Sivut

Kommentit (231)

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Huomenta

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

Näitten notaatioiden kanssa menee kyllä helposti sekaisin ja mulla on 2 kirjaa, jossa toisessa merkitään H = ∫ d³x 𝓗 ja ja toisessa 𝓗 = ∫ d³ x H ja mikä parasta, olen lukenut kumpaakin kirjaa ja vasta tänään huomasin tuon eron, mikä on kyllä jo saavutus sinänsä!

Päivää. Joo näissä notaatioissa on eroja. Itse jotenkin pidän 𝓗 ja 𝓛 -notaatista tiheyksissä, kun tiheys on tuollainen vähän utuinen ja siellä täällä vaihteleva juttu, ja tuo kirjasinlaji kuvaa sitä oikein hyvin ;D. Hamiltonin ja Lagrangen funktio on sitten sellainen jämäkkä paketti, jossa koko avaruus on integroitu yhteen pakkaukseen. Heh.

Olen kanssasi samaa mieltä , 𝓗 ja 𝓛- notaatio jotenkin vaan kuuluu tuohon tiheyteen, jos valinta pitää tehdä niin valinta on selvä. Mulla on sellainen aavistus, että olen joskus aikaisemmin kirjoittanut tänne johonkin ketjuun, jossa nuo merkinnät olisivat jotenkin sekoittuneet, jopa samassa viestissä. On nimittäin hämärä muistikuva jostain aiheen kaavoista jotka tuntuivat kirjoitushetkenä jotenkin ristiriitaisilta, nyt vaikuttaa siltä, että siinä on ollut syyllisenä nämä erilaiset merkinnät tiheyksille. No toisaaalta kukaan muukaan ei huomannut mitään!

QS kirjoitti:

Tuo toinen aihe, eli symmetrisointi, on kyllä kiehtova. Mäkin ihmettelen sitä tässä tulevan viikon mittaan. Ei ole mulle päivänselvä juttu, on aina ollut enempi kategoriassa "tuommoinenkin pitää huomioida ja sitte bada bing bada boom kaikki toimii".

Tuo symmetrisointi on mun kirjassa esitetty ihan lyhyesti ja tavallaan mua vain siinä esityksessä vaivasi myös se että tensoria

Tᵘᵛ = -∂𝓛 /∂(∂ᵥφₐ) ∂ᵘφₐ + gᵘᵛ 𝓛

kutsutaan kanoniseksi energiaimpulssitensoriksi, ikäänkuin se olisi jossain erityisasemassa muihin mahdollisiin tensoriviritelmiin verraten. Ainoa keksimäni syy tuolle kanonisoinnile olisi se, että tuo muoto on juuri sellainen joka saadaan Noetherin teoreemasta, kun sitä sovelletaan Lagrangen tiheyden aika-avaruuden translaatiosymmetriaan. Siis Noether kanonisoi tuon hmm. vähän niinkuin paavi julistaa jonkun pyhimykseksi...

Joo kanonisuus on outo termi. Suomen kielessä sitä käytetään käsittääkseni vähän. Esim. klassisessa mekaniikassa puhutaan useammin konjugaattiliikemäärästä tai konjugoidusta impulssista tms. vaikka englanniksi on canonical conjugate momentum. Kanonisuudella (kait fysiikan paavien, vaan ei palstalaisille tutun Korantin,  julistuksilla ;D) tarkoitettaneen aksioomia/postulaatteja noudattaen johdettua suuretta. Ei-symmertrisen energiaimpulssitensorille jotkut käyttävät nimeä "so called canonical" painottamaan kanonisuuden virheellisyyttä. Symmetrisoinnin kiehtovin kysymys on, että miksi kanonista tensoria Tᵘᵛ = -∂𝓛 /∂(∂ᵥφₐ) ∂ᵘφₐ + gᵘᵛ 𝓛 pitää korjata lähes ad-hoc. Eli mikä on fysikaalinen peruste korjaamiselle. Tää on aihe joka pitää kyllä selvittää, mielenkiintoinen.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Ihmettelin tuossa aikaisemmassa viestissä tuota SM-kentän lagrangen tiheyden lauseketta 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ, että onko tuo yksikäsitteinen. Massapistemekaniikassahan Lagrangen funktio L ei ole yksikäsitteinen, koska siihen voidaan lisätä funktion g(q,t) aikaderivaatta eli uusi Lagrange L' on L'(q,t) = L(q,t) + dg(q,t)/dt. Vastaavasti voidaan tehdä kai kenttäteoriassakin, lisätäänkö nyt jokin divergenssi, jostain vektorikentästä X, joka on sellainen että se häviää integrointialueen reunalla tms.

Jäi vielä käsittelemättä se variaatioasia, mutta siitä sitten myöhemmin.

No joo. Vapaan sm-kentän 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ ei tosiaan ole yksikäsitteinen. Nelipotentiaalila Aᵤ(x) kirjoitettuna

𝓛 = (∂ᵤAᵥ - ∂ᵥAᵤ) gᵤᵦgᵥᵧ (∂ᵝAᵞ - ∂ᵞAᵝ)

Voidaan tehdä mittamuunnos Aᵤ(x) -> Aᵤ(x) +  ∂ᵤf(x), joka ei vaikuta Euler-Lagrangen yhtälöllä saatavaan tyjän avaruuden Maxwellin yhtälöön ∂ᵘFᵤᵥ = 0, joissa fysikaalisesti havaittava kenttävoimakkuustensori Fᵤᵥ = ∂ᵤ(Aᵥ+∂ᵥf) - ∂ᵥ(Aᵤ+∂ᵤf) = Fᵤᵥ on täysin riippumaton funktiosta f. Tämä f ei nyt ole säilymislakiin johtava Noetherin symmetria, vaan tosiaan mittasymmetria. Ja kaikki mittavalinnat f johtavat samoihin Noetherin virtoihin.

Se, että miten tämä 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ voidaan "johtaa", onkin toinen juttu. Ainakin pintapuolisesti vastaus on, että vedetään hatusta sellainen 𝓛  joka antaa Maxwellin yhtälöt, heh. Kenttäteorioissa (EM, QED, QCD, sähköheikko, higgs, standardimalli jne) tuo on melkein hatusta vetämistä tai päättelyä, kun ei ole menetelmää, jolla hiukkaset ja kentät osattaisiin suoraan kirjoittaa suoraan Lagrangen tiheydeksi. Mekaniikassa puolestaa on erittäin helppo kirjoittaa systeemi Lagrangen tiheydeksi.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Symmetrisoituvuus kertoo, että tensori kuvaa Lorentz-invarianssin alaista vaikutusta. Silloin kvanttitilat ja divergenssi säilyvät kiltisti. Yleisessä suhteellisuusteoriassa operoivien (metriikkaan liittyvuen) tensorien on oltava symmetrisiä, muuten intervallisumma ei säily. Symmetrisoinnilla voidaan jatkaa Killingin vektorikenttään ja huolehtia siten kunnolla säilymisistä virroissa...

Analogiana voisi pitää suljetun järjestelmän energiatason asettamista nollaksi, koska eihän ole mitään ulkopuolista perusteltua nollatasoa, johon energiaa verrata. Sisäiset energiavaihtelut kuvataan sitten tuon yhteisen symmetriaorigon suhteen. Vertautuu myös klassisen mekaniikan Newtonin kolmanteen eli yhteisen massakeskiön säilymiseen.

Jos divergenssejä pyritään muuntamaan toiselle kuvaukselle ilman suhteuttamista yhteisen symmetriivisyyden mukaisesti, saadaan yksinkertaisesti merkityksettömiä vääriä tuloksia, vai kuinka?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5413

QS kirjoitti:

...

𝓛 = (∂ᵤAᵥ - ∂ᵥAᵤ) gᵤᵦgᵥᵧ (∂ᵝAᵞ - ∂ᵞAᵝ)

Voidaan tehdä mittamuunnos Aᵤ(x) -> Aᵤ(x) +  ∂ᵤf(x), joka ei vaikuta Euler-Lagrangen yhtälöllä saatavaan tyjän avaruuden Maxwellin yhtälöön ∂ᵘFᵤᵥ = 0, joissa fysikaalisesti havaittava kenttävoimakkuustensori Fᵤᵥ = ∂ᵤ(Aᵥ+∂ᵥf) - ∂ᵥ(Aᵤ+∂ᵤf) = Fᵤᵥ on täysin riippumaton funktiosta f. Tämä f ei nyt ole säilymislakiin johtava Noetherin symmetria, vaan tosiaan mittasymmetria. Ja kaikki mittavalinnat f johtavat samoihin Noetherin virtoihin.

...

Väärää sanaa käytin. Funktio f ei ole mittavalinta vaan mittamuunnos. Mittavalinta tehdään valitsemalla jokin ehto mittakentälle Aᵤ. Esimerkiksi Lorentzin mitta on sellainen Aᵤ, jolle pätee ∂ᵘAᵤ = 0. Mittamuunnoksella f  tuota valittua mittaa voidaan muuntaa vaikuttamatta liikeyhtälöihin.

Lorentzin mittaa käyttämällä itse asiassa tuo aiemmin kirjoittamasi 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ voidaan tosiaan kirjoittaa muodossa 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² , joka johtaa samaan Maxwellin yhtälöön kuin alkuperäisellä Lagrangen tiheydelläkin. Eli 𝓛 ei ole yksiselitteinen, kuten sanoitkin.

Nämä mittavalinnat ovat jänniä. Esim Coulombin mitta on sellainen, jossa nelipotentiaalin aika-komponentti A₀ = 0. Tämä taas johtaa siihen että 'ajan konjugaattiliikemäärä' π⁰ = ∂𝓛 / ∂(∂⁰A₀) = 0. Ikäänkuin nelipotentiaalin aika-komponentti häviää kentän dynamiikasta. Ehkä tuo on jossain mielessä ymmärrettävää, koska Coulombin mitalla on se huono ominaisuus, että se ei ole Lorentzinvariantti. Lorentzin mitassa tuo π⁰ = -∂ᵤAᵘ. Melko hämmentävä yksityiskohta tämäkin ;)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Palstasofta varoitteli liian pitkästä lainauksesta, katkaisen kahteen osaan:

QS kirjoitti:

...Mittavalinta tehdään valitsemalla jokin ehto mittakentälle Aᵤ. Esimerkiksi Lorentzin mitta on sellainen Aᵤ, jolle pätee ∂ᵘAᵤ = 0. Mittamuunnoksella f  tuota valittua mittaa voidaan muuntaa vaikuttamatta liikeyhtälöihin.

Lorentzin mittaa käyttämällä itse asiassa tuo aiemmin kirjoittamasi 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ voidaan tosiaan kirjoittaa muodossa 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² , joka johtaa samaan Maxwellin yhtälöön kuin alkuperäisellä Lagrangen tiheydelläkin. Eli 𝓛 ei ole yksiselitteinen, kuten sanoitkin.

Nyt on paljon mulla muuta tekemistä, mutta en malttanut olla vastaamatta, koska se on Lorenzin mitta, ei Lorentzin! Haha,..tämä on vanha knoppikohta johon ilmeisesti narahtaa ihan moni ammattifyysikkokin. Kyseessä on siis eri hemmo kuin Lorentz-muunnosten kehittäjä Hendrik Lorentz. Tanskalainen Ludvig Lorenz kuoli jo vuonna 1891 ja jostain muistan äskettäin lukeneeni että itse Maxwell antoi pyyhkeitä Lorenzin kehittämille (Lorenzin) mitoille, eli ei hyväksynyt niitä jostain syystä, ainakaan suoraan. No niin, Wikipediassahan se olikin, artikkelissa Lorenz gauge condition:

When originally published, Lorenz's work was not received well by Maxwell. Maxwell had eliminated the Coulomb electrostatic force from his derivation of the electromagnetic wave equation since he was working in what would nowadays be termed the Coulomb gauge. The Lorenz gauge hence contradicted Maxwell's original derivation of the EM wave equation by introducing a retardation effect to the Coulomb force and bringing it inside the EM wave equation alongside the time varying electric field, which was introduced in Lorenz's paper "On the identity of the vibrations of light with electrical currents". Lorenz's work was the first symmetrizing shortening of Maxwell's equations after Maxwell himself published his 1865 paper. In 1888, retarded potentials came into general use after Heinrich Rudolf Hertz's experiments on electromagnetic waves. In 1895, a further boost to the theory of retarded potentials came after J. J. Thomson's interpretation of data for electrons (after which investigation into electrical phenomena changed from time-dependent electric charge and electric current distributions over to moving point charges).[2]

...

jatkuu...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

jatkuu edellisestä:

QS kirjoitti:

Nämä mittavalinnat ovat jänniä.

On tosiaankin ja nyt kun olen katsellut eri lähteitä näille, niin nykyään aihetta dominoi (kun netissä  googlettaa) QFT, ja sen teorian vaatimukset eri mitoille, mutta ihan klassisestikin niissä on jotain ovelaa. Esimerkiksi se Lorenzin mittaehto ∂ᵤAᵘ = 0 on sellainen , että se ei määrää mittaa  Aᵘ ollenkaan yksikäsitteisesti . Päinvastoin jäljelle jää ääretön määrä vapausasteita tms. Jostain netistä bongasin sellaisen että termin Lorenz gauge sijasta jotkut käyttävät nimeä Lorenz condition, kai hälventääkseen ajatusta mitan yksikäsitteisestä kiinnittymisestä tai edes lähes.

Mulla on paljon muutakin kommentoitavaa, joten viestejä on multa odotettavissa enemmänkin, mutta se voi viedä aikaa, koska aihe on  monimutkainen ja kirjoittaminenkaan tällä palstasoftalla ei ole helppoa.

Mun piti alunperin kommentoida tätä antamaasi Lagrangen tiheyttä 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² , joka on ilmeisesti Fermiltä (vuosi 1932). Tuossa on nyt olemassa käytössä käsittääkseni ovela matemaattinen trikki, nimittäin, jos Lorenzin ehto ∂ᵤAᵘ = 0 on voimassa on tietysti silloin 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ + 0 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ eli mitään ei edes tapahtunut. Miksi sitten lisätä 0-termi Lagrangen tiheyteen? Mikään näkemäni lähde ei selitä tuota täysin kattavasti ja eräs lähelle menevä perustelee tuon termin lisäämisen sillä että se mahdollistaa redusoida osan tuosta uudesta Lagrangesta divergenssitermiksi (jotka eivät vaikuta liikeyhtälöihin) ja jotka häviävät kun lasketaan vaikutusintegraalin S[Aᵘ]  arvoa ja siten saadaan uusi Lagrangen tiheys:

𝓛₂ =  - ½∂ᵤ Aᵥ∂ᵘ Aᵛ .

Tämä Lagrangen tiheys on siis pätevä Lorenz-mitassa ja tästä saa ihan laskemalla liikeyhtälöt (tein tämän myös  ihan itse paperilla!) jotka ovat ihan perinteellisiä aaltoyhtälöitä mitalle Aᵛ:

∂ᵤ ∂ᵘ Aᵛ = 0.

Tuo lauseke𝓛₂  Lagrangen tiheydelle on ilmeisesti sopiva joihinkin QED:n juttuihin ja siksi käyttämäni kirja on ihastunut siihen, en kyllä osaa sanoa miksi niin, koska en tunne asiaa (vielä?).

Täytyy tosiaan palata tähän kirjoittamaani tarkemmin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
jatkuu edellisestä:

QS kirjoitti:

Nämä mittavalinnat ovat jänniä.

On tosiaankin ja nyt kun olen katsellut eri lähteitä näille, niin nykyään aihetta dominoi (kun netissä  googlettaa) QFT, ja sen teorian vaatimukset eri mitoille, mutta ihan klassisestikin niissä on jotain ovelaa. Esimerkiksi se Lorenzin mittaehto ∂ᵤAᵘ = 0 on sellainen , että se ei määrää mittaa  Aᵘ ollenkaan yksikäsitteisesti . Päinvastoin jäljelle jää ääretön määrä vapausasteita tms. Jostain netistä bongasin sellaisen että termin Lorenz gauge sijasta jotkut käyttävät nimeä Lorenz condition, kai hälventääkseen ajatusta mitan yksikäsitteisestä kiinnittymisestä tai edes lähes.

Mulla on paljon muutakin kommentoitavaa, joten viestejä on multa odotettavissa enemmänkin, mutta se voi viedä aikaa, koska aihe on  monimutkainen ja kirjoittaminenkaan tällä palstasoftalla ei ole helppoa.

Mun piti alunperin kommentoida tätä antamaasi Lagrangen tiheyttä 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² , joka on ilmeisesti Fermiltä (vuosi 1932). Tuossa on nyt olemassa käytössä käsittääkseni ovela matemaattinen trikki, nimittäin, jos Lorenzin ehto ∂ᵤAᵘ = 0 on voimassa on tietysti silloin 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ + 0 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ eli mitään ei edes tapahtunut. Miksi sitten lisätä 0-termi Lagrangen tiheyteen? Mikään näkemäni lähde ei selitä tuota täysin kattavasti ja eräs lähelle menevä perustelee tuon termin lisäämisen sillä että se mahdollistaa redusoida osan tuosta uudesta Lagrangesta divergenssitermiksi (jotka eivät vaikuta liikeyhtälöihin) ja jotka häviävät kun lasketaan vaikutusintegraalin S[Aᵘ]  arvoa ja siten saadaan uusi Lagrangen tiheys:

𝓛₂ =  - ½∂ᵤ Aᵥ∂ᵘ Aᵛ .

Tämä Lagrangen tiheys on siis pätevä Lorenz-mitassa ja tästä saa ihan laskemalla liikeyhtälöt (tein tämän myös  ihan itse paperilla!) jotka ovat ihan perinteellisiä aaltoyhtälöitä mitalle Aᵛ:

∂ᵤ ∂ᵘ Aᵛ = 0.

Tuo lauseke𝓛₂  Lagrangen tiheydelle on ilmeisesti sopiva joihinkin QED:n juttuihin ja siksi käyttämäni kirja on ihastunut siihen, en kyllä osaa sanoa miksi niin, koska en tunne asiaa (vielä?).

Täytyy tosiaan palata tähän kirjoittamaani tarkemmin.

Perehdypä samalla duaalisymmetriseen sähkömagnetismiin, joka perustuu Lgrangen tiheyteen 𝓛 =   - ⅛ ( Fᵤᵥ Fᵘᵛ + Gᵤᵥ Gᵘᵛ) sisältäen nelipotentiaalin toisen mittakenttäkumppanin Cᵤ ( rᵤ) , Gᵤᵥ = ∂ᵤ ∧ Cᵥ, rajoittuen Gᵤᵥ = ⁎Fᵤᵥ. 

Mutta muistinpa nyt yhden nimen ja tuossa onkin aiheesta eli turha muistella enempää: 

http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1367-2630/18/8/089503

Duaalisymmetrinen muotoilu antaa konsistentimman teorian vapaassa avaruudessa kuin standardi versio - monimutkaisuutta tulee, kun pitäisi käsitellä kondesoidun aineen ongelmia - niihin kun on pinttyneet työkalut; toivon tietty etäisyyspariteetista ja vastakkaisvaiheisuudesta avainta aiheeseen. ;)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Hyviä juttuja SIJ. Ja bongasit mun Lorenz-kirjoitusvirheen. Ei ollut ensimmäinen eikä viimeinen kerta kun kirjoitin sen väärin ;). Samoin gauge vs. condition hyvä havainto, kyseessä on enempi condition kuin gauge fixing. Myös kysymys, että miksi asettaa ∂ᵤAᵘ = 0, ja sitten kirjoittaa 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - ½ (∂ᵤAᵘ)² =  - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ + 0, on hyvä. Palataan tähänkin. Eipä se haitaksi ole, jos pulputetaan mittoja ihan eksplisiittisesti auki.

Mittavalinnat/ehdot perustunevat historiallisesti siihen, että asetetaan mitta, jolla Maxwellin yhtälöt ratkeavat helpoiten. Ratkaisut ilman varauksia kirjoitetaan skalaaripotentiaalla φ ja vektoripotentiaalilla A muodossa

B = ∇ × A ja E = -∇φ - ∂A/∂t.     (1)

Sijoittamalla takaisin Maxwelliin, saadaaan yhtälöt

∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t) - ∇(∇·A) ja -∇²φ - (∂/∂t)(∇·A) = 0.     (2)

Ensin ratkaistaan φ ja A yhtälöstä (2), jonka jälkeen E ja B kaavoista (1). Mittamuunnoksen f vapaus tulee näkyviin, koska φ' = φ + ∂f/∂t ja A' = A - ∇f toteuttavat nekin yhtälöt (2), ja saadaan samat E ja B kuin ratkaisuilla φ ja A.

Mittakenttäteoria on laajimmillaan määriteltävissä teoriana, joka hyödyntää jotain potentiaalikenttää, jonka mittamuunnokset eivät vaikuta observaabeleihin. Eli laajasti tulkittuna mekaniikan potentiaalienergian V(x) sisältävä teoria on mittakenttäteoria, koska fysikaaliset observaabelit (eli Newtonin voimat F=-dV/dx) eivät eroa esim. potentiaaleilla V(x) + 2 ja V(x) + (d/dx)96x. Mittavapaus tuokin. Ratkaisun kannalta helpoin mittavalinta on V(x) + 0, eli mittamuunos f=0. haha.

Yhtälöistä (2) nähdään, että helpoin mittamuunnos-funktio f olisi sellainen, jolla kentälle A olisi voimassa ∇·A = 0. Oletetaan, että on olemassa ratkaisu A''. Myös A = A'' - ∇f on ratkaisu. Yhdistämällä saadan ∇·A'' = ∇²f, jossa mittamuunnos f. Nyt voidaan olettaa, että tuollainen f on olemassa, ja edelleen voidaan olettaa, että on olemassa f, joka toteuttaa ehdon ∇·A'' = 0. Eli voidaan asettaa yhtälöihin (2) mittaehto ∇·A = 0, josta saadaan helpot Maxwellin yhtälöt potentiaaleilla φ ja A kirjoitettuna:

∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t) ja ∇²φ = 0.

Eräs ratkaisu on φ = 0, jolloin ensiksi mainittu yhtälö yksinkertaistuu muotoon ∂²A/∂t² - ∇²A = 0. 'Relativistisemmin' kirjoitettuna tuo on ∂²A/∂t² - (∂²/∂xⁱ∂xⁱ)A = 0, ja vielä tiivistäen ∂ᵤ∂ᵘA = 0. Näyttää Lorenzin mitalta. Vaan eipäs olekaan, koska skalaaripotentiaaliksi valittiin φ = A⁰ = 0, joka tarkoittaa nelipotentiaalia A = (0, Aⁱ)ᵀ. Voidaan helposti osoittaa, että tämä Coulombin mitta (eli A⁰ = 0 ja ∂ᵢAⁱ = 0) ei muunnu oikein Lorentzpuskussa. Ongelma näkyy relativistisessa QFT:ssa, jossa Aᵘ on fotonikenttä. Tosin Coulombin mitassakin ratkaisu yhtälöihin on mukavasti A(x,t) = exp ( iwt - ik·r ). Paitsi että se onneton A⁰ = 0.

Lorenzin mitasta joku toinen päivä. ehkä viikonloppuna.

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Ai niin. Jotkut kuvailevat Coulombin mittaa eräänlaisena 3d-avaruuden + aika-akselin (alkeellisempi kuin minkowskinavaruus) mittana. Toimii yhdessä intertiaalissa, mutta hajoaa potkaistaessa toiseen koordinaatistoon.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Coulombin mitta, säteily-/poikittaismitta - sehän on jokaisessa koordinaatistossa omansa jakautuen staattiseen (sen koordinaatiston leven suhteen) ja induktiiviseen osaan energiaa: E_static = −∇φ ; E_inducted = −∂A/∂t. Nämä näkyivätkin tuossa QS:n vuorovaikutusmuotoisessa yhtälöparissa.

Lorentz-kovariantti geometria on tietysti vahvuus yleistyksissä, mutta voimme myös ymmärtää miksi Maxwell suutahti Lorenzin mittaan - sehän häivytti sähkökentän mittaajalle oleellisen separaation staattisuuteen ja induktioon. Tästä samasta voimme kuvitella ainakin osittain olevan kyse kvanttigravitaation metsästämisessä: kvantit ovat lopulta mittaajan staattisen aseman suhteen määrittyviä, sen isotropiassa, ei globaaleja entiteettejä, vaikka meillä ihmisillä onkin vahva mielikuva asiasta.

Fysiikan perustus on siinä kuinka käytämme sekä diskreettiä että jatkuvaa geometriaa kuvauksissa - mielestäni ei voi ajatella, että lopulta olisi joko tai, että gravitaatio tulisi olla kvantitettavissa; tarvitaanhan potentiaalienergiaa ja toisaalta rakenteellista vuorovaikutusenergiaa vastinpareina - samoin jatkuvaa geometriaa globaalissa tilallisuudessa ja rakenteiden kvantteja vastinpareina (sisältäen vahvan, heikon ja sm-rakenne-energian). Gravitaatio on siis jo kvantitettu aikaa sitten - Feynman tajusi tämän hetkittäin, mutta yhä vaan tavoitellaan tavoittamatonta, vaikka meidän tarvitsisi vain käsittää diskreetti ja jatkuvuus paikallisen ja globaalin työkaluina. Onhan kvanttimekaniikka laillaan globaalia kenttää kuvaavakin, mutta kvanttitilarakenne on vain hitaan aineen paikallinen ominaisuus, kenttä rakentuu tilastollisuudesta. GR:ssä on puolestaan otettu postulaateiksi tilastollisten tapahtumien raja-arvoinen determinismi. Nämä kaksi ovat jo yhdistelmä toisiaan täydentäen. Kvanttigravitaatio on vain harhaista haihattelua. ;D (Toki kiteytän yksinkertaistaen ja esittämääni lomittumislogiikkaa/hienorakennekvantittumista haastaen, mutta tutkiminen on zoomailua kyseenalaistuksen ja epäilyn välillä...)

Yhdistelmä löytyy yksiselitteisenä logiikkana siinäkin matematiikassa, jolla yhdistin kvantti-informatiivisen inertian holografisesta periaatteesta jatkuvan geometrian gravitaatioon ja takaisin päin käyden samalla läpi entropian ja lämpötilan sekä tilallisuuden olemuksen: 

N = Ac³ / Għ kertoo tyhjöenergiavirtauksen informaatioyksiköiden määrän spin½-aineen kohtioon. Tulos tulee holografisesta periaatteesta, oletetaan infinitesimaalinen hiukkasen pinta-ala A. 

Tyhjöenergiavirta massaenergiana saadaan Hawking-Unruh -säteilyn lämpötilasta ja ainerakenteen informaatiosta N:

E = ha/c8π² * N, jossa ha/c8π² =  ħa/c4π , joka on kineettinen lämpötilatermi inertiakiihtyvyydessä a. Tämä on ikäänkuin Higgsin mekanismia vastaava massakentän energia.

Saadaan: E = ħa/c4π * Ac³ /Għ  <=> E = a/4π * Ac² / G.

Ratkaistaan kiihtyvyyden suhteen ja otetaan pinta-alalle A merkitsevä arvonsa tyhjövirtausetäisyydellä R: a = 4π E G / Ac² | A = 4πR² => a = E G / R²c²

Muodostetaan gravitaatiovoima massakentän energiasta: F = ma, E = Mc² => F = m M G / R².

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

Coulombin mitta, säteily-/poikittaismitta - sehän on jokaisessa koordinaatistossa omansa jakautuen staattiseen (sen koordinaatiston levon suhteen) ja induktiiviseen osaan energiaa: E_static = −∇φ ; E_inducted = −∂A/∂t. Nämä näkyivätkin tuossa QS:n vuorovaikutusmuotoisessa yhtälöparissa.

Lorentz-kovariantti geometria on tietysti vahvuus yleistyksissä, mutta voimme myös ymmärtää miksi Maxwell suutahti Lorenzin mittaan - sehän häivytti sähkökentän mittaajalle oleellisen staattisuuden ja induktion separaation. Tästä samasta voimme kuvitella ainakin osittain olevan kyse kvanttigravitaation metsästämisessä: kvantit ovat lopulta mittaajan staattisen aseman suhteen määrittyviä, sen isotropiassa, ei globaaleja entiteettejä, vaikka meillä ihmisillä onkin vahva mielikuva asiasta.

Fysiikan perustus on siinä kuinka käytämme sekä diskreettiä että jatkuvaa geometriaa kuvauksissa - mielestäni ei voi ajatella, että lopulta olisi joko tai, että gravitaatio tulisi olla kvantitettavissa; tarvitaanhan potentiaalienergiaa ja toisaalta rakenteellista vuorovaikutusenergiaa vastinpareina - samoin jatkuvaa geometriaa globaalissa tilallisuudessa ja rakenteiden kvantteja vastinpareina (sisältäen vahvan, heikon ja sm-rakenne-energian). Gravitaatio on siis jo kvantitettu aikaa sitten - Feynman tajusi tämän hetkittäin, mutta yhä vaan tavoitellaan tavoittamatonta, vaikka meidän tarvitsisi vain käsittää diskreetti ja jatkuvuus paikallisen ja globaalin työkaluina. Onhan kvanttimekaniikka laillaan globaalia kenttää kuvaavakin, mutta kvanttitilarakenne on vain hitaan aineen paikallinen ominaisuus, kenttä rakentuu tilastollisuudesta. GR:ssä on puolestaan otettu postulaateiksi tilastollisten tapahtumien raja-arvoinen determinismi. Nämä kaksi ovat jo yhdistelmä toisiaan täydentäen. Kvanttigravitaatio on vain harhaista haihattelua. ;D (Toki kiteytän yksinkertaistaen ja esittämääni lomittumislogiikkaa/hienorakennekvantittumista haastaen, mutta tutkiminen on zoomailua kyseenalaistuksen ja epäilyn välillä...)

Yhdistelmä löytyy yksiselitteisenä logiikkana siinäkin matematiikassa, jolla yhdistin kvantti-informatiivisen inertian holografisesta periaatteesta jatkuvan geometrian gravitaatioon ja takaisin päin käyden samalla läpi entropian ja lämpötilan sekä tilallisuuden olemuksen: 

N = Ac³ / Għ kertoo tyhjöenergiavirtauksen informaatioyksiköiden määrän spin½-aineen kohtioon. Tulos tulee holografisesta periaatteesta, oletetaan infinitesimaalinen hiukkasen pinta-ala A. 

Tyhjöenergiavirta massaenergiana saadaan Hawking-Unruh -säteilyn lämpötilasta ja ainerakenteen informaatiosta N:

E = ha/c8π² * N, jossa ha/c8π² =  ħa/c4π , joka on kineettinen lämpötilatermi inertiakiihtyvyydessä a. Tämä on ikäänkuin Higgsin mekanismia vastaava massakentän energia.

Saadaan: E = ħa/c4π * Ac³ /Għ  <=> E = a/4π * Ac² / G.

Ratkaistaan kiihtyvyyden suhteen ja otetaan pinta-alalle A merkitsevä arvonsa tyhjövirtausetäisyydellä R: a = 4π E G / Ac² | A = 4πR² => a = E G / R²c²

Muodostetaan gravitaatiovoima massakentän energiasta: F = ma, E = Mc² => F = m M G / R².

(Edit: kieliasua)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

käyttäjä-7929
Seuraa 
Viestejä523

Eusa kirjoitti:
Coulombin mitta, säteily-/poikittaismitta - sehän on jokaisessa koordinaatistossa omansa jakautuen staattiseen (sen koordinaatiston levon suhteen) ja induktiiviseen osaan energiaa: E_static = −∇φ ; E_inducted = −∂A/∂t. Nämä näkyivätkin tuossa QS:n vuorovaikutusmuotoisessa yhtälöparissa.

Lorentz-kovariantti geometria on tietysti vahvuus yleistyksissä, mutta voimme myös ymmärtää miksi Maxwell suutahti Lorenzin mittaan - sehän häivytti sähkökentän mittaajalle oleellisen staattisuuden ja induktion separaation. Tästä samasta voimme kuvitella ainakin osittain olevan kyse kvanttigravitaation metsästämisessä: kvantit ovat lopulta mittaajan staattisen aseman suhteen määrittyviä, sen isotropiassa, ei globaaleja entiteettejä, vaikka meillä ihmisillä onkin vahva mielikuva asiasta.

Fysiikan perustus on siinä kuinka käytämme sekä diskreettiä että jatkuvaa geometriaa kuvauksissa - mielestäni ei voi ajatella, että lopulta olisi joko tai, että gravitaatio tulisi olla kvantitettavissa; tarvitaanhan potentiaalienergiaa ja toisaalta rakenteellista vuorovaikutusenergiaa vastinpareina - samoin jatkuvaa geometriaa globaalissa tilallisuudessa ja rakenteiden kvantteja vastinpareina (sisältäen vahvan, heikon ja sm-rakenne-energian). Gravitaatio on siis jo kvantitettu aikaa sitten - Feynman tajusi tämän hetkittäin, mutta yhä vaan tavoitellaan tavoittamatonta, vaikka meidän tarvitsisi vain käsittää diskreetti ja jatkuvuus paikallisen ja globaalin työkaluina. Onhan kvanttimekaniikka laillaan globaalia kenttää kuvaavakin, mutta kvanttitilarakenne on vain hitaan aineen paikallinen ominaisuus, kenttä rakentuu tilastollisuudesta. GR:ssä on puolestaan otettu postulaateiksi tilastollisten tapahtumien raja-arvoinen determinismi. Nämä kaksi ovat jo yhdistelmä toisiaan täydentäen. Kvanttigravitaatio on vain harhaista haihattelua. ;D (Toki kiteytän yksinkertaistaen ja esittämääni lomittumislogiikkaa/hienorakennekvantittumista haastaen, mutta tutkiminen on zoomailua kyseenalaistuksen ja epäilyn välillä...)

Yhdistelmä löytyy yksiselitteisenä logiikkana siinäkin matematiikassa, jolla yhdistin kvantti-informatiivisen inertian holografisesta periaatteesta jatkuvan geometrian gravitaatioon ja takaisin päin käyden samalla läpi entropian ja lämpötilan sekä tilallisuuden olemuksen: 

N = Ac³ / Għ kertoo tyhjöenergiavirtauksen informaatioyksiköiden määrän spin½-aineen kohtioon. Tulos tulee holografisesta periaatteesta, oletetaan infinitesimaalinen hiukkasen pinta-ala A. 

Tyhjöenergiavirta massaenergiana saadaan Hawking-Unruh -säteilyn lämpötilasta ja ainerakenteen informaatiosta N:

E = ha/c8π² * N, jossa ha/c8π² =  ħa/c4π , joka on kineettinen lämpötilatermi inertiakiihtyvyydessä a. Tämä on ikäänkuin Higgsin mekanismia vastaava massakentän energia.

Saadaan: E = ħa/c4π * Ac³ /Għ  <=> E = a/4π * Ac² / G.

Ratkaistaan kiihtyvyyden suhteen ja otetaan pinta-alalle A merkitsevä arvonsa tyhjövirtausetäisyydellä R: a = 4π E G / Ac² | A = 4πR² => a = E G / R²c²

Muodostetaan gravitaatiovoima massakentän energiasta: F = ma, E = Mc² => F = m M G / R².

(Edit: kieliasua)

On tainnut SIJ avata varsinaisen Pandoran lippaan!

QS
Seuraa 
Viestejä5413

Mäkin availen näitä paholaisen lippaita omaan tyyliini :D

Hiukan jatkan ajatuskulkua, jolla perusteltiin Coulombin mitan asettamista edellisessä viestissä.

Edellisessä viestissä päädyttiin Maxwellin yhtälöihin skalaari- ja vektoripotentiaaleilla φ ja A:

∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t), ja
∇²φ = 0.

missä φ ja A eivät ole ilmiselvästi kovariantteja. Ne ovat vain ajassa jokin skalaari φ ja avaruudessa jokin vektori A. Coulombin mitaksi saatiin φ = 0 ja ∇·A = 0, joille perusteluna yhtälöiden helppo ratkeaminen. Jos noista väkisin väännetään nelipotentiaali Aᵘ = (0, Aⁱ)ᵀ, niin huomataan, että tuo nelivektori käyttäytyy puskussa melko huonosti.

Kun tehdään infinitesimaali Lorentzpusku, saadaan aika-komponentille A'⁰ = A⁰ + λ⁰ᵥ Aᵛ. Muunnettu A'⁰ ≠ 0, mikä tarkoittaa sitä, että alkuperäinen Coulombin mitta φ = A⁰ = 0 ei ole voimassa. Voidaan tietysti asettaa puskun jälkeen korjattu mittamuunnos f siten, että A'⁰ = A⁰ + λ⁰ᵥ Aᵛ + ∂⁰f = 0. Vaan tässä menetetään gauge fixing, kun puskussa on uusi puskusta riippuva muunnos f. Eipä se haittaa, mutta ei ole ns. kovarianttia touhua, kun nelivektori pitää hieroa kuhunkin koordinaatistoon erikseen, jotta mitta pysyisi Coulombin mittana.

Jos halutaan kovariantti nelipotentiaali Aᵘ(x,t) = (A⁰,A¹,A²,A³)ᵀ, niin kaksi Maxwellin yhtälöä ∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t) - ∇(∇·A) ja -∇²φ - (∂/∂t)(∇·A) = 0 voidaan (ilman hienostelua, brute forcella kokeilemalla, hah) hieroa muotoon

∂ⁱ∂ᵢAᵘ - ∂ᵘ∂ᵥAᵛ = 0         (3)

(Tuon hieromisen voisi vaikka kirjoittaakin tänne joku päivä kun ehdin).

Näin 'alkeellisista 3d+aika'-Maxwellin yhtälöistä ilmestyi esille kovariantti relativistinen Maxwellin yhtälö (3).

Seurataan samaa logiikkaa kuin Coulombin mitassa. Pyritään ratkaisemaan (3) mahdollisimman helposti. Olisi kätevää asettaa jälkimmäinen termi ∂ᵘ∂ᵥAᵛ = ∂ᵘ(∂ᵥAᵛ) nollaksi. Siinäpä se Lorenzin mitta sitten onkin: ∂ᵥAᵛ(x,t) = 0.

Tällaisella klassisella logiikalla Lorentzin mitta löytyy melko helposti ilman kvanttikenttäteoria-vaatimuksiakin, tosin  hiukan perus.fyssiikkamaisesti ilman hienostunutta differentiaaligeometriaa tai vastaavaa ;)

Tuon mittavalinnan ∂ᵥAᵛ = 0 toimivuus pitää toki varmistaa. Siitä sitten toiste.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17293

käyttäjä-7929 kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Coulombin mitta, säteily-/poikittaismitta - sehän on jokaisessa koordinaatistossa omansa jakautuen staattiseen (sen koordinaatiston levon suhteen) ja induktiiviseen osaan energiaa: E_static = −∇φ ; E_inducted = −∂A/∂t. Nämä näkyivätkin tuossa QS:n vuorovaikutusmuotoisessa yhtälöparissa.

Lorentz-kovariantti geometria on tietysti vahvuus yleistyksissä, mutta voimme myös ymmärtää miksi Maxwell suutahti Lorenzin mittaan - sehän häivytti sähkökentän mittaajalle oleellisen staattisuuden ja induktion separaation. Tästä samasta voimme kuvitella ainakin osittain olevan kyse kvanttigravitaation metsästämisessä: kvantit ovat lopulta mittaajan staattisen aseman suhteen määrittyviä, sen isotropiassa, ei globaaleja entiteettejä, vaikka meillä ihmisillä onkin vahva mielikuva asiasta.

Fysiikan perustus on siinä kuinka käytämme sekä diskreettiä että jatkuvaa geometriaa kuvauksissa - mielestäni ei voi ajatella, että lopulta olisi joko tai, että gravitaatio tulisi olla kvantitettavissa; tarvitaanhan potentiaalienergiaa ja toisaalta rakenteellista vuorovaikutusenergiaa vastinpareina - samoin jatkuvaa geometriaa globaalissa tilallisuudessa ja rakenteiden kvantteja vastinpareina (sisältäen vahvan, heikon ja sm-rakenne-energian). Gravitaatio on siis jo kvantitettu aikaa sitten - Feynman tajusi tämän hetkittäin, mutta yhä vaan tavoitellaan tavoittamatonta, vaikka meidän tarvitsisi vain käsittää diskreetti ja jatkuvuus paikallisen ja globaalin työkaluina. Onhan kvanttimekaniikka laillaan globaalia kenttää kuvaavakin, mutta kvanttitilarakenne on vain hitaan aineen paikallinen ominaisuus, kenttä rakentuu tilastollisuudesta. GR:ssä on puolestaan otettu postulaateiksi tilastollisten tapahtumien raja-arvoinen determinismi. Nämä kaksi ovat jo yhdistelmä toisiaan täydentäen. Kvanttigravitaatio on vain harhaista haihattelua. ;D (Toki kiteytän yksinkertaistaen ja esittämääni lomittumislogiikkaa/hienorakennekvantittumista haastaen, mutta tutkiminen on zoomailua kyseenalaistuksen ja epäilyn välillä...)

Yhdistelmä löytyy yksiselitteisenä logiikkana siinäkin matematiikassa, jolla yhdistin kvantti-informatiivisen inertian holografisesta periaatteesta jatkuvan geometrian gravitaatioon ja takaisin päin käyden samalla läpi entropian ja lämpötilan sekä tilallisuuden olemuksen: 

N = Ac³ / Għ kertoo tyhjöenergiavirtauksen informaatioyksiköiden määrän spin½-aineen kohtioon. Tulos tulee holografisesta periaatteesta, oletetaan infinitesimaalinen hiukkasen pinta-ala A. 

Tyhjöenergiavirta massaenergiana saadaan Hawking-Unruh -säteilyn lämpötilasta ja ainerakenteen informaatiosta N:

E = ha/c8π² * N, jossa ha/c8π² =  ħa/c4π , joka on kineettinen lämpötilatermi inertiakiihtyvyydessä a. Tämä on ikäänkuin Higgsin mekanismia vastaava massakentän energia.

Saadaan: E = ħa/c4π * Ac³ /Għ  <=> E = a/4π * Ac² / G.

Ratkaistaan kiihtyvyyden suhteen ja otetaan pinta-alalle A merkitsevä arvonsa tyhjövirtausetäisyydellä R: a = 4π E G / Ac² | A = 4πR² => a = E G / R²c²

Muodostetaan gravitaatiovoima massakentän energiasta: F = ma, E = Mc² => F = m M G / R².

(Edit: kieliasua)

On tainnut SIJ avata varsinaisen Pandoran lippaan!


En huomaa tekstissäni mitään "kryptistä" tai vaikeaa. Kiva olisi jos joku kykenisi kommentoimaan esittämiäni väittämiä...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

jto
Seuraa 
Viestejä162

käyttäjä-7929 kirjoitti:
Tässä eräs aika uusi opus aiheesta: Mark J.D. Hamilton: Mathematical Gauge Theory (Springer 2017),

Kannattaneeko noita oppikirjoista löytyviä juttuja kopioida tänne?Vaan mikäpäs siinä, kukin taaplaa tyylillään.

No näitä juttuja 10 vuotta satunnaisesti seuranneena, itseisarvona täällä ei ole keskustella tieteestä, vaan nostattaa omaa kuvitteellista profiiliaan. Sad :)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Rattoisaa alkavaa iltapäivää kaikille. Jääkaapissa odottaa kylmä olut, jonka avaan tämän kirjoitettuani. Eli paljon olisi kommentoitavaa, mutta mennään yksi asia kerrallaan. Tuossa tutkiskelin mun Jacksonia (se ED-kirja), että mitä siellä noista Coulombin mitoista sanotaan

QS kirjoitti:
Mäkin availen näitä paholaisen lippaita omaan tyyliini :D

Hiukan jatkan ajatuskulkua, jolla perusteltiin Coulombin mitan asettamista edellisessä viestissä.

Edellisessä viestissä päädyttiin Maxwellin yhtälöihin skalaari- ja vektoripotentiaaleilla φ ja A:

∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t), ja
∇²φ = 0.

missä φ ja A eivät ole ilmiselvästi kovariantteja. Ne ovat vain ajassa jokin skalaari φ ja avaruudessa jokin vektori A. Coulombin mitaksi saatiin φ = 0 ja ∇·A = 0, joille perusteluna yhtälöiden helppo ratkeaminen. Jos noista väkisin väännetään nelipotentiaali Aᵘ = (0, Aⁱ)ᵀ, niin huomataan, että tuo nelivektori käyttäytyy puskussa melko huonosti.

Tämä kaikki kirjoittamasi on ihan oikein, eikä siinä mitään. Jackson asettaa tuon Coulombin mitan hieman yleisemmässä tapauksessa, missä ei enää oleteta virrantiheysvektorin J tai varaustiheyden ρ olevan nollia. Sitten Jackson käyttää vielä julkeasti (tässä luvussa) SI-yksiköitä. Yhtälöitäsi vastaavat yhtälöt ovat nyt, kun ehto ∇·A = 0 on asetettu:

∇²φ = -ρ/ε₀
∇²A - 1/c² ∂²A/∂t²- 1/c²∂(∇φ)/∂t= -μ₀J

Sähköstatiikassa potentiaali φ on vain paikan x funktio. mutta tässä dynaamisessa tilanteessa φ on myös ajan t funktio, siis tuo Poissonin yhtälö on:

∇²φ(x,t) = -ρ(x,t)/ε₀.

Yllättävää kyllä, tuo voidaan ratkaista  ℝ³:ssa ihan samalla kaavalla kuin sähköstatiikassa eli:

φ(x,t) = 1/4𝜋ε₀ ∫d³y ρ(y,t) / |x-y|.

Ton kun sijoittaa tuohon vektoripotentiaalin A aaltoyhtälöön ja siirtää sen termin oikealle aaltoyhtälön lähdetermiksi, saa lopulta yhtälön ∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² =-μ₀J + 1/c²∂(∇φ)/∂t.

Kuitenkin tässä tilanteessa tuo potentiaali φ ei ole enää nollafunktio, en nyt sitten tiedä onko tällä mitään suurempaa merkitystä, mutta tulihan nyt mieleen mainita tästä.

Tuo potentiaalin lauseke on mielenkiintoinen ihan itsessään, sillä se ei ole millään tavalla viivästynyt potentiaali, se rekisteröi varauksen aiheuttaman potentiaalin samalla hetkellä koko avaruudessa. Wikipediakin mainitsee tästä seuraavaa artikkelissaan Gauge fixing

The instantaneous nature of these potentials appears, at first sight, to violate causality, since motions of electric charge or magnetic field appear everywhere instantaneously as changes to the potentials. This is justified by noting that the scalar and vector potentials themselves do not affect the motions of charges, only the combinations of their derivatives that form the electromagnetic field strength.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

Lisäyksenä vielä tuohon edelliseen se, että jos tuo virrantiheysvektori J ja varaustiheys ρ ovat yleisesti nollasta poikkeavia täytyy Lagrangen funktiona käyttää lauseketta 𝓛 =   - ¼ Fᵤᵥ Fᵘᵛ - Aᵤ Jᵘ, missä siis Jᵘ on nelivirtavektori.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2665

QS kirjoitti:

Jos halutaan kovariantti nelipotentiaali Aᵘ(x,t) = (A⁰,A¹,A²,A³)ᵀ, niin kaksi Maxwellin yhtälöä ∂²A/∂t² - ∇²A = -∇(∂φ/∂t) - ∇(∇·A) ja -∇²φ - (∂/∂t)(∇·A) = 0 voidaan (ilman hienostelua, brute forcella kokeilemalla, hah) hieroa muotoon

∂ⁱ∂ᵢAᵘ - ∂ᵘ∂ᵥAᵛ = 0         (3)

(Tuon hieromisen voisi vaikka kirjoittaakin tänne joku päivä kun ehdin).

Näin 'alkeellisista 3d+aika'-Maxwellin yhtälöistä ilmestyi esille kovariantti relativistinen Maxwellin yhtälö (3).

Seurataan samaa logiikkaa kuin Coulombin mitassa. Pyritään ratkaisemaan (3) mahdollisimman helposti. Olisi kätevää asettaa jälkimmäinen termi ∂ᵘ∂ᵥAᵛ = ∂ᵘ(∂ᵥAᵛ) nollaksi. Siinäpä se Lorenzin mitta sitten onkin: ∂ᵥAᵛ(x,t) = 0.

Tällaisella klassisella logiikalla Lorentzin mitta löytyy melko helposti ilman kvanttikenttäteoria-vaatimuksiakin, tosin  hiukan perus.fyssiikkamaisesti ilman hienostunutta differentiaaligeometriaa tai vastaavaa ;)

Tuon mittavalinnan ∂ᵥAᵛ = 0 toimivuus pitää toki varmistaa. Siitä sitten toiste.

Kirjoitin edellisen viestini pohjaksi nuo kaksi alussa mainitsemaasi yhtälöä (varauksien kanssa & SI-yksiköt) , mutta en sitten käyttänytkään niitä mihinkään, laitan ne nyt sitten tähän, yhtälöt ovat Jacksonista:

∇²φ + ∂/∂t {∇·A} = -ρ/ε₀
∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² - ∇{∇·A + 1/c²∂φ/∂t} = -μ₀J
 Jälkimmäinen yhtälöistä houkuttelee kokeilemaan (Lorenz) ehtoa ∇·A + 1/c²∂φ/∂t = 0 jolloin yhtälö redusoituu aaltoyhtälöksi lähdetermin = -μ₀J kera. Ensimmäiseen yhtälöön voidaan sijoittaa ehdon mukaisesti ∇·A =- 1/c²∂φ/∂t ja sekin redusoituu lähteelliseksi aaltoyhtälöksi, eli Lorenz-ehto ∇·A + 1/c²∂φ/∂t = 0 antaa siten aaltoyhtälöt:

∇²φ - 1/c²∂²φ/∂t² =  -ρ/ε₀
∇²A - 1/c² ∂²A/∂t² = -μ₀J

Näin siis Lorenz päätteli vuonna 1867.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat