Seuraa 
Viestejä1917
Liittynyt24.1.2014

Avasin tälläisen ketjun jonka tarkoituksena on käsitellä enemmän ja vähemmän analyyttiseen mekaniikkaaan liittyviä asioita. Analyyttisella mekaniikalla tarkoitetaan tavallisesti Lagrangen tai Hamiltonin mekaniikkaa. Laajennettuna termi voi sisältää erinäisiä johdannaisia kyseisistä teorioista. Analyyttinen mekaniikka ei käytä Newtonin voimaoppia, vaan keskeisiä suureita ovat skalaariset suureet, kuten esimerkiksi energia.

Kuten tunnettua, Newtonin liikeyhtälöt voidaan johtaa vähimmän vaikutuksen periaatteesta

0 = δ ∫L dt,

missä L on systeemiä kuvaava Lagrangen funktio. Yleensä L = T - V, missä T on systeemin liike-energia ja U on potentiaalienergia. Vapaalle hiukkaselle Lagrangen funktio on:

L = ½m(V₁² + V₂² + V₃²),

kun nopeusvektorin V komponentit ovat (V₁,V₂,V₃). Soveltamalla Lagrangen yhtälöitä saadaan (tietysti):

∂L/∂V₁ = mV₁ = P₁ = vakio,
∂L/∂V₂ = mV₂ = P₂ = vakio,
∂L/∂V₃ = mV₃ = P₃ = vakio.

Siis massa m liikkuu vakionopeudella V ja liikemäärä P = (P₁, P₂, P₃) on vakio, OK.

Vapaan jäykän kappaleen liike-energian antaa lauseke

L = ½(I₁Ω₁² + I₂Ω₂² + I₃Ω₃²),

joka on myös vapaan jäykän kappaleen Lagrangen funktio. Lausekkeessa Ω₁, Ω₂, Ω₃ ovat kulmanopeusvektorin komponentteja pääakselikoordinaatistossa ja vastaavasti päähitausmomentit ovat
I₁, I₂, I₃. Jos nyt laskee Lagrangen yhtälöt saa tuloksen:

∂L/∂Ω₁ = I₁Ω₁ = L₁ = vakio
∂L/∂Ω₂ = I₂Ω₂ = L₂ = vakio
∂L/∂Ω₃ = I₃Ω₃ = L₃ = vakio,

eli saadaan todellakin vahvistus että vapaan kappaleen liikemäärämomentti L = (L₁, L₂, L₃) = vakio, vai saatiinko sittenkään?

Ei saatu ollenkaan, tuo on nimittäin väärin päätelty vaikka se näyttää oikealta tulokselta ja metodi näyttää oikealta.

Viikon tiedekysymys on siis:

Mikä meni vikaan ylläolevassa vapaan jäykän kappaleen tapauksessa pieleen?

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Kommentit (56)

Eusa
Seuraa 
Viestejä14357
Liittynyt16.2.2011

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Avasin tälläisen ketjun jonka tarkoituksena on käsitellä enemmän ja vähemmän analyyttiseen mekaniikkaaan liittyviä asioita. Analyyttisella mekaniikalla tarkoitetaan tavallisesti Lagrangen tai Hamiltonin mekaniikkaa. Laajennettuna termi voi sisältää erinäisiä johdannaisia kyseisistä teorioista. Analyyttinen mekaniikka ei käytä Newtonin voimaoppia, vaan keskeisiä suureita ovat skalaariset suureet, kuten esimerkiksi energia.

Kuten tunnettua, Newtonin liikeyhtälöt voidaan johtaa vähimmän vaikutuksen periaatteesta

0 = δ ∫L dt,

missä L on systeemiä kuvaava Lagrangen funktio. Yleensä L = T - V, missä T on systeemin liike-energia ja U on potentiaalienergia. Vapaalle hiukkaselle Lagrangen funktio on:

L = ½m(V₁² + V₂² + V₃²),

kun nopeusvektorin V komponentit ovat (V₁,V₂,V₃). Soveltamalla Lagrangen yhtälöitä saadaan (tietysti):

∂L/∂V₁ = mV₁ = P₁ = vakio,
∂L/∂V₂ = mV₂ = P₂ = vakio,
∂L/∂V₃ = mV₃ = P₃ = vakio.

Siis massa m liikkuu vakionopeudella V ja liikemäärä P = (P₁, P₂, P₃) on vakio, OK.

Vapaan jäykän kappaleen liike-energian antaa lauseke

L = ½(I₁Ω₁² + I₂Ω₂² + I₃Ω₃²),

joka on myös vapaan jäykän kappaleen Lagrangen funktio. Lausekkeessa Ω₁, Ω₂, Ω₃ ovat kulmanopeusvektorin komponentteja pääakselikoordinaatistossa ja vastaavasti päähitausmomentit ovat
I₁, I₂, I₃. Jos nyt laskee Lagrangen yhtälöt saa tuloksen:

∂L/∂Ω₁ = I₁Ω₁ = L₁ = vakio
∂L/∂Ω₂ = I₂Ω₂ = L₂ = vakio
∂L/∂Ω₃ = I₃Ω₃ = L₃ = vakio,

eli saadaan todellakin vahvistus että vapaan kappaleen liikemäärämomentti L = (L₁, L₂, L₃) = vakio, vai saatiinko sittenkään?

Ei saatu ollenkaan, tuo on nimittäin väärin päätelty vaikka se näyttää oikealta tulokselta ja metodi näyttää oikealta.

Viikon tiedekysymys on siis:

Mikä meni vikaan ylläolevassa vapaan jäykän kappaleen tapauksessa pieleen?

Järjestyksellä on kiertojen analyysissa väliä (Euler) ja Lagrangen aikaintegraali voi minimoitua labiilisti (Hamilton). On muodostettava yleiset liikeyhtälöt ja todettava sitä kautta, että Liikemäärämomentti säilyy. Sen voi tehdä kiertojen infinitesimaalia differentoiden tai hamiltonilla. Euler-differentiaali ottaa lähtökohdakseen liikemäärämomentin säilymisen, joten osoittamiseen jäänee jäljelle Hamilton / aikakehitysvariaatioiden selvittäminen. Jotenkin pitää idealisoida kappalemuoto, jos yleisesti todistetaan.

Tätäkö hait vai jotain muuta? Oletin tietysti, että asetelmaa analysoidaan painottomuudessa eli vapaan putoamisen inertiaalissa. Jos koordinaatisto sidotaan esim. maanpintaan, silloin ei kyseessä ole suljettu järjestelmä...

Liikemäärämomentin säilyminen on kyllä lain asemassa fysiikassa. Sen todistaminen on vähän... weird.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14357
Liittynyt16.2.2011

Taitaakin olla tähän hyvin yksinkertainen vastaus.

Kyseessä on siis sen tarkistaminen, kohdistuuko kappaleeseen ulkopuolinen momentti. On nimittäin mahdollista valita päähitausakselit siten, että ulkopuolinen pyöritys ei muuta vakioita. Asia pitää tarkistaa valitsemalla akselit usealla eri tavalla.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12396
Liittynyt10.12.2008

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Avasin tälläisen ketjun jonka tarkoituksena on käsitellä enemmän ja vähemmän analyyttiseen mekaniikkaaan liittyviä asioita. Analyyttisella mekaniikalla tarkoitetaan tavallisesti Lagrangen tai Hamiltonin mekaniikkaa. Laajennettuna termi voi sisältää erinäisiä johdannaisia kyseisistä teorioista. Analyyttinen mekaniikka ei käytä Newtonin voimaoppia, vaan keskeisiä suureita ovat skalaariset suureet, kuten esimerkiksi energia.

Kuten tunnettua, Newtonin liikeyhtälöt voidaan johtaa vähimmän vaikutuksen periaatteesta

0 = δ ∫L dt,

missä L on systeemiä kuvaava Lagrangen funktio. Yleensä L = T - V, missä T on systeemin liike-energia ja U on potentiaalienergia. Vapaalle hiukkaselle Lagrangen funktio on:

L = ½m(V₁² + V₂² + V₃²),

kun nopeusvektorin V komponentit ovat (V₁,V₂,V₃). Soveltamalla Lagrangen yhtälöitä saadaan (tietysti):

∂L/∂V₁ = mV₁ = P₁ = vakio,
∂L/∂V₂ = mV₂ = P₂ = vakio,
∂L/∂V₃ = mV₃ = P₃ = vakio.

Siis massa m liikkuu vakionopeudella V ja liikemäärä P = (P₁, P₂, P₃) on vakio, OK.

Vapaan jäykän kappaleen liike-energian antaa lauseke

L = ½(I₁Ω₁² + I₂Ω₂² + I₃Ω₃²),

joka on myös vapaan jäykän kappaleen Lagrangen funktio. Lausekkeessa Ω₁, Ω₂, Ω₃ ovat kulmanopeusvektorin komponentteja pääakselikoordinaatistossa ja vastaavasti päähitausmomentit ovat
I₁, I₂, I₃. Jos nyt laskee Lagrangen yhtälöt saa tuloksen:

∂L/∂Ω₁ = I₁Ω₁ = L₁ = vakio
∂L/∂Ω₂ = I₂Ω₂ = L₂ = vakio
∂L/∂Ω₃ = I₃Ω₃ = L₃ = vakio,

eli saadaan todellakin vahvistus että vapaan kappaleen liikemäärämomentti L = (L₁, L₂, L₃) = vakio, vai saatiinko sittenkään?

Ei saatu ollenkaan, tuo on nimittäin väärin päätelty vaikka se näyttää oikealta tulokselta ja metodi näyttää oikealta.

Viikon tiedekysymys on siis:

Mikä meni vikaan ylläolevassa vapaan jäykän kappaleen tapauksessa pieleen?

Virhe  voi olla siinä, että tarkastelut on suoritettu pääakselikoordinaatistossa?

Jos tarkastelut suoritettaisiin inertiaalissa. niin

T=1/2*(Ixx*(wx)^2+Iyy*(wy)^2+Izz*(wz)^2+2*Ixy*wx*wy+2*Ixz*wx*wz+2*Iyz*wy*wz)

Nyt L=T ja lähdetään derivoimaan tätä,

QS
Seuraa 
Viestejä4348
Liittynyt26.7.2015

Onko tässä L = ½(I₁Ω₁² + I₂Ω₂² + I₃Ω₃²) ja vastaavissa ∂L/∂Ω = IΩ = L = vakio päätelmissä koordinaattivalinnan kanssa ongelma?

Vapaan hiukkasen tapauksessa L = ½m(V₁² + V₂² + V₃²) = L = ½m( (x₁')² + (x₂')² + (x₃')²) ja ∂L/∂(x') = mx' = P = vakio menee oikein. On valittu kolme toisistaan riippumatonta koordinaattia ja niiden aika-derivaatat, jollon L on periaatteessa oikeaa muotoa L(x, x',t).

Mutta mikä on kulmanopeutta Ω vastaava yleistetty koordinaatti, jonka aika-derivaattaa kukin Ω vastaa, ja ovatko ne varmasti toisistaan riippumattomia. Hmm. Pitäisikö L kirjoittaa sittenkin Eulerin kulmien avulla, jotka ovat riippumattomia?

Minä vaan heittelin, kun en keksi terävää oikeaa vastausta.

QS
Seuraa 
Viestejä4348
Liittynyt26.7.2015

Hmm. Ja liikemäärämomentti L ja hitausmomentti I eivät nekään ole riippumattomia. Meneekö toi derivointikin Ω:n suhteen pieleen. Vastatkoon joku viisas nyt. en tiedä :)

jto
Seuraa 
Viestejä161
Liittynyt17.10.2009

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Avasin tälläisen ketjun jonka tarkoituksena on käsitellä enemmän ja vähemmän analyyttiseen mekaniikkaaan liittyviä asioita. Analyyttisella mekaniikalla tarkoitetaan tavallisesti Lagrangen tai Hamiltonin mekaniikkaa. Laajennettuna termi voi sisältää erinäisiä johdannaisia kyseisistä teorioista. Analyyttinen mekaniikka ei käytä Newtonin voimaoppia, vaan keskeisiä suureita ovat skalaariset suureet, kuten esimerkiksi energia.

Kuten tunnettua, Newtonin liikeyhtälöt voidaan johtaa vähimmän vaikutuksen periaatteesta

0 = δ ∫L dt,

missä L on systeemiä kuvaava Lagrangen funktio. Yleensä L = T - V, missä T on systeemin liike-energia ja U on potentiaalienergia.

Tuohon kyllä kommentoisin sen verran, että Newtonin liikeyhtälöt voidaan johtaa mm. esittämästäsi vähimmän vaikutuksen periaatteesta silloin, kun kaikki systeemiin vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia. Jos mukana on epäkonservatiivisia voimia, niin niiden variaatio jää integraaliin sisälle (no itse asiassa epäkonservatiivisten voimien osalta kyseessä on virtuaalinen työ, koska niillä ei välttämättä ole olemassa variaatiota). Tämän takia Newtonin liikeyhtälöt kattaa kaikki tapaukset, mutta tuossa muodossa vähimmän vaikutuksen periaate pätee vain konservatiivisille systeemeille.

Siitä voidaan tietysti keskustella, esiintyykö (mallinnettavassa) luonnossa epäkonservatiivisia voimia vai ovatko ne vain seurausta puutteellisesta mallintamisesta (esim. kitkavoimat).

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Viikon tiedekysymys on siis:

Mikä meni vikaan ylläolevassa vapaan jäykän kappaleen tapauksessa pieleen?

Kuten QS tuossa jo totesi, vikaan mentiin siinä, että kulmanopeusvektorin komponentit eivät ole minkäänlaisten yleistettyjen koordinaattien aikaderivaattoja. Kulmanopeusvektorin komponentit pitää kirjoittaa joidenkin yleistettyjen koordinaattien (vaikkapa Eulerin kulmien) avulla ja lähteä sitten vasta derivoimaan. Ja homman helpottamiseksi kulmanopeusvektorin komponentit (sekä hitausmomentit ja -tulot) pitää esittää sellaisessa koordinaatistossa, jossa hitaustensorin komponentit ovat vakioita (kappaleeseen sidottu koordinaatisto on tietysti ok, joskus on muitakin mahdollisuuksia esim. pallolle).

Itse olen joskus nähnyt Lagrangen yhtälöt jäykälle kappaleelle sellaisessa muodossa, missä liike-energia derivoidaan kulmanopeuskomponenttien suhteen, mutta silloin niihin tulee pientä modifikaatiota standardimuotoisiin Lagrangen yhtälöihin verrattuna. Ei ole kyllä nyt mitään lähdettä antaa. Jotain oli Whittakerissa (E.T. Whittaker, A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, 1937), muistaakseni.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä1917
Liittynyt24.1.2014

Joo, kiitoksia vastauksista.

Quantum State kirjoitti:
Vapaan hiukkasen tapauksessa L = ½m(V₁² + V₂² + V₃²) = L = ½m( (x₁')² + (x₂')² + (x₃')²) ja ∂L/∂(x') = mx' = P = vakio menee oikein. On valittu kolme toisistaan riippumatonta koordinaattia ja niiden aika-derivaatat, jollon L on periaatteessa oikeaa muotoa L(x, x',t).

Mutta mikä on kulmanopeutta Ω vastaava yleistetty koordinaatti, jonka aika-derivaattaa kukin Ω vastaa, ja ovatko ne varmasti toisistaan riippumattomia. Hmm. Pitäisikö L kirjoittaa sittenkin Eulerin kulmien avulla, jotka ovat riippumattomia?

Juuri näin, nuo kulmanopeudet eivät oikein tule mistään koordinaateista eli tuo Lagrange ei ole muotoa L(x,x') tai edes L(x') ja variaatioperiaatetta ei oikein sitten voi soveltaa.

jto kirjoitti:
Tuohon kyllä kommentoisin sen verran, että Newtonin liikeyhtälöt voidaan johtaa mm. esittämästäsi vähimmän vaikutuksen periaatteesta silloin, kun kaikki systeemiin vaikuttavat voimat ovat konservatiivisia. Jos mukana on epäkonservatiivisia voimia, niin niiden variaatio jää integraaliin sisälle (no itse asiassa epäkonservatiivisten voimien osalta kyseessä on virtuaalinen työ, koska niillä ei välttämättä ole olemassa variaatiota). Tämän takia Newtonin liikeyhtälöt kattaa kaikki tapaukset, mutta tuossa muodossa vähimmän vaikutuksen periaate pätee vain konservatiivisille systeemeille.

Siitä voidaan tietysti keskustella, esiintyykö (mallinnettavassa) luonnossa epäkonservatiivisia voimia vai ovatko ne vain seurausta puutteellisesta mallintamisesta (esim. kitkavoimat).

Joo, multa oli hieman huolimattomasti sanottu tuo Newtonin liikeyhtälöiden johto, asia on niin kuin sanot.

jto kirjoitti:
Kuten QS tuossa jo totesi, vikaan mentiin siinä, että kulmanopeusvektorin komponentit eivät ole minkäänlaisten yleistettyjen koordinaattien aikaderivaattoja. Kulmanopeusvektorin komponentit pitää kirjoittaa joidenkin yleistettyjen koordinaattien (vaikkapa Eulerin kulmien) avulla ja lähteä sitten vasta derivoimaan. Ja homman helpottamiseksi kulmanopeusvektorin komponentit (sekä hitausmomentit ja -tulot) pitää esittää sellaisessa koordinaatistossa, jossa hitaustensorin komponentit ovat vakioita (kappaleeseen sidottu koordinaatisto on tietysti ok, joskus on muitakin mahdollisuuksia esim. pallolle).

Juuri näin, nuo kulmanopeudet eivät ole minkään yleistettyjen koordinaattien aikaderivaattoja. Hieman kinkkistä on sitten todistaa tämä. Oikeastaan, vaikka nuo kulmanopeusvektorin komponentit olisivatkin tullleet jostain koordinaateista Q₁, Q₂, Q₃ aikaderivaattoina, tulos olisi edelleen väärin, koska nuo ylläolevat Lagrangen yhtälöt olisivat antaneet tuloksen L =(L₁,L ₂, L ₃) = vakio. Koska tuo vektori L on esitetty siinä pääakselikoodinaatistossa (joka pyörii, yleensä, heh), se on kappaleen suhteen muuttumaton joka on selvästi väärin.

jto kirjoitti:
Itse olen joskus nähnyt Lagrangen yhtälöt jäykälle kappaleelle sellaisessa muodossa, missä liike-energia derivoidaan kulmanopeuskomponenttien suhteen, mutta silloin niihin tulee pientä modifikaatiota standardimuotoisiin Lagrangen yhtälöihin verrattuna. Ei ole kyllä nyt mitään lähdettä antaa. Jotain oli Whittakerissa (E.T. Whittaker, A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, 1937), muistaakseni.

Tuo modifikaatio ehkä voi olla  sitä mitä olin tekemässä/lukemassa, kun tuo mun kyssäri tuli mieleen. Tuossa tosiaankin asetetaan rajoite tuolle kulmanopeuden Ω variaatiolle δΩ, sen pitää toteuttaa seuraava yhtälö:

δΩ = K' + Ωx K,

missä K on ajasta riippuva vektori, joka toteuttaa ehdot K(a) = K(b) = 0, missä ajan hetket t = a ja t = b ovat variaatiointegraalin ajan päätepisteet. Tuolla ehdolla on mahdollista johtaa liikeyhtälöt variaatioperiaatteella  ja saada tuloksena ne Eulerin liikeyhtälöt kulmanopeuden Ω avulla pääakselikoordinaatistossa. Tuossakaan ei tarvita koordinaatteja, josta kulmanopeudet olisivat aikaderivaattoja  vaan nuo kulmanopeuden komponentit ovat itse niitä koordinaatteja eli tuo on hieman erilainen variaatioperiaate ja ei siten palaudu Lagrangen mekaniikaan tai ainakin niin minä tuon ymmärsin. Hmm.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14357
Liittynyt16.2.2011

Kiinteä aine on luonnossa aina elastista ja sitä kautta hiukkasten vapauksien rajoitteet hiukan varioivat, millä on "perhosvaikutusta" kierroissa. Pienikin muodonmuutos saattaa johtaa kiertoakselin vaihtumiseen.

Elastisuus ja sidokset voidaan käsittääkseni palauttaa hierarkisesti yhä pienemmiksi pyörimisiksi - niiksi prekessioiksi ja nutaatioiksi, joista hitausvoimaketjussa on jauhkattu. Tosin tietysti sähköheikko dualismi alkaa kvanttirajalla vaikuttaa koherensseillaan ja klassisuus hajoaa...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14357
Liittynyt16.2.2011

ksuomala kirjoitti:
Sitten on kanssa olemassa sellainen asia kuin Hamilton-Jacobi-formalismi.

Jep. Kun todennäköisyystiheyden aaltofunktio lyödään Schrödingeriin, klassisella rajalla saadan Hamilton-Jacobi eli hiukkasen aaltofunktion vaiheen voidaan tulkita olevan klassinen vaikutus sille polulle, joka “oikeasti” toteutuu. Kun vielä käsitetään mitta-avaruus duaalimonistoksi, voidaan erottaa vastakkaisissa vaiheissa toteutuva spin1/2-vaahto, josta sähköheikko dynamiikka saadaan emergentisti. Tuo soluautomaattimatematiikka on tosin vielä tunnetusti kehitysasteella.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

kortan
Seuraa 
Viestejä7327
Liittynyt21.3.2016

Tässä kaavojen pyörittelyn hekumassa ei pitäisi unohtaa sellaista tosiasiaa, että vaikka fysiikan ilmiöitä kyettäisiin ratkomaan ilman voimia ja momentteja ne kuitenkin ovat fysiikassa aina olemassa jos massahiukkanen kiihtyy tai ulotteinen massakappale kulmakiihtyy. Kappaleen kiihtyvyys on aina siihen kohdistuvan voiman tai voimien resultantin suuntainen ja kulmakiihtyvyys aina kappalaleeseen kohdistuvan momentin tai momenttien resultantin suuntainen. Kun nämä Newtonin mekaniikan perussäännöt unohdetaan voidaan joutua jopa niin pöyristyttävään väitteeseen että ulotteinen massakappale kulmakiihtyy ilman momenttia kuten PPo väittää tai tulkitsee väärin Butikovin kirjoituksia.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14357
Liittynyt16.2.2011

http://www.umsl.edu/~fraundorfp/anyspeed/properForce.pdf

Voimakäsitettä selkeyttää, kun erottellee geometriset koordinaatistoriippuvat voimat ja itseisvoimat.

(Jotenkin minusta tuntuu, ettei ketjun aloittaja tarkoittanut, että alamme keskustella voimista. ;D)

Joka tapauksessa analyyttista mekaniikkaakin helpottaa sama jako; todellinen vaikutus tulee vain hiukkasten välistä epäsymmetristä gradienttia muodostavista vuorovaikutuksista, joita eivät ole hitaus tai gravitaatio - niistä aiheutuu ainoastaan näennäisiä kiihtyvyyksiä.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

kortan
Seuraa 
Viestejä7327
Liittynyt21.3.2016

Ei hiukkasten väliset vuorovaikutukset synny itsestään.

Ajattelin esmohyrrää välittömästi alakuolonjälkeen jolloin ei muutu liike-energia eikä potentiaalienergia. Sen sijaan on pakko olla kiihtyvyyttä jonka suunta muuttuu kuten ympyräliikkeessä. Ulkoinen voima kohdistuu kiinteään pisteeseen muualle kuin kiihtyvään painopisteeseen joten kulmakiihtyvyys edellyttää momenttia. Miten tällaiseen tapaukseen voi soveltaa Lagrangen tai Hamiltonin menetelmiä? Vai voiko mitenkään?

En tunne menetelmiä mutta olen täysin varma etteivät ne voi johtaa edellä mainittuun räikeään ristiriitaan Newtonin mekaniikassa.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14357
Liittynyt16.2.2011

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Otetaanpa etäisyyttä hörhöilyyn.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat