Seuraa 
Viestejä4442
Liittynyt26.7.2015

Lainaus eräästä toisesta keskustelusta:

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...
Ryhmäteoria voi olla joskus abstraktia ja aika luotaantyöntävää, mutta hyvät esimerkit fysiikasta, geometriasta ym.antavat eloa aiheeseen, esimerkiksi sellainen käsite kuin ryhmien H ja N (ulkoinen) puolisuora (semidirect) tulo H⋉N on määritelty tietyllä tavalla, joka ei herätä mitään fiiliksiä ollenkaan, se on vain tietynlainen ryhmien karteesisen tulon HxN yleistys. Kuitenkin tuo puolisuora tulo on läsnä fysiikan ryhmissä, kuten hyvin havainnollisesti, esimerkiksi avaruden ℝ³ isometriaryhmä SE(3) (säilyttää vektorien pituudet&orientaation) on puolisuora tulo rotaatioryhmästä R ≈ SO(3) ja ja translatioryhmästä T ≈ ℝ³, siis:

SE(3) = SO(3) ⋉ℝ³,

tuo isometriaryhmä SE(3) ei ole siis karteesinen tulo SO(3)x ℝ³.

No, tuo ylläoleva yritti olla esimerkkinä siitä että tavallaan ihan helposti käsitettävä ryhmä (translaatiot+rotaatiot) kantaa mukanaan rakennetta, joka ei ole aivan ilmeinen ja vaikka tuolla nyt ei ole mitään suuria sovelluksia tiedossa, sen rakenne periytyy myös Galilein ryhmään G(3), joka koostuu ryhmästä SE(3) plus aikatranslaatioista ja puskuista, joka on sitten 10-ulotteinen Lien ryhmä.

Toki myös tuo SE(3) on 6-ulotteinen Lien ryhmä, se on dimensioltaan sama kuin suhteellisuusteorian Lorentz-ryhmä SO(1,3), joka on myös 6-ulotteinen Lien ryhmä. Tavallaan niin samanlaisia, mutta niin erilaisia.

Tässä langassa tarkoitus käsitellä ryhmäteoriaa ja ryhmien esitysteoriaa. Näillä on paljon sovelluksia varsinkin fysiikassa. Ryhmän käsitteen voi parilla sanalla mieltää siten, että se on 'joukko symmetrioita'.

Ryhmäteoria on teoria, jolla tutkitaan symmetrioita. Hiukkasfysiikka hyödyntää sitä runsaasti, ja ryhmäteorian avulla on periaatteessa mahdollista jopa ennustaa uusia alkeishiukkasia ennen niiden löytymistä. Luonnon perusvuorovaikutukset ja säilymislait voidaan nekin palauttaa symmetrioiksi. Suhteellisuusteoriakin perustuu aika-avaruuden symmetrioihin.

Kaikki aiheeseen liittyvät kysymykset ovat sallittuja, muutkin kuin palstan tylsimmät teoreetkot voivat osallistua. Saa kysellä tyhmiäkin. Niin minäkin aion tehdä.

Sivut

Kommentit (107)

QS
Seuraa 
Viestejä4442
Liittynyt26.7.2015

Voisi SO(1,3)-ryhmää pohtia alkulämmittelynä, kevyesti tiivistäen...

Lorentz-muunnosten perusominaisuus (suhteellisuusteorian postulaateista johdettavissa) on, että ne säilyttävät nelivektoreiden pituudet xᵤxᵘ = gᵘᵛxᵤxᵥ = (x₀)²-(x₁)²-(x₂)²-(x₃)² invariantteina. Muunnokset suoritetaan 4x4 matriiseilla Λ, jotka muuntavat nelivektorit koordinaatistosta toiseen: (x')ᵘ = Λᵘᵥxᵛ. Matriisit toteuttavat ΛᵘₑΛᵛᵣgᵉʳ = gᵘᵛ, ja det Λ = ±1 . Myös käänteismatriisi Λ⁻¹ on validi Lorentzmuunnos. Nelivektorien pituudet säilyvät silloinkin, kun vektoria pyöräytetään 3d-avaruudessa, joten rotaatiokin on Lorentzmuunnos. Yleistäen Lorentzmuunnos voidaan kirjoittaa rotaation ja puskun tulona Λ = BR, jossa B on pusku ja R rotaatio.

Voidaan osoittaa, että kaikkien mahdollisten Λ-matriisien joukko muodostaa ei-abelisen Lien ryhmän, Lorentzin ryhmän SO(1,3). Kyseessä on symmetriaryhmä.

Yleensä Lorentzmuunnokset eivät ole infinitesimaaleja, vaan äärellisiä puskuja tai rotaatioita. Matematiikaltaan nuo rakentuvat kuitenkin peräkkäisistä infinitesimaalisen pienistä muunnoksista, jotka ovat ryhmän generaattoreita.

Infinitesimaali muunnos voidaan kirjoittaa Λᵘᵥ = δᵘᵥ + ωᵘᵥ, jossa Kroneckerin delta kuvaa identiteettiä (muunnos joka ei tee mitään) ja matriisi ωᵘᵥ infinitesimaalia Lorentzmuunnosta. Ehdosta ΛᵘₑΛᵛᵣgᵉʳ = gᵘᵛ saadaan (δᵘₑ+ωᵘₑ)(δᵘᵣ+ωᵘᵣ)gᵉʳ = gᵘᵛ, joka toteutuu, kun ωᵘᵛ = -ωᵛᵘ. Tässä ωᵘᵛ on oltava antisymmetrinen 4x4 matriisi. Tuollaisia toisistaan riippumattomia matriiseja löytyy 6 kpl, joista xyz-akseleille kolme rotaatioiden generaattoria J¹,J²,J³ ja kolme puskujen generaattoria K¹,K²,K³.

Matriisit muodostavat Lien algebran so(1,3) kannan {J¹,...K³}, joka voidaan ajatella myös 6-ulotteisen topologisen SO(1,3)-moniston tangenttiavaruuden kantavektoreina. Aihetta pyöriteltiin eräässä toisessa keskustelussa perinpohjin.

Generaattoreille pätevät muun muassa Lien algebran so(1,3) kommutoinnit: [J¹,J²] = J³, [K¹,K²] = -J³ ja [J¹,K²]=K³. Loput kommutoinnit kierrättämällä indeksejä 1,2 ja 3. Generaattorit eksplisiittisesti esim. tästä:

https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group...

(Wikissä J¹ = J²³ = -J³² jne kaksi-indeksinen nimeäminen on kikka, jolla kommutointisäännöt kirjoitetaan yhdellä kaavalla Minkowskimetriikasta gᵘᵛ, kaava näkyy linkissäkin. Helpottava kikka, ei sen syvempää tietääkseni.) Matriisien J¹,J² ja J³ oikeassa alakulmassa näkyy 3d-avaruuden rotaatioiden generaattorit, jotka 3x3 matriiseja.

Käytännön Lorentz-muunnos Λ muodostetaan Lien algebran generaattoreista eksponentin avulla. Esim jos halutaan tehdä rotaatio kulmalla Θ, muodostetaan rotaatiomatriisi R(Θ) = exp(Θ·J), jossa J on vektori (J¹,J²,J³). Vastaavasti pusku saadaan B(ξ) = exp(-ξ·K). Yleisemmin Λ(ξ,Θ) = exp(-ξ·K+Θ·J). Jos noita laskee eksplisiittisesti, niin tulokset ovat todellakin tuttuja Lorentz-matriiseja. Kaikkien matriisien joukko { R(Θ),B(ξ),Λ(ξ,Θ) } muodostaa symmetriaryhmän SO(1,3).

Toinen tärkeä suhteellisuusteorian ryhmä on Poincare ryhmä ISO(3,1), jossa edellisten lisäksi avaruuden ja ajan translaatiot. Ryhmä on translaatioiden ja Lorentz-ryhmän puolisuora tulo ℝ⁴ ⋊ SO(3,1).

Pitäisi raapustaa esimerkki säilyvistä Noetherin virroista SO(1,3) symmetrian tapauksessa. Generaattoreita on 6, joten Noetherin virtojakin pitäisi löytyä sama määrä.

Miksi sitten vaikkapa suhtiksen kaavoja halutaan pyöritellä abstraktin oloisella ryhmäteorialla? Ehkä tässä ketjussa saadaan vastauksia ajan mittaan.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Yes, hienoa QS , nyt meillä on sittten tämä ryhmäteoriaketju avattuna (syksyn riesa ?, heh heh.. ). Tämä on tosiaan kyllä hyvin laaja ja vaativa aihepiiri, mutta onhan tässä aikaakin

Quantum State kirjoitti:
Voisi SO(1,3)-ryhmää pohtia alkulämmittelynä, kevyesti tiivistäen...

Kyllä, tiivistys on aina paikallaan, koska mainitsemasi SO(1,3):n käsittely ilmeisesti voi viedä helposti satoja ja satoja sivuja, joten -  kyllä - minä kannatan myös tiivistämistä, heh..

Tossa sun avauksessa on niin paljon kaikenlaista mielenkiintoista pohdittavaa ja kommentoitavaa, mutta tällä kertaa kirjoittelin tälläistä:

Quantum State kirjoitti:
Infinitesimaali muunnos voidaan kirjoittaa Λᵘᵥ = δᵘᵥ + ωᵘᵥ, jossa Kroneckerin delta kuvaa identiteettiä (muunnos joka ei tee mitään) ja matriisi ωᵘᵥ infinitesimaalia Lorentzmuunnosta. Ehdosta ΛᵘₑΛᵛᵣgᵉʳ = gᵘᵛ saadaan (δᵘₑ+ωᵘₑ)(δᵘᵣ+ωᵘᵣ)gᵉʳ = gᵘᵛ, joka toteutuu, kun ωᵘᵛ = -ωᵛᵘ. Tässä ωᵘᵛ on oltava antisymmetrinen 4x4 matriisi. Tuollaisia toisistaan riippumattomia matriiseja löytyy 6 kpl, joista xyz-akseleille kolme rotaatioiden generaattoria J¹,J²,J³ ja kolme puskujen generaattoria K¹,K²,K³.

Kyllä, noinhan nuo Lorentz-ryhmän generaattorit saadaan näkyviin. Tässä on kuitenkin sellainen melko huomaamaton sudenkuoppa, joka aikoinaan aiheutti mulle harmaita hiuksia koska mun laskut olivat jotenkin pielessä. Nuo kolme rotaation generaattoria J¹,J² ja J³ ovat todellakin antisymmetrisiä matriiseita, mutta kaikki puskugeneraattorit K¹,K² ja K³ovat symmetrisiä matriiseita! Yksi tapa nähdä on heti tuo alkuperäinen esitys infinitesimaaliselle Lorentz-muunnokselle Λᵘᵥ = δᵘᵥ + ωᵘᵥ, siinä  δᵘᵥ vastaa identtistä matriisia ja ωᵘᵥ sitä infintesimaalista lisäystä eli ωᵘᵥ = ξ·K+Θ·J ei saa tässä käyttää sitä antisymmetristä muotoa ωᵘᵛ, nyt tämä ωᵘᵥ ei ole antisymmetrinen eikä symmetrinen vaan se voidaan koota noiden generaattoreiden K ja J avulla.

Toinen tapa nähdä tuo ja joka on koordinaattiinvariantti on seuraava:

g =gᵘᵛ = diag{1,-1,-1,-1} ja ω = ωᵘᵥ, siis matriiseja (ei komponentteja) niin tuo infinitesimaalinen Lorentz-muunnos voidaan kirjoittaa Λ = I + ω ja ehto sille että Λ on Lorentz on Λ†gΛ = g eli g = (I + ω)†g(I + ω) = (g + ω†g )(I + ω ) = g + gω +  ω†g + ω†g ω.  Lauseketta voi supistaa ja sieventää huomioimalla että ω†g ω = 0, (lasketulla kertaluvulla) jolloin saadaan gω + ω†g = 0, joka voidaan kirjoittaa muodossa
(gω)† = - gω eli matriisi gω on antisymmetrinen. No tämä on sinun yläindeksinen matriisi ωᵘᵛ (tai alaindeksinen myös).

Quantum State kirjoitti:
Generaattoreille pätevät muun muassa Lien algebran so(1,3) kommutoinnit: [J¹,J²] = J³, [K¹,K²] = -J³ ja [J¹,K²]=K³. Loput kommutoinnit kierrättämällä indeksejä 1,2 ja 3. Generaattorit eksplisiittisesti esim. tästä:

Representation theory of the Lorentz group#Explicit_formulas

Tossa sun linkissä on oikeastaan lisätty sinne se fyysikoiden rakastama imaginaariyksikkö i kertoimeksi noille matriiseille K ja J. jolloin siellä nuo kommutaattoritkin saavat riesakseen imaginaariyksikön:  [J¹,J²] = iJ³, [K¹,K²] = -iJ³ ja [J¹,K²] = iK³, mutta kyllä siitä voi tosiaan lukea ne generaattoreiden muodon ilman imaginaariyksikköäkin. Jos nyt käyttäisi tuota imaginaariyksilkköä, pitäisi sen efekti kumota sitten eksponettifunktiossa, johon liittyen:
 

Quantum State kirjoitti:
Käytännön Lorentz-muunnos Λ muodostetaan Lien algebran generaattoreista eksponentin avulla. Esim jos halutaan tehdä rotaatio kulmalla Θ, muodostetaan rotaatiomatriisi R(Θ) = exp(Θ·J), jossa J on vektori (J¹,J²,J³). Vastaavasti pusku saadaan B(ξ) = exp(-ξ·K). Yleisemmin Λ(ξ,Θ) = exp(-ξ·K+Θ·J). Jos noita laskee eksplisiittisesti, niin tulokset ovat todellakin tuttuja Lorentz-matriiseja. Kaikkien matriisien joukko { R(Θ),B(ξ),Λ(ξ,Θ) } muodostaa symmetriaryhmän SO(1,3).

Kyllä, nuo kaavat ovat tosi näppäriä: niillä on eksplisiittien muoto, jossa jokainen Λ annetaan eksponenttifunktion avulla. Jos tuon i:n haluaisi liittää generaattoreihin, kuten siinä Wikin artikkelissa, pitäisi sitten käyttää lausekkeita

R(Θ) = exp(-iΘ·J)
B(ξ) = exp(iξ·K)
Λ(ξ,Θ) = exp(iξ·K - iΘ·J),

en kyllä tiedä miksi siinä Wikin generaattorien määritelmissä on se i mukana, koska suhtiksessa kai pärjätään ihan ilmankin. Tosin se voi olla kirjoitettu kvanttimekaniikkaa silmälläpitäen. Lisäksi tuon i:n ujuttaminen mukaan lisää ylimääräisiä lukuja -1 sinne sun tänne jotka sitten unohtuvat tai supistuvat virheellisesti ja lasku menee väärin, heh.(mulla menee aina supistaminen pieleen tyyliin -i(-i * i)= i tms.)

Jatkuu toisessa viestissä, koska teksti liian pitkä...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Jatkoa edelliseen:

Lopuksi, jos ollaan ihan pedanttisia niin SO(1,3) ei ole sama kuin seuraava matriisien joukko:

{Λ| Λ on 4x4 matriisi jolle Λ†gΛ = g}.

Tuota merkitään symbolilla O(1,3) ja jokaiselle O(1,3) matriisille pätee se detΛ = ±1, kuten tuossa viestisi alussa sanoitkin. SO(1,3) koostuu niistä O(1,3):n alkioista, joilla detΛ = 1 , siis:

SO(1,3) = {Λ| Λ∈O(1,3) ja detΛ = 1}.

Tällä ryhmällä on topologisesti kaksi erillistä komponenttia SO+(1,3) ja SO-(1,3):

SO+(1,3) = {Λ| Λ∈SO(1,.3) ja Λ säilyttää ajan suunnan}
SO-(1,3) = {Λ| Λ∈SO(1,3) ja Λ kääntää ajan suunnan}.

Ajan suunnan säilyminen tarkoittaa, että uusi ja vanha kasvavan ajan suunta on samassa valokartion puolikkaassa ja kääntyminen, että ne ovat eri kartion puolikkaassa. Esimerkkinä ajankäänntö T = {-1,1,1,1} kääntää ajan suunnan ja kuuluu siten tuohon jälkimmäiseen (johon myös esimerkiksi  diag{-1, -1, -1, -1}).

Tuo ensimmäinen eli SO+(1,3) on ryhmä ja se sisältää yksikkömatriisin I =diag{1,1,1,1} ja kaikki Lien algebran matriisieksponentit kuuluvat tähän ryhmään eli tuo generaattoreista muodostettu eksponentti  exp(-ξ·K+Θ·J) ∈ SO+(1,3).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Tuli vielä mieleen noista Lien algebran so(1,3):n generaattoreista J¹,J²,J³, K¹,K²,K³ tämä:

Quantum State kirjoitti:
Generaattoreille pätevät muun muassa Lien algebran so(1,3) kommutoinnit: [J¹,J²] = J³, [K¹,K²] = -J³ ja [J¹,K²]=K³. Loput kommutoinnit kierrättämällä indeksejä 1,2 ja 3. SO(1,3).

Usko tai älä, mutta viime viikonloppuna vastaani tuli ryhmä SO(4) ja sen Lien algebra so(4). Ryhmänä SO(4) on 6-ulotteinen, kuten Lorentz-ryhmäkin ja sillä on myös Lien algebran so(4) kantana 6 matriisia J¹,J²,J³, K¹,K²,K³, jotka kaikki ovat nyt oikeasti antisymmetrisiä ja niiden kommutaattorit toteuttavat: [J¹,J²] = J³, [K¹,K²] = J³ ja [J¹,K²] = K³. Loput kommutoinnit kierrättämällä indeksejä 1,2 ja 3. Noilla so(4) ja so(1,3):n kommutaattoreilla on erona vain yksi (!) miinusmerkki.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Vielä tuli tälläinen mieleen, miten tuo koko ryhmä O(1,3) voidaan kuvata, kun oli määritelmänä:

O(1,3) = {Λ| Λ on 4x4 matriisi jolle Λ†gΛ = g}.

Määritellään kuvaus P= diag{1,-1,-1,-1} ja T = {-1, 1 ,1, 1}. P on nimeltään inversio tai pariteettioperaattori, koska se muuttaa 3-avaruuden orientaation ja T on ajankääntöoperaattori, koska se muuttaa ajan suunnan.

Sevästikkin PT = TP = {-1, -1, -1, -1}. Nämä neljä O(1,3):n alkiota plus idettisen kuvauksen I kanssa muodostavat myös nelialkioisen ryhmän {I, P, T, PT}.

Ryhmällä SO(1,3) oli kaksi erillistä komponenttia:

SO+(1,3) = {Λ| Λ∈SO(1,.3) ja Λ säilyttää ajan suunnan}
SO-(1,3) = {Λ| Λ∈SO(1,3) ja Λ kääntää ajan suunnan}

ja nyt voidaan kuvausten P,T avulla kirjoittaa koko O(1,3) näkyviin, se on yhdiste neljästä (topologisesti )erillisestä joukosta:

G I ≡ {Λ |  Λ ∈  SO+(1,3)}

G P ≡ {ΛP |  Λ ∈  SO+(1,3)}

G T ≡ {Λ T |  Λ ∈  SO+(1,3)}

GPT ≡ {Λ TP |  Λ ∈  SO+(1,3)}.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4442
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Tuli vielä mieleen noista Lien algebran so(1,3):n generaattoreista J¹,J²,J³, K¹,K²,K³ tämä:

Quantum State kirjoitti:
Generaattoreille pätevät muun muassa Lien algebran so(1,3) kommutoinnit: [J¹,J²] = J³, [K¹,K²] = -J³ ja [J¹,K²]=K³. Loput kommutoinnit kierrättämällä indeksejä 1,2 ja 3. SO(1,3).

Usko tai älä, mutta viime viikonloppuna vastaani tuli ryhmä SO(4) ja sen Lien algebra so(4). Ryhmänä SO(4) on 6-ulotteinen, kuten Lorentz-ryhmäkin ja sillä on myös Lien algebran so(4) kantana 6 matriisia J¹,J²,J³, K¹,K²,K³, jotka kaikki ovat nyt oikeasti antisymmetrisiä ja niiden kommutaattorit toteuttavat: [J¹,J²] = J³, [K¹,K²] = J³ ja [J¹,K²] = K³. Loput kommutoinnit kierrättämällä indeksejä 1,2 ja 3. Noilla so(4) ja so(1,3):n kommutaattoreilla on erona vain yksi (!) miinusmerkki.

Katsos, mielenkiintoinen yhteys.

Edellisissä viesteissä tulikin taas paljon tavaraa. Viikonloppuna kun ehdin niin pitää lukea tarkemmin.

Joo, jätin O(1,3) ryhmän mainitsematta, samoin kuin rajoitetun ja ortokronisen ryhmän. Mutta sulta ne tulikin kuin apteekin hyllyltä.  Multa jäi huomaamatta tuo puskugeneraattoreiden symmetrisyys (eli tosiaan kirjoitin väärin että nekin ovat antisymmetrisiä). Hyvä huomio.

Sitten tuo mokoma i-kirjain taas kummitelee. Yritin aiemmin selvittää, mikä tällä kertaa i:n selityksenä (mä toisessakin ketjussa manailin jonkun toisen ryhmän kanssa).  Tähän oli matemaattinenkin selitys, jonka vain toistan, koska en ymmärrä sitä:   so(1,3,R) kompleksifiodaan, jotta se saadaan isomorfiseksi su(2,C) x su(2,c) kanssa. Kompleksifiointia tarvitaan, koska (....rumpumusiikkia ja torvisoittoa....:) reaalisen Lien algebran reaalinen lineaarinen esitys on redusoimaton jos ja vain jos vastaava kompleksinen lineaarinen esitys on redusoitumaton. 

p.s toivottavasti mun ei ikinä tarvitse ymmärtää tuota perustelua, ja en edes tiedä onko se oikein. Sen ymmärrän, että redusoitumattomuuden etsiminen on tärkeää silloin kun tutkitaan SO(1,3) ryhmän esityksen mukaisesti muuntuvia hiukkasia.

Pitää jatkaa viikonloppuna tosiaan. Liikaa tavaraa kerralla ;)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Quantum State kirjoitti:
Edellisissä viesteissä tulikin taas paljon tavaraa. Viikonloppuna kun ehdin niin pitää lukea tarkemmin.

Joo, jätin O(1,3) ryhmän mainitsematta, samoin kuin rajoitetun ja ortokronisen ryhmän. Mutta sulta ne tulikin kuin apteekin hyllyltä.  Multa jäi huomaamatta tuo puskugeneraattoreiden symmetrisyys (eli tosiaan kirjoitin väärin että nekin ovat antisymmetrisiä). Hyvä huomio.

Kiitoksia palautteesta, mutta virheitä tulee jokaiselle, esimerkiksi tuo mun aikaisempi viesti sisällyttää tuo ajankäännön T = diag{-1,1,1,1} siihen ryhmään SO-(1,3) mikä on täysin väärin, koska det(T) = -1  joten T ei kuulu ryhmään SO(1,3) ollenkaan, koska kaikille SO(1,3):n alkioille A on  voimassa detA =1. Sitävastoin kahden alkion P ja T tulo PT= diag{-1, -1, -1, -1} kuuluu tosiaankin ryhmään SO(1,3), mutta se ei kuulu ryhmään SO+(1,3), koska PT kääntää sekä ajan suunnan että kääntää myös orientaation (pariteetin). Se PT kuuluu siihen ryhmään SO-(1,3). 

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4442
Liittynyt26.7.2015

Vielä i:stä. Jostain löysin tuon kompleksifiointi-argumentin, mutta toisaalla sanotaan, että kompleksiset generaattorit ovat valinta, jolla generaattorit saadaan hermiittisiksi.

Tuo on järkeenkäypä perustelu, koska silloin SO+(1,3) rotaatiogeneraattorit esittävät kulmaliikemäärää. Toisaalta puskugeneraattorit ovat tuolla logiikalla anti-hermiittisiä. Anti-hermiittinen generaattori kelpaa kyllä sekin tekemään unitaarisen muunnoksen Hilbertin avaruuteen, vaikka ei kelpaakaan observaabeliksi. Että kait tuo on riittävä perustelu i:lle.

QS
Seuraa 
Viestejä4442
Liittynyt26.7.2015

Heh, löytyi yksi tapa, jossa edes joku matriisi pysyy reaalisena ja antisymmetrisenä.

Jos käytetään wikissäkin (https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group...) määriteltyjä i:llä varustettuja hermiittisiä J ja K-matriiseja, ja hyödynnetään wikissä pari riviä alempana mainittua kaksi-indeksistä yhteen kaavaan pakattua kommutointisääntöä, niin voidaan kirjoittaa yleinen kaava: Λ = exp ( -1/2 ωᵘᵛ Jᵤᵥ), jossa ωᵘᵛ on reaalinen antisymmetrinen matriisi. Ja Jᵤᵥ tuo tapa ilmaista J ja K-matriisit kahdella indeksillä.

Wikin määritelmiin verrattuna tuossa kaavassa on joku miinusmerkki väärin tai ylä/ala-indeksi väärässä kohdassa, koska kaavan johtamisessa generaattorien etumerkkivalinta oli toinen ja taisi olla (-,+,+,+)-metriikka ja jotain muita detaljeja. En jaksanut tarkistaa. Mutta etumerkit huomoiden ainakin sinne päin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Quantum State kirjoitti:
Vielä i:stä. Jostain löysin tuon kompleksifiointi-argumentin, mutta toisaalla sanotaan, että kompleksiset generaattorit ovat valinta, jolla generaattorit saadaan hermiittisiksi.

Tuo on järkeenkäypä perustelu, koska silloin SO+(1,3) rotaatiogeneraattorit esittävät kulmaliikemäärää. Toisaalta puskugeneraattorit ovat tuolla logiikalla anti-hermiittisiä. Anti-hermiittinen generaattori kelpaa kyllä sekin tekemään unitaarisen muunnoksen Hilbertin avaruuteen, vaikka ei kelpaakaan observaabeliksi. Että kait tuo on riittävä perustelu i:lle.

Kyllä,  näin on, että tuo i:n mukanaolo tekee generaattoreista  hermiittisiä, no ainakin silloin kun se matriisi on antisymmetrinen/hermiittinen tms. Ihan yleiselle Lien algebran matriisille se ei onnistu (kai).

Tuo SO+(1,3) on kuitenkin siitä merkillinen ryhmä, että sille ei ole edes olemassa yhtään unitaarista esitystä eli kuvausta ∏ : SO+(1,3)→SU(n), missä n∈ℕ, missä siis tuo ∏(Λ)  olisi alkiosta Λ riippuva unitaarinen n x n-matriisi ∀ Λ∈ SO+(1,3).

Tuo tavallaan tekee sen mahdottomaksi että nuo generaattorit olisivat kaikki samaan aikaan antisymmetrisiä/hermiittisiä riippuen siitä kiusankappaleesta nimeltä i. koska silloin tuo matriisi Λ = exp( P)  olisi unitaarinen, kun P on lineaarikombinaatio valituista generaattoreista.

Tossa on huomattava se, että tuo ei kiellä suoraan muita äärellisulotteisia matriisiesityksiä, mutta kompakteja matriisiryhmiä ei ainakaan saa olla, kun kompakti tarkoittaa "kooltaan rajoitettua" (täsmällisemmin suljettu ja rajoitettu)

Hienommin sanottuna, kaikki ryhmän SO+(1,3) unitaariset esitykset ∏ ovat ääretönulotteisia eli ne ovat jonkin ääretönulotteisen Hilbert-avaruuden H unitaarisia operaattoreita ∏(Λ). En kyllä osaa sanoa, onko sitten vielä muitakin ääretönulotteisia esityksiä.

Kyllä me vielä tämä esitysteoria selvitetään. Itse olen tässä taistellut myös tuo Wikin Lorentz-ryhmä artikkelin kanssa ja täytyy kyllä sanoa, että asia on kyllä monimutkainen.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4442
Liittynyt26.7.2015

Juu. Kunhan pääsee vauhtiin ja aikaa on, niin tankkaan esitysteorian alkeista lähtien uusiksi. Kun en sitä koskaan edes ole oppinut pintaa syvemmältä. Sitä ennen tuon wikiartikkelin (on muuten kerrankin kattava artikkeli) aito ymmärtäminen on meitsille aivan mahdotonta.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

Quantum State kirjoitti:
Heh, löytyi yksi tapa, jossa edes joku matriisi pysyy reaalisena ja antisymmetrisenä.

Jos käytetään wikissäkin (https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_the_Lorentz_group...) määriteltyjä i:llä varustettuja hermiittisiä J ja K-matriiseja, ja hyödynnetään wikissä pari riviä alempana mainittua kaksi-indeksistä yhteen kaavaan pakattua kommutointisääntöä, niin voidaan kirjoittaa yleinen kaava: Λ = exp ( -1/2 ωᵘᵛ Jᵤᵥ), jossa ωᵘᵛ on reaalinen antisymmetrinen matriisi. Ja Jᵤᵥ tuo tapa ilmaista J ja K-matriisit kahdella indeksillä.

Wikin määritelmiin verrattuna tuossa kaavassa on joku miinusmerkki väärin tai ylä/ala-indeksi väärässä kohdassa, koska kaavan johtamisessa generaattorien etumerkkivalinta oli toinen ja taisi olla (-,+,+,+)-metriikka ja jotain muita detaljeja. En jaksanut tarkistaa. Mutta etumerkit huomoiden ainakin sinne päin.

Kylläpäs tämä onkin kimurannttia, mun piti ihan kaivaa se mun QFT-luentomoniste, jossa annetaan myös tuo sinun  antama kaava  Λ = exp ( -1/2 ωᵘᵛ Jᵤᵥ)  muodossa Λ = exp ( -1/2 ωᵤᵥ Jᵘᵛ), joka on lienee sama. Sitten siinä kyllä todetaan matriisien  Jᵘᵛ olevan antisymmetrisiä kiinteillä u ja v ja siinä on vielä annettu ne matriisit eksplisiittisesti. Hmm, ota nyt tästä selvää, mun täytyy pohtia tuota mitä sanoit noista J ja K-matriiseista. Se näyttäisi olevan tuossa mun monisteessakin, mutta en nyt osaa sanoa siihen mitään, sen verran indeksit hyppii silmissä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2057
Liittynyt24.1.2014

JPI kirjoitti:
Aᵘᵛ Bᵤᵥ = AᵤᵥBᵘᵛ aina.

Ahaa, osaatko perustella tuon mun kommentin kontekstissa, jossa mun kommentin  mukaan ωᵘᵛ Jᵤᵥ ja  ωᵤᵥ Jᵘᵛ ovat luultavasti samoja, tiedätkö mitä nuo kaavojen merkinnät edes tarkoittavat?

Hieman tässä haiskahtaa palstalla rehottava  "hitausvoimaperiaate", jossa kaavojen ulkoisesta muodosta päätellään niiden oletettu sisältö eli kaavoja tulkitaan väärin ymmärtämättä niiden oikeaa sisältöä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

JPI
Seuraa 
Viestejä25500
Liittynyt5.12.2012

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
JPI kirjoitti:
Aᵘᵛ Bᵤᵥ = AᵤᵥBᵘᵛ aina.

Ahaa, osaatko perustella tuon mun kommentin kontekstissa, jossa mun kommentin  mukaan ωᵘᵛ Jᵤᵥ ja  ωᵤᵥ Jᵘᵛ ovat luultavasti samoja, tiedätkö mitä nuo kaavojen merkinnät edes tarkoittavat?

Hieman tässä haiskahtaa palstalla rehottava  "hitausvoimaperiaate", jossa kaavojen ulkoisesta muodosta päätellään niiden oletettu sisältö eli kaavoja tulkitaan väärin ymmärtämättä niiden oikeaa sisältöä.

Metrisellä tensorilla voidaan tensorin indeksit korottaa tai laskea ilman että se vaikuttaa niiden yli summaukseen.

3³+4³+5³=6³

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat