Sivut

Kommentit (232)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

QS kirjoitti:
QS kirjoitti:

...

Ideana on löytää lisää esityksiä tutkimalla eri j₁,j₂ kombinaatioita, niiden esityksiä, ja varsinkin esitysavaruuksia (≈ hiukkaset). Esitys (½,½) rakennetaan spinoriesityksistä (½,0) ja (0, ½), joka osoittautuu olevan tensoritulo (½,0) ⊗ (0, ½). Diracin spinorin esityksessä on erona suora summa (½,0) ⊕ (0,½).

Ryhmäteorian kirjan aukeamisesta seuraa, että helvetti on irti. SL(2,ℂ) × SL(2,ℂ) on SO(1,3;ℂ)⁺:n kaksoispeite. Pitää tutkia peiteryhmää, eikä Lorentzryhmää. Vaikka kvanttimekaniikassa löydetään rotaatioryhmän SO(3) peite SU(2), ei riitä tutkia kahden ei-relativistisen su(2)-algebran kopiota, kun halutaan selvittää relativistiset esitykset. Tähän syynä se, että su(2) generaattorien eksponenttikuvaus tuottaa SO(3):n 2-ulotteisia matriiseja, ei SO(1,3)⁺:n Koska SO(1,3)⁺ ei ole yhdesti yhtenäinen, ei sen redusoitumattomia esityksiä (=irrep) ei voida lausua SU(2):n irrep:ien avulla. Jotain sellaistakin, että reaalisilla algebroilla so(1,3)⁺ ja su(2)⊕su(2) on sama kompleksinen esitys. Lopputulos: Pitää tutkia so(1,3;ℂ)⁺ -algebraa, jotta relativistisen peiteryhmän esitykset löytyvät vaikkakin näyttää siltä SL(2,C):n suhde SO(1,3)⁺:een on samankaltainen kuin SU(2):n suhde SO(3):een. Tuon takia pitää edetä toisella tavalla kuin kvanttimekaniikassa. Tämän kirjoittamani kappaleen matemaattisia perusteluita en edelleenkään tajua täysin, mutta kirjoitinpa vain.

Fysiikassa voidaan onneksi edetä brute-forcella. Esityksen (½,½) rakentamisessa käy ilmi, että se on täysin identtinen ryhmän SO(1,3;ℂ)⁺ perusesityksen kanssa (fundamental rep, Lorentzmatriisi). Esitysavaruus on käytännössä Minkoskinavaruuden nelivektorien avaruus. Siitä nimitys vektoribosoni. Joskus kuulee sellaisenkin lausahduksen, että nelivektori on 'rank-2 spinor', joka sekin on tavallaan oikein muotoiltu.

Jäi liian ylätasolle tuo raapustukseni mittakenttäteoria-ketjusta. Jatkan tähän.

Tunetusti SU(2) on SO(3):n universaali peite, ja fysiikassa on outo oivallus, että ryhmän sijasta paras tuktia peiteryhmiä mikäli sellaisia on.

Tämä on tosiaankin outoa, että tutkitaankin peiteryhmiä, minulle ei ole siitä koskaan tullut mitään suurta

ahaa-elämystä siitä, miksi niin, monissa kirjoissa peiteryhmä melkein vaan oletetaan suoraan. Katselin Sakurain QM-kirjaaa ja siinäkin ensin otetaan ihan ad hoc-periaatteella käyttöön 2-ulotteinen spinori ja sitten kehitetään formalismia ja lopuksi (kaiken muun lisäksi ) todetaan, että SU(2) on se oikea symmetriaryhmä. Toki Sakurai sitten myöhemmin kehittää tuon kulmaliikemääräoperaattorien avulla  sen SU(2):n yleisen esitysteorian, josta mainitsetkin alla:

[/quote=QS]

Kvanttimekaniikassa tutkitaan rotaatioissa SU(2):sta. Generaattorit ovat Jᵢ = ½ σᵢ, missä σᵢ Paulin matriiseja.

Ei-relativistisesti SU(2):n redusoitumattomat esitykset toimivat avaruudessa V, jonka dim = 2j+1. Tässä j = 0, ½, 1, 1½,..., jonka johtaminen kvanttimekaniikasta tuttua.

[/quote]

Tuon todistaminen on sellaista jännää pyöritystä niillä operaattoreilla QM:n kurssilla, matemaatikot esittelevät sitävastoin sopivan polynomiavaruuden, johon kulmaliikemäärän komponentteja vastaavat operaattorit operoivat. Tossa muuten tuo terminologia saattaa olla häälyvää, esimerkiksi jos tarkastellaan SU(2):n esityksiä, niin nuo generaattorit Jᵢ = ½ σᵢ,  olisivat 2 x 2 - matriiseja, jotka toimivat Lien algebran su(2) kantana. Nyt su(2):n esitys olisi ryhmähomomorfismi d: su(2) → Gl(V), missä tuon V:n dimensio on tuo mainitsemasi 2j+1. Siten tavallaan su(2):n kantavektorien kuvat d (Jᵢ) olisivat sitten esityksen generaattoreita.  Fyysikkojen esityksissä monesti kirjoitetaan vaan lyhyesti d(Jᵢ):n sijasta vain Jᵢ suoraan. Itselleni se on ollut aika hämmentävää.

Tosin munkin terminologia oli häälyvää kun tätä kirjoitin, matemaatikot rakentavat polynomeilla suoraan SU(2):n esityksen, kun taas useimmat fysiikan kirjat rakentavat Lien algebran su(2) esityksiä. Näistä Lien algebran esityksisä saadaan eksponetiaatiolla niitä ryhmän esityksiä, kuten alla esittelet:

QS kirjoitti:

Kun j=0, on esitysavaruus 1-ulotteinen. Ainoa su(2):n 1x1-generaattorimatriisi, joka toteuttaa algebran, on 0-matriisi. Matriisieksponentti exp(0) on triviaaliesitys 1, joka toimii 1-ulotteisessa avaruudessa.

Kun j=½, on esitysavaruus 2-ulotteinen kompleksinen vektoriavaruus. Spin-½ hiukkanen on ℂ²-avaruuden vektori ja vastaava SU(2) esitys on 2x2 matriisi. SU(2) generaattoreista J₁, J₂, J₃ vain yksi kerrallaan voi olla diagonaalinen. Yleensä diagonaaliseksi valitaan J₃ = ½ { {1, 0} ; {0, -1} }. J₃:n ominaisarvot ovat ½ ja -½, ja ominaisvektorit v_½ = (1, 0)ᵀ ja v_-½ = (0, 1)ᵀ. Tuo 2-ulotteinen esitys J₃ on ns. perusesitys (fundamental rep).

Lorentzryhmän SO(1,3)⁺ perusesitys on 4x4-matriisi, joka toimii 4-ulotteisessa Minkowskiavaruudessa. Vektorit tuttuja nelivektoreita.

SO(1,3)⁺:n generaattorit voidaan esittää muodossa Nᵢ⁺ = ½ (Jᵢ + iKᵢ) ja Nᵢ⁻ = ½ (Jᵢ - iKᵢ), missä nuo J ja K Lorentzgeneraattoreita. Tiedetään, että algebra so(1,3)⁺ sisältää kaksi kopita su(2):ta.

Esitys (½, 0): Tässä käytetään j₁=0-esitykseen generaattoria Nᵢ⁻ = ½ (Jᵢ - iKᵢ) = 0 --> Jᵢ = iKᵢ (tämä suoraan SU(2):n esityksestä j=0, jossa N on nollamatriisi). Vastaavasti j₂=½ esitykseen käytetään SU(2) generaattoria Nᵢ⁺ = ½ σᵢ. Ratkaistaan Jᵢ = ½ σᵢ ja Kᵢ = -½i σᵢ. Eksponenttikuvauksella saadaan Lorentz-rotaatio R(θ) = exp(iθ·J) = exp(½ iθ·σᵢ) ja pusku B(w) = exp(iw·K) = exp(½ w·σᵢ). Matriisit ovat 2x2 kompleksisia matriiseja, joiden esitysavaruudessa elää 2-ulotteisia relativistisia spinoreita. Nämä kirjoitetaan yleensä χᴸ = ( χᴸ₁, χᴸ₂ )ᵀ.

Esitys (0, ½): Muutoin kuin edellä, mutta käytetään Nᵢ⁺ = ½ (Jᵢ + iKᵢ) = 0 --> Jᵢ = -iKᵢ, ja toinen generaattori Nᵢ⁻ = ½ σᵢ. Saadaan sama R(θ), mutta pusku B(w) = exp( -½ w·σᵢ) eroaa miinusmerkillä eksponentissa, joka vihjaa siihen, että χᴿ = ( χᴿ₁, χᴿ₂ )ᵀ on ominaisuuksiltaan erilainen kuin χᴸ.

2-ulotteiset matriisit, jotka muuntava spinoreita χᴿ ja χᴸ ovat siis eri matriiseja (eri esityksiä). Ne kirjoitetaan usein notaatiolla Λ(½,0) ja Λ(0,½), jotka voi ajatella 2-ulotteisina Lorentzmuunnoksia.

Vasen- ja oikeakiraaliset spinorit voi perustella myös esityksen vasemmalla ja oikealla toiminnalla, jotka eroavat toisistaan. En tunne tätä lähestmistapaa, jossa onkin aihe oppimiselle :). Pitää penkoa.

Jos vastaavalla brute-forcella haetaan esitys (½, 0) ⊗ (0, ½) = (½, ½), päädytään SO(1,3)⁺ perusesitykseen. Sen verran monivaiheinen lasku, että joskus toiste. Mutta siis tulos on ns. vektorihiukkanen, joka muuntuu kuten nelivektori. Diracin spinorikin (½, 0) ⊕ (0, ½) vaatii hiukan pyörittelyä, joten toiste.

Jatkan juttua seuraavassa viestissä..

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

Prkl, kun ei pääse korjaamaan lainauksia, no tuossa ylläolevassa kuitenkin lainaukset ovat sentään jotenkin ymmärrettävissä. Sitten jatkoa:

QS kirjoitti:

Vasen- ja oikeakiraaliset spinorit voi perustella myös esityksen vasemmalla ja oikealla toiminnalla, jotka eroavat toisistaan. En tunne tätä lähestmistapaa, jossa onkin aihe oppimiselle :). Pitää penkoa.

Jos vastaavalla brute-forcella haetaan esitys (½, 0) ⊗ (0, ½) = (½, ½), päädytään SO(1,3)⁺ perusesitykseen. Sen verran monivaiheinen lasku, että joskus toiste. Mutta siis tulos on ns. vektorihiukkanen, joka muuntuu kuten nelivektori. Diracin spinorikin (½, 0) ⊕ (0, ½) vaatii hiukan pyörittelyä, joten toiste.

Joo, en ole tuohon kiraalisuuteen perehtynyt, mutta ilmeisesti sillä on tekemistä juuri tuon Diracin spinorin esityksessä esiintyvän suoran summan (½, 0) ⊕ (0, ½) vasemmman ja oikean puolen kanssa.

Kaava (½, 0) ⊗ (0, ½) = (½, ½) on tosiaankin ovela ja jäin nyt sitä pohtimaan. Vasen puoli on 4-ulotteinen esitys, joka on muodostettu kahdesta 2-ulotteisesta tensoritulona, mutta mitä sitten olisi  (0, ½)⊗(0, ½) tai  (½, 0)⊗ (½, 0)? Nuokin ovat 4-ulotteisia esityksiä ja niille kullekkin on 2 vaihtoehtoa, joko esitys on redusoitumaton tai redusoituva. Jos esimerkiksi (0, ½)⊗(0, ½) on redusoitumaton, se täytyy olla isomorfinen tuon (½, ½) kanssa, koska 4-ulotteisia redusoitumattomia esityksiä on tasan 1 kpl. Jos taasen (0, ½)⊗(0, ½) on redusoituva, täytyy sen olla summaesitys kahdesta tai useammasta redusoitumattomasta esityksestä, jotka kootaan esityksistä  (½, 0) , (0, ½)  ja (0,0) suorana summana.  siis jotain tyyliin:

(0, ½)⊗(0, ½) = (½, 0)⊕ (½, 0) 

tai

(0, ½)⊗(0, ½) = (½, 0)⊕0, ½)

tai

(0, ½)⊗(0, ½) =0, ½)⊕0, ½)

tai

(0, ½)⊗(0, ½) = (½, 0)⊕ (0,0)⊕(0,0)

jne..

Tossa on juuri hyvä huomata, että esitykset  (½, 0) ja 0, ½) eivät ole keskenään isomorfisia. jotenkin olisi houkuttelevaa ajatella, että kaikki esitykset A⊗B, missä A ja B ovat joko (½, 0) tai 0, ½) olisiviat isomorfisia tuon (½, ½) kanssa, mutta jotenkin epäilen tuota.  Ei kai tuolla mitään väliäkään ole, mutta tuollaisia pohtimalla tulee tuo rakenne selvemmäksi.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

....

Jos taasen (0, ½)⊗(0, ½) on redusoituva, täytyy sen olla summaesitys kahdesta tai useammasta redusoitumattomasta esityksestä, jotka kootaan esityksistä  (½, 0) , (0, ½)  ja (0,0) suorana summana...

Tuossa yllä tuli virhe, koska esitykset (1,0) ja (0,1) unohtui, siis lause pitäisi kuulua:

Jos taasen (0, ½)⊗(0, ½) on redusoituva, täytyy sen olla summaesitys kahdesta tai useammasta redusoitumattomasta esityksestä, jotka kootaan esityksistä  (1,0), (0,1), (½, 0) , (0, ½)  ja (0,0) suorana summana...

.

Voisi siis myös olla:

(0, ½)⊗(0, ½) = (0,1)⊕(0,0).

Tämä muuten onkin totta sillä tuohan on se Clebsch-Gordan hajotelma, jossa kahden spin 1/2 hiukkasen spin-tilaa kuvaava avaruus on tensoritulo yksittäisten hiukkasien spin-tilaa kuvaavista Hilbert-avaruuksista H = H½ H½. Nyt on voimassa hajotelma H = H⁰ ⊕ H¹, missä H⁰ on 1-ulotteinen antisymmetristen tilavektoreiden  virittämä ja H¹ on 3-ulotteinen symmetristen tilavektoreiden virittämä, (anti)symmetrisyys siis tarkoittaa spinien  tilojen suhteen seuraavaa, symmetriset tilavektorit:

Sy1 = |+>⊗|+ >

Sy2 = |->⊗|- >

Sy3 = 1/sqr(2)(| - >⊗| + > + | + >⊗| - >)

ja 1 antisymmetrinen:

Sy3 = 1/sqr(2)(| - >⊗| + > - | + >⊗| - >).

Ylläolevassa |+> ja |-> ovat spinin z-komponentin Sz ominaisvektoreita omiaisarvoin 1/2 ja 1/2.

Tietysti pitäisi saada samalla tavalla (½,0)⊗(½,0) = (0,0)⊕(1,0).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

Harmi, että ei voi editoida omaa viestiä.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

...

 Voisi siis myös olla:

(0, ½)⊗(0, ½) = (0,1)⊕(0,0).

Tämä muuten onkin totta sillä tuohan on se Clebsch-Gordan hajotelma, jossa kahden spin 1/2 hiukkasen spin-tilaa kuvaava avaruus on tensoritulo yksittäisten hiukkasien spin-tilaa kuvaavista Hilbert-avaruuksista H = H½ H½...

Tuo boldattu ei ole välttämättä totta, sillä jos vaikka ryhmän SU(2) esityksessä tuo esitysavaruus H halkeaa kahden redusoitumattoman  esityksen suoraksi summaksi H = H½ H½, niin ei tarvitse käydä samalla tavalla SO(1,3):lle itselleen. Meinasin ensin kirjoittaa, että SU(2) on SO(1,3):n Lien aliryhmä, mutta niinhän ei käsittääkseni ole, vaikka Lie algebran tasollla pätee, että su(2) on algebran  so(1,3) alialgebra . Paremminkin SU(2) on SO(1,3):n peiteryhmän SL(2,ℂ) aliryhmä.

Yleisemminkin voi käydä niin että jos ryhmän G esitys on redusoitumaton, voi silti G:n  aliryhmän H esitys olla redusoituva.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5510

Sulla monta hyvää viestiä. Paneudun tulevana viikkona. Aluksi fysiikan bruteforceilusta, joka työmaa sekin.

QM:n spin-operaattorit perustuvat ymmärtääkseni siihen, että diagonaalisten generaattoreiden joukko muodostaa Cartanin alialgebran. Vastaavat generaattorit ovat Cartanin generaattoreita. SU(2):lla on vain yksi Cartanin generaattori. Ja yleensä tosiaan diagonaaliseksi valitaan J₃ = ½ { {1, 0} ; {0, -1} }, jonka ominaisarvot ½ ja -½. Nämä ovat 'nimilappuja' SU(2) teorian hitusille. SU(2)-matriisit vastaavasti eksponentilla R(θ) = exp(iθ·J) = exp(½ iθⁱ·σᵢ), missä θⁱ kutakin generaattoria vastaava parametri.

Sitten kikkaillaan generaattorit nosto/laskugeneraattoreiksi J⁺ = ½ ( J₁ + iJ₂ ) ja J⁻ = ½ ( J₁ - iJ₂ ), jolla saadaan kommutoinnit suljetuiksi Cartanin generaattorin kanssa: [J⁺, J⁻] = J₃, [J₃, J⁺ ] = J⁺ ja [J₃, J⁻ ] = J⁻. Suoraan sanoen en tiedä miten vain ryhmäteorialla voidaan "keksiä" J⁺ ja J⁻, ja todeta niiden olevan jotenkin erityisiä. Ehkä mainitsemistasi matemaatikkojen polynomeista löytyisi taikasauva ;).

Mutta: Mikään ei estä su(2)-algebra toteutumista myös 3x3 matriiseilla. Noita 3x3 matriiseja on 3 kpl, joista yksi kerrallaan on diagonaalinen Cartanin generaattori. Jälleen valitaan J₃ = { {1, 0, 0} ; {0, -1, 0} ; {0, 0, 0}, jonka ominaisarvot -1, 0 ja 1. Nuo ovat spin-1 ja spin-0 hiukkasen nimilappuja. (arghhh..ainakin massallisten, massattomat ja massalliset yhdistyvät Poincare-ryhmässä ja Wignerin luokittelussa).

Relativistinen spin, joo. Wikitin, kun mun ryhmäteorian eBookeista en löytänyt:

"Lie algebras of SO(3) and SU(2) are isomorphic, but there is no corresponding homomorphism of SO(3) into SU(2). Rather, the homomorphism goes from the simply connected group SU(2) to the non-simply connected group SO(3)."

Löysin myös: "There is precisely one distinguished simply-connected Lie group corresponding to each Lie algebra."

SU(2) esitykset ( 1x1, 2x2 tai 3x3 matriisit ) ns. jumittavat SU(2):ssa, koska on ainoa 'distinguished' yhdesti yhtenäinen ryhmä algebralle su(2). Vaikka SU(2) on peiteryhmä SO(3):lle ja SO(1,3)⁺:lle, ei eksponentti kuvaa muualle kuin SU(2):een.

SO(1,3)⁺-generaattorit (alkuperäiset Lorentzin 4x4 rotaatio- ja pusku Jᵢ ja Kᵢ) voidaan kirjoittaa QM:n nosto/laskuoperaattorien tapaan Nᵢ⁺ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ) ja Nᵢ⁻ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ). Tähän sama kuin edellä: en tiedä miten voi "keksiä" ilman fysikaalisia brute-forceja. Oli miten oli, Nᵢ⁺ ja Nᵢ⁻ toteuttavat su(2)-algebran, joten spiniin on yhteys.

Sitten ovelasti kirjoitetaan ei-relativistiset  SU(2) generaattorit osaksi relativistista SO(1,3)⁺:n algebraa, ja  päästään eroon SU(2):ssa jumittamisesta. Pari simppeliä yhtälöä, ja käsissä on 2x2 generaattorit Kᵢ = ± ½ i σᵢ ja Jᵢ = ½ σᵢ . Ne 4x4 lorentzgeneraattorit ovat muuttuneet Paulin 2x2-matriiseilla kirjoitetuksi, ja generaattoreita on kahta lajia (oikea- ja vasenkätisiä). Hämmästyttävintä, että eksponettikuvaus ei enää jumita ei-relativistisessa SU(2):ssa vaan esitysavaruus on ihan oikeasti relativistinen.

Haluaisin ajatella (pientä filosofiaa tähän), että ei-relativistisen kvanttimekaniikka sotkee lähestymisen taikahattumaiseksi. Pitäisi jotenkin aloittaa puhtaasti relativistisesta teoriasta, ja edetä siitä approksimaatioon eli kvanttimekaniikkaan. SU(2) vs. SO(1,3)⁺ vaikuttaa joskus samalta kuin johdettaisiin suhteellisuusteoriaa arvaamalla lisäosia Newtonin mekaniikkaan. Onnistuuhan se, mutta tulee samanlaista sumuverhoa matkan varrelle.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17619

Osaisiko joku ryhmien esityksistä täsmentää seuraavia:
- lineaarinen isomorfisuus
- homeomorfinen isomorfisuus
- lineaarinen homeomorfismi

Lähinnä mietityttää mitä noilla eritellään...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5510

QS kirjoitti:

SO(1,3)⁺-generaattorit (alkuperäiset Lorentzin 4x4 rotaatio- ja pusku Jᵢ ja Kᵢ) voidaan kirjoittaa QM:n nosto/laskuoperaattorien tapaan Nᵢ⁺ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ) ja Nᵢ⁻ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ). Tähän sama kuin edellä: en tiedä miten voi "keksiä" ilman fysikaalisia brute-forceja. Oli miten oli, Nᵢ⁺ ja Nᵢ⁻ toteuttavat su(2)-algebran, joten spiniin on yhteys.

typo, nuo uuteen uskoon muokatut genaraattorit pitää tietysti erota toisistaan puskun miinusmerkillä:

Nᵢ⁺ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ) ja Nᵢ⁻ = ½ ( Jᵢ - iKᵢ ).

p.s Eusalle en osaa sanoa muuta kuin, että ryhmien välille voidaan löytää homomorfismi. Homeomorfisuus puolestaan löydetään topologisten avaruuksien välille.  Ryhmien välillä voi olla isomorfismi, mutta topologiassa homeomorfismit ovat isomorfismeja. Että sellaista. Kai voivat olla lineaarisia tai sitten ei.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17619

QS kirjoitti:
QS kirjoitti:

SO(1,3)⁺-generaattorit (alkuperäiset Lorentzin 4x4 rotaatio- ja pusku Jᵢ ja Kᵢ) voidaan kirjoittaa QM:n nosto/laskuoperaattorien tapaan Nᵢ⁺ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ) ja Nᵢ⁻ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ). Tähän sama kuin edellä: en tiedä miten voi "keksiä" ilman fysikaalisia brute-forceja. Oli miten oli, Nᵢ⁺ ja Nᵢ⁻ toteuttavat su(2)-algebran, joten spiniin on yhteys.

typo, nuo uuteen uskoon muokatut genaraattorit pitää tietysti erota toisistaan puskun miinusmerkillä:

Nᵢ⁺ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ) ja Nᵢ⁻ = ½ ( Jᵢ - iKᵢ ).

p.s. Eusalle en osaa sanoa muuta kuin, että ryhmien välille voidaan löytää homomorfismi. Homeomorfisuus puolestaan löydetään topologisten avaruuksien välille.  Ryhmien välillä voi olla isomorfismi, mutta topologiassa homeomorfismit ovat isomorfismeja. Että sellaista. Kai voivat olla lineaarisia tai sitten ei.

Kiitos yrityksestä. Suunnilleen samalla sumeudella mennään. Lähinnä tietysti topologiset ryhmät kiinnostavat. Jotenkinhan se menee niin, että topologisen ryhmän homomorfismi on jatkuvakuvauksinen ryhmähomomorfismi ja topogisten ryhmien isomorfismi on jatkuva onnistuva kuvaus valituille määritellyille topologisille avaruuksille eli homeomorfismi.

Ehkä kaipaan taas vain jotain jäykempää johdonmukaisuutta käsitteille koskien kaikenlaisia ryhmiä/kuvauksia ja myös avaruuksia.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5510

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS kirjoitti:

Vasen- ja oikeakiraaliset spinorit voi perustella myös esityksen vasemmalla ja oikealla toiminnalla, jotka eroavat toisistaan. En tunne tätä lähestmistapaa, jossa onkin aihe oppimiselle :). Pitää penkoa.

Jos vastaavalla brute-forcella haetaan esitys (½, 0) ⊗ (0, ½) = (½, ½), päädytään SO(1,3)⁺ perusesitykseen. Sen verran monivaiheinen lasku, että joskus toiste. Mutta siis tulos on ns. vektorihiukkanen, joka muuntuu kuten nelivektori. Diracin spinorikin (½, 0) ⊕ (0, ½) vaatii hiukan pyörittelyä, joten toiste.

Joo, en ole tuohon kiraalisuuteen perehtynyt, mutta ilmeisesti sillä on tekemistä juuri tuon Diracin spinorin esityksessä esiintyvän suoran summan (½, 0) ⊕ (0, ½) vasemmman ja oikean puolen kanssa.

Joo kyllä. Vasenkiraalinen (½,0) esitys (muunnosmatriisi) on 2x2-matriisi Rᴸ(θ,w) = exp( θⁱ·Jᵢ + wⁱ·Kᵢ ) = exp( i θⁱ·σᵢ + wⁱ·σᵢ). Yksinkertaisena esimerkkinä puhdas rotaatio x-akselin ympäri olisi R( θ, 0 ) = { cos( ½ θ ), i sin(½θ) } ; { i sin(½θ), cos(½θ) }. Esitysavaruuden objekti on χᴸ = ( χᴸ₁, χᴸ₂ )ᵀ, eli vasenkätinen spinori.

Oikeakiraalinen esitys on rotaatioiden osalta sama kuin vasen, mutta pusku eroaa etumerkin osalta: Rᴿ(θ,w) = exp( θⁱ·Jᵢ - wⁱ·Kᵢ ) = exp( i θⁱ·σᵢ - wⁱ·σᵢ).

Näiden suora summa (½,0) ⊕ (0,½) on blokkidiagonaalinen 4x4 matriisi, johon summataan matriisit Rᴸ ja Rᴿ. Vastaava esitysavaruuden 1x4 'vektori' ψ = (  χᴸ, χᴿ  )ᵀ on tarksti ottaen Majorana spinori. Diracin spinori on hiukan vielä hierottu versio ψᴰ = ( χᴸ,  ξᴿ  )ᵀ, missä ξᴿ muodostetaan χᴸ:stä. Ehkä tuo jumppa joskus toiste.

Fysiikassa myös Lorentz-ryhmän pariteettimuunnos huomioidaan (esim. x-akselin peilaus vastakkaiseksi), joka ei vaikuta rotaatiogeneraattoriin, mutta pusku vaihtaa etumerkkiä Kᵢ -> -Kᵢ. Tästä seuraa, että aiemmassa viestissäni mainitut (½,0)- ja (0,½)-esityksen generaattorit Nᵢ⁺ = ½ ( Jᵢ + iKᵢ ) ja Nᵢ⁻ = ½ ( Jᵢ - iKᵢ ) muuntuvat pariteettimuunnoksessa toisikseen. Tuon seuraus on, että vasen- ja oikeakiraaliset spinorit vaihtuvat toisikseen pariteettimuunnoksessa.

Heh, jotta asia ei olisi liian helppo, niin pariteettimuunnoksessa esitys (½,0) ⊕ (0,½) --> (0,½) ⊕ (½,0), jossa matriisin blokit vaihtavat paikkaa. Samalla Diracin spinori (  χᴸ, ξᴿ  )ᵀ --> (  ξᴿ,  χᴸ  )ᵀ. Komponentit χᴸ ja ξᴿ eivät muunnu, vaan vaihtavat paikkaa.

Mutta siis suora summa (½,0) ⊕ (0,½) on kohtuu helposti ymmärrettävissä.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kaava (½, 0) ⊗ (0, ½) = (½, ½) on tosiaankin ovela ja jäin nyt sitä pohtimaan. Vasen puoli on 4-ulotteinen esitys, joka on muodostettu kahdesta 2-ulotteisesta tensoritulona, mutta mitä sitten olisi  (0, ½)⊗(0, ½) tai  (½, 0)⊗ (½, 0)?

Mielestäni kaavat pitäisi tulkita samaan tyyliin kuin bra-ket-vektorien tensoritulo, eli esim.  (0, ½) ⊗ (0, ½) = (0 ⊗ 0,  ½ ⊗ ½ ) = (0 , ½ ⊗ ½) . Eli tuossa (.,.) notaatiossa tulot kirjoitettaisiin kunkin slotin kesken.  Esim. vektoriesityksen kaava  (½, 0) ⊗ (0, ½) = (½, ½) tulisi siitä, että 0-esitys on triviaali 1, joten (½ ⊗ 0, 0 ⊗ ½) = (½, ½).

Mutta ei se voi mennä näin yksinkertaisesti.  Ihmetellään.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17619

Vuorovaikutuskuva vastakkaiskätisistä spinoreista, jotka muodostavat "fotonikaasun" eli avaruuden, jonka kokonaisspin on yksi. (Ajattoman avaruuden kannalta vastakkaiset vaiheet summautuvat nollaksi -½ + ½ ja magneettiset dipolit näkyvät monopoleina).

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17619

QS kirjoitti:
Mikä kuva tuo ny on. Leptoniluvun ja sähkövarauksen säilymislain kumoaminen vai

Ihan vain vastakkaisten ainehiukkasten annihilaatio tai majorananeutriinojen koherentti resonanssi valoksi.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17619

QS kirjoitti:
Kuvassa kohtaa kaksi hiukkasta, joista kumpikaan ei ole ainakaan merkitty antihiukkaseksi.

Tarkastelen vain spiniä, en energiaa/liikemäärää. Helpottaa fundamentaalin fysiikan jäsentelyä, kun rakennetta tutkii periaatteiden tasolla - useita periaatteita yhdistämällä saadaan sitten laajempaa teoriaa.

Perusperiaatteista aiheutuu, että vektori voidaan tuottaa tasapäisistä vastakkaiskätisistä spinoreista. Ainoa järkevä yhdistelmä, joka muuntaa ne (q_L ja  q_R) kompleksoiduksi vektorikvaternioksi on:

q_L (a + i b) q_R*

2x2-matriisit: Hx = |0,-i/-i,0| Hy = |0,-1/1,0| Hz = |-i,0/0,i|  Ht = |1,0/0,1|

Näiden kerrointaulukko antaa kvaternioiden 4x4 -matriisiesityksen.

Koskapa kompleksilineaarinen, jos kerrotaan esm. oikealta Hz:lla joko q_L tai q_R, tulos on sama kuin kertoisi läpi i:llä - siis:

Hz b = –b Hz = a, Hz a = –a Hz = –b,..

Hx ja Hy -sijoitukset ja tensoritulot Ht:llä sekä yksittäisten spinorien kesken kommutoivan aktion huomioiminen tuottaa nimenomaan vastakkaiskätisten spinorien kesken sen, että lähtöolettamuksen vihje spin-0:sta  edellyttäisi seisovaa pitkittäisaaltoa, jotta vaiheiden suunnat kumoaisivat toisensa; mutta koska nyt kyseessä selväsuuntainen vektori, antaa se fotonikaasun virittämän tilan kokonaisspiniksi 1:sen. Tämän perusteella spin-0-tyyppinen gravitaation esitysteoria voisi olla erehdys.

Tässä ymmärryksessä olen toistaiseksi tuloksesta (½,0) ⊗ (0,½) = (½,½), mutta toivottavasti ymmärrys vielä paranee...

https://arxiv.org/pdf/1211.1611.pdf

En nyt äkkiä löytänyt muistiinpanoihini sopivaa viitettä. Tuossa jotain yleistystä kuinka fundamentaaleja otuksia löydetään...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

Lauantailtapäivää, tässä kirjoittelen, ennen kuin siirryn lipittämään hellejuomaa aurinkoon..

Tämä viesti on tarkoitus olla osana suoraa vastausta tuohon sun (QS) aikaisempaan kirjoitukseen kiraalisuudesta, mutta täytyy ensin alustaa. Laitoin tuon kuvan mukaan, koska on aika hankalaa palstan "editorilla" tuollaisia kirjoitella. Kuva on otettu kuvakaappauksena Wikipedian linkistä: Gamma matrices

Selvittelin noita eri gammamatriisien γᵘ valintoja pintapuolisesti, koska se on kai tässä kiraliteettiasiassa paikallaan, ainakin mulle.
Käsittääkseni, kun puhutaan Diracin, Weylin tai Majoranan spinoreista tai paremminkin kyseisten herrojen mukaan nimetyistä kannoista, niin silloin tarkoitetaan gamma-matriisien numeerisen esityksen valintaa. Tuo esitys ei ole yksikäsitteinen ja se voidaan tehdä monella eri tavalla.

Voisi ajatella, että mites nyt nämä eri gamma-matriisit Weyl, Dirac etc. suhtautuvat toisiinsa ja vastauksen antaa

Paulin fundamentaali teoreema:

Jos on olemassa gammamatriisien joukko γᵘ, joka toteuttaa ehdon {γᵘ,γᵛ} = 2gᵘᵛ ja myös toinen kokoelma γ'ᵘ, jolle
myös  {γ'ᵘ,γ'ᵛ} = 2gᵘᵛ, niin silloin on olemassa (skaalausta vaille) yksikäsitteinen kääntyvä matriisi M, jolle pätee:

γ'ᵘ = M γᵘ M⁻¹.

Jatkan seuraavassa viestissä, ettei tule liian pitkiä viestejä.

PS. Onkos muuten gammamatriisi yhdyssana? sen pitäisi olla, mutta yhtäkkiä vaan tuntui jotenkin luontevalta kirjoittaa gamma-matriisi, joka kuulostaisi oikemmalta?

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17619

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Lauantailtapäivää, tässä kirjoittelen, ennen kuin siirryn lipittämään hellejuomaa aurinkoon..

Tämä viesti on tarkoitus olla osana suoraa vastausta tuohon sun (QS) aikaisempaan kirjoitukseen kiraalisuudesta, mutta täytyy ensin alustaa. Laitoin tuon kuvan mukaan, koska on aika hankalaa palstan "editorilla" tuollaisia kirjoitella. Kuva on otettu kuvakaappauksena Wikipedian linkistä: Gamma matrices

Selvittelin noita eri gammamatriisien γᵘ valintoja pintapuolisesti, koska se on kai tässä kiraliteettiasiassa paikallaan, ainakin mulle.
Käsittääkseni, kun puhutaan Diracin, Weylin tai Majoranan spinoreista tai paremminkin kyseisten herrojen mukaan nimetyistä kannoista, niin silloin tarkoitetaan gamma-matriisien numeerisen esityksen valintaa. Tuo esitys ei ole yksikäsitteinen ja se voidaan tehdä monella eri tavalla.

Voisi ajatella, että mites nyt nämä eri gamma-matriisit Weyl, Dirac etc. suhtautuvat toisiinsa ja vastauksen antaa

Paulin fundamentaali teoreema:

Jos on olemassa gammamatriisien joukko γᵘ, joka toteuttaa ehdon {γᵘ,γᵛ} = 2gᵘᵛ ja myös toinen kokoelma γ'ᵘ, jolle
myös  {γ'ᵘ,γ'ᵛ} = 2gᵘᵛ, niin silloin on olemassa (skaalausta vaille) yksikäsitteinen kääntyvä matriisi M, jolle pätee:

γ'ᵘ = M γᵘ M⁻¹.

Jatkan seuraavassa viestissä, ettei tule liian pitkiä viestejä.

PS. Onkos muuten gammamatriisi yhdyssana? sen pitäisi olla, mutta yhtäkkiä vaan tuntui jotenkin luontevalta kirjoittaa gamma-matriisi, joka kuulostaisi oikemmalta?


γ-matriisi, gammamatriisi.. Vrt. 8-vuotias, kahdeksanvuotias.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

Fysiikan kiraalisuus matemaatikoille, part 1:

Kiraalisuus tulee jostain kätisyyttä merkitsevästä kreikan sanasta tms.

Määritellään viides gammamatriisi  kaavalla (huomaa numerointi !):

γ⁵ = i  γ⁰ γ¹ γ² γ³.

Ominaisuuksia (Wiki):

a)  γ⁵ on hermiittinen
b)  (γ⁵)² = I₄.
c) {γ⁵,γᵘ} = 0,
noissa siis  I₄ on 4d-spinoriavaruuden yksikkömatriisi. Noista seuraa, että hermiittisellä operaattorilla γ⁵ on reaaliset ominaisarvot  ± 1.

Matemaattinen lähestymistapa ilman mitään fysikaalista intuitiota tuohon kiraalisuuteen on se, että annetaan määritelmiä ilman selityksiä (heh..), määritellään kiraaliset projektio-operaattorit (chiral projections):

Pᴸ = ½(I₄ - γ⁵ )
Pᴿ = ½(I₄ + γ⁵).

Tuollaisenaan nuo ovat operaattoreita, tuossa ei ole määritelty millaisilla gammamatriiseilla tuo γ⁵ on määritelty. Ilmeisesti tuon  γ⁵ matriisiesitykset muuttuvat oikealla tavalla, kun gammamatriisien matriisiesityksiä muutetaan Paulin teoreeman hengessä.

Nyt laskemalla näkee että PᴸPᴸ = Pᴸ ja PᴿPᴿ = Pᴿ (= ovat todellakin projektioita) ja lisäksi Pᴿ + Pᴸ = I₄. Nyt jos merkitsee spinoria symbolilla Ψ ja muodostetaan projektiot:

χᴸ = PᴸΨ
χᴿ = PᴸΨ.

Kumpikin projektio on 4-ulotteinen spinoriavaruuden vektori, mutta sopivilla kannoilla voidaan tilannetta yksinkertaistaa. Ilmeisesti onkin niin, että voidaan toki muuttaa spinoriavaruuden kantaa, mutta voidaan myös yrittää löytää sopiva gammamatriisien esitys, jossa nuo projektiot olisivat mahdollisimman simppeleitä ja

siinä mun edellisen viestini kuvassa todetaan, että Weylin kannassa nuo kiraaliprojektiot saavat erityisen yksinkertaisen muodon:

Pᴸ = diag(1,1,0,0)
Pᴿ = diag(0,0,1,1).

Tässä Weylin kannassa voidaan spinori  Ψ esitää muodossa Ψ = (χᴸ, χᴿ) ja nyt nuo χᴸ ja χᴿ ovat lähes 2-ulotteisia spinoreita, sillä kummallakin vain 2 (mahdollisesti) nollasta eroavaa komponenttia:

χᴸ = (a, b, 0, 0) ≈ (a, b)
χᴿ = (0, 0, c, d) ≈ (c,d).

Nuo ovat operaattorin γ⁵ ominaisvektoreita (ominaisarvoin ± 1):

γ⁵χᴸ  = - χᴸ

γ⁵χᴿ = + χᴿ.

Spinorit χᴸ määritellään vasenkiraalisiksi ja χᴿ oikeakiraalisiksi tai vasenkätisiksi tms..

Muistaakseni joku 1700-luvun ranskalainen matemaatikko kehuskeli sillä että hänen geometrian oppikirjassa ei ollu yhtään kuvaa, minäkin voi kehuskella että tuolla mun selityksessä ei ollut mitään fysiikkaan edes vähäisesti viittaavaa..

Jatkuu (varmaan huomenna tms)..

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5510

Jos vertaa biologian alfayksilöön (alfaurokseen?) niin gammamatriisi olisi oikea 😀. Vaan en minä kielitieteestä ymmärrä.

Joo nuo matriisit ovat olennaisia varsinkin kenttäteoriassa. Nehän voi mieltää sitenkin, että matriisit mahdollistavat lorentzryhmän eri esitysten toiminnan kenttäteorian spinoreihin. Eli tavallaan ovat esitysten muunnosmatriiseja, tai esitysten kohteena olevien objektien muuntajia. Miten vain.

Mulla on työn alla aiemmin puhutut esitysten tensoritulojen ja suorien summien laskeminen ja ominaisuudet, a la Weinberg. Raapustan ens viikolla niistä eksplisiittisien kaavojen kera. Mielenkiintoinen juttu, kuten aiemmin sanoitkin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2704

QS kirjoitti:

Jos vertaa biologian alfayksilöön (alfaurokseen?) niin gammamatriisi olisi oikea 😀. Vaan en minä kielitieteestä ymmärrä.

Joo nuo matriisit ovat olennaisia varsinkin kenttäteoriassa. Nehän voi mieltää sitenkin, että matriisit mahdollistavat lorentzryhmän eri esitysten toiminnan kenttäteorian spinoreihin. Eli tavallaan ovat esitysten muunnosmatriiseja, tai esitysten kohteena olevien objektien muuntajia. Miten vain.

Mulla on työn alla aiemmin puhutut esitysten tensoritulojen ja suorien summien laskeminen ja ominaisuudet, a la Weinberg. Raapustan ens viikolla niistä eksplisiittisien kaavojen kera. Mielenkiintoinen juttu, kuten aiemmin sanoitkin.

Laita ihmeessä tulemaan. Mulla on nyt muutama tuleva viikko erittäin kiireinen ja siten voi mennä aikaa ennen kuin vastailen, luen toki kuitenkin viestejä ja varmasti lyhyesti kommentoin.  Aiheet kun ovat sellaisia, että vastauksen kirjoitteluun voi helposti mennä paljonkin aikaa, mutta sitä ennen vielä nyt lyhyesti ennen kuin hellejuoma vaikuttaa liikaa, palaan tuohon kiraalisuuteen:

QS kirjoitti:

Vasenkiraalinen (½,0) esitys (muunnosmatriisi) on 2x2-matriisi Rᴸ(θ,w) = exp( θⁱ·Jᵢ + wⁱ·Kᵢ ) = exp( i θⁱ·σᵢ + wⁱ·σᵢ). Yksinkertaisena esimerkkinä puhdas rotaatio x-akselin ympäri olisi R( θ, 0 ) = { cos( ½ θ ), i sin(½θ) } ; { i sin(½θ), cos(½θ) }. Esitysavaruuden objekti on χᴸ = ( χᴸ₁, χᴸ₂ )ᵀ, eli vasenkätinen spinori.

Oikeakiraalinen esitys on rotaatioiden osalta sama kuin vasen, mutta pusku eroaa etumerkin osalta: Rᴿ(θ,w) = exp( θⁱ·Jᵢ - wⁱ·Kᵢ ) = exp( i θⁱ·σᵢ - wⁱ·σᵢ).

Näiden suora summa (½,0) ⊕ (0,½) on blokkidiagonaalinen 4x4 matriisi, johon summataan matriisit Rᴸ ja Rᴿ. Vastaava esitysavaruuden 1x4 'vektori' ψ = (  χᴸ, χᴿ  )ᵀ on tarksti ottaen Majorana spinori. Diracin spinori on hiukan vielä hierottu versio ψᴰ = ( χᴸ,  ξᴿ  )ᵀ, missä ξᴿ muodostetaan χᴸ:stä. Ehkä tuo jumppa joskus toiste.

Tämän noin periaatteessa voisin ymmärtää, mutta voisiko tuota tehdä hieman yksinkertaisemmin (= Weylin tavalla jota olen nyt opiskellut, heh..), ilman Majoranaa, Dirac kyllä käy. Itse löysin Wikistä ihan samanlaisia kaavoja , joissa Lorentz-muunnosten esitykset ovat juuri samanlaisia kuin mainitset, mutta käyttäen tuota yllä mainittua Weylin kantaa. Laitan jatkoa seuraavaan viestiin, koska siihen tulee taas kuva.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat