Sivut

Kommentit (232)

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa, perjantain kunniaksi tässä kirjoittelen, kirjoitan nyt lyhyissä pätkissä, eli eka kommentti tässä:
QS kirjoitti:

Aiemmassa postauksessa oli näköjään typoja: "Infinitesimaali rotaatio kulmalla δφ suunnan r ympäri voidaan kirjoittaa R(r, δφ) = I - i δφ J · r, missä I on yksikkömatriisi. Tästä äärellinen rotaatio R(r, φ) = exp( -i φ J · r )."

Boldattu piti olla tietysti r eikä n kuten alkup.


Eikös tuo periaatteessa ole ihan oikein, sillä äärellinen rotaatio voidaan aina esittää juurikin antamassasi muodossa R(r, φ) = exp( -i φ J · r ), missä r on vektori ja J = (J₃, J₁, J₂) ovat niitä matriiseja. Tuossa on jonkinverran valinnanvapautta parametrien r ja  φ suhteen, mutta yleensä olen nähnyt tämän sellaisessa muodossa, jossa vektori r on normitettu yksikkövektoriksi ja silloin tuo φ mittaa kiertokulmaa r:n määräämän akselin ympäri. Jos käytettäisiin vektoria r pituus olisi 2, niin silloin φ olisi vain puolet kiertokumasta jne. Olen jotenkin ihastunut käyttämään yksikkövektorille merkintää n joten kirjoitan nyt jatkossa alla niin.

Juu kyllä. Alkuperäisessä viestissäni vaan käytin hämäävästi samaa yksikkövektoria n sekä rotaatiolle että puskulle. Ei siinä periaatteessa vikaa ollut, mutta tähtäsin lopulliseen yleiseen muunnokseen

Λ = exp -i( φ J · r + θ K · n  ), missä rotaatio yksikkövektorin r ympäri ja pusku yksikkönopeusvektorin n suuntaan. Ja siis rotaatiokulma φ ja rapiditeetti θ = arctanh(v)

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Tuossa on myös eräs hämäävä notaationaalinen sudenkuoppa jonka kanssa tuskailin aikoinaan, kun ekaa kertaa opiskellessani näitä yritin hahmotella tuota matriisieksponenttiesitystä rotaatiolle. Fyysikot nimittäin rakastavat imaginaariyksikköä i ja siksi se pitää tunkea joka paikkaan heh.. eli fyysikot kirjoittaa:

R(n, φ) = exp( - iφ J · n)

Tuossa fyysikkonotaatiossa ovat matriisit  (J₁, J₂, J₃) hermiittisiä (kompleksi)matriiseja kun taas matematiikkanotaatiossa:

R(n, φ) = exp(  φ J · n),

missä nyt  (J₁, J₂, J₃) ovat antisymmetrisiä (reaali) matriiseja. Eli tuossa matriisien  (J₁, J₂, J₃) eksplisiittinen lauseke riippuu kumpaa konventiota käyttää. Sama vaikuttaa myös kommutaattoreihin eli fyysikon mukaan:

 [J₁, J₂] = i J₃,

mutta matemaatikon mukaan:

 [J₁, J₂] = J₃.

Ihan puhtaan matematiikan kannalta ei ehkä tarvitse laittaa imaginaariyksikköä mukaan noihin  matriisien (J₁, J₂, J₃) määritelmiin, koska kaikki on reaalista, mutta ymmärän fyysikoita, jotka haluavat näiden matriisien olevan hermiittisiä. Vastaava pätee myös Poincare-ryhmälle, siinäkin voidaan operoida puhtaasti reaalisilla matriiseilla ja matriisieksponenteilla.

PS. esim. Jackson operoi reaalisilla matriiseilla, mutta Jackson raivostuttavasti sijoittaa vielä yhden ylimääräisen miinusmerkin tuohon matriisieksponentin kaavaan eli:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),

joka on eri lauseke kuin myös Wikipediasta löytyvä kaava R(n, φ) = exp(  φ J · n) ja luulen että asialla on tekemistä tuon metriikan g kanssa. Jacksonilla g = (1,-1,-1,-1) ja Wikipediassa g = (-1, 1, 1, 1), mutta en nyt jaksa moista selvittää, otan mieluummin kylmän oluen..

Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Periaatteessa käsiheilautuksella kompleksisuuden voi perustella siten, että kvanttitilat kuvataan kompleksisilla Hilbertin/Fockin avaruuden vektoreilla, joten ne nyt vaan halutaan kompleksisiksi koska kvanttimekaniikka. Aiheeseen liittyy kuitenkin (ainakin mun ryhmäteorian osaamistasolta tarkasteluna) onimutkaisia sivujuonteita, joita yritin joskus selvitellä, mutta luovutin.

Perustelevat kompleksifioidun algebran so+(1,3) ja (kvanttiteorioissa tärkeän) kompleksifioidun algebran su(2)⊕su(2) isomorfismilla. SU(2) kantavektorit ovat Paulin matriiseja. Valitsemalla alunperin reaalisen ryhmän SO+(1,3) kantavektoreiksi kompleksiset J ja K, saadaan aikaan tuo isomorfismi. Ja sitten kait voidaan sanoa, että (kvantti)fysiikan sovelluksiin tuo kompelksisuus on ainoa oikea valinta.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Eli siis so(1,3; C)  ≅ sl(2 ; C)⊕sl(2 ; C), mikä tarkoitta sitä, että kompleksifioitu so(1,3; C) algebra voidaan ilmaista kahden kompleksifioidun kvanttikulmaliikemäärä-algebran suorana summana. Ja tämä on hyödyllistä, kun etsitään kvanttiteorioista tuon kompleksifioidun Lorentzin ryhmän esityksiä, jotka toimivat kompleksiseen kvanttitiloja kuvaavaan vektoriavaruuteen. Mutta siis tämän aiheen tekniset detaljit eivät mulla hallussa.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5517

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

M₁₂ = J₃

M₂₃ = J₁

M₃₁ = J₂

Nyt jos muodostan kommutaattorin [ J₁, J₂]  = i J₃ (fyysikon notaatioin) ja kirjoitan sen M-matriisien avulla:

[M₁₂, M₂₃]  = M₃₁

sitten syklisesti permutoin indeksejä

[M₂₃, M₃₁]  = M₁₂

[M₃₁, M₁₂]  = M₂₃.

...

[Mᵦᵧ, Mᵤᵥ ] = -i ( gᵦᵤ Mᵧᵥ + gᵧᵥ Mᵦᵤ - gᵦᵥ Mᵧᵤ - gᵧᵤ Mᵦᵥ )

oikealle jää korkeintaan yksi nollasta poikkeava M-matriisi. Tämä siksi että jos sovitaan niiden M-matriisien olevan nollia, joissa on kaksi samaa indeksiä.

Hyvä huomio. Lopulta siis kommutoinnin tulos on varsin yksinkertainen.

Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Huomenta, olen nyt yrittänyt selvitellä noita matriisieksponentteja jäljittääkseni noita merkki ym. eroja.

QS kirjoitti:

SIJ kirjoitti:

...Jacksonin rotaatio...

R(n, φ) = exp(  - φ J · n),
...


Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Jackson on tavallaan oikeassa, mutta vain tavallaan. Nyt kun luin tuota kohtaa kirjasta tarkemmin, Jackson huomauttaa matriisin R(n, φ) = exp(  - φ J · n) olevan rotaatio kulman φ verran myötäpäivään, siis myötäpäivään! Tämä selittää tässä yhden mystisen miinusmerkin, sillä nyt siis oikeankäden sääntöä noudattava rotaatio on R(n, φ) = exp(  φ J · n). Varmistin tämän ihan laskemalla tuon eksplisiittisesti, kun J on generaattori vaikka z-akselin ympäri J = {(0,-1), (1,0)}, tässä voi käyttää 2x2-matriisia. Lopputuloksena on matriisi R(φ) = {(cosφ, -sinφ), (sinφ. cosφ)}

QS kirjoitti:

...
Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)


Mä tein ihan saman jotta selviäisi myös onko muakin huiputettu kaikki nämä vuodet...eli laskin noita matriiseja eksplisiittisesti myös.

QS kirjoitti:

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.


Tässä(kin) kummittelee miinusmerkit hehe...meinaan tuo lopputulos on ilmeisesti halutun boostin käänteisboosti, jos siis B(v) on positiivisen x-akselin suuntaan, niin tuo on B(-v).

 Olen nyt siis nähnyt eri lähteissä seuraavia esityksiä rotaatioille:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),  Jacksonin vasemmän käden sääntö, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(  φ J · n), löytyy mun QFT-monisteesta ja Wikipediasta, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(- i φ J · n), hermiittinen kompleksinen J.

Vastaavasti boostikin voidaan ilmeisesti esittää usealla eri tavalla:

B(n, θ) = exp( - θ K · n ), K reaaliset, symmetrinen

B(n, θ) = exp( i θ K · n ), K kompleksinen, antihermiittinen

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Huomenta, olen nyt yrittänyt selvitellä noita matriisieksponentteja jäljittääkseni noita merkki ym. eroja.

QS kirjoitti:

SIJ kirjoitti:

...Jacksonin rotaatio...

R(n, φ) = exp(  - φ J · n),
...


Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Jackson on tavallaan oikeassa, mutta vain tavallaan. Nyt kun luin tuota kohtaa kirjasta tarkemmin, Jackson huomauttaa matriisin R(n, φ) = exp(  - φ J · n) olevan rotaatio kulman φ verran myötäpäivään, siis myötäpäivään! Tämä selittää tässä yhden mystisen miinusmerkin, sillä nyt siis oikeankäden sääntöä noudattava rotaatio on R(n, φ) = exp(  φ J · n). Varmistin tämän ihan laskemalla tuon eksplisiittisesti, kun J on generaattori vaikka z-akselin ympäri J = {(0,-1), (1,0)}, tässä voi käyttää 2x2-matriisia. Lopputuloksena on matriisi R(φ) = {(cosφ, -sinφ), (sinφ. cosφ)}

QS kirjoitti:

...
Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)


Mä tein ihan saman jotta selviäisi myös onko muakin huiputettu kaikki nämä vuodet...eli laskin noita matriiseja eksplisiittisesti myös.

QS kirjoitti:

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.


Tässä(kin) kummittelee miinusmerkit hehe...meinaan tuo lopputulos on ilmeisesti halutun boostin käänteisboosti, jos siis B(v) on positiivisen x-akselin suuntaan, niin tuo on B(-v).

 Olen nyt siis nähnyt eri lähteissä seuraavia esityksiä rotaatioille:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),  Jacksonin vasemmän käden sääntö, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(  φ J · n), löytyy mun QFT-monisteesta ja Wikipediasta, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(- i φ J · n), hermiittinen kompleksinen J.

Vastaavasti boostikin voidaan ilmeisesti esittää usealla eri tavalla:

B(n, θ) = exp( - θ K · n ), K reaaliset, symmetrinen

B(n, θ) = exp( i θ K · n ), K kompleksinen, antihermiittinen

Vaikuttaa, että miinukset ja imaginaariyksiköt voidaan valita miten päin vain riippuen halutaano aktiivinen vai passiivinen muunnos. Onnistuin selvittämään, että ainakin tuo käyttämäni exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) tuottaa aktiivisen puskun. Eli siis annetaan kivenmurikalle potku nopeusvektorin v suuntaan ja jäädään itse omaan koordinaatistoon. Tämä on potkun suorittajan (aktiivinen) näkökulmasta käänteinen muunnos.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Huomenta, olen nyt yrittänyt selvitellä noita matriisieksponentteja jäljittääkseni noita merkki ym. eroja.

QS kirjoitti:

SIJ kirjoitti:

...Jacksonin rotaatio...

R(n, φ) = exp(  - φ J · n),
...


Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Jackson on tavallaan oikeassa, mutta vain tavallaan. Nyt kun luin tuota kohtaa kirjasta tarkemmin, Jackson huomauttaa matriisin R(n, φ) = exp(  - φ J · n) olevan rotaatio kulman φ verran myötäpäivään, siis myötäpäivään! Tämä selittää tässä yhden mystisen miinusmerkin, sillä nyt siis oikeankäden sääntöä noudattava rotaatio on R(n, φ) = exp(  φ J · n). Varmistin tämän ihan laskemalla tuon eksplisiittisesti, kun J on generaattori vaikka z-akselin ympäri J = {(0,-1), (1,0)}, tässä voi käyttää 2x2-matriisia. Lopputuloksena on matriisi R(φ) = {(cosφ, -sinφ), (sinφ. cosφ)}

QS kirjoitti:

...
Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)


Mä tein ihan saman jotta selviäisi myös onko muakin huiputettu kaikki nämä vuodet...eli laskin noita matriiseja eksplisiittisesti myös.

QS kirjoitti:

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.


Tässä(kin) kummittelee miinusmerkit hehe...meinaan tuo lopputulos on ilmeisesti halutun boostin käänteisboosti, jos siis B(v) on positiivisen x-akselin suuntaan, niin tuo on B(-v).

 Olen nyt siis nähnyt eri lähteissä seuraavia esityksiä rotaatioille:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),  Jacksonin vasemmän käden sääntö, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(  φ J · n), löytyy mun QFT-monisteesta ja Wikipediasta, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(- i φ J · n), hermiittinen kompleksinen J.

Vastaavasti boostikin voidaan ilmeisesti esittää usealla eri tavalla:

B(n, θ) = exp( - θ K · n ), K reaaliset, symmetrinen

B(n, θ) = exp( i θ K · n ), K kompleksinen, antihermiittinen

Vaikuttaa, että miinukset ja imaginaariyksiköt voidaan valita miten päin vain riippuen halutaano aktiivinen vai passiivinen muunnos. Onnistuin selvittämään, että ainakin tuo käyttämäni exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) tuottaa aktiivisen puskun. Eli siis annetaan kivenmurikalle potku nopeusvektorin v suuntaan ja jäädään itse omaan koordinaatistoon. Tämä on potkun suorittajan (aktiivinen) näkökulmasta käänteinen muunnos.

Joo, ok, tosiaan tuo aktiivinen/ passiivinen muunnos voikin selittää paljon erilaisista miinusmerkeistä, joita leijailee siellä täällä. Tässä ilmeisesti saa olla aika tarkkana mitä lähdettä käyttää, koska merkitys voi riippua siitä. 

Tossa kaavassasi exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) siis kumpikin suure  ωᵘᵛ ja Mᵤᵥ ovat antisymmetrisiä tuon indeksin vaihdon suhteen (uv) -> (vu) ja suure ωᵘᵛ on ihan rehellinen matriisi, jonka komponentteina on se rapiditeetti  ja kiertokulma suunnalla huomioituna., kuten laskitkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

SIJ kirjoitti:

Tossa kaavassasi exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) siis kumpikin suure  ωᵘᵛ ja Mᵤᵥ ovat antisymmetrisiä tuon indeksin vaihdon suhteen (uv) -> (vu) ja suure ωᵘᵛ on ihan rehellinen matriisi, jonka komponentteina on se rapiditeetti  ja kiertokulma suunnalla huomioituna., kuten laskitkin.

Nyt ääripedanttisuus valtaa mielen, voiko tota nyt sanoa antisymmetrisyydeksi, koska vaihto (uv)->(vu) ei viittaa mihinkään matriisin komponentteihin vaan se liittää kaksi eri matriisia toisiinsa eli  Mᵤᵥ = - Mᵥᵤ. Itse matriisit ovat sitten mitä ovat, (anti)hermiittisiä tms.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
SIJ kirjoitti:

Tossa kaavassasi exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) siis kumpikin suure  ωᵘᵛ ja Mᵤᵥ ovat antisymmetrisiä tuon indeksin vaihdon suhteen (uv) -> (vu) ja suure ωᵘᵛ on ihan rehellinen matriisi, jonka komponentteina on se rapiditeetti  ja kiertokulma suunnalla huomioituna., kuten laskitkin.

Nyt ääripedanttisuus valtaa mielen, voiko tota nyt sanoa antisymmetrisyydeksi, koska vaihto (uv)->(vu) ei viittaa mihinkään matriisin komponentteihin vaan se liittää kaksi eri matriisia toisiinsa eli  Mᵤᵥ = - Mᵥᵤ. Itse matriisit ovat sitten mitä ovat, (anti)hermiittisiä tms.

Mun notaatio Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) alkaa hajota käsiin. Tässä nyt ωᵘᵛ on tosiaan matriisi, johon on pakattu 6 kpl reaalisia parametreja: kolme kiertokulmaa ja kolme rapiditeettia antisymmetriseksi matriisiksi.

Mutta tämä Mᵤᵥ pitäisi käsittääkseni ajatella Lien algebran kantavektorijoukkona, koska Lien algebra on vektoriavaruus. En ole enää varma voiko tuota kutsua tensoriksi kuten aluksi sanoin. Onko se matriisi, joka muodostettu alkuperäisistä Lien algebran kantamatriiseista J ja K? Vai onko se tensori, joka on muodostettu matriiseista J ja K? Argh.

Pitäisikö tämä koko notaatio oikeasti kirjoittaa Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), missä Λᵞᵦ ∈ SO⁺(1,3). Nyt tuossa summassa ωᵘᵛ Mᵤᵥ kukin yksittäinen termi on Lien algebran alkio, jotka siis kaikki summataan yhteen. Summauksen jälkeinen tulos ajatellaan matriisina Xᵞᵦ, ja tuon matriisin eksponenttikuvauksella saadaan matriisi Λᵞᵦ, joka on sitten tietysti ryhmän alkio.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Ihan minilyhyt vastaus, olen juuri juhlistamassa hiihtoloman alkamista huomenna.

QS kirjoitti:

Mun notaatio Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) alkaa hajota käsiin. Tässä nyt ωᵘᵛ on tosiaan matriisi, johon on pakattu 6 kpl reaalisia parametreja: kolme kiertokulmaa ja kolme rapiditeettia antisymmetriseksi matriisiksi.

Ei hajoa, mutta siihen on hyvä tehdä tiettyjä täsmennyksiä, kuten teetkin alla.

QS kirjoitti:

Mutta tämä Mᵤᵥ pitäisi käsittääkseni ajatella Lien algebran kantavektorijoukkona, koska Lien algebra on vektoriavaruus.

Kyllä, juuri näin.
QS kirjoitti:

Pitäisikö tämä koko notaatio oikeasti kirjoittaa Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), missä Λᵞᵦ ∈ SO⁺(1,3). Nyt tuossa summassa ωᵘᵛ Mᵤᵥ kukin yksittäinen termi on Lien algebran alkio, jotka siis kaikki summataan yhteen. Summauksen jälkeinen tulos ajatellaan matriisina Xᵞᵦ, ja tuon matriisin eksponenttikuvauksella saadaan matriisi Λᵞᵦ, joka on sitten tietysti ryhmän alkio

Pitäisi tai ainakin olisi selvempää kyllä, tuo on erittäin hyvä huomio, tämä on se täsmennys mihin viittasin yllä. Jos merkitsee ihan vaan Λ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)), niin notaatio on epämääräinen sellaisenaan, koska ei käy ilmi minkälainen matriisi on kyseessä, siitä puuttuu ne aika-avaruuden indeksit, mutta ne voi lisätä kuten teitkin ja tulos on nyt Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), jossa tosiaan käy eksplisiittisesti ilmi tuon matriisi M. Matriisin M kovariantti muoto (Mᵤᵥ)ᵦᵧ on eri kuin sekamuoto (Mᵤᵥ)ᵞᵦ  ja tämä voi sekoittaa joskus, kun merkitsee lyhyesti Mᵤᵥ.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Ei sitten tekstiä ilman kirjoitusvirhettä:

QS kirjoitti:

Matriisin M kovariantti muoto (Mᵤᵥ)ᵦᵧ on eri kuin sekamuoto (Mᵤᵥ)ᵞᵦ  ja tämä voi sekoittaa joskus, kun merkitsee lyhyesti Mᵤᵥ.

Tossa tuo boldattu (Mᵤᵥ)ᵦᵧ piti olla (Mᵤᵥ)ᵧᵦ, nyt indeksit oikeassa järjestyksessä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Ihan minilyhyt vastaus, olen juuri juhlistamassa hiihtoloman alkamista huomenna.
QS kirjoitti:

Mun notaatio Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) alkaa hajota käsiin. Tässä nyt ωᵘᵛ on tosiaan matriisi, johon on pakattu 6 kpl reaalisia parametreja: kolme kiertokulmaa ja kolme rapiditeettia antisymmetriseksi matriisiksi.

Ei hajoa, mutta siihen on hyvä tehdä tiettyjä täsmennyksiä, kuten teetkin alla.

QS kirjoitti:

Mutta tämä Mᵤᵥ pitäisi käsittääkseni ajatella Lien algebran kantavektorijoukkona, koska Lien algebra on vektoriavaruus.

Kyllä, juuri näin.
QS kirjoitti:

Pitäisikö tämä koko notaatio oikeasti kirjoittaa Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), missä Λᵞᵦ ∈ SO⁺(1,3). Nyt tuossa summassa ωᵘᵛ Mᵤᵥ kukin yksittäinen termi on Lien algebran alkio, jotka siis kaikki summataan yhteen. Summauksen jälkeinen tulos ajatellaan matriisina Xᵞᵦ, ja tuon matriisin eksponenttikuvauksella saadaan matriisi Λᵞᵦ, joka on sitten tietysti ryhmän alkio

Pitäisi tai ainakin olisi selvempää kyllä, tuo on erittäin hyvä huomio, tämä on se täsmennys mihin viittasin yllä. Jos merkitsee ihan vaan Λ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)), niin notaatio on epämääräinen sellaisenaan, koska ei käy ilmi minkälainen matriisi on kyseessä, siitä puuttuu ne aika-avaruuden indeksit, mutta ne voi lisätä kuten teitkin ja tulos on nyt Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), jossa tosiaan käy eksplisiittisesti ilmi tuon matriisi M. Matriisin M kovariantti muoto (Mᵤᵥ)ᵦᵧ on eri kuin sekamuoto (Mᵤᵥ)ᵞᵦ  ja tämä voi sekoittaa joskus, kun merkitsee lyhyesti Mᵤᵥ.

No hyvä, että sain pelastettua taas edes osan notaatio-sotkustani. Ei ollut eka sotku. Mä tarvitsisin ihan oman algebrallisen rakenteen, jonka nimi olisi "läjä numeroita". Osaisin käyttää sellaista aika sujuvasti ;)

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Jospa hiukan ryhmän SO⁺(1,3) esityksistä R: SO⁺(1,3) → GL(V). Tässä siis muodostetaan vektoriavaruuden V lineaarisia operaattoreita (matriiseja), jotka muuntavat tuon avaruuden V vektoreita, tensoreita, spinoreita, skalaareja jne Lorentzin ryhmän ominaisuudet toteuttaen.

Triviaali esitys toimii yksiulotteisessa esitysavaruudessa V, joiden alkiot ovat fysiikassa skalaareja. Triviaali esitys määritellään R: SO⁺(1,3) → GL(V), R(g) = Id ∀ g ∈ SO⁺(1,3). Tässä Id on identiteettikuvaus avaruudessa V. Ryhmän esityksen muuntavat skalaarit s → Λ s = Id * s = 1 * s = s. Skalaarit s ovat siis Lorentzinvariantteja. Voi myös ajatella siten, että tensori Mᵤᵥ = 0₁ₓ₁ ja matriisi ωᵘᵛ = 0₁ₓ₁, jolloin Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) = 1₁ₓ₁ (alaindeksi kuvaa 1x1 matriisia). Tuo Λ = 1₁ₓ₁ ei ole sellaisenaan Lorentzin ryhmän alkio, vaan sen esitys 1-ulotteisessa esitysavaruudessa V.

Nelivektoriesityksessä generaattorit Mᵤᵥ ovat 4x4 matriiseja (Mᵤᵥ)ᵝᵧ. Ryhmän esitykset muuntavat nelivektorit Aᵞ → Λᵝᵧ Aᵞ, missä matriisi Λᵝᵧ = [ exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) ]ᵝᵧ. Nämä esitykset ovat 4x4 matriiseja, jotka ovat sellaisenaan myös ryhmän SO⁺(1,3) alkioita.

Tensoriesitys on vektoriesitysten tensoritulo, ja ne muuntavat (p,q)-tensoreita. Esimerkiksi (2,0)-tensorituloavaruudessa V ⊗ V esitys on 16x16 matriisi Λᵝᵤ Λᵞᵥ = Λᵝᵞᵤᵥ, joka muuntaa tensorin Tᵝᵞ → Λᵝᵞᵤᵥ Tᵘᵛ. Tässä esitys Λᵝᵞᵤᵥ on kahden vektoriesityksen Λᵝᵤ ja Λᵞᵥ suora tulo. Vastaavasti voidaan muodostaa korkeamman kertaluvun tensoriesityksiä.

No. Tähän se helppous loppuukin. Koska SO⁺(1,3) on ei-kompakti ryhmä, sen äärellisulotteiset esitykset eivät voi olla unitaarisia, jotka siis säilyttäisivät Hilbertin avaruuden sisätulon esim. spinoriesityksissä. Unitaariset esityksen pitää etsiä toisella tavalla.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Aamupäivää, ulkona näkyy olevankin ihan kiva kevätpäivä ja pitää lähteä kohta kauppaan hakemaan hmm ... ruokaa, mutta sitä ennen laitan nyt muutaman kommentin: 

QS kirjoitti:
Jospa hiukan ryhmän SO⁺(1,3) esityksistä R: SO⁺(1,3) → GL(V). Tässä siis muodostetaan vektoriavaruuden V lineaarisia operaattoreita (matriiseja), jotka muuntavat tuon avaruuden V vektoreita, tensoreita, spinoreita, skalaareja jne Lorentzin ryhmän ominaisuudet toteuttaen.

Kyllä, näin on. Tämä esitysteoria on kyllä äärimmäisen haastava ja olen kyllä käyttänyt aikaa siihen ihan kiitettävästi ja vaihtelevin tuloksin. Jotenkin, kun nettiä selaa, niin tämän SO⁺(1,3):n esityksistä kyllä löytyy niin monenmoista esitystä ja joskus ne ovat niin kaukana toisistaan, että jo ajattelee että onko edes kyse samasta ryhmästä. Jos asiaa lähestyy matemaattisemmin perinteellisen shut-up and calculate-lähestymistavan sijasta esimerkiksi pitämällä kirjaa eri kompleksifikaatioista ja siitä että onko esitys mahdolliseti ℝ-lineaarisesta vai ℂ-lineaarisesta esityksestä ja ties mistä  niin vaadittava ajan määrä kasvaa eksponentiaalisesti, olen ihan itse huomannut tämän.

QS kirjoitti:

Triviaali esitys toimii yksiulotteisessa esitysavaruudessa V, joiden alkiot ovat fysiikassa skalaareja. Triviaali esitys määritellään R: SO⁺(1,3) → GL(V), R(g) = Id ∀ g ∈ SO⁺(1,3). Tässä Id on identiteettikuvaus avaruudessa V. Ryhmän esityksen muuntavat skalaarit s → Λ s = Id * s = 1 * s = s. Skalaarit s ovat siis Lorentzinvariantteja. Voi myös ajatella siten, että tensori Mᵤᵥ = 0₁ₓ₁ ja matriisi ωᵘᵛ = 0₁ₓ₁, jolloin Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) = 1₁ₓ₁ (alaindeksi kuvaa 1x1 matriisia). Tuo Λ = 1₁ₓ₁ ei ole sellaisenaan Lorentzin ryhmän alkio, vaan sen esitys 1-ulotteisessa esitysavaruudessa V.

Nelivektoriesityksessä generaattorit Mᵤᵥ ovat 4x4 matriiseja (Mᵤᵥ)ᵝᵧ. Ryhmän esitykset muuntavat nelivektorit Aᵞ → Λᵝᵧ Aᵞ, missä matriisi Λᵝᵧ = [ exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) ]ᵝᵧ. Nämä esitykset ovat 4x4 matriiseja, jotka ovat sellaisenaan myös ryhmän SO⁺(1,3) alkioita.

Tensoriesitys on vektoriesitysten tensoritulo, ja ne muuntavat (p,q)-tensoreita. Esimerkiksi (2,0)-tensorituloavaruudessa V ⊗ V esitys on 16x16 matriisi Λᵝᵤ Λᵞᵥ = Λᵝᵞᵤᵥ, joka muuntaa tensorin Tᵝᵞ → Λᵝᵞᵤᵥ Tᵘᵛ. Tässä esitys Λᵝᵞᵤᵥ on kahden vektoriesityksen Λᵝᵤ ja Λᵞᵥ suora tulo. Vastaavasti voidaan muodostaa korkeamman kertaluvun tensoriesityksiä.

Kyllä, näin saadaan uusia esityksiä vanhoista ja jos tuohon antamaasi lisää vielä kovariantit tensorit eli muodostettaisiin  yleisin tensoritulo V⊗...⊗V⊗V*⊗...⊗V*, missä V:n tuloja k kpl ja V* tuloja p kpl. Tuollaisen tensoritulon sisältä voidaan käsittääkseni löytää myös ne redusoitumattomat esitykset, ainakin melkein. Nyt eräs ryhmän SO⁺(1,3) kummallisuus on se, että tuo lla tavalla pystytään muodostamaan vain "puolet" esityksistä, puolet puuttuu. Puuttuvat esitykset ovat projektiivisia esityksiä tai spinoriesityksiä. Tällä on tekemistä ryhmän ja sen peiteryhmän välisestä suhteesta, samaan tapaan kuin SO(3) ja SU(2).

QS kirjoitti:

No. Tähän se helppous loppuukin. Koska SO⁺(1,3) on ei-kompakti ryhmä, sen äärellisulotteiset esitykset eivät voi olla unitaarisia, jotka siis säilyttäisivät Hilbertin avaruuden sisätulon esim. spinoriesityksissä. Unitaariset esityksen pitää etsiä toisella tavalla.

Tämä on oikeasti mielestäni melkoisen rankka projekti, mutta ajan kanssa varmasti edetään.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Jatkuu...

Kuten tunnettua ryhmällä SO(3) on peiteryhmänä SU(2) ja on olemassa 2-1 ryhmähomomorfismi P : SU(2)→ SO(3). Kummallekkin ryhmälle voidaan rakentaa ryhmien esitysteorian mukaisia esityksiä ja mielenkiintoinen kysymys on se, että miten nuo esitykset riippuvat toisistaan. Niillä on tekemistä paljonkin keskenään, koska tuo P sitoo ne yhteen monella tapaa, mutta ihan samat esitykset ne eivät kuitenkaan ole. Sama problematiikka liittyy myös Lorentzin ryhmään  SO⁺(1,3) ja Poincaren ryhmään  SO⁺(1,3)⋊ ℝ¹∙³, missä olen nyt kirjoittanut tuon puolisuorana tulona.

Esitysteorian esityksissä joskus ongelmia tuottaa se, että ei oikein tehdä eroa ryhmän G esityksen ja sen universaalin peiteryhmän Gᵘ esitysten välillä, ainakaan mitenkään tarkkaan. Näillä nimittäin on sama Lien algebra.

Yleisesti, jokaisella Lien ryhmällä G on aina olemassa universaali peiteryhmä Gᵘ, joka on myös Lien ryhmä ja on olemassa ryhmähomomorfismi P : Gᵘ → G.   Ryhmän Gᵘ suhde ryhmään G määräytyy G:n topologiasta perusryhmän π₁(G) välityksellä tietyllä tavalla, mutta yleisenä sääntönä voidaan sanoa ryhmän  Gᵘ olevan aina isompi ryhmä. Tuo perusryhmä π₁(G) on valitun pisteen p∈G  kautta kulkevien suljetujen lenkkien homotopiaekvivalenssiluokka, jolle voidaan antaa ryhmän rakenne ja sitten voidaan rakentaa tämän ryhmän toiminta G:ssä, jonka avulla universaali peiteavaruus  Gᵘ on sitten tekijämonisto G / π₁(G). Konstruktiosta seuraa se että tämä universaali peiteryhmä on yhdesti yhtenäinen eli sen perusryhmä on triviaali eli π₁(Gᵘ) = 0. Lisäksi kummankin ryhmän Lie-algebrat ovat isomorfiset eli Lie(G) = Lie(Gᵘ) eli Lien algebran tasolla ei ryhmiä voi erottaa.

No, toi oli tollaista yleistaustaa, fysiikassa monien Lien ryhmien peiteavaruudet ovat melko konkreettisia ja seuraavassa lista esimerkkejä, kaikissa allaolevissa tapauksissa P on 2-1 ryhmähomomorfismi universaalilta peiteryhmältä itse ryhmälle:

Rotaatioryhmä ja sen peiteryhmä:
P : SU(2) → SO(3)

Lorentz-ryhmä ja sen peiteryhmä:
P : SL(2,ℂ) → SO⁺(1,3)

Poincare-ryhmä ja sen peiteryhmä:
P: SL(2,ℂ)⋊ ℝ¹∙³ → SO⁺(1,3)⋊ ℝ¹∙³.

Yllä siis 2-1 homomorvismi tarkoitttaa, että aina 2 peiteryhmän alkiota kuvautuu yhdeksi ryhmän alkioksi.

Jatkuu...huomenna.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

error, error...

SIJ kirjoitti:

...Tuo perusryhmä π₁(G) on valitun pisteen p∈G  kautta kulkevien suljetujen lenkkien homotopiaekvivalenssiluokka, jolle voidaan antaa ryhmän rakenne ja sitten voidaan rakentaa tämän ryhmän toiminta G:ssä, jonka avulla universaali peiteavaruus  Gᵘ on sitten tekijämonisto G / π₁(G).

Tuossa siis pitää olla boldatussa homotopiaekvivalenssiluokkien joukko, muuten lause on huuhaata.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Vielä yksi kriittinen korjaus jo korjattuun:

SIJ kirjoitti:

Tuo perusryhmä π₁(G) on valitun pisteen p∈G  kautta kulkevien suljetujen lenkkien homotopiaekvivalenssiluokkien joukko, jolle voidaan antaa ryhmän rakenne ja sitten voidaan rakentaa tämän ryhmän toiminta G:ssä, jonka avulla universaali peiteavaruus  Gᵘ on sitten tekijämonisto G / π₁(G)

Tuossa meni moni asia väärin päin, tuo ryhmän G perusryhmä π₁(G) toimii tuossa universaalissa peiteryhmässä Gᵘ ja voidaan muodostaa tämän ryhmän toiminnan suhteen tekijämonisto:

G = Gᵘ / π₁(G).

Nyt se on oikein.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2734

Huomasin tuossa Poincareryhmän lausekkeessa virheen, olin nimittäin kirjoittanut SO⁺(1,3)⋊ ℝ¹∙³ kun tarkoitus oli

kirjoittaa ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3).  Tuossa aika-avaruuden translaatiot ℝ¹∙³ muodostavat normaalin Poincare-ryhmän aliryhmän, mutta Lorentz-muunnokset SO⁺(1,3) vain tavallisen aliryhmän ja tuo epäsymmetrinen merkki ⋊ osoittaa aina kumpi on normaali aliryhmä.

Tuolla on periaatteessa väliä, koska merkinnässä  G = N⋊H on kaksi G:n aliryhmää H ja N, mutta tuon aliryhmän N pitää olla normaali ja siksi nuo merkinnän ⋊ irtonaiset "piikit" tai kolmion "kärki" osoittavat normaalin aliryhmän suuntaan. 

Itse merkki ⋊ on hybridi ryhmien tuloa ilmaisevasta x-merkistä ja normaalia aliryhmää ilmaisemasta ◁-merkistä eli G = N x H merkitsee karteesista tuloa ja N ◁ G merkitsee, että N on normaali G:n aliryhmä - "nuolen" kärki siis osoittaa normaliin aliryhmään.

On myös mahdollista kääntää tuo puolisuoran tulon suunta ja merkitä SO⁺(1,3) ⋉ ℝ¹∙³, missä nyt nuoli tai kaksi piikkiä osoittavat normaalin aliryhmän suuntaan.

No, tämä oli nyt tälläistä pedanttista notaatiofasismia, mutta parempi kuitenkin kirjoittaa tuo oikein.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS kirjoitti:
Jospa hiukan ryhmän SO⁺(1,3) esityksistä R: SO⁺(1,3) → GL(V). Tässä siis muodostetaan vektoriavaruuden V lineaarisia operaattoreita (matriiseja), jotka muuntavat tuon avaruuden V vektoreita, tensoreita, spinoreita, skalaareja jne Lorentzin ryhmän ominaisuudet toteuttaen.

Kyllä, näin on. Tämä esitysteoria on kyllä äärimmäisen haastava ja olen kyllä käyttänyt aikaa siihen ihan kiitettävästi ja vaihtelevin tuloksin. Jotenkin, kun nettiä selaa, niin tämän SO⁺(1,3):n esityksistä kyllä löytyy niin monenmoista esitystä ja joskus ne ovat niin kaukana toisistaan, että jo ajattelee että onko edes kyse samasta ryhmästä. Jos asiaa lähestyy matemaattisemmin perinteellisen shut-up and calculate-lähestymistavan sijasta esimerkiksi pitämällä kirjaa eri kompleksifikaatioista ja siitä että onko esitys mahdolliseti ℝ-lineaarisesta vai ℂ-lineaarisesta esityksestä ja ties mistä  niin vaadittava ajan määrä kasvaa eksponentiaalisesti, olen ihan itse huomannut tämän.

Erittäinkin haastavaa ainakin meitsin ruosteessa olevalla elementary-osaamisella.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Triviaali esitys toimii yksiulotteisessa esitysavaruudessa V, joiden alkiot ovat fysiikassa skalaareja. Triviaali esitys määritellään R: SO⁺(1,3) → GL(V), R(g) = Id ∀ g ∈ SO⁺(1,3). Tässä Id on identiteettikuvaus avaruudessa V. Ryhmän esityksen muuntavat skalaarit s → Λ s = Id * s = 1 * s = s. Skalaarit s ovat siis Lorentzinvariantteja. Voi myös ajatella siten, että tensori Mᵤᵥ = 0₁ₓ₁ ja matriisi ωᵘᵛ = 0₁ₓ₁, jolloin Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) = 1₁ₓ₁ (alaindeksi kuvaa 1x1 matriisia). Tuo Λ = 1₁ₓ₁ ei ole sellaisenaan Lorentzin ryhmän alkio, vaan sen esitys 1-ulotteisessa esitysavaruudessa V.

Nelivektoriesityksessä generaattorit Mᵤᵥ ovat 4x4 matriiseja (Mᵤᵥ)ᵝᵧ. Ryhmän esitykset muuntavat nelivektorit Aᵞ → Λᵝᵧ Aᵞ, missä matriisi Λᵝᵧ = [ exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) ]ᵝᵧ. Nämä esitykset ovat 4x4 matriiseja, jotka ovat sellaisenaan myös ryhmän SO⁺(1,3) alkioita.

Tensoriesitys on vektoriesitysten tensoritulo, ja ne muuntavat (p,q)-tensoreita. Esimerkiksi (2,0)-tensorituloavaruudessa V ⊗ V esitys on 16x16 matriisi Λᵝᵤ Λᵞᵥ = Λᵝᵞᵤᵥ, joka muuntaa tensorin Tᵝᵞ → Λᵝᵞᵤᵥ Tᵘᵛ. Tässä esitys Λᵝᵞᵤᵥ on kahden vektoriesityksen Λᵝᵤ ja Λᵞᵥ suora tulo. Vastaavasti voidaan muodostaa korkeamman kertaluvun tensoriesityksiä.

Kyllä, näin saadaan uusia esityksiä vanhoista ja jos tuohon antamaasi lisää vielä kovariantit tensorit eli muodostettaisiin  yleisin tensoritulo V⊗...⊗V⊗V*⊗...⊗V*, missä V:n tuloja k kpl ja V* tuloja p kpl. Tuollaisen tensoritulon sisältä voidaan käsittääkseni löytää myös ne redusoitumattomat esitykset, ainakin melkein. Nyt eräs ryhmän SO⁺(1,3) kummallisuus on se, että tuo lla tavalla pystytään muodostamaan vain "puolet" esityksistä, puolet puuttuu. Puuttuvat esitykset ovat projektiivisia esityksiä tai spinoriesityksiä. Tällä on tekemistä ryhmän ja sen peiteryhmän välisestä suhteesta, samaan tapaan kuin SO(3) ja SU(2).

Jäsentelitkin lähtökohdat tässä ja parissa seuraavassa viestissäsi. Näistä hyvä lähteä liikkelle, jotta ...

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Tämä on oikeasti mielestäni melkoisen rankka projekti, mutta ajan kanssa varmasti edetään.

...tämä toteutuu :)

Tensoritulosta voidaan tosiaan löytää redusoitumattomat esitykset, mutta koskee vain joitakin Lien ryhmiä. Noissa tapauksissa Lien algebran g esityksistä r₁ ja r₂ avaruuksiin V ja W voidaan muodostaa avaruuden V ⊗ W tensorituloesitys suoraviivaisesti r₁ ⊗ r₂ (X) = r₁(X) ⊗ I + I ⊗ r₂(X), missä X ∈ g.

Jos ajatellaan ryhmänä, ja oletetaan ryhmän G esitykset R₁ ja R₂ redusoitumattomina, niin tensorituloesitys R₁ ⊗ R₂ ei tietystikään välttämättä ole redusoitumaton. Tuo esityksen R₁ ⊗ R₂ palauttaminen redusoitumattomiksi esityksiksi vaatii sekin usein työtä.

Esimerkiksi kvanttimekaniikan kulmaliikemäärän redusoitumattomien SU(2) esitysten suorat summat kuvaavat kulmaliikemäärän tensorituloesityksiä. Nuo ovat redusoitumattomien spinien eräänlaisena yhteisvaikutuksena saatava spin(tensoritulo)avaruuksia. Nämä kirjoitetaan sitten merkintöinä 2 ⊗ 2 = 4 tai 2 ⊗ 2 ⊗ 2 = 4 ⊕ 2 ⊕ 2 ja vastaavaa. Noihnkin voisi palata joskus.

Käsittääkseni on olemassa myös lause, jonka mukaan ryhmä G on täydellisesti redusoituva, jos ryhmällä on olemassa unitaarinen äärellisulotteisen Hilbertin avaruuden esitys R. Eli jos tuollainen esitys R löydetään, niin tiedetään, että redusoitumaton esitys on myös löydettävissä viimeistään siinä vaiheessa kun esitysavaruuden dimensio laskee ykkökseksi. (ääretönulotteiset tapaukset ovat paljon monimutkaisempia...). Kompaktit ryhmät ovat täydellisesti redusoituvia. Ja tämä SO⁺(1,3) ei ole kompakti.

SU(2) on kompakti ja yhdesti yhtenäinen, josta seuraa, että se on täydellisesti redusoituva. Jos tulkitsen oikein. Pitää palata kahteen seuraavaan viestiisi myöhemmin, niistä tosiaan hyvä lähteä syvemmälle.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

QS kirjoitti:

...

Käsittääkseni on olemassa myös lause, jonka mukaan ryhmä G on täydellisesti redusoituva, jos ryhmällä on olemassa unitaarinen äärellisulotteisen Hilbertin avaruuden esitys R. Eli jos tuollainen esitys R löydetään, niin tiedetään, että redusoitumaton esitys on myös löydettävissä viimeistään siinä vaiheessa kun esitysavaruuden dimensio laskee ykkökseksi. (ääretönulotteiset tapaukset ovat paljon monimutkaisempia...). Kompaktit ryhmät ovat täydellisesti redusoituvia.

Mulla juoksi tuossa ajatus askeleen edellä. Eli motivoin itseni tähän täydelliseen redusoituvuuteen siten, että ryhmän G esitys on täydellisesti redusoituva, jos tuo esitys on isomorfinen redusoitumattomien esitysten suoran summan kanssa.

Ja ryhmä on siis täydellisesti redusoituva, jos sen äärellisulotteiset esitykset ovat täydellisesti redusoituvia.

Ja näiden ryhmien esitysten tutkiminen on tavallaan helpohkoa. Esimerkiksi ryhmät SO(n) ja SL(n) ovat täydellisesti redusoituvia.

QS
Seuraa 
Viestejä5517

Kirjoitit tiukkaa asiaa. Poimin kohdan kerrallaan, ja ihmettelen.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Kuten tunnettua ryhmällä SO(3) on peiteryhmänä SU(2) ja on olemassa 2-1 ryhmähomomorfismi P : SU(2)→ SO(3). Kummallekkin ryhmälle voidaan rakentaa ryhmien esitysteorian mukaisia esityksiä ja mielenkiintoinen kysymys on se, että miten nuo esitykset riippuvat toisistaan. Niillä on tekemistä paljonkin keskenään, koska tuo P sitoo ne yhteen monella tapaa, mutta ihan samat esitykset ne eivät kuitenkaan ole. Sama problematiikka liittyy myös Lorentzin ryhmään  SO⁺(1,3) ja Poincaren ryhmään  SO⁺(1,3) ⋉ ℝ¹∙³, missä olen nyt kirjoittanut tuon puolisuorana tulona.

Esitysteorian esityksissä joskus ongelmia tuottaa se, että ei oikein tehdä eroa ryhmän G esityksen ja sen universaalin peiteryhmän Gᵘ esitysten välillä, ainakaan mitenkään tarkkaan. Näillä nimittäin on sama Lien algebra.

....

fysiikassa monien Lien ryhmien peiteavaruudet ovat melko konkreettisia ja seuraavassa lista esimerkkejä, kaikissa allaolevissa tapauksissa P on 2-1 ryhmähomomorfismi universaalilta peiteryhmältä itse ryhmälle:

....

Lorentz-ryhmä ja sen peiteryhmä:
P : SL(2,ℂ) → SO⁺(1,3)

...

Yllä siis 2-1 homomorfismi tarkoittaa, että aina 2 peiteryhmän alkiota kuvautuu yhdeksi ryhmän alkioksi.


Tuli mieleeni, että kuvaukselle P voidaan tietysti määritellä konkreettinenkin funktio, joka muuntaa ryhmän SL(2,ℂ) matriisit X ryhmän SO⁺(1,3) matriiseiksi Λ:

(Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉.

Tässä μ,ν = 0,1,2,3, matriisit σ ovat nejä Paulin matriisia, ja X ∈ SL(2,ℂ) on 2x2 hermiittinen matriisi [ a, b ; c, d], missä a,b,c,d ∈ ℂ ja det(A) = 1. Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.

Vaikkapa matriisilla X = [ exp(θ/2), 0 ; 0, exp(-θ/2) ] saadaan (Λ)ᵤᵥ = [ cosh(θ), 0, 0, sinh(θ) ; 0,1,0,0 ; 0,0,1,0 ; sinh(θ), 0, 0, cosh(θ) ].

Mutta tässä tosiaan muunnetaan ryhmän alkioita. Mullekin epäselvää, että miten ryhmähomomorfismi P pitäisi ajatella silloin, kun käsitellään esityksiä yleisesti (eli ei vain fundamentaalia esitystä, joka käytännösä sama kuin ryhmän alkio).

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat