ole kommutointisulkuja, vaan abstrakti kuvaus: [.,.]: L(G) x L(G) --> L(G), joka antisymmetrinen [A,B]=-[B,A]. Sulut siis syövät kaksi vektorikenttää ja tuottavat tulokseksi vektorikentän. Sulut tuottavat käytännössä vektorikentän B derivaatan A:n suuntaan, joka sekin on vektorikenttä, vaikkapa C. Jos vektorikentällä C operoidaan johonkin moniston funktioon, niin C toimii differentiaalioperaattorina. Sulut siis toimivat sellaisenaan differentiaalioperaattoreina.

Tuli liikaa tekstiä. Loppulause, johon palaan myöhemmin, koska ei lainkaan itsestäänselvyys: Lien ryhmään G liitetty Lien algebra on tangenttiavaruus TeG neutraalialkion kohdalla. Eli Lien algebra on vektoriavaruus. Matriisiryhmien tapauksessa sulut ovat identtisiä kommutoinnin [X,Y]=XY-YX kanssa.

p.s. SIJ:n punakynää odotellessaa. Reputan saletisti taas 🙈

Vierailija

Eusa kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Tavallaan tuo fysiikan kovariantin derivaatan imaginaariyksikön sisältävä lauseke tulee niistä enemmän ja vähemmän mainostetusta ja enemmän ja vähemmän todesta asiasta, että kvanttimekaniikan symmetriaryhmät ovat ryhmistä SU(n) muodostettu  (ainaki likimäärin) tms. Ilmeisesti hiukkasfysiikan standardimallissa mittaryhmä on kai jonkinlainen tuloryhmä G  = SU(1) x SU(2) x SU(3), tai sen sopivat aliryhmät. Tämä G on itse aliryhmä sopivassa isossa SU(N):ssä, jossa N = 6.

https://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)

https://en.wikipedia.org/wiki/E8_lattice

http://deferentialgeometry.org/anim/e8rotation.mov

2-ulotteinen visualisointi E8 Lien ryhmän symmetrioista. Yksinkertaisin GUT voi löytyä SU(5):nä.

About 10+ vuotta sitten oli jossain populääritiedelehdessä tai jossain päin nettiä juttua että SU(5) ei toimisikaan. Tai niinku tuohon pohjautuva teoria ei sopisikaan yhteen joidenkin havaintojen suhteen tai jotain.

QS
Seuraa 
Viestejä5627

Jatkan Lie-touhun loppuun parilla kappaleella.

Lie(G) oli siis vasen-invariantti vektorikenttä monistossa G. Voidaan osoittaa, että Lie(G) on isomorfinen TeG-vektoriavaruuden kanssa. Alkio e, jonka tangenttiavaruudesta puhutaan, on käytännössä identiteettimatriisi. Ja tässä ajattelussa matriisi mielletään pisteeksi e monistossa G.

Isomorfisuuden voi ajatella siten, että jos X on jokin G:n tangenttivektoreista muodostuva vektorikenttä, ja on vasen-invariantti, niin missä tahansa moniston pisteessä g olevan vektorin voi 'vetää takaisin' neutraalialkion e kohdalle sen muuttumatta. Kyseessähän on left-invariant vektori, eli se on sama sekä TeG:ssä että jossian muualla monistossa TgG:ssä. Tässä siis vektorikentän X vektori pisteessä e on X_e, ja siis X_e ∈ TeG. Tällä perusteella Lien Algebra on 'sama asia' kuin TeG-vektoriavaruus.

Sitten vielä määritellään TeG:hen Lien sulut [.,.]:TeG x TeG --> TeG siten että aiemmat vasen-invariantit Lie(G) vektorikentät X ja Y 'vedetään takaisin' pisteeseen e. Voidaan ajatella, että kahden TeG:n vektorien Lien sulut [u,v] = [X_u, Y_v]_e, joka tarkoittaa vektorikenttien sulkuoperaattorin arvoa pisteessä e. Jäi muuten aiemmin mainitsematta, että suluille pätee Jacobin identiteetti.

Ryhmän G ja algebran Lie(G) ulottuvuus on sama, koska dim(G) = dim(TeG).

Kun TeG:lle valitaan kantavektorien joukko {t_1...t_n}, niin samalla saadaan Lien Algebralle kanta.

Koska Lie(G) on isomorfinen moniston G tangenttiavaruuden kanssa, niin G:n alkioiden ollessa matriiseja, on myös vastaavan algebran Lie(G) alkiot matriiseja. Matriisien Lien sulut ovat käytännössä matriisien kommutointeja. Vaikkakin yleisellä tasolla sulut tuottavat vektorikentistä vektorikenttiä, ja ovat differentiaalioperaattoreita jos kohdistuvat moniston johonkin funktioon. (Rehellisesti sanoen abstraktin Lien Algebran ja koordinaatistoon viedyn Lien Algebran käsitteiden välinen yhteys on meitsille vähän haastavaa...mutta olkoon).

Noin. Lien ryhmät ja Lien algebrat näkivät päivänvalon, ja meitsi on kerrannut ne tasolle, jolla pystyn seuraavaksi ymmärtämään pääsäiekimpun konnektiot yhtä kirkkaasti kuin Einstein konsanaan. Tai sitten not. Hah.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18290

ksuomala kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Tavallaan tuo fysiikan kovariantin derivaatan imaginaariyksikön sisältävä lauseke tulee niistä enemmän ja vähemmän mainostetusta ja enemmän ja vähemmän todesta asiasta, että kvanttimekaniikan symmetriaryhmät ovat ryhmistä SU(n) muodostettu  (ainaki likimäärin) tms. Ilmeisesti hiukkasfysiikan standardimallissa mittaryhmä on kai jonkinlainen tuloryhmä G  = SU(1) x SU(2) x SU(3), tai sen sopivat aliryhmät. Tämä G on itse aliryhmä sopivassa isossa SU(N):ssä, jossa N = 6.

https://en.wikipedia.org/wiki/E8_(mathematics)

https://en.wikipedia.org/wiki/E8_lattice

http://deferentialgeometry.org/anim/e8rotation.mov

2-ulotteinen visualisointi E8 Lien ryhmän symmetrioista. Yksinkertaisin GUT voi löytyä SU(5):nä.

About 10+ vuotta sitten oli jossain populääritiedelehdessä tai jossain päin nettiä juttua että SU(5) ei toimisikaan. Tai niinku tuohon pohjautuva teoria ei sopisikaan yhteen joidenkin havaintojen suhteen tai jotain.

Kyllä. Tosin silloin Eusan vastakkaiskätisyysvaiheisuus+SU(5) ei ollut vielä kovin laajasti tiedostettua, eipä tosin kovin paljon enempää nykyäänkään... ;o)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Mielestäni QS sun kirjoitukset ovat täyttä asiaa, ei niissä ole mitään virheellistä ollenkaan, ainakaan mun mielestä ja mun tiedoilla.

Quantum State]Jatkan Lie-touhun loppuun parilla kappaleella. </p> <p>Lie(G) oli siis vasen-invariantti vektorikenttä monistossa G. Voidaan osoittaa, että Lie(G) on isomorfinen TeG-vektoriavaruuden kanssa. Alkio e, jonka tangenttiavaruudesta puhutaan, on käytännössä identiteettimatriisi. Ja tässä ajattelussa matriisi mielletään pisteeksi e monistossa G. </p> <p>Isomorfisuuden voi ajatella siten, että jos X on jokin G:n tangenttivektoreista muodostuva vektorikenttä, ja on vasen-invariantti, niin missä tahansa moniston pisteessä g olevan vektorin voi 'vetää takaisin' neutraalialkion e kohdalle sen muuttumatta. Kyseessähän on left-invariant vektori, eli se on sama sekä TeG:ssä että jossian muualla monistossa TgG:ssä. Tässä siis vektorikentän X vektori pisteessä e on X_e, ja siis X_e ∈ TeG. Tällä perusteella Lien Algebra on 'sama asia' kuin TeG-vektoriavaruus.[\quote] Tuosta viimeisestä, näin juuri on,  tuo on helpoin tapa kuvata Lie(G) tangenttiavaruudelle TeG. Kuvaus on siis yksinkertaisesti X -&gt; X_e, missä X∈Lie(G) = {G:n vaseninvariantit vektorikentät}. </p> <p>Periaatteessa olisi halutessaan voinut valita kokonaan toisen tavan määritellä Lien algebran:  Lie(G) ≝ T_eM, missä TeM on juuri se ryhmän neutaalialkion e tangenttiavaruus. Tässä lähestymistavassa ei kylläkään tule mitenkään näkyviin heti suoraan mitään luonnollista Lien(G):n kommutaattorin [x,y] määritelmää, missä x, y  ∈ Lie(G). Kuitenkin nyt voidaan määritellä koko monistolla määritellyt vektorikentät X ja Y, jotka ovat noiden Lie(G):n indusoimia ja mikä parasta, ne ovat vasen-invariantteja: </p> <p>jos x ∈ lie(G) ja g ∈ G, voidaan määritellä    X(g)≝(g★)(x), missä tähti ★ on pushforward tai pusku (erotuksena merkistä *, josssa sen sijainti potenssin paikalla helposti indikoi pullback-operaatiota). Näin saatu vektorikenttä X on (teoreema) vaseninvariantti. Jos vektorikenttä Y on Lien algebran Lie(G) indusoima eli   Y(g) = (g★)(y) niin tällöin kommutaattori [X,Y] on vektorikenttä G:llä. Nyt voidaan määritellä Lien algebraan Lie(G) oma kommutaattori [x,y] kaavalla: </p> <p>[x,y] ≝ [X,Y](e). </p> <p>No ei tästä mitään hyötyä ollut sun määritelmään verrattuna, näkee vaan sen että on oikeastaan sama määritteleekö Lie algebran Lie(G) seuraavasti: </p> <p>Lie(G) =  {G:n vaseninvariantit vektorikentät} ja todistaa Lien isomorfismin Lie(G) ≈TeG. </p> <p>vai määrittelee paremminkin: </p> <p>Lie(G)  = TeG ja todistaa isomorfismin TeG ≈  {G:n vaseninvariantit vektorikentät}. </p> <p>Tässä alla sinun viestissäsi tuo ensimmäisen määritelmän mukainen Lie algebra indusoi neutraalialkion e tangenttiavaruuteen TeG uuden operaation [ , ]: </p> <p>[quote=Quantum State kirjoitti:
Sitten vielä määritellään TeG:hen Lien sulut [.,.]:TeG x TeG --> TeG siten että aiemmat vasen-invariantit Lie(G) vektorikentät X ja Y 'vedetään takaisin' pisteeseen e. Voidaan ajatella, että kahden TeG:n vektorien Lien sulut [u,v] = [X_u, Y_v]_e, joka tarkoittaa vektorikenttien sulkuoperaattorin arvoa pisteessä e. Jäi muuten aiemmin mainitsematta, että suluille pätee Jacobin identiteetti.

Tavallaan mun esittämä määritelmä on kömpelömpi, koska lähtien tangenttiavaruudesta konstruioin (kaikki) vaseninvariantit vektorikentät kaavalla X(g)≝(g★)(x) ja sitten näitä käyttäen määrittelen kommutaattorin TeG:n, helpommallla pääsee (kuten sun tapa) kun määrittelee suoraan Lie(G) = {vaseninvariantit vektorikentät}.

 Toisaalta kyllä mun antama määritelmä on intuitiivisempi, koska se heijastaa Lien algebran olemusta Lien ryhmän infinitesimaalisena versiona, mitä se nyt sitten tarkoittaakin.

PS.Huomaatkos kuinka hienon määritelyä osoittavan erikoismerkin olen löytänyt, tässä se vielä tulee:

.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Mielestäni QS sun kirjoitukset ovat täyttä asiaa, ei niissä ole mitään virheellistä ollenkaan, ainakaan mun mielestä ja mun tiedoilla.

Quantum State]Jatkan Lie-touhun loppuun parilla kappaleella. </p> <p>Lie(G) oli siis vasen-invariantti vektorikenttä monistossa G. Voidaan osoittaa, että Lie(G) on isomorfinen TeG-vektoriavaruuden kanssa. Alkio e, jonka tangenttiavaruudesta puhutaan, on käytännössä identiteettimatriisi. Ja tässä ajattelussa matriisi mielletään pisteeksi e monistossa G. </p> <p>Isomorfisuuden voi ajatella siten, että jos X on jokin G:n tangenttivektoreista muodostuva vektorikenttä, ja on vasen-invariantti, niin missä tahansa moniston pisteessä g olevan vektorin voi 'vetää takaisin' neutraalialkion e kohdalle sen muuttumatta. Kyseessähän on left-invariant vektori, eli se on sama sekä TeG:ssä että jossian muualla monistossa TgG:ssä. Tässä siis vektorikentän X vektori pisteessä e on X_e, ja siis X_e ∈ TeG. Tällä perusteella Lien Algebra on 'sama asia' kuin TeG-vektoriavaruus.[\quote] Tuosta viimeisestä, näin juuri on,  tuo on helpoin tapa kuvata Lie(G) tangenttiavaruudelle TeG. Kuvaus on siis yksinkertaisesti X -&gt; X_e, missä X∈Lie(G) = {G:n vaseninvariantit vektorikentät}. </p> <p>Periaatteessa olisi halutessaan voinut valita kokonaan toisen tavan määritellä Lien algebran:  Lie(G) ≝ T_eM, missä TeM on juuri se ryhmän neutaalialkion e tangenttiavaruus. Tässä lähestymistavassa ei kylläkään tule mitenkään näkyviin heti suoraan mitään luonnollista Lien(G):n kommutaattorin [x,y] määritelmää, missä x, y  ∈ Lie(G). Kuitenkin nyt voidaan määritellä koko monistolla määritellyt vektorikentät X ja Y, jotka ovat noiden Lie(G):n indusoimia ja mikä parasta, ne ovat vasen-invariantteja: </p> <p>jos x ∈ lie(G) ja g ∈ G, voidaan määritellä    X(g)≝(g★)(x), missä tähti ★ on pushforward tai pusku (erotuksena merkistä *, josssa sen sijainti potenssin paikalla helposti indikoi pullback-operaatiota). Näin saatu vektorikenttä X on (teoreema) vaseninvariantti. Jos vektorikenttä Y on Lien algebran Lie(G) indusoima eli   Y(g) = (g★)(y) niin tällöin kommutaattori [X,Y] on vektorikenttä G:llä. Nyt voidaan määritellä Lien algebraan Lie(G) oma kommutaattori [x,y] kaavalla: </p> <p>[x,y] ≝ [X,Y](e). </p> <p>No ei tästä mitään hyötyä ollut sun määritelmään verrattuna, näkee vaan sen että on oikeastaan sama määritteleekö Lie algebran Lie(G) seuraavasti: </p> <p>Lie(G) =  {G:n vaseninvariantit vektorikentät} ja todistaa Lien isomorfismin Lie(G) ≈TeG. </p> <p>vai määrittelee paremminkin: </p> <p>Lie(G)  = TeG ja todistaa isomorfismin TeG ≈  {G:n vaseninvariantit vektorikentät}. </p> <p>Tässä alla sinun viestissäsi tuo ensimmäisen määritelmän mukainen Lie algebra indusoi neutraalialkion e tangenttiavaruuteen TeG uuden operaation [ , ]: </p> <p>[quote=Quantum State kirjoitti:
Sitten vielä määritellään TeG:hen Lien sulut [.,.]:TeG x TeG --> TeG siten että aiemmat vasen-invariantit Lie(G) vektorikentät X ja Y 'vedetään takaisin' pisteeseen e. Voidaan ajatella, että kahden TeG:n vektorien Lien sulut [u,v] = [X_u, Y_v]_e, joka tarkoittaa vektorikenttien sulkuoperaattorin arvoa pisteessä e. Jäi muuten aiemmin mainitsematta, että suluille pätee Jacobin identiteetti.

Tavallaan mun esittämä määritelmä on kömpelömpi, koska lähtien tangenttiavaruudesta konstruioin (kaikki) vaseninvariantit vektorikentät kaavalla X(g)≝(g★)(x) ja sitten näitä käyttäen määrittelen kommutaattorin TeG:n, helpommallla pääsee (kuten sun tapa) kun määrittelee suoraan Lie(G) = {vaseninvariantit vektorikentät}.

 Toisaalta kyllä mun antama määritelmä on intuitiivisempi, koska se heijastaa Lien algebran olemusta Lien ryhmän infinitesimaalisena versiona, mitä se nyt sitten tarkoittaakin.

PS.Huomaatkos kuinka hienon määritelyä osoittavan erikoismerkin olen löytänyt, tässä se vielä tulee:

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Mielestäni QS sun kirjoitukset ovat täyttä asiaa, ei niissä ole mitään virheellistä ollenkaan, ainakaan mun mielestä ja mun tiedoilla.

Quantum State] </p> <p>Jatkan Lie-touhun loppuun parilla kappaleella. </p> <p>Lie(G) oli siis vasen-invariantti vektorikenttä monistossa G. Voidaan osoittaa, että Lie(G) on isomorfinen TeG-vektoriavaruuden kanssa. Alkio e, jonka tangenttiavaruudesta puhutaan, on käytännössä identiteettimatriisi. Ja tässä ajattelussa matriisi mielletään pisteeksi e monistossa G. </p> <p>Isomorfisuuden voi ajatella siten, että jos X on jokin G:n tangenttivektoreista muodostuva vektorikenttä, ja on vasen-invariantti, niin missä tahansa moniston pisteessä g olevan vektorin voi 'vetää takaisin' neutraalialkion e kohdalle sen muuttumatta. Kyseessähän on left-invariant vektori, eli se on sama sekä TeG:ssä että jossian muualla monistossa TgG:ssä. Tässä siis vektorikentän X vektori pisteessä e on X_e, ja siis X_e ∈ TeG. Tällä perusteella Lien Algebra on 'sama asia' kuin TeG-vektoriavaruus. </p> <p>[\quote] </p> <p>Tuosta viimeisestä, näin juuri on,  tuo on helpoin tapa kuvata Lie(G) tangenttiavaruudelle TeG. Kuvaus on siis yksinkertaisesti X -&gt; X_e, missä X∈Lie(G) = {G:n vaseninvariantit vektorikentät}. </p> <p>Periaatteessa olisi halutessaan voinut valita kokonaan toisen tavan määritellä Lien algebran:  Lie(G) ≝ T_eM, missä TeM on juuri se ryhmän neutaalialkion e tangenttiavaruus. Tässä lähestymistavassa ei kylläkään tule mitenkään näkyviin heti suoraan mitään luonnollista Lien(G):n kommutaattorin [x,y] määritelmää, missä x, y  ∈ Lie(G). Kuitenkin nyt voidaan määritellä koko monistolla määritellyt vektorikentät X ja Y, jotka ovat noiden Lie(G):n indusoimia ja mikä parasta, ne ovat vasen-invariantteja: </p> <p>jos x ∈ lie(G) ja g ∈ G, voidaan määritellä    X(g)≝(g★)(x), missä tähti ★ on pushforward tai pusku (erotuksena merkistä *, josssa sen sijainti potenssin paikalla helposti indikoi pullback-operaatiota). Näin saatu vektorikenttä X on (teoreema) vaseninvariantti. Jos vektorikenttä Y on Lien algebran Lie(G) indusoima eli   Y(g) = (g★)(y) niin tällöin kommutaattori [X,Y] on vektorikenttä G:llä. Nyt voidaan määritellä Lien algebraan Lie(G) oma kommutaattori [x,y] kaavalla: </p> <p>[x,y] ≝ [X,Y](e). </p> <p>No ei tästä mitään hyötyä ollut sun määritelmään verrattuna, näkee vaan sen että on oikeastaan sama määritteleekö Lie algebran Lie(G) seuraavasti: </p> <p>Lie(G) =  {G:n vaseninvariantit vektorikentät} ja todistaa Lien isomorfismin Lie(G) ≈TeG. </p> <p>vai määrittelee paremminkin: </p> <p>Lie(G)  = TeG ja todistaa isomorfismin TeG ≈  {G:n vaseninvariantit vektorikentät}. </p> <p>Tässä alla sinun viestissäsi tuo ensimmäisen määritelmän mukainen Lie algebra indusoi neutraalialkion e tangenttiavaruuteen TeG uuden operaation [. ,. ]: </p> <p>[quote=Quantum State kirjoitti:
Sitten vielä määritellään TeG:hen Lien sulut [.,.]:TeG x TeG --> TeG siten että aiemmat vasen-invariantit Lie(G) vektorikentät X ja Y 'vedetään takaisin' pisteeseen e. Voidaan ajatella, että kahden TeG:n vektorien Lien sulut [u,v] = [X_u, Y_v]_e, joka tarkoittaa vektorikenttien sulkuoperaattorin arvoa pisteessä e. Jäi muuten aiemmin mainitsematta, että suluille pätee Jacobin identiteetti.

Tavallaan mun esittämä määritelmä on kömpelömpi, koska lähtien tangenttiavaruudesta konstruioin (kaikki) vaseninvariantit vektorikentät kaavalla X(g)≝(g★)(x) ja sitten näitä käyttäen määrittelen kommutaattorin TeG:n, helpommallla pääsee (kuten sun tapa) kun määrittelee suoraan Lie(G) = {vaseninvariantit vektorikentät}.

 Toisaalta kyllä mun antama määritelmä on intuitiivisempi, koska se heijastaa Lien algebran olemusta Lien ryhmän infinitesimaalisena versiona, mitä se nyt sitten tarkoittaakin.

PS.Huomaatkos kuinka hienon määritelyä osoittavan erikoismerkin olen löytänyt, tässä se vielä tulee:

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

En ymmärrä miksi tuo mun viesti ei näy oikein, siinä alussa on oikein QS:n lainaus. Vattu että on surkeaaa, kun ei voi editoida tai tarkastaa esikatselulla. Pyydän modea poistamaan nuo mun viestit.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Mielestäni QS sun kirjoitukset ovat täyttä asiaa, ei niissä ole mitään virheellistä ollenkaan, ainakaan mun mielestä ja mun tiedoilla.

Quantum State kirjoitti:

Jatkan Lie-touhun loppuun parilla kappaleella.

Lie(G) oli siis vasen-invariantti vektorikenttä monistossa G. Voidaan osoittaa, että Lie(G) on isomorfinen TeG-vektoriavaruuden kanssa. Alkio e, jonka tangenttiavaruudesta puhutaan, on käytännössä identiteettimatriisi. Ja tässä ajattelussa matriisi mielletään pisteeksi e monistossa G.

Isomorfisuuden voi ajatella siten, että jos X on jokin G:n tangenttivektoreista muodostuva vektorikenttä, ja on vasen-invariantti, niin missä tahansa moniston pisteessä g olevan vektorin voi 'vetää takaisin' neutraalialkion e kohdalle sen muuttumatta. Kyseessähän on left-invariant vektori, eli se on sama sekä TeG:ssä että jossian muualla monistossa TgG:ssä. Tässä siis vektorikentän X vektori pisteessä e on X_e, ja siis X_e ∈ TeG. Tällä perusteella Lien Algebra on 'sama asia' kuin TeG-vektoriavaruus.

Tuosta viimeisestä, näin juuri on,  tuo on helpoin tapa kuvata Lie(G) tangenttiavaruudelle TeG. Kuvaus on siis yksinkertaisesti X -> X_e, missä X∈Lie(G) = {G:n vaseninvariantit vektorikentät}.

Periaatteessa olisi halutessaan voinut valita kokonaan toisen tavan määritellä Lien algebran:  Lie(G) ≝ T_eM, missä TeM on juuri se ryhmän neutaalialkion e tangenttiavaruus. Tässä lähestymistavassa ei kylläkään tule mitenkään näkyviin heti suoraan mitään luonnollista Lien(G):n kommutaattorin [x,y] määritelmää, missä x, y  ∈ Lie(G). Kuitenkin nyt voidaan määritellä koko monistolla määritellyt vektorikentät X ja Y, jotka ovat noiden Lie(G):n indusoimia ja mikä parasta, ne ovat vasen-invariantteja:

jos x ∈ lie(G) ja g ∈ G, voidaan määritellä    X(g)≝(g★)(x), missä tähti ★ on pushforward tai pusku (erotuksena merkistä *, josssa sen sijainti potenssin paikalla helposti indikoi pullback-operaatiota). Näin saatu vektorikenttä X on (teoreema) vaseninvariantti. Jos vektorikenttä Y on Lien algebran Lie(G) indusoima eli   Y(g) = (g★)(y) niin tällöin kommutaattori [X,Y] on vektorikenttä G:llä. Nyt voidaan määritellä Lien algebraan Lie(G) oma kommutaattori [x,y] kaavalla:

[x,y] ≝ [X,Y](e).

No ei tästä mitään hyötyä ollut sun määritelmään verrattuna, näkee vaan sen että on oikeastaan sama määritteleekö Lie algebran Lie(G) seuraavasti:

Lie(G) =  {G:n vaseninvariantit vektorikentät} ja todistaa Lien isomorfismin Lie(G) ≈TeG.

vai määrittelee paremminkin:

Lie(G)  = TeG ja todistaa isomorfismin TeG ≈  {G:n vaseninvariantit vektorikentät}.

Tässä alla sinun viestissäsi tuo ensimmäisen määritelmän mukainen Lie algebra indusoi neutraalialkion e tangenttiavaruuteen TeG uuden operaation [. ,. ]:

Quantum State kirjoitti:
Sitten vielä määritellään TeG:hen Lien sulut [.,.]:TeG x TeG --> TeG siten että aiemmat vasen-invariantit Lie(G) vektorikentät X ja Y 'vedetään takaisin' pisteeseen e. Voidaan ajatella, että kahden TeG:n vektorien Lien sulut [u,v] = [X_u, Y_v]_e, joka tarkoittaa vektorikenttien sulkuoperaattorin arvoa pisteessä e. Jäi muuten aiemmin mainitsematta, että suluille pätee Jacobin identiteetti.

Tavallaan mun esittämä määritelmä on kömpelömpi, koska lähtien tangenttiavaruudesta konstruioin (kaikki) vaseninvariantit vektorikentät kaavalla X(g)≝(g★)(x) ja sitten näitä käyttäen määrittelen kommutaattorin TeG:n, helpommallla pääsee (kuten sun tapa) kun määrittelee suoraan Lie(G) = {vaseninvariantit vektorikentät}.

 Toisaalta kyllä mun antama määritelmä on intuitiivisempi, koska se heijastaa Lien algebran olemusta Lien ryhmän infinitesimaalisena versiona, mitä se nyt sitten tarkoittaakin.

PS.Huomaatkos kuinka hienon määritelyä osoittavan erikoismerkin olen löytänyt, tässä se vielä tulee:

[/quote]

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Minäkin näin sun viestisi yhden kerran,  en enää toista kertaa. Sama kävi mun viesteille muihin ketjuihin. Huonosti ohjelmoitu paskasivusto on syynä. Ei kai voi olla tosi, että herran vuonna AD 2017 on ohjelmallisesti tälläisiä sivustoja, jossa edes oman viestin editointi on mahdotonta ja muukin toiminallisuus on jostain ..

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5627

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Minäkin näin sun viestisi yhden kerran,  en enää toista kertaa. Sama kävi mun viesteille muihin ketjuihin. Huonosti ohjelmoitu paskasivusto on syynä. Ei kai voi olla tosi, että herran vuonna AD 2017 on ohjelmallisesti tälläisiä sivustoja, jossa edes oman viestin editointi on mahdotonta ja muukin toiminallisuus on jostain ..

Joo, ja sinne se taas katos. Neljäs kerta:

==

Näin jälkikäteen ajatellen helpommin hahmottuu, kun aloittaa sun määritelmästä Lie(G) ≝ TeM. Selkeämpi rakentaa vektorikenttä tuosta kuin puljata vektorikenttää edestakaisin pistettä e kohti. Ja [x,y] ≝ [X,Y](e) selkeytyy sekin.

Aiemmin rypistelin kulmia vektorikenttien sulkujen [X,Y] kimpputeoreettisen määritelmän kanssa. Oikeastaan aika selvä, kun mietin tarkemmin. Tuohan määritellään (antisymmetrisyys, Jacobin identiteetti ja lineaarisuus [aX+Y,Z]=a[X,Z]+[Y,Z] mukaanlukien) operoimaan johonkin moniston M funktioon f seuraavasti: [X,Y]f ≝ X(Yf) - Y(Xf).  

Nyt kun ajattelen oikein päin, niin valitaan jokin moniston piste p, jolloin esim termi Xf tarkoittaa (Xf)(p) = X(p)f. Eli vektorikentän X 'arvo' pisteessä p operoi funktioon f. Nythän tilanne on aivan selkeä, koskapa X(p) ∈ TpM.

Joo, ja [.,.] on myös Lien derivaatta. Tosin Lien derivaattaa, ainakaan käsitteellisesti, ei taida tarvita pyöritellä mittakentissä sen syvemmin. Enempi GR:n juttuja.

Mä mehustelen jo ajatuksella, että kun ajan kanssa jatketaan pidemmälle, niin gluoni- ja kvarkkikentät ja kaikki niihin liittyvät Lagrangen tiheydet ovat krsitallinkirkkaasti rakentuneet kimpputeorian kautta. Mukavata!

Laitoin talteen ≝. Tarpeellinen merkki.
Mulla on unicode-merkkejä kerätty notepadiin läjä, mutta tämän ketjun aikana huomasin että mun iPpouni ei aina näytä meitsin ylä/alaindeksejä ollenkaan. Windowslla kyllä näkyy. Onko sulla joku tietty mesta mistä löydät nuo, kun sun aiemmissa postauksissa indeksit näkyi oikein mullakin. Ärsyttävä tämä foorumisotku kun joutuu kikkailemaan näiden kanssa vaikka pitäs olla peruskauraa.

Fizikisto
Seuraa 
Viestejä669

Jos mittakenttäteoria kiinnostaa ihan vain fysiikan kannalta, on olemassa huomattavasti suoraviivaisempiakin lähestymistapoja, eikä tarvitse kaivautua noin syvälle (pelkkään) ryhmäteoriaan. Standardimallin ja yleisen suhteellisuusteorian kun saa pullautettua ulos melko pienellä vaivalla, tuntuu kaikki tuo ryhmäteorian vääntäminen hieman turhalta kikkailulta. Tietysti jos tuo matematiikka erityisesti kiinnostaa, on siihen perehtyminen hyvin ymmärrettävää.

QS
Seuraa 
Viestejä5627

Fizikisto kirjoitti:
Jos mittakenttäteoria kiinnostaa ihan vain fysiikan kannalta, on olemassa huomattavasti suoraviivaisempiakin lähestymistapoja, eikä tarvitse kaivautua noin syvälle (pelkkään) ryhmäteoriaan. Standardimallin ja yleisen suhteellisuusteorian kun saa pullautettua ulos melko pienellä vaivalla, tuntuu kaikki tuo ryhmäteorian vääntäminen hieman turhalta kikkailulta. Tietysti jos tuo matematiikka erityisesti kiinnostaa, on siihen perehtyminen hyvin ymmärrettävää.

Kyllä. Kovariantin derivaatankin voi rakentaa lähes heruristisesti fysikaalisilla perusteilla, ja ryhmäteoriasta riittää fysiikan tyypillinen taso. Ei-abelistenkaan tapauksessa tuskin tarvitaan differentiaaligeometriaa.

Kaivautuminen on enempi harrastusmielistä (eikä liian vakavaa) ihmettelyä, että miten mittakenttäteoria formuloidaan mahdollisimman yleisellä tasolla. Ja koska lokaali infinitesimaali mittamuunnos muodostaa Lien Algebran, niin tuli tartuttua ns. lillukanvarsiinkin. Jostain syystä tässä kohti alkoi vaan tuo matematiikka kiinnostaa syvemmin.

Edessä vielä lukuisia sukelteluja kikkailuihin ennen langrangen tiheyksiä, massatermejä tai kytkinvakioita. Heh.

QS
Seuraa 
Viestejä5627

Lie-sukelluksen jälkeen hahmottaa pääsäiekimpun konnektion vähän paremmin.

Voidaan valita ryhmän G algebrasta jokin alkio A ∈ TeG. Tuo A indusoi vektorikentän monistoon G kuten aiemmin oli puhetta. Tavoitteena kuitenkin indusoida algebralla A vektorikenttä X myös pääsäiekimppuun P(M,G). Tämä siksi, että aikanaan konnektio tulee liittää fysikaalisen vektoriavaruuden sisältävään assosioituun kimppuun. Assosioidussa kimpussahan elää sektion muodossa kussakin moniston pisteessä vektorina ℂ¹-aaltofunktio, ℂ²-spinori, ℂ³-kvarkki tai vastaava.

Nakahara:n ajatuksenjuoksua seuraten:

Ajatellaan alkioita u ∈ P (pääsäiekimpun piste, ei kanta-avaruuden piste) ja kimpun säikeitä G_p kussakin kanta-avaruuden pisteessä p. Jokaisessa säikeen pisteessä u on tangenttiavaruus TuP (kimpun tangentti pisteessä u, ei kanta-avaruuden). Määritellään vertikaalinen aliavaruus VuP siten, että on sellainen osa TuP:tä, joka on tangentti säikeelle G_p tuossa kimpun pisteessä u.

Itse en ainakaan ymmärrä edellä kirjoittamaani kappaletta. Tilalla voisi hyvin olla surrealistinen runokin.

Yritin ajatella back to basics: Otetaan monisto M ja kiinnitetään siihen säikeitä G, jolloin saadaan P. Säikeet G muistuttavat nyt lähinnä M:ään kiinnitettyjä tikkuja, jotka nousevat moniston pinnalta jokaisessa M:n pisteessä p. Koko kimpun alkiot ovat pisteitä u. Moniston pisteet p saadaan säikeistä projektiokuvauksella p = π(u). Kun säikeiden G pisteet u yhdistetään, muodostuu säikeiden välille käyrä. Tätä käyrää vastaa toki jokin käyrä myös moniston M pinnalla, jossa vastaavat pisteet p yhdistyvät toisiinsa.

Tällä tavalla kun ajattelee, niin tuo vertikaalinen aliavaruus VuP on sellainen vektoriavaruus, joka on säikeen G_p suuntainen säikeen pisteessä u (u on piste, joka on 'ylhäällä säikeessä' p:n kohdalla). Eli VuP kunkin pisteen p yläpuolella on tavallaan kohtisuorassa moniston M pinnan suhteen.

Okei. Konnektion ideana on tehdä valinta, jolla yhdistetään vierekkäiset pääsäiekimpun pisteet u toisiinsa. Eli jos liikutaan monistossa M käyrää seuraten pisteestä p1 pisteeseen p2, niin vastaavat pisteet u1 ja u2 yhdistyvät nekin jollain käyrällä toisiinsa.

No niin. VuP oli kuvainnollisesti säikeen G suuntainen "pystysuora" avaruus. Konnektio tarkoittaa rakennelmaa, jossa VuP:lle valitaan vastaava HuP, horisontaalinen avaruus. Kuvainnollisesti: HuP muodostaa kahden säikeen välille eräänlaisen "sillan" tai "tason", joka osoittaa vaakatasossa (paremminkin jossain valitussa kulmassa) vierekkäistä säiettä kohti. Tuo taso lähtee pisteestä u1 ja osuu vierekkäiseen säikeeseen pisteessä u2. On muodostunut konnektio kahden säikeen välille. Kun tehdään valinta, miten HuP kussakin pisteessä "osoittaa" seuraavaan säikeeseen, valitaan samalla konnektio. Ja pisteet u yhdistyvät toisiinsa valinnan mukaisella käyrällä.

Lien algebra ja TeG-avaruus on olennainen osa, koska määritelmällisesti TuP = VuP ⊕ HuP, eli V ja H vektoriavaruuksien suora summa. Ja TuP sisältää Lien algebran Lie(G), koska P on G-pääsäiekimppu!

Tulipa tekstiä. En ehtinyt alussa mainittuun vektorikenttään X. Toiste sitten. Heilutin vähän käsiä kun en jaksanut vielä detaljeja, mitä sanoo SIJ :)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Quantum State kirjoitti:
Mä mehustelen jo ajatuksella, että kun ajan kanssa jatketaan pidemmälle, niin gluoni- ja kvarkkikentät ja kaikki niihin liittyvät Lagrangen tiheydet ovat krsitallinkirkkaasti rakentuneet kimpputeorian kautta. Mukavata!

Kyllä,  sekin päivä vielä koittaa. Tosin kyllä tuosta kristallinkirkkaudesta en mene takuuseen, mulla on nimittäin eräässä toisessa kirjassa tuota Lagrangen formalismia käsitelty sen verran matemaattisen pedanttisesti että pelottaa jo valmiiksi..

Quantum State kirjoitti:
Laitoin talteen ≝. Tarpeellinen merkki.
Mulla on unicode-merkkejä kerätty notepadiin läjä, mutta tämän ketjun aikana huomasin että mun iPpouni ei aina näytä meitsin ylä/alaindeksejä ollenkaan. Windowslla kyllä näkyy. Onko sulla joku tietty mesta mistä löydät nuo, kun sun aiemmissa postauksissa indeksit näkyi oikein mullakin. Ärsyttävä tämä foorumisotku kun joutuu kikkailemaan näiden kanssa vaikka pitäs olla peruskauraa.

Mulla on osa niistä merkeistä niin vanhoja, että en muista mistä olen niitä haalinut.  Jopa tuo≝-merkki on mulla ollut vuosikaudet, se oli vain ollut sellaisten "tarpeeettomien" merkkien nipussa .

  Äskettäin täydensin noiden ylä-ja alaindeksien kokoelmaani Wikipedian jutusta:

Fₐᵃ = Fᵉₑ = Fᵏₖ = Fⁱᵢ = Fʲⱼ = Fʳᵣ= Fˢₛ Xᴬᴮᴰᴱᴺᴹᴼᴾᴵᴶᴷᴸᴹᴺᴼᴾᴿᵀᵁⱽᵂ. Sitten mulla on näitä vanhoja kreikkalaisia: ᵝ ᵞ ᵟ ᵋ ᶿ ᶥ ᶲ ᵠ ᵡ ᵦ ᵧ ᵨ ᵩᵪ, joiden alkuperää en tiedä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2877

Quantum State kirjoitti:
Lie-sukelluksen jälkeen hahmottaa pääsäiekimpun konnektion vähän paremmin.

Voidaan valita ryhmän G algebrasta jokin alkio A ∈ TeG. Tuo A indusoi vektorikentän monistoon G kuten aiemmin oli puhetta. Tavoitteena kuitenkin indusoida algebralla A vektorikenttä X myös pääsäiekimppuun P(M,G). Tämä siksi, että aikanaan konnektio tulee liittää fysikaalisen vektoriavaruuden sisältävään assosioituun kimppuun. Assosioidussa kimpussahan elää sektion muodossa kussakin moniston pisteessä vektorina ℂ¹-aaltofunktio, ℂ²-spinori, ℂ³-kvarkki tai vastaava.

Juu, tuo Lien algebran Lie(G) vektori A indusoi koko säiekimpulle vektorikentän A# (Nakaharan merkinnöin), joka määritellään hieman epätäsmällisesti (kts.alla★-kohta) seuraavasti: valitaan kimpun piste u ja määritellään parametrista t riippuva ryhmän G alkio g(t) = exp(At). Tavallaan tuo g(t) riippuu myös Lie(G):n alkiosta A, mutta jätin sen nyt merkitsemättä eksplisiittisesti. Nyt sitten määritellään parametrista t riippuva kimpun P alkio:

  u(t) = u exp(At),

missä siis pääsäiekimpu P alkio u on kerrottu ryhmän alkiolla exp(At) oikealta  ja kun t = 0 on u(0) =0. Kuvaus u(t)  on siis polku P:llä ja tämän polun tangenttivektori u'(0) on se A#, siis:

(A#)(u) ≝ u'(0).

Nakahara käyttää tuossa fundamentaalin vektorikentän A# määrittelyssä sitä tangenttiavaruuden  tangenttivektorin tulkintaa derivointioperaattorina.

★Tässä on sellainen hienovarainen detalji koskien tuota eksponenttikuvausta exp, nimittäin jos G on matriisiryhmä, niin silloin Lie(G) on matriisiryhmä ja exp(At) on tavallinen matriisieksponentti. Kuitenkin on olemassa Lien ryhmiä, jotka eivät ole matriisiryhmiä, niin silloin täytyy käyttää abstraktimpaa versiota Exp(At) tuosta exponenttikuvauksesta, sillä tulo g exp(At) ei tarkoita mitään, koska g on abstrakti ryhmän alkio ja exp(At) tavallinen matriisi. Tuollainen abstrakti Exp on olemassa ja se käyttäytyy laskusäännöissä samoin kuin se matriisien exp.

Quantum State kirjoitti:
Tulipa tekstiä. En ehtinyt alussa mainittuun vektorikenttään X. Toiste sitten. Heilutin vähän käsiä kun en jaksanut vielä detaljeja, mitä sanoo SIJ :)

Tuossa sulla on niin paljon asiaa ettei kaikkea ihan yhessä viestissä kerkeä kommentoimaan. Konnektion ajatus on kyllä sulla hallinnassa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat