Seuraa 
Viestejä12895
Liittynyt10.12.2008

Jean Bernoulli keksi vuonna 1696 ratkaisun kysymykseen: "Millaista rataa pitkin kappale putoaa pisteest A pisteeseen B lyhyimmässä ajassa?"
Selaamassani kirjassa päädyttiin minimoimaan aikaa
t=1/√2g∫(√(1+y'^2)/√y )dx.
Tehtävä jätettiin harjoitustehtäväksi ja origon kautta kulkevaksi ratkaisuksi annettiin
x=-√(Ay-y^2)+A/2*acos(1-2y/A) (1)
Vihjeeksi annettiin, että reitin lauseke on muotoa
x=∫√(y/(A-y))dy (2)
Lausekkeen √(1+y'^)/√y Eulerin yhtälöksi sain
2y''y+y'^2+1=0 (3)
Tällaisen yhtälön edessä ainoa vaihtoehtoni oli kilauttaa kaverilleni WA:lle, joka tarjosi origon kautta kulkevaksi ratkaisuksi
x=A*atan(√(y/(A-y)-√y *√(A-y) (4)
Tehtävä on nyt osoittaa, että ratkaisut (1) ja (4) ovat samat. Ei liene ylivoimainen.
Entä kuin päästään yhtälöstä (3) yhtälöön (2)? Vaikuttaa haasteelliselta.

Kommentit (1)

PPo
Seuraa 
Viestejä12895
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
Jean Bernoulli keksi vuonna 1696 ratkaisun kysymykseen: "Millaista rataa pitkin kappale putoaa pisteest A pisteeseen B lyhyimmässä ajassa?"
Selaamassani kirjassa päädyttiin minimoimaan aikaa
t=1/√2g∫(√(1+y'^2)/√y )dx.
Tehtävä jätettiin harjoitustehtäväksi ja origon kautta kulkevaksi ratkaisuksi annettiin
x=-√(Ay-y^2)+A/2*acos(1-2y/A) (1)
Vihjeeksi annettiin, että reitin lauseke on muotoa
x=∫√(y/(A-y))dy (2)
Lausekkeen √(1+y'^2)/√y   Eulerin yhtälöksi sain
2y''y+y'^2+1=0 (3)
Tällaisen yhtälön edessä ainoa vaihtoehtoni oli kilauttaa kaverilleni WA:lle, joka tarjosi origon kautta kulkevaksi ratkaisuksi
x=A*atan(√(y/(A-y)-√y *√(A-y) (4)
Tehtävä on nyt osoittaa, että ratkaisut (1) ja (4) ovat samat. Ei liene ylivoimainen.
Entä kuin päästään yhtälöstä (3) yhtälöön (2)? Vaikuttaa haasteelliselta.
Lisäperehtyminen aiheeseen selvitti tilannetta.

Yhtälöstä (3) yhtälöön (2) päätyminen ei onnistu kotikonstein.

Nyt kuitenkin tutkittava funktion on sellainen (ei riipu muuttujasta x), että Eulerin yhtälön ratkaisussa voidaan soveltaa Beltramin identiteettiä (f-y'*∂f/∂y'=C, C on integroimisvakio). Samalla yhtälön ratkaisu helpottuu. Saadusta ratkaisusta lienee johdettavissa yhtälö (2).

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat