Sivut

Kommentit (232)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2663

Se mikä hiemän hämmentää on tuo mainitsemasi vasenkiraali esitys:

QS kirjoitti:

Vasenkiraalinen (½,0) esitys (muunnosmatriisi) on 2x2-matriisi Rᴸ(θ,w) = exp( θⁱ·Jᵢ + wⁱ·Kᵢ ) = exp( i θⁱ·σᵢ + wⁱ·σᵢ)....

Mielestäni tuo esitys  (½,0)  ei ole vasenkiraali, vai miten tuo nyt menee, sillä tuo Diracin spinorin esitys on kyllä se  (½,0)⊕ (0,½)
ja tuo eksponentiaatiokin voi toimia noin. Mutta se 2-ulotteinen avaruus (½,0)  jossa   Lorentz-ryhmän esitys toimii ei ole käsittääkseni vasenkiraalinen ja vastaavasti se (0,½) ei oikeakiraalinen. Tuossa kuvassa yllä on tuon Weylin esityksen matriisit identtiset antamasi kanssa.
Tuon linkkaamani Wikiartikkelin mukaan Weylin spinori on 4-komponenttinen spinori, joka voidaan ryhmitellä muotoon  Ψw = (χᴸ, χᴿ), missä χᴸ on vasen kiraalinen ja χᴿ oikeakiraalinen, alaindeksi w wiittaa Weylin esitykseen. Diracin spinori Ψd saadaan tästä unitaarisella muunnoksella U:

Ψd = U Ψw,

missä U = 1/sqr(2){{1, 1}{-1, 1}} ja nyt  2-kompomenttimuodossa tuo on

Ψd   = 1/sqr(2)(χᴸ + χᴿ, χᴸ - χᴿ).

Nyt esityksen   (½,0)⊕(0,½) 2x2-blokkimatriisi (½,0) operoi vektoriin 1/sqr(2)(χᴸ + χᴿ) ja 2x2-blokkimatriisi (0,½) operoi vektoriin 1/sqr(2)(χᴸ - χᴿ).

Tuossa siis (½,0) operoi vektoriin joka on lineaarinen superpositio  1/sqr(2)(χᴸ + χᴿ) vasenkiraalisesta  χᴸ ja oikeakiraalisesta χᴿ.

En nyt osannut sanoa varmaan sanottavaani kovinkaan selkeästi ja nyt on kiire... jääkaapille.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5410

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Se mikä hiemän hämmentää on tuo mainitsemasi vasenkiraali esitys:
QS kirjoitti:

Vasenkiraalinen (½,0) esitys (muunnosmatriisi) on 2x2-matriisi Rᴸ(θ,w) = exp( θⁱ·Jᵢ + wⁱ·Kᵢ ) = exp( i θⁱ·σᵢ + wⁱ·σᵢ)....

Mielestäni tuo esitys  (½,0)  ei ole vasenkiraali, vai miten tuo nyt menee, sillä tuo Diracin spinorin esitys on kyllä se  (½,0)⊕ (0,½)
ja tuo eksponentiaatiokin voi toimia noin. Mutta se 2-ulotteinen avaruus (½,0)  jossa   Lorentz-ryhmän esitys toimii ei ole käsittääkseni vasenkiraalinen ja vastaavasti se (0,½) ei oikeakiraalinen. Tuossa kuvassa yllä on tuon Weylin esityksen matriisit identtiset antamasi kanssa.
Tuon linkkaamani Wikiartikkelin mukaan Weylin spinori on 4-komponenttinen spinori, joka voidaan ryhmitellä muotoon  Ψw = (χᴸ, χᴿ), missä χᴸ on vasen kiraalinen ja χᴿ oikeakiraalinen, alaindeksi w wiittaa Weylin esitykseen. Diracin spinori Ψd saadaan tästä unitaarisella muunnoksella U:

Ψd = U Ψw,

missä U = 1/sqr(2){{1, 1}{-1, 1}} ja nyt  2-kompomenttimuodossa tuo on

Ψd   = 1/sqr(2)(χᴸ + χᴿ, χᴸ - χᴿ).

Nyt esityksen   (½,0)⊕(0,½) 2x2-blokkimatriisi (½,0) operoi vektoriin 1/sqr(2)(χᴸ + χᴿ) ja 2x2-blokkimatriisi (0,½) operoi vektoriin 1/sqr(2)(χᴸ - χᴿ).

Tuossa siis (½,0) operoi vektoriin joka on lineaarinen superpositio  1/sqr(2)(χᴸ + χᴿ) vasenkiraalisesta  χᴸ ja oikeakiraalisesta χᴿ.

En nyt osannut sanoa varmaan sanottavaani kovinkaan selkeästi ja nyt on kiire... jääkaapille.

Terävästi havaittu! Jätin postauksistani tarkoituksella weylin Jopa sanana pois, koska viestejä olisi pitänyt kirjoittaa viisi. Tuo r ja l superpositio on rakennettava jotta kenttäteoria toteuttaisi massatermin osalta lorentzinvarianssin ja jotta varauskonjugointi ( sähkövarauksen flippaaminen) on mahdollista.

Alkuperäisen viestini L ja R-kiraaliset 2-ulotteiset objektit eivät todellisuudessa ole kiraalisia, kuten sanoitkin. Kiraalisuus-sana tuossa on tavallaan johdatteleva ja r ja l nimimappuihin orientoiva . Taisin kirjoittaa jossain myöhemmässä viestissä diracin / weylin spinorin ”hieromisesta” lopulliseen muotoonsa. Se on juuri tuo hierominen minkä esittelit.

Oon tiistaihin asti vaan kännykän varassa joten mahdoton kirjoittaa kovin diipisti. Mutta palataan tähänkn.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5410

Ja siis se ei-weylin ”spinoripuolilkaiden” esityksen vasen yläblokki ja oikea alablokki kyllä toimivat ihan hyvin jne, mutta koska ei-weylin spinorissa nämä 2kpl 2-ulotteosia objekteja ovat ns. decoupled, niin niistä ei saa fysiikkaa aikaiseksi. Yritän muotoilla tämän matematiikalsi kun pääsen läppärin ääreen ti.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17287

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Kuva on otettu kuvakaappauksena Wikipedian linkistä: Gamma matrices

Vilkaisin wikiartikkelin suomalaista versiota ja yllättäin siellä luki, että "Sivua muokkasi viimeksi Eusa 3 vuotta sitten". ;)

Weylin kanta on tosiaan hyödyllinen esitysten lähtökohta. Tutustumisen arvoinen lähtökohta on myös Majorana-Weyl-spinorit 2D-tuplamonistossa, esim. juurikin siinä kahden suuntautumattoman laakean Kleinin pullopinnan 4d-vuorottaisuudessa.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2663

QS kirjoitti:
Ja siis se ei-weylin ”spinoripuolilkaiden” esityksen vasen yläblokki ja oikea alablokki kyllä toimivat ihan hyvin jne, mutta koska ei-weylin spinorissa nämä 2kpl 2-ulotteosia objekteja ovat ns. decoupled, niin niistä ei saa fysiikkaa aikaiseksi. Yritän muotoilla tämän matematiikalsi kun pääsen läppärin ääreen ti.

Olen nyt kyllä ns. exp. nousuhuppelissa, mutta ei se haittaa. Mielestäni sinun esitys oli aivan ok, esityksen  (½,0) avulla rakennettu eksponenttiesitys on ihan oikein ja vastaavasti se (0,½). Ja se, että ne käyttäytyvät eri tavalla Lorentzin ryhmän boosteissa. Noin pintapuolisesti vilaistuna on kai niin, että massallisen hiukkasen Diracin yhtälö on Weylin gammamatriisien kannassa kytketty yhtälö, eli  χᴸ :n  ja χᴿ:n yhtälöt eivät decouple, kuten sanoitkin, mutta jos massa = 0, tapahtuu decoupling ja Diracin yhtälö hajoaa 2 kpl yhtälöitä, toinen differentiaaliyhtälö sisältää vain vasenkiraalin  χᴸ ja toinen χᴿ. No joo, en tiedä, ihan tänään näin tuollaiset jutun ja se kiinnosti, koska yritin juuri ymmärtää niitä Weylin esityksiä. Saatoit kyllä tarkoittaa ihan eri asioita tuolla decouplingilla.

Täytyy kyllä sanoa, että aihe on haastava, mutta myös hyvin palkitseva, näihin perehtymällä ikäänkuin tutustuu siihen miten maailma on pohjimmiltaan rakennettu ja se antaa saman tunteen, kuin katsellessa yöllä tähtitaivasta ja ihmetellessä. Miksi siis peiteryhmä SL(2,ℂ) eikä SO(1,3) ? Miksi luonto valitsee peiteryhmän...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5410

Kokosin lyhyesti esitysten muodostamista. Usein lähteissä toistuva lause: Koska algebra so(1,3) on puoliyksinkertainen, voidaan kaikki sen äärelliset esitykset muodostaa algebran so(1,3) redusoitumattomien esitysten suorana summana. Tuossa suora summa tarkoittaa so(1,3) redusoitumattomien esitysten suoraa summaa, ei siis su(2) esitysten suoraa summaa. Diracin spinori (½,0) ⊕ (0,½) on tuollainen ja sehän ei ole irrep.

Redusoitumaton esitys puolestaan on kuvaus π(j₁, j₂)(X): so(1,3) → gl(V). Tässä (j₁, j₂) ovat puolikkaan monikertoja, eli 0,½,1,1½ jne, jotka ovat universaalin peiteryhmän, tai siis algebran su(2) esitysten nimiä. X on se so(1,3)-generaattori, jolle esitystä rakennetaan. Kaavat ovat

π( j₁, j₂ )( Jᵢ ) = ( 1 ⊗ Rᵢ⁽ʲ²⁾ ) + ( Rᵢ⁽ʲ¹⁾ ⊗ 1 )
π( j₁, j₂ )( Kᵢ ) = i ( 1 ⊗ Rᵢ⁽ʲ²⁾ ) - i ( Rᵢ⁽ʲ¹⁾ ⊗ 1 )

Kaavassa +/- on matriisien yhteenlasku, ei suora summa. Ensimmäisellä kaavalla saadaan so(1,3) rotaatioiden Jᵢ esitykset. Toisella kaavalla puskujen Kᵢ esitykset. Näissä i=1,2,3. Kaava siis tuottaa so(1,3) esitykset siihen syötetystä su(2) esityksestä.

Kaavojen oikean puolen notaatio:
- Rᵢ⁽ʲ²⁾ on (2j₂+1)-ulotteinen spin-j₂ irrep, joka on siis su(2) esitys, ja näitä on 3 kpl. Vastaavat Rᵢ⁽ʲ¹⁾:lle.
- yksikkömatriisi 1, joista ensimmäinen on aina (2j₁+1) x (2j₁+1) ja jälkimmäinen (2j₂+1) x (2j₂+1). Näissä yksikkömatriiseissa j₁ ja j₂ päinvastaisessa järjestyksessä kuin termeissä Rᵢ⁽ʲ²⁾ ja Rᵢ⁽ʲ¹⁾

Esimerkiksi (½,0) rotaatioesitys J₁ lasketaan π(½, 0)( J₁ ) = ( 1 ⊗ R₁[0] ) + ( R₁[½] ⊗ 1 ).

Ensimmäinen yksikkömatriisi 2x2 ja toinen on 1x1. Joskus aiemmin laskettiin su(2) irrepit muokatuilla generaattoreilla N±=½(J±iK). Irrepit ovat Rᵢ[½] = ½ i σᵢ ja Rᵢ[0] = 0, ja tosiaan su(2) esityksiä ovat vain rotaatiot Rᵢ.

Kyhäsin matematiikkasoftalla. Kuvassa 1 esitykselle (½, 0)
1. rivi, rotaatiot J kolme kappaletta
2. rivi, puskut K kolme kappaletta

Kaava tuottaa esim. π(½, 0)( J₁ ) = ½ i σ₁ ja π(½, 0)( K₁ ) = ½ σ₁.

Kuvassa 2 esityksen (0,½) rotaatio on edelleen ½ i σ₁, mutta puskun etumerkki on vaihtunut -½ σ₁. Nämä olivat niitä Weylin spinoreita.

Tällä kaavalla suoraviivaista laskea vektoriesitys (½,½). Vaan esitykset eivät näytä sinne päinkään so(1,3) perusesityksen generaattoreilta Jᵢ ja Kᵢ, kuten kuvasta 3 näkyy. Nämä esitykset ovat eri kannassa kuin perusesitys, ja muuntuisivat sopivalla similaarimuunnoksella, mutta multa loppuu aika kesken.

Tästä olisi vaikka kuinka paljon juttua, kun on olemassa myös (1,0) esityksiä, adjungaattiesityksiä, ja tensorituloja kuten (½,0) ⊗ (½,0) = (1,0) ⊕ (0,0). Ja esimerkiksi mielenkiintoinen havainto, että tavallisen so(3):n vektoriesitys (½,½) ei ole irrep vaikka relativistinen vastine onkin. Voisi ajatella niinkin, että 3d-maailmassa vektoribosoni ei olisi alkeishiukkanen. Hassua. Ehkä näitä ehtisi ensi viikolla.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Täytyy kyllä sanoa, että aihe on haastava, mutta myös hyvin palkitseva, näihin perehtymällä ikäänkuin tutustuu siihen miten maailma on pohjimmiltaan rakennettu ja se antaa saman tunteen, kuin katsellessa yöllä tähtitaivasta ja ihmetellessä. Miksi siis peiteryhmä SL(2,ℂ) eikä SO(1,3) ? Miksi luonto valitsee peiteryhmän...

tämän takia ryhmäteoria on mun mielestä yksi kiehtovimmista matematiikan alueista. Sillä pääsee juurikin niin syviin vesiin, että kuvaamasi yöllinen tähtitaivas saa tuntemaan ihmisen niin pieneksi, ei vain maailman koon vaan sen toimintaperiaatteidenkin takia.

QS
Seuraa 
Viestejä5410

Ehdinkin vielä tohon similaarimuunnokseen, joka muuntaa ( 1/2, 1/2 )-esityksen rotaatio ja puskugeneraattorit perusesityksen kantavektoreiksi. Kuvassa. (matriisiksi J[[1]] asetin wikissä mainitun J1-lorentzgeneraattorin).

Kantamuunnoksen jälkeen Imaginaariyksiköt ja etumerkit miten sattuu verrattuna yleisimmissä lähteissä mainituihin lorentz-generaattoreihin. Ja J2 <-> J3 sekä K2 <-> K3 jotenkin vaihtaneet paikkaa. Ennustettavissa oleva sivuvaikutus, kun meitsi noita tekee ;)

Mutta siis periaatteen pitäisi toimia.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2663

Iltaa. Mieltäni on vaivanut seuraava oma kommenttini:

Spanish Inquisitor kirjoitti:

Mielestäni tuo esitys  (½,0)  ei ole vasenkiraali, vai miten tuo nyt menee, sillä tuo Diracin spinorin esitys on kyllä se  (½,0)⊕ (0,½)
ja tuo eksponentiaatiokin voi toimia noin. Mutta se 2-ulotteinen avaruus (½,0)  jossa   Lorentz-ryhmän esitys toimii ei ole käsittääkseni vasenkiraalinen ja vastaavasti se (0,½) ei oikeakiraalinen. Tuossa kuvassa yllä on tuon Weylin esityksen matriisit identtiset antamasi kanssa.

Näissä menee kyllä ihan sekaisin, tuo mun ylläoleva on kuitenkin väärin, luulisin. Nimenomaan nuo esitykset (½,0) ja (0,½) ovat ne vasen-ja oikeakiraaliset esitykset. Ne ovat 2x2-matriiseja ja niistä muodostettu blokkidiagonaaliesitys (2 kpl 2x2 blokkia  (½,0) ja (0,½)..) on ekspilisiittisesti isomorfinen suoran summan (½,0)⊕ (0,½) kanssa, joka on Diracin spinori Weylin kannassa, joka siis viittasi niiden gammamatriisien valintaan Weylin tapaan.

MUTTA, tässä kompuroin mielestäni siinä, että jos valitaankin gammamatriiseiksi ne Diracin gammamatriiisit, niin se esitys (½,0)⊕ (0,½) on edelleen voimassa, mutta erona on se, että noilla Diracin gammamatriiseilla (½,0)⊕ (0,½) ei blokkiudu eksplisiittisesti kahden 2x2-matriisin blokkimatriisiksi, vaan silloin esitysmatriisi näyttää ihan kunnon 4x4-matriisilta, vaikka se on kuitenkin mahdollista saattaa blokkidiagonaalimuotoon eli se redusoituvuus kahden 2x2-matriisin suoraksi summaksi on  vaan "piilossa".

Siis, käsittääkseni Diracin spinori on esitys (½,0)⊕ (0,½), joka on invariantti gammamatriisien valinnan suhteen ja se ei siis välttämättä näytä kahden redusoitumattoman 2x2-matriisin suoralta summalta. Siitä huolimatta se on aina saatettavissa kyseiseen blokkimuotoon eli se on redusoituva. Tämä onkin sama mitä kirjoitit aikaisemmin:

QS kirjoitti:

Kokosin lyhyesti esitysten muodostamista. Usein lähteissä toistuva lause: Koska algebra so(1,3) on puoliyksinkertainen, voidaan kaikki sen äärelliset esitykset muodostaa algebran so(1,3) redusoitumattomien esitysten suorana summana. Tuossa suora summa tarkoittaa so(1,3) redusoitumattomien esitysten suoraa summaa, ei siis su(2) esitysten suoraa summaa. Diracin spinori (½,0) ⊕ (0,½) on tuollainen ja sehän ei ole irrep.

Kyllä, juuri näin, tuo on erittäin tärkeä ja hyvä huomio. Tämä kohta on käsittääkseni monissa esityksissä jäänyt vähemmälle huomiolle ja tosiaan helposti ajattelee tuossa olevan se su(2) ja tuloksena on harmaita hiuksia ja sekaannusta.

Tästä päästääkin siihen että jokaisen ryhmäteoriafyysikon komerossa piileskelee kompleksifikaatiohirviö, ovi on suljettu, mutta siellä se on, läsnäolon voi selvästi aistia...Tämä kompleksifikaation läsnäolo on juuri se murheenkryyni näissä ja tässä se on muodossa: so(1,3) on isomorfinen kompleksifikaation su(2)⊗ℂ kanssa (kun tarkastellaan reaalisia vektoriavaruuksia. Tuossa siis tensoritulossa pitäisi olla ylimääräinen reaalista tensorituloa impilkoiva ℝ  muodossa alaindeksi ᵣ jossain muodossa esim su(2)⊗ᵣℂ.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2663

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Kokosin lyhyesti esitysten muodostamista. Usein lähteissä toistuva lause: Koska algebra so(1,3) on puoliyksinkertainen, voidaan kaikki sen äärelliset esitykset muodostaa algebran so(1,3) redusoitumattomien esitysten suorana summana. Tuossa suora summa tarkoittaa so(1,3) redusoitumattomien esitysten suoraa summaa, ei siis su(2) esitysten suoraa summaa. Diracin spinori (½,0) ⊕ (0,½) on tuollainen ja sehän ei ole irrep.

Kyllä, juuri näin, tuo on erittäin tärkeä ja hyvä huomio. Tämä kohta on käsittääkseni monissa esityksissä jäänyt vähemmälle huomiolle ja tosiaan helposti ajattelee tuossa olevan se su(2) ja tuloksena on harmaita hiuksia ja sekaannusta.

Tästä päästääkin siihen että jokaisen ryhmäteoriafyysikon komerossa piileskelee kompleksifikaatiohirviö, ovi on suljettu, mutta siellä se on, läsnäolon voi selvästi aistia...Tämä kompleksifikaation läsnäolo on juuri se murheenkryyni näissä ja tässä se on muodossa: so(1,3) on isomorfinen kompleksifikaation su(2)⊗ℂ kanssa (kun tarkastellaan reaalisia vektoriavaruuksia. Tuossa siis tensoritulossa pitäisi olla ylimääräinen reaalista tensorituloa impilkoiva ℝ  muodossa alaindeksi ᵣ jossain muodossa esim su(2)⊗ᵣℂ.

Tätä voi vielä jalostaa askeleen eteenpäin muotoon, jossa ryhmän so(1,3) kompleksifikaatio so(1,3)⊗ᵣℂ on isomorfinen suoran summan (su(2)⊗ᵣℂ )⊕ (su(2)⊗ᵣℂ) kanssa eli:

so(1,3)⊗ᵣℂ ≈ (su(2)⊗ᵣℂ )⊕ (su(2)⊗ᵣℂ),

tämä olisi sen väärän kaavan so(1,3) ≈ su(2)⊕ su(2) oikeampi muoto.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5410

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa. Mieltäni on vaivanut seuraava oma kommenttini:

Spanish Inquisitor kirjoitti:

Mielestäni tuo esitys  (½,0)  ei ole vasenkiraali, vai miten tuo nyt menee, sillä tuo Diracin spinorin esitys on kyllä se  (½,0)⊕ (0,½)
ja tuo eksponentiaatiokin voi toimia noin. Mutta se 2-ulotteinen avaruus (½,0)  jossa   Lorentz-ryhmän esitys toimii ei ole käsittääkseni vasenkiraalinen ja vastaavasti se (0,½) ei oikeakiraalinen. Tuossa kuvassa yllä on tuon Weylin esityksen matriisit identtiset antamasi kanssa.

Näissä menee kyllä ihan sekaisin, tuo mun ylläoleva on kuitenkin väärin, luulisin. Nimenomaan nuo esitykset (½,0) ja (0,½) ovat ne vasen-ja oikeakiraaliset esitykset. Ne ovat 2x2-matriiseja ja niistä muodostettu blokkidiagonaaliesitys (2 kpl 2x2 blokkia  (½,0) ja (0,½)..) on ekspilisiittisesti isomorfinen suoran summan (½,0)⊕ (0,½) kanssa, joka on Diracin spinori Weylin kannassa, joka siis viittasi niiden gammamatriisien valintaan Weylin tapaan.

MUTTA, tässä kompuroin mielestäni siinä, että jos valitaankin gammamatriiseiksi ne Diracin gammamatriiisit, niin se esitys (½,0)⊕ (0,½) on edelleen voimassa, mutta erona on se, että noilla Diracin gammamatriiseilla (½,0)⊕ (0,½) ei blokkiudu eksplisiittisesti kahden 2x2-matriisin blokkimatriisiksi, vaan silloin esitysmatriisi näyttää ihan kunnon 4x4-matriisilta, vaikka se on kuitenkin mahdollista saattaa blokkidiagonaalimuotoon eli se redusoituvuus kahden 2x2-matriisin suoraksi summaksi on  vaan "piilossa".

Siis, käsittääkseni Diracin spinori on esitys (½,0)⊕ (0,½), joka on invariantti gammamatriisien valinnan suhteen ja se ei siis välttämättä näytä kahden redusoitumattoman 2x2-matriisin suoralta summalta. Siitä huolimatta se on aina saatettavissa kyseiseen blokkimuotoon eli se on redusoituva. Tämä onkin sama mitä kirjoitit aikaisemmin:

QS kirjoitti:

Kokosin lyhyesti esitysten muodostamista. Usein lähteissä toistuva lause: Koska algebra so(1,3) on puoliyksinkertainen, voidaan kaikki sen äärelliset esitykset muodostaa algebran so(1,3) redusoitumattomien esitysten suorana summana. Tuossa suora summa tarkoittaa so(1,3) redusoitumattomien esitysten suoraa summaa, ei siis su(2) esitysten suoraa summaa. Diracin spinori (½,0) ⊕ (0,½) on tuollainen ja sehän ei ole irrep.

Kyllä, juuri näin, tuo on erittäin tärkeä ja hyvä huomio. Tämä kohta on käsittääkseni monissa esityksissä jäänyt vähemmälle huomiolle ja tosiaan helposti ajattelee tuossa olevan se su(2) ja tuloksena on harmaita hiuksia ja sekaannusta.

Tästä päästääkin siihen että jokaisen ryhmäteoriafyysikon komerossa piileskelee kompleksifikaatiohirviö, ovi on suljettu, mutta siellä se on, läsnäolon voi selvästi aistia...Tämä kompleksifikaation läsnäolo on juuri se murheenkryyni näissä ja tässä se on muodossa: so(1,3) on isomorfinen kompleksifikaation su(2)⊗ℂ kanssa (kun tarkastellaan reaalisia vektoriavaruuksia. Tuossa siis tensoritulossa pitäisi olla ylimääräinen reaalista tensorituloa impilkoiva ℝ  muodossa alaindeksi ᵣ jossain muodossa esim su(2)⊗ᵣℂ.

Joo nuo kiraalisuudet/kätisyydet on monessa lähteessä määritelty kuten kirjoititkin.

Kiraalisuutta käytetään kuitenkin käsitteenä melko sekavasti. Periaatteessa kiraalisuus määritellään Diracin ns.  viidennen gammamatriisin γ⁵=i γ⁰ γ¹ γ² γ³ ominaisarvona, ja tuo ominaisarvo on ±1. Kiraalisuus fysikaalisena ominaisuutena on näin ajateltuna olemassa vasta kun Diracin spinori Ψᴰ on määritelty tai 'rakennettu' kahdesta Weylin spinorista Ψᴸ ja Ψᴿ muodossa Ψᴰ = (Ψᴸ, Ψᴿ)ᵀ.

Weylin spinorin tapauksessa ehkä oikeampi tapa olisi puhua vasen- ja oikeakätisestä spinorista Ψᴸ ja Ψᴿ. Kun Diracin spinoriin kohdistetaan projektio-operaattori Pᴸ = ½( 1 - γ⁵) tai Pᴿ = ½( 1 + γ⁵), saadaan nuo vasen- tai oikeakätiset komponentit Pᴸ Ψᴰ = Ψᴸ ja Pᴿ Ψᴰ = Ψᴿ.

Noin ajateltuna kiraalisuus on gammamatriisin ominaisarvo ja kätisyys on projektiolla Pᴸ tai Pᴿ saatava tulos. Eli yksittäisellä Weylin spinorilla ei ole kiraalisuutta, vaan Weylin spinori on vain joko vasen- tai oikeakätinen (left-/right-handed).

Tässäkin 'kätisyys' on erittäin sekava, koska se on usein synonyymi helisiteetille (joka siis spinin projektio liikemäärävektoria vasten). Kiraalisuus ja helisiteetti eivät ole yhteneviä, heh paitsi massattomille hitusille ovat.

Itse kuitenkin pidän ajatuksesta, että kiraalisuus on Diracin spinorin ominaisuus ja kätisyys Weylin spinorin ominaisuus. Kun kaksi Weylin spinoria yhdistetään kahden so(1,3)-esityksen suoralla summalla Diracin spinoriksi, on seurauksena tavallaan uusi ominaisuus, joka on tuo kiraalisuus.

Lorentzin ryhmän pariteettimuunnoksessa Weylin spinorit vaihtavat kätisyyttä (½,0) → (0,½) ja (0,½) → (½,0), eli Ψᴸ → Ψᴿ ja Ψᴿ → Ψᴸ. Fysikaalisesti tuo tarkoittaa hiukkasten muuttumista toisiksi hiukkasiksi. Diracin spinori puolestaan on ainakin osittain invariantti pariteettimuunnoksessa, spinorin kaksi kompnenttia tosin vaihtavat paikkaa (Ψᴸ, Ψᴿ)ᵀ → (Ψᴿ, Ψᴸ)ᵀ.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Kokosin lyhyesti esitysten muodostamista. Usein lähteissä toistuva lause: Koska algebra so(1,3) on puoliyksinkertainen, voidaan kaikki sen äärelliset esitykset muodostaa algebran so(1,3) redusoitumattomien esitysten suorana summana. Tuossa suora summa tarkoittaa so(1,3) redusoitumattomien esitysten suoraa summaa, ei siis su(2) esitysten suoraa summaa. Diracin spinori (½,0) ⊕ (0,½) on tuollainen ja sehän ei ole irrep.

Kyllä, juuri näin, tuo on erittäin tärkeä ja hyvä huomio. Tämä kohta on käsittääkseni monissa esityksissä jäänyt vähemmälle huomiolle ja tosiaan helposti ajattelee tuossa olevan se su(2) ja tuloksena on harmaita hiuksia ja sekaannusta.

Tästä päästääkin siihen että jokaisen ryhmäteoriafyysikon komerossa piileskelee kompleksifikaatiohirviö, ovi on suljettu, mutta siellä se on, läsnäolon voi selvästi aistia...Tämä kompleksifikaation läsnäolo on juuri se murheenkryyni näissä ja tässä se on muodossa: so(1,3) on isomorfinen kompleksifikaation su(2)⊗ℂ kanssa (kun tarkastellaan reaalisia vektoriavaruuksia. Tuossa siis tensoritulossa pitäisi olla ylimääräinen reaalista tensorituloa impilkoiva ℝ  muodossa alaindeksi ᵣ jossain muodossa esim su(2)⊗ᵣℂ.

Tätä voi vielä jalostaa askeleen eteenpäin muotoon, jossa ryhmän so(1,3) kompleksifikaatio so(1,3)⊗ᵣℂ on isomorfinen suoran summan (su(2)⊗ᵣℂ )⊕ (su(2)⊗ᵣℂ) kanssa eli:

so(1,3)⊗ᵣℂ ≈ (su(2)⊗ᵣℂ )⊕ (su(2)⊗ᵣℂ),

tämä olisi sen väärän kaavan so(1,3) ≈ su(2)⊕ su(2) oikeampi muoto.

Tämä kompleksifikaatio on edelleen niin hämmentävä juttu. Ehkä mä joku päivä onnistun ymmärtämään sen merkityksen ja fysikaaliset seuraukset. Huoh.

Eusa
Seuraa 
Viestejä17287

QS kirjoitti:

Tämä kompleksifikaatio on edelleen niin hämmentävä juttu. Ehkä mä joku päivä onnistun ymmärtämään sen merkityksen ja fysikaaliset seuraukset. Huoh.

Melko lähelle kompleksifikaatio on nykyisen paradigman formuloinnissa samaa kuin toistamani oma käsitteeni globaalista vastakkaisvaiheisuudesta ja etäisyyspariteetista, jotka avaruudellisesti säilyttävät lomittumisen ja siksi logiikka on klassista palleropeliä kuvaavan Bellin epäyhtälön vastainen.

Tuskin löydät muuta "virallista" selitystä kuin, että noin saadaan teoria ehjäksi kuvaamaan toteutuvia todennäköisyystilastoja...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Eusa
Seuraa 
Viestejä17287

On syytä miettiä kompleksifikaation antia kuvaukselle samanmerkkisten varausten puskuvuorovaikutuksessa. Helisiteetti eli kätisyys määrittää nopeudella c etenevän signaalin kantaman tiedon varauksen tilasta suhteessa spiniin. Kiraliteetin voisi puolestaan ajatella jäännöshelisiteetiksi valoa hitaammalle hiukkaselle tarkastelukehyksen suhteen.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Chiral_anomaly

Tuosta anomaliasta saattaa saada pikkuisen ahaa-elämystä. Yleinen dekoherenssi voi muuttaa kehyssuhdetta / jäännöshelisiteetin summaa eli kiraalisuutta massallisille hiukkasille, jolloin vaikutelmana on tuollainen anomalia näennäisesti suljetussa järjestelmässä.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat