Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

Törmäsin kivaan  mekaniikan tehtävään.

Homogeenisen sauvan, massa m ja pituus L, päätepisteiden nopeudet ovat u ja v.

Määritä sauvan liike-energia.

Sivut

Kommentit (24)

peniemis
Seuraa 
Viestejä128
Liittynyt1.3.2013

Aluksi  todetaan lisäoletus, että dL/dt=0., eli sauva ei veny eikä kutistu. Tästä seuraa, että jollakin u:n arvolla  vain tietyt v:n arvot ovat mahdollisia. Jaah, tämä  rajoite ei vaikuta laskuihin,  mutta osoittaa, että mielivaltaiset u ja v eivät käy alkuarvoiksi.  Jos esim. u = -v, sauvalla on vain momenttia; jos u = v, sauva lentää vakaassa asenossa pyörimättä,  muussa tapauksessa on kyse näiden yhdistelmästä.  Liikenopeuden energia saadaan nopeudesta  v=  |u+v|/2 ja kiertomomentin energia laskemalla pyörimisnopeus sauvan pään kehänopeudesta (vasemmalla aivipuoliskolla arvaten)   | u - (u+v)/2 |.

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

peniemis kirjoitti:
Aluksi  todetaan lisäoletus, että dL/dt=0., eli sauva ei veny eikä kutistu. Tästä seuraa, että jollakin u:n arvolla  vain tietyt v:n arvot ovat mahdollisia. Jaah, tämä  rajoite ei vaikuta laskuihin,  mutta osoittaa, että mielivaltaiset u ja v eivät käy alkuarvoiksi.  Jos esim. u = -v, sauvalla on vain momenttia; jos u = v, sauva lentää vakaassa asenossa pyörimättä,  muussa tapauksessa on kyse näiden yhdistelmästä.  Liikenopeuden energia saadaan nopeudesta  v=  |u+v|/2 ja kiertomomentin energia laskemalla pyörimisnopeus sauvan pään kehänopeudesta (vasemmalla aivipuoliskolla arvaten)   | u - (u+v)/2 |.
Hyvä alku

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

Bolzma kirjoitti:
olisko:

m/8*(u+v)^2+m/24*(u-v)^2

Tuonko vielä sievennät ja laitat vektorimerkit, niin kelpaa ainakin minulle.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä105
Liittynyt31.12.2013

En minä mitään vektoreita käyttänyt, oletin vaan, että u tai v ≠ 0 skalaareita, ja kirjoitin suoraan:

u=Vo+wr

v=Vo-wr

noista saadaan:

w=(u-v)/(2r)

Vo=(u+v)/2 ,  joten

W=½mVo^2 +½J*w^2 , jossa J=1/12m(2r)^2

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

Bolzma kirjoitti:
En minä mitään vektoreita käyttänyt, oletin vaan, että u tai v ≠ 0 skalaareita, ja kirjoitin suoraan:

u=Vo+wr

v=Vo-wr

noista saadaan:

w=(u-v)/(2r)

Vo=(u+v)/2 ,  joten

W=½mVo^2 +½J*w^2 , jossa J=1/12m(2r)^2

Vektoreilla käsiteltynä tulos hieman yleisempi.

Päättely  periaatteessa sama kuin sinun ratkaisussasi.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä105
Liittynyt31.12.2013

siitä tulee vähän yleisempi jos merkkaa x= pyörintäkeskiön etäisyys massakeskipisteestä.

w=(u-v)/l

Vo=(u+v)/2+x/l*(v-u)

J=1/12ml^2+mx^2

Wkin=½mVo^2+½Jw^2

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

Bolzma kirjoitti:
siitä tulee vähän yleisempi jos merkkaa x= pyörintäkeskiön etäisyys massakeskipisteestä.

w=(u-v)/l

Vo=(u+v)/2+x/l*(v-u)

J=1/12ml^2+mx^2

Wkin=½mVo^2+½Jw^2

Pyörittelin tehtävää vektoreilla seuraavasti

Päätepisteiden P1 ja P2 paikkavektorit r1 ja r2—>r1'=v ja r2'=u

Painopisteen paikka on(r1+r2)/2—>vp=(u+v)/2

Merkitään r=r2-r1—>rr=L^2—>r'•r=0—>saadaan oleellinen tulos r'=u-v on kohtisuorassa vektoria r=r2-r1 vastaan.

P1:n nopeus painopisteen suhteen on

v-vp=(v-u)/2—>⍵=abs(v-u)/2/(L/2)=abs(v-u)/L—>

Ek=1/2*m*((v+u)/2)^2+1/2*1/12*mL^2*((v-u)/L)^2=...=m/6(v•v+v•u+u•u)

Siisti symmetrinen tulos.

Bolzma
Seuraa 
Viestejä105
Liittynyt31.12.2013

Katos vaan nätin näköinen on, olisi vaan minunkin pitänyt kirjoittaa tuo omani auki, sama siitä tulee.

Vektorit ovat aina mukavia.

Oletko pohtinut tuota minun tekelettäni, jossa pyörimiskeskipiste ei olekaan massakeskipisteessä ?

Minusta tuntuu, että se onkin hiton monimutkainen, eikä menekään ihan pelkästään Steinerin säännöillä.

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

Bolzma kirjoitti:
Katos vaan nätin näköinen on, olisi vaan minunkin pitänyt kirjoittaa tuo omani auki, sama siitä tulee.

Vektorit ovat aina mukavia.

Oletko pohtinut tuota minun tekelettäni, jossa pyörimiskeskipiste ei olekaan massakeskipisteessä ?

Minusta tuntuu, että se onkin hiton monimutkainen, eikä menekään ihan pelkästään Steinerin säännöillä.

Luulen, että boldattua ei kannata edes mietiskellä, koska aina pätee, että liike-energia on painopisteen liike-energia+ pyörimisenergia painopisteen suhteen. Nythän painopisteen nopeus ja kulmanopeus painopisteen suhteen saatiin kivuttomasti niin skalaareilla kuin vektoreilla ja tämä riittää tehtävän ratkaisemiseksi.

PPo
Seuraa 
Viestejä12398
Liittynyt10.12.2008

Olen pohdiskellut mielessäni seuraavaa, samasta oppikirjasta kuin edellinen, tehtävää.

Kaltevan tasona on kiila (massa M, kaltevuuskulma ß ja korkeus h), joka on asetettu kitkattomalle vaakasuoralle pinnalle. Kiilan ylimmästä pisteestä lasketaan liukumaan litteän kappale (massa m) pitkin kitkatonta kaltevaa tasoa. Kuinka kauan liukuminen kestää (liukuva kappale putoaa matkan h)?

Johtanee fysikaalisten pohdintojen lisäksi kaavojen pyörittelyyn.

Sopineeko tehtävä korantille?

kortan
Seuraa 
Viestejä7327
Liittynyt21.3.2016

Muistelen että vastaava tehtävä on ollut jossain ennenkin. Vaakasuora liikemäärä säilyy eli M·v1 + m·vx2 = 0. Tässä menee ajatukset herkästi solmuun. Laitetaan suosiolla mietintämyssyyn.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat