Sivut

Kommentit (232)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Iltaa, kommentoin vain ihan yhtä kohtaa:

QS kirjoitti:

Tuli mieleeni, että kuvaukselle P voidaan tietysti määritellä konkreettinenkin funktio, joka muuntaa ryhmän SL(2,ℂ) matriisit X ryhmän SO⁺(1,3) matriiseiksi Λ...:

Joo, ilman muuta tuo konkreettinen kaava on ehdottomasti parempi, olet oikeassa. Nuo mun perusryhmä/universaalipeitejutut olvat todella yleisiä (ne ovat päteviä ihan millä tahansa monistolla M) ja siten myös abstrakteja ja siis monesti hyödyttömiä, kun halutaan laskea oikeasti jotain.

Mulla on tässä myös toinen projekti meneillään joka sivuaa osin läheisesti tätä ryhmien esitysteoriaa ja toisaalta näiden konkreettisten P-kuvausten lausekkkeiden määrittelyiden teoriaa ja se on nimeltään Cliffordin algebrat. Cliffordin algebrat ovat fyysikoille tuttuja, koska Paulin ja Diracin matriisit toteuttavat Cliffordin algebroiden fundamentaalin epäkommutatiivisuusehdon.

QS kirjoitti:

...
(Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉.

Tässä μ,ν = 0,1,2,3, matriisit σ ovat nejä Paulin matriisia, ja X ∈ SL(2,ℂ) on 2x2 hermiittinen matriisi [ a, b ; c, d], missä a,b,c,d ∈ ℂ ja det(A) = 1. Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.


Tätä piti oikein laskea, että mitä tässä tapahtuu, kun tuo matriisikomponenttiesitys (Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉 ei auenut ekalla yrittämällä. Olen siis nähnyt tämän teoreeman ennenkin, mutta tuo merkintä vaan hämäsi. Tämä on yksi niistä monista ovelista teoreemoista, jotka vaan jostain syystä ovat jääneet mieleen. Tässä siis samaistetaan Minkowskiavaruus M hermiittisten 2×2 matriisien avaruuden Herm(2) kanssa eli Minkowskiavaruuden M vektori x on tällöin reaalinen lineaarikombinaatio Paulin matriiseista:

x = x₀σ₀ + x₁σ₁ + x₂σ₂ + x₃σ₃.

Kun tuon kirjoittaa auki matriisina ja laskee determinantin, saa tuloksen:

det(x) = (x₀)² -   (x₁)²  - (x₂)² -  (x₃)²,

eli lauseke det(x) antaa Minkowskiavaruuden vektorin pituuden neliön eli normin (neliön).

Annetulla X  ∈ SL(2,ℂ) voidaan määritellä lineaarinen kuvaus Λ(X) : M → M:

Λ(X)(x) = X x X†.

Kuvaukselle  Λ(X) pätee:

det(Λ(X)(x)) = det(X x X†) = det(X) det(x) det( X†) = det(x),

eli Λ(X) säilyttää Minkowskimetriikan ja siten Λ(X)∈ SO(1,3). Tuosta näkee myös, että Λ(-X) = Λ(X).

QS kirjoitti:

Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.

Mun piti pähkäillä tätä, että mistä tämä oikein tulee, mutta sain sen selville lopulta ja se on matriiseille määriteltävissä oleva Hilbert-Schmidt sisätulo, joka yleisesti määritellään kaavalla:

<A,B> = ½Tr(A†B).

Kaikki hyvin tähän asti, mutta sitten havahduin siihen että tuo Minkowskiavaruuden M ≈ Herm(2)  kantavektoreina toimii nuo 4 kpl Paulin matriiseita ja ne muodostavat ortonomaalin kannan metriikassa g = diag(1,1,1,1) ! Yritin sitten jotenkin kikkailla, jotta saisin tuon sisaätulon muotoon  〈 σᵤ , σᵥ 〉 = gᵤᵥ, missä g = (1, -1, -1, -1), mutta en onnistunut siiinä. Tarkemmin pohdittuani tuolla metriikalla ei tämän lauseen todistuksessa olekkaan mitään roolia, se on vain sellainen aputulos.  Nyt tätä kirjoittaessani muistin miten se tehdään ja siitä tämän viestin lopussa.

Tuo determinantin avulla määritelty normi antaa Paulin matriiseille Minkowskin mukaiset pituudet eli:

 1 = det(σ₀)
-1 = det(σ₁)
-1 = det(σ₂)
-1 = det(σ₃)

Minkä tahansa normin avulla voidaan määritellä sisätulo < , > ns. polarisaatioidentiteetillä, joka on tässä tapauksessa:

<x,y> = 1/4 (det(x + y) - det(x - y) ).

Tuon pitäisi antaa oikea Minkowskiavaruuden sisätulo, g = diag(1, -1, -1, -1). En nyt ole kyllä tarkistellut mitään, joten voi olla pielessäkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5831

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa, kommentoin vain ihan yhtä kohtaa:

QS kirjoitti:

Tuli mieleeni, että kuvaukselle P voidaan tietysti määritellä konkreettinenkin funktio, joka muuntaa ryhmän SL(2,ℂ) matriisit X ryhmän SO⁺(1,3) matriiseiksi Λ...:

Joo, ilman muuta tuo konkreettinen kaava on ehdottomasti parempi, olet oikeassa. Nuo mun perusryhmä/universaalipeitejutut olvat todella yleisiä (ne ovat päteviä ihan millä tahansa monistolla M) ja siten myös abstrakteja ja siis monesti hyödyttömiä, kun halutaan laskea oikeasti jotain.

Mulla on tässä myös toinen projekti meneillään joka sivuaa osin läheisesti tätä ryhmien esitysteoriaa ja toisaalta näiden konkreettisten P-kuvausten lausekkkeiden määrittelyiden teoriaa ja se on nimeltään Cliffordin algebrat. Cliffordin algebrat ovat fyysikoille tuttuja, koska Paulin ja Diracin matriisit toteuttavat Cliffordin algebroiden fundamentaalin epäkommutatiivisuusehdon.

QS kirjoitti:

...
(Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉.

Tässä μ,ν = 0,1,2,3, matriisit σ ovat nejä Paulin matriisia, ja X ∈ SL(2,ℂ) on 2x2 hermiittinen matriisi [ a, b ; c, d], missä a,b,c,d ∈ ℂ ja det(A) = 1. Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.


Tätä piti oikein laskea, että mitä tässä tapahtuu, kun tuo matriisikomponenttiesitys (Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉 ei auenut ekalla yrittämällä. Olen siis nähnyt tämän teoreeman ennenkin, mutta tuo merkintä vaan hämäsi. Tämä on yksi niistä monista ovelista teoreemoista, jotka vaan jostain syystä ovat jääneet mieleen. Tässä siis samaistetaan Minkowskiavaruus M hermiittisten 2×2 matriisien avaruuden Herm(2) kanssa eli Minkowskiavaruuden M vektori x on tällöin reaalinen lineaarikombinaatio Paulin matriiseista:

x = x₀σ₀ + x₁σ₁ + x₂σ₂ + x₃σ₃.

Kun tuon kirjoittaa auki matriisina ja laskee determinantin, saa tuloksen:

det(x) = (x₀)² -   (x₁)²  - (x₂)² -  (x₃)²,

eli lauseke det(x) antaa Minkowskiavaruuden vektorin pituuden neliön eli normin (neliön).

Annetulla X  ∈ SL(2,ℂ) voidaan määritellä lineaarinen kuvaus Λ(X) : M → M:

Λ(X)(x) = X x X†.

Kuvaukselle  Λ(X) pätee:

det(Λ(X)(x)) = det(X x X†) = det(X) det(x) det( X†) = det(x),

eli Λ(X) säilyttää Minkowskimetriikan ja siten Λ(X)∈ SO(1,3). Tuosta näkee myös, että Λ(-X) = Λ(X).

QS kirjoitti:

Ja sisätulo 〈 . , . 〉 Paulin matriiseille 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ.

Mun piti pähkäillä tätä, että mistä tämä oikein tulee, mutta sain sen selville lopulta ja se on matriiseille määriteltävissä oleva Hilbert-Schmidt sisätulo, joka yleisesti määritellään kaavalla:

<A,B> = ½Tr(A†B).

Kaikki hyvin tähän asti, mutta sitten havahduin siihen että tuo Minkowskiavaruuden M ≈ Herm(2)  kantavektoreina toimii nuo 4 kpl Paulin matriiseita ja ne muodostavat ortonomaalin kannan metriikassa g = diag(1,1,1,1) ! Yritin sitten jotenkin kikkailla, jotta saisin tuon sisaätulon muotoon  〈 σᵤ , σᵥ 〉 = gᵤᵥ, missä g = (1, -1, -1, -1), mutta en onnistunut siiinä. Tarkemmin pohdittuani tuolla metriikalla ei tämän lauseen todistuksessa olekkaan mitään roolia, se on vain sellainen aputulos.  Nyt tätä kirjoittaessani muistin miten se tehdään ja siitä tämän viestin lopussa.

Tuo determinantin avulla määritelty normi antaa Paulin matriiseille Minkowskin mukaiset pituudet eli:

 1 = det(σ₀)
-1 = det(σ₁)
-1 = det(σ₂)
-1 = det(σ₃)

Minkä tahansa normin avulla voidaan määritellä sisätulo < , > ns. polarisaatioidentiteetillä, joka on tässä tapauksessa:

<x,y> = 1/4 (det(x + y) - det(x - y) ).

Tuon pitäisi antaa oikea Minkowskiavaruuden sisätulo, g = diag(1, -1, -1, -1). En nyt ole kyllä tarkistellut mitään, joten voi olla pielessäkin.

Joo, kirjoitin hutiloiden sen kaavankin. Olisi pitänyt mainita, että kyseessä 4x4 matriisin muodostaminen komponenteittain (Λ)ᵤᵥ= 〈 σᵤ, X σᵥ X† 〉, missä μ,ν = 0,1,2,3. Ideana tosiaan mainitsemasi Minkowskimetriikalla varustetun moniston pisteiden 'esittäminen' 2x2 hermiittisillä matriiseilla X:

(x₀,x₁,x₂,x₃)  →  [ x₀ + x₃, x₁ - ix₂ ; x₁ + ix₂, x₀ - x₃ ].

Tuo matriisi X saadan kirjoitettua kantavektorijoukolla {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃}, missä σ₀ = I.

Kaavan johtamiseen en tutustunut syvällisesti, mutta ainakin joissain lähteissä sisätuloon viitatataan melko ylimalkaisesti (ehkä Hilbert-Schmidt sisätulon ohittamiseksi) siten, että mikäli matriisien sisätulo määritellään 〈 M, N 〉 = ½ Tr( M† N ), niin Paulin matriiseille tulos on 〈 σᵤ , σᵥ 〉 = δᵤᵥ, joka selvästi ei ole minkowskimetriikassa.

Sitten edetään tuohon samaan minkä säkin kirjoitit, jossa löydetään Minkowskiavaruuden isometria eli metriikan säilyttävä ryhmä.

Seuraavaksi yritän sukeltaa Poincaren ryhmän ominaisuuksiin ja varsinkin esityksiin. Ajattelin lukea Wignerin alkuperäisen paperinkin läpi, mikä voi olla sivistävää joskaan ei kevyttä touhua ;)

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5831

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3).  

...

Tuossa aika-avaruuden translaatiot ℝ¹∙³ muodostavat normaalin Poincare-ryhmän aliryhmän, mutta Lorentz-muunnokset SO⁺(1,3) vain tavallisen aliryhmän ja tuo epäsymmetrinen merkki ⋊ osoittaa aina kumpi on normaali aliryhmä.

...

merkinnässä  G = N⋊H on kaksi G:n aliryhmää H ja N, mutta tuon aliryhmän N pitää olla normaali ja siksi nuo merkinnän ⋊ irtonaiset "piikit" tai kolmion "kärki" osoittavat normaalin aliryhmän suuntaan.

Itse merkki ⋊ on hybridi ryhmien tuloa ilmaisevasta x-merkistä ja normaalia aliryhmää ilmaisemasta ◁-merkistä eli G = N x H merkitsee karteesista tuloa ja N ◁ G merkitsee, että N on normaali G:n aliryhmä - "nuolen" kärki siis osoittaa normaliin aliryhmään.

Sunnuntain kunniaksi kertasin puolisuoran tulon, koska sillä roolinsa Wignerin luokittelussakin. Eli tosiaan N on G:n normaali aliryhmä jos ja vain jos gN = Ng kaikille g ∈ G, missä N tarkoittaa aliryhmää kokonaisuutena. N:n alkioilla n edellinen voidaan kirjoittaa vaatimukseksi gng⁻¹ ∈ N kaikilla g ∈ G, n ∈ N. Aliryhmän N alkioiden konjugointi ryhmän G alkiolla siis tuottaa alkion joka on edelleen aliryhmässä N.

Helpohko soveltaa Poincaren ryhmään ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3). Matriisit Λ ovat homogeenisia Lorentz-muunnoksia ja vektorit x aika-avaruuden vektoreita. Kuten aiemmin todettu, alkio voidaan kirjoittaa parina g = ( Λ, x ) ∈ ℝ¹∙³⋊ SO⁺(1,3).

Translaatioiden aliryhmän N alkio n ∈ ℝ¹∙³ kirjoitetaan n = (1, a). Vastaavasti homogeenisten Lorentzmuunnosten aliryhmän H alkio h ∈ SO⁺(1,3) kirjoitetaan h = (Λ, 0) ja näiden aliryhmien N ja H muodostaman Poincareryhmän G alkio g = ( Λ', a' ).

Lasketaan gng⁻¹ = ( Λ', a' ) (1, a) ( Λ', a' )⁻¹ = (1, Λ'a). Tulos on translaatio, eli gng⁻¹ ∈ ℝ¹∙³, joten N = ℝ¹∙³ on normaali aliryhmä.

Lorentzmuunnokselle h saadaan ghg⁻¹ = ( Λ', a' ) (Λ, 0) ( Λ', a' )⁻¹ = ( Λ', a' ) (Λ Λ'⁻¹, Λ a'⁻¹ ) = ( Λ' Λ Λ'⁻¹, Λ' Λ a'⁻¹ + Λ a'⁻¹ ) . Tuo ei ole homogeeninen Lorentzmuunnos, koska mukana translaatio, joten H = SO⁺(1,3) ei ole normaali aliryhmä.

Pikaisesti noin. Toivottavasti ei laskuvirheitä.

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

QS
Seuraa 
Viestejä5831

Wignerin luokittelua voisi lähestyä ensin heuristisesti, koska ainakin mulle helpompi, kun ensin fysikaalisesti ajateltava ongelma, ja vasta sitten välillä abstraktin oloinen ryhmäteoria mukaan.

Wignerin teoreeman (ei siis luokittelu, vaan eri teoreema) mukaan Hilbertin avaruuden symmetriamuunnos on joko lineaarinen ja unitaarinen tai vaihtoehtoisesti antilineaarinen ja antiunitaarinen muunnos.

Erittäin oikaistulla ja epätarkalla notaatiolla: Yksihiukkastila Ψ = |p>, missä p on liikemäärä. Tässä Ψ ∈ ℋ ja dim ℋ = ∞, koska hiukkasen lepokoordinaatistosta voidaan tehdä mielivaltaisia puskuja Λ, jolloin liikemäärä voi saada äärettömän määrän arvoja. Oletetaan, että on olemassa Poincare-ryhmän esitys U( Λ, a ), joka on Wignerin teoreeman mukainen unitaarinen operaattori. Tämä operaattori siis säilyttää todennäköisyydet riippumatta koordinaatistosta, josta kvanttimekaanista tapahtumaa tarkastellaan.

Homogeenisen Lorentzmuunnoksen operaattori U( Λ, 0 ) | p > = Λ p | p >, missä Λ p normitettu liikemäärä puskussa.

Translaatio-operaattori U( 1, a ) | p > = exp( i aᵤ Pᵘ) | p >, missä aᵘ on transalaation parametri ja Pᵤ translaation generaattori. Ominaisarvo exp ( i aᵤ · pᵘ ) on normitettu liikemäärä translaatiossa.

Poincare-operaattori toimisi seuraavasti:
U( Λ, a ) | p >  = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p >
                               = U( 1, a ) Λp | p >
                               = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >

Ominaisarvo on normitettu liikemäärä Poincare-muunnoksessa. Tuo U( Λ, a ) on Poincare-ryhmän esitys Hilbertin avaruudessa ℋ. Wignerin luokittelun ideana on selvitää tuon mystisen ääretönulotteisen esityksen ominaisuudet. Näin tehtävänasettelun voisi pääpiirteissään kuvata fysikaalisesti, kunhan tuohon lisätään vielä hiukkasen spin, eli käsitellään tilaa Ψ = | p, s >. Ja tosiaan Wignerin teoreeman mukaan U(Λ, a) on oltava unitaarinen ja lineaarinen tai antiunitaarinen ja antilineaarinen.

Lähtökohdaksi voidaan kirjoittaa tuo esitys U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ), missä Mᵘᵛ ja Pᵘ ovat generaattoreita, joiden muoto riippuu valitusta ryhmän esityksestä.

Wignerin sanoin: "Hiukkanen" on unitaarinen redusoitumaton Poincaren algebran esitys, jolla on positiivinen energia.

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Iltapäivää, kommentoin ihan lyhyesti nyt vaan, aihe kyllä hyvin mielenkiintoinen ja haastava:

QS kirjoitti:

Wignerin luokittelua voisi lähestyä ensin heuristisesti, koska ainakin mulle helpompi, kun ensin fysikaalisesti ajateltava ongelma, ja vasta sitten välillä abstraktin oloinen ryhmäteoria mukaan.

Heh, jo Newtonin Principiaa jotkut aikalaiset kritisoivat siitä, että jotkut siinä esitetyt differentiaali-ja integraalilaskennan tulokset olivat perusteltu tavalla, jotka edellyttivät fysiikaalisia tuloksia, esimerkiksi pintalause/Kepler II. Siksi Leibnitzin versio differentiaaleineen dy/dx jne. oli käytettävyydeltään ylivoimainen ja sitähän me vieläkin käytämme. Newtonin perintöä on kuitenkin aikaderivaatan merkintä pisteellä suuretta kuvaavan kirjaimen yläpuolella. 

Olet oikeassa mielestäni siinä, että oppimisen kannalta konkreettinen esimerkki tilanteesta on  paljon opettavaisempi kuin abstrakti viritys. Esimerkiksi ryhmien abstrakti puolisuora tulo vs. Poicare-ryhmän määrittely puolisuorana tulona. 

QS kirjoitti:

Wignerin teoreeman (ei siis luokittelu, vaan eri teoreema) mukaan Hilbertin avaruuden symmetriamuunnos on joko lineaarinen ja unitaarinen tai vaihtoehtoisesti antilineaarinen ja antiunitaarinen muunnos.

Erittäin oikaistulla ja epätarkalla notaatiolla: Yksihiukkastila Ψ = |p>, missä p on liikemäärä. Tässä Ψ ∈ ℋ ja dim ℋ = ∞, koska hiukkasen lepokoordinaatistosta voidaan tehdä mielivaltaisia puskuja Λ, jolloin liikemäärä voi saada äärettömän määrän arvoja. Oletetaan, että on olemassa Poincare-ryhmän esitys U( Λ, a ), joka on Wignerin teoreeman mukainen unitaarinen operaattori. Tämä operaattori siis säilyttää todennäköisyydet riippumatta koordinaatistosta, josta kvanttimekaanista tapahtumaa tarkastellaan.


Tuo perustelu tuolle dim ℋ = ∞ on hyvin ovela. Tähän täytyy palata myöhemmin, siinä piiilee joitain mielenkiintoisia pointteja. Nyt ei kerkeä, on kohta muuta toimintaa tiedossa ja aiheesta kirjoittaminen vaatisi valmistelua. Mutta myöhemmin sitten palaan tähän.

QS kirjoitti:

Homogeenisen Lorentzmuunnoksen operaattori U( Λ, 0 ) | p > = Λ p | p >, missä Λ p normitettu liikemäärä puskussa.

Translaatio-operaattori U( 1, a ) | p > = exp( i aᵤ Pᵘ) | p >, missä aᵘ on transalaation parametri ja Pᵤ translaation generaattori. Ominaisarvo exp ( i aᵤ · pᵘ ) on normitettu liikemäärä translaatiossa.

Poincare-operaattori toimisi seuraavasti:
U( Λ, a ) | p >  = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p >
                               = U( 1, a ) Λp | p >
                               = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >

Tuossa siis keskimmäisellä riviltä: U( 1, a ) Λp | p > = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >, jos nyt ihan ääripedanttiseksi heittäytyy, niin pitäisikö tossa olla Λpᵘ :n sijasta ΛPᵘ, siis 4-vektorin pᵘ sijasta  "4-operaattori" Pᵘ, joka on siis Hilbertin avaruuden operaattori, siis:

U( 1, a ) Λp | p > = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) | p >.

Fyysikoilla on yleensä paha tapa ylikuormittaa näitä notaatioita, heh heh ! No joo, kyllä se on hyväkin joskus, silloin säästyy ylenmääräiseltä kirjoittamiselta, kun tietää mitä on tekemässä, mutta joskus lukija ei ole ihan samalla aaltopituudella ja ongelmia voi seurtata.

QS kirjoitti:

Ominaisarvo on normitettu liikemäärä Poincare-muunnoksessa. Tuo U( Λ, a ) on Poincare-ryhmän esitys Hilbertin avaruudessa ℋ. Wignerin luokittelun ideana on selvitää tuon mystisen ääretönulotteisen esityksen ominaisuudet. Näin tehtävänasettelun voisi pääpiirteissään kuvata fysikaalisesti, kunhan tuohon lisätään vielä hiukkasen spin, eli käsitellään tilaa Ψ = | p, s >. Ja tosiaan Wignerin teoreeman mukaan U(Λ, a) on oltava unitaarinen ja lineaarinen tai antiunitaarinen ja antilineaarinen.

Lähtökohdaksi voidaan kirjoittaa tuo esitys U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ), missä Mᵘᵛ ja Pᵘ ovat generaattoreita, joiden muoto riippuu valitusta ryhmän esityksestä.

Tuota viimeistä kaavaa ihmettelen, ja olen nähnyt sen muuallakin, esimerkiksi Wikin Poincare Group-jutussa. Hämäävää on se, että siinä eksponentioidaan translaation ja Lorentz-muunnoksen Lie-algebran (esityksen)  generaattorit erikseen, miksi niin tehdään? Johdonmukaista olisi kirjoittaa

U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ + i aᵤ Pᵘ ).

Jos nuo Lie-algebran esitykset kommutoisivat, siis [Mᵘᵛ,Pᵘ] = 0 antaisi Hausdorff-Campell-Baker kaava:

 exp(A + B) = exp(A)exp(B),

kun [A,B] = 0 tuon exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ).

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5831

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

QS kirjoitti:

Wignerin teoreeman (ei siis luokittelu, vaan eri teoreema) mukaan Hilbertin avaruuden symmetriamuunnos on joko lineaarinen ja unitaarinen tai vaihtoehtoisesti antilineaarinen ja antiunitaarinen muunnos.

Erittäin oikaistulla ja epätarkalla notaatiolla: Yksihiukkastila Ψ = |p>, missä p on liikemäärä. Tässä Ψ ∈ ℋ ja dim ℋ = ∞, koska hiukkasen lepokoordinaatistosta voidaan tehdä mielivaltaisia puskuja Λ, jolloin liikemäärä voi saada äärettömän määrän arvoja. Oletetaan, että on olemassa Poincare-ryhmän esitys U( Λ, a ), joka on Wignerin teoreeman mukainen unitaarinen operaattori. Tämä operaattori siis säilyttää todennäköisyydet riippumatta koordinaatistosta, josta kvanttimekaanista tapahtumaa tarkastellaan.


Tuo perustelu tuolle dim ℋ = ∞ on hyvin ovela. Tähän täytyy palata myöhemmin, siinä piiilee joitain mielenkiintoisia pointteja. Nyt ei kerkeä, on kohta muuta toimintaa tiedossa ja aiheesta kirjoittaminen vaatisi valmistelua. Mutta myöhemmin sitten palaan tähän.

Totta. Perustelu oli hiukan erikoinen. Ei-relativistisessa kvanttimekaniikassakin paikka- ja liikemääräesityksessä ℋ on neliöintegroituvien funktioiden (esim. ψ:ℝ³ → ℂ ja ϕ:ℝ³ → ℂ) avaruus, jolle määritellään sisätulo 〈 ϕ(x) | ψ(x) 〉 = ∫ dx ϕ(x)* ψ(x). Tuossa siis kvanttimekaniikan transitioamplitudi tilasta | ψ 〉 tilaan | ϕ 〉.

Avaruuden ℋ kantavektorit ovat funktoiden ψ(x) arvoja pisteissä x ∈ ℝ³, joita on ääretön määrä. Ja tietysti normitus |ψ|² = 〈 ψ | ψ 〉 = ∫ dx |ψ(x)|² = 1. Jos ψ(x) kuvaa vapaata hiukkasta, on dim ℋ = ∞. Kait tämäkin riittää äärettömyyden perusteeksi, koska Lorenzmuunnokset eivät muuta ℝ³:sta äärelliseksi.

Liikemääräesityksessä funktio voidaan kirjoittaa ψ_p(x) = | p 〉, ja liikemäärän ominaisarvoyhtälö muotoa P | p 〉 = p | p 〉, missä P liikemääräoperaattori ja p ominaisarvo. Eksplisiisttisesti yhtälö -iħ∇ ψ_p = p ψ_p, missä aaltofunktio  ψ_p(x) ~ exp( ipx / ħ ) ilman normitusta.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Homogeenisen Lorentzmuunnoksen operaattori U( Λ, 0 ) | p > = Λ p | p >, missä Λ p normitettu liikemäärä puskussa.

Translaatio-operaattori U( 1, a ) | p > = exp( i aᵤ Pᵘ) | p >, missä aᵘ on transalaation parametri ja Pᵤ translaation generaattori. Ominaisarvo exp ( i aᵤ · pᵘ ) on normitettu liikemäärä translaatiossa.

Poincare-operaattori toimisi seuraavasti:
U( Λ, a ) | p >  = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p >
                               = U( 1, a ) Λp | p >
                               = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >

Tuossa siis keskimmäisellä riviltä: U( 1, a ) Λp | p > = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | p >, jos nyt ihan ääripedanttiseksi heittäytyy, niin pitäisikö tossa olla Λpᵘ :n sijasta ΛPᵘ, siis 4-vektorin pᵘ sijasta  "4-operaattori" Pᵘ, joka on siis Hilbertin avaruuden operaattori, siis:

U( 1, a ) Λp | p > = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) | p >.

Fyysikoilla on yleensä paha tapa ylikuormittaa näitä notaatioita, heh heh ! No joo, kyllä se on hyväkin joskus, silloin säästyy ylenmääräiseltä kirjoittamiselta, kun tietää mitä on tekemässä, mutta joskus lukija ei ole ihan samalla aaltopituudella ja ongelmia voi seurtata.

Joo notaatio oli oikaistua ja sotkuista, korjaan alempana.

Lisäksi aaltofunktio ψ on käynyt taikurin hautssa kokemassa muutoksen x → (x,t) eli ψ_p(xᵘ) = | p 〉, missä xᵘ ∈ ℝ¹∙³:sta, ja liikemäärä p on nelivektori. Tämä voidaan perustella siten, että ei-relativistinen aaltofunktio ψ(x) käsitellään kenttänä Ψ(xᵘ).

Voi ajatella aaltofunktion Ψ(xᵘ) johonkin koordinaatistoon, jota pusketaan Lorentzmuunnoksilla tai vielä yksinkertaisemmin tehdään vain translaatio, jolloin aaltofunktio siirtyy paikasta toiseen.

Nyt kuitenkin tuo relativistinen Ψ(xᵘ) on tilavektori. Esim. lorentzmuunnoksessa Λ (jätetään vielä poincare sikseen) myös koordinaatit muuntuvat xᵘ → Λᵘᵥ xᵘ. Wignerin ajatus oli, että muunnoksessa x → Λx on tilavektorin | Ψ 〉 on muunnuttava unitaarisella operaattorilla M_Λ, joka säilyttää kvanttitilan fysikaaliset ominaisuudet koordinaatin x muuntuessa. Eli muunnoksessa Λ tila | Ψ(x) 〉 → M_Λ  | Ψ( Λ x ) 〉. Tuo matriisi M_Λ ikään kuin toteuttaa havaitsijasta riippumattoman symmetrian.

Tuon voi vielä kirjoittaa relativistisena tilavektorina paikkaesityksessä Ψ = | x 〉 tyyliin | x 〉  →  M_Λ  | Λ x 〉. Tästä päästäänkin notaatiosotkuuni, jossa oli virhe.

U( Λ, a ) | p 〉 = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p 〉, eli tilaan | p 〉 ensin unitaarinen pusku U(Λ,0) jonka jälkeen unitaarinen translaatio U(1,a).

Puskun jälkeen tila on | Λp 〉, eli liikemäärä on muuntunut p → Λp. Seuraavana pitää olla:
                 = U( 1, a ) | Λp 〉
                 = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) | Λp >, missä Pᵘ on liikemääräoperaattori ja translaatioiden generaattori
         = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | Λp >, missä tilavektorin edessä oleva termi on operaattorin U( Λ, a ) ominaisarvo.  

Tuo Pᵘ = i ∂ᵘ on differentiaalioperaattori, jossa mukana myös aikakomponentti.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Ominaisarvo on normitettu liikemäärä Poincare-muunnoksessa. Tuo U( Λ, a ) on Poincare-ryhmän esitys Hilbertin avaruudessa ℋ. Wignerin luokittelun ideana on selvitää tuon mystisen ääretönulotteisen esityksen ominaisuudet. Näin tehtävänasettelun voisi pääpiirteissään kuvata fysikaalisesti, kunhan tuohon lisätään vielä hiukkasen spin, eli käsitellään tilaa Ψ = | p, s >. Ja tosiaan Wignerin teoreeman mukaan U(Λ, a) on oltava unitaarinen ja lineaarinen tai antiunitaarinen ja antilineaarinen.

Lähtökohdaksi voidaan kirjoittaa tuo esitys U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ), missä Mᵘᵛ ja Pᵘ ovat generaattoreita, joiden muoto riippuu valitusta ryhmän esityksestä.

Tuota viimeistä kaavaa ihmettelen, ja olen nähnyt sen muuallakin, esimerkiksi Wikin Poincare Group-jutussa. Hämäävää on se, että siinä eksponentioidaan translaation ja Lorentz-muunnoksen Lie-algebran (esityksen)  generaattorit erikseen, miksi niin tehdään? Johdonmukaista olisi kirjoittaa

U( Λ, a ) = exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ + i aᵤ Pᵘ ).

Jos nuo Lie-algebran esitykset kommutoisivat, siis [Mᵘᵛ,Pᵘ] = 0 antaisi Hausdorff-Campell-Baker kaava:

 exp(A + B) = exp(A)exp(B),

kun [A,B] = 0 tuon exp( ½i εᵤᵥ Mᵘᵛ) exp ( i aᵤ Pᵘ ).

Hyvä havainto, M ja P eivät tosiaan kommutoi, joten kaava on hämäävä ja näyttää jopa väärältä. Täytyypä ihmetellä.

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

QS
Seuraa 
Viestejä5831

QS kirjoitti:

... myös koordinaatit muuntuvat xᵘ → Λᵘᵥ xᵘ.

xᵘ → Λᵘᵥ xᵛ

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Iltapäivää, tuossa onkin paljon asiaa, kommentoi ihan yhtä kohtaa vaan:

QS kirjoitti:

Tuon voi vielä kirjoittaa relativistisena tilavektorina paikkaesityksessä Ψ = | x 〉 tyyliin | x 〉  →  M_Λ  | Λ x 〉. Tästä päästäänkin notaatiosotkuuni, jossa oli virhe.

U( Λ, a ) | p 〉 = U( 1, a ) U( Λ, 0 ) | p 〉, eli tilaan | p 〉 ensin unitaarinen pusku U(Λ,0) jonka jälkeen unitaarinen translaatio U(1,a).

Puskun jälkeen tila on | Λp 〉, eli liikemäärä on muuntunut p → Λp. Seuraavana pitää olla:
                 = U( 1, a ) | Λp 〉
                 = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) | Λp >, missä Pᵘ on liikemääräoperaattori ja translaatioiden generaattori
         = exp ( i aᵤ · Λpᵘ ) | Λp >, missä tilavektorin edessä oleva termi on operaattorin U( Λ, a ) ominaisarvo.  

Tuo Pᵘ = i ∂ᵘ on differentiaalioperaattori, jossa mukana myös aikakomponentti.

Jees, oikein hyvä, noinhan se meneekin , en huomannut ollenkaan siinä aikaisemmassa viestissäsi sitä , että tuo exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) | Λp > voidaankin laskea antamaasi muotoon  exp( i aᵤ · Λpᵘ ) | Λp >, koska tuo exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) tosiaan poimii nuo ominaisarvot   exp ( i aᵤ · Λpᵘ ). No niin, selvisi sekin kohta nyt sitten.

Siis U( 1, a ) = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) on "diagonaalimatriisi" kannassa  { | Λp >}, lainausmerkit siksi että kyseessä on se Hilbert-avaruuden ℋ operaattori eikä varsinainen nxn-matriisi.

Täytyy palata tähän translaatioryhmään vielä myöhemin uudestaan, sillä on joitain ominaisuuksia esitysteorian kannalta ja muutenkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

OJP.
Seuraa 
Viestejä1237

.- Niin,  suosittelen  niille fysiikan harrastelijoille, jotka ovat   suhteellisuusteoriasta -  est/kvanttimekaniikasta kiinnostuneita, että  myös luento; ``An introduktion  to Hillberts space model.`antaa perustitoja aiheesta. 

Osmo, Otto, Juhani Päivinen

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Tässä se edellisessä viestissä mainitsemani kommentti translaatioryhmistä:

Minkowskiavaruuden M translaatioryhmä T  on isomorfinen  vektoriavaruuden ℝ⁴ kanssa (merkkasin tätä aikaisemmin  notaatiolla ℝ¹∙³, mutta tuollainen on ehkä varattu sisätuloihin). Tuossa aikaisemmassa viestissäni kirjoittaesani allaolevaa:

SIJ kirjoitti:

...Siis U( 1, a ) = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) on "diagonaalimatriisi" kannassa  { | Λp >}, lainausmerkit siksi että kyseessä on se Hilbert-avaruuden ℋ operaattori eikä varsinainen nxn-matriisi....

kirjoituksen tulos näytti jotenkin tutulta kaavalta esitysteoriassa ja niinhän se olikin, hieman muunneltuna.  On nimittäin olemassa teoreema, joka sanoo, että abelin ryhmän G kaikki redusoidumattomat esitykset ovat yksiulotteisia,  erityisesti translaatioryhmän T redusoitumattomat esitykset ovat yksiulotteisia.

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen ja se, että resusoitumattomatr esitykset ovat 1-ulotteisia, merkitsee sitä, että esitysmatriisi U( 1, a ) on jopa  diagonalisoituva.

Translaatioryhmän T alkiota a vastaava 1x1-esitysmatriisi U(1, a) on konreettisesti lauseke exp( iaᵤ · pᵘ ), joka operoi Hilbert-avaruuden  ℋ  1-ulotteisessa, ominaisvektorin | p > virittämässä ℋ : n aliavaruudessa kaavalla:

U(1, a)  | p > =  exp( iaᵤ · pᵘ ) | p >.

Jokaista p vastaa oma redusoitumaton T:n esitys, jotka ovat kaikki 1-ulotteisia.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Jäi kriittinen sana puuttumaan:

SIJ kirjoitti:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

pitää olla:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen redusoimaton esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Jäi kriittinen sana puuttumaan:

SIJ kirjoitti:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

pitää olla:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen redusoimaton esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

Tarkoitatko nyt redusoitumattomuutta kuitenkin - eli loppuunsa redusoitua?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Jäi kriittinen sana puuttumaan:

SIJ kirjoitti:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

pitää olla:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen redusoimaton esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

Korjauksen korjaus: siis yleinen esitys U(1,a) on blokkidiagonaalinen ja blokit ovat redusoitumattomia esityksiä (tai vielä tarkemmin U(1,a) on saatettu tähän blokkimuotoon redusoitumattomien esitysten summana)

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18756

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Jäi kriittinen sana puuttumaan:

SIJ kirjoitti:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

pitää olla:

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen redusoimaton esitysmatriisi U( 1, a ) on blokkidiagonaalinen...

Korjauksen korjaus: siis yleinen esitys U(1,a) on blokkidiagonaalinen ja blokit ovat redusoitumattomia esityksiä (tai vielä tarkemmin U(1,a) on saatettu tähän blokkimuotoon redusoitumattomien esitysten summana)

Hm. Vai onko kuitenkin niin päin, että blokkimuodot muodostavat sen loppuunsa redusoidun summan? Yleisesti: riippuvuus hävittää redusoitaessa  asteita. No, jos blokit ovat yksiulotteisia kaikki eikä nollavektoreita, ihmettelen mitä tällä blokkidiagonaalisuudella saavutetaan verrattuna koko matriisin redusoimiseen diagonaalimatriisiksi sille asteelle mikä sille vain jää? Voisiko saada jotain matriisiesimerkkejä? Hamottaisi avattuna varmaan paremmin... Vai onko vain kyse siitä, että translaatio on ilmiönä yksiulotteinen, jolloin siihen redusoidutaan vääjäämättä - riippuvuutta useampaan asteeseen ei jää, koska toisin kuin kierto tai koon muuttuminen siirtyminen vaatii minimissään vain yhden vapausasteen ja kun jaetaan magnitudilla, ei muuta jää kuin identiteetti...? Siis ihan fundamenttejako tässä kelaillaan?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä5831

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Tässä se edellisessä viestissä mainitsemani kommentti translaatioryhmistä:

Minkowskiavaruuden M translaatioryhmä T  on isomorfinen  vektoriavaruuden ℝ⁴ kanssa (merkkasin tätä aikaisemmin  notaatiolla ℝ¹∙³, mutta tuollainen on ehkä varattu sisätuloihin). Tuossa aikaisemmassa viestissäni kirjoittaesani allaolevaa:

SIJ kirjoitti:

...Siis U( 1, a ) = exp ( i aᵤ · ΛPᵘ ) on "diagonaalimatriisi" kannassa  { | Λp >}, lainausmerkit siksi että kyseessä on se Hilbert-avaruuden ℋ operaattori eikä varsinainen nxn-matriisi....

kirjoituksen tulos näytti jotenkin tutulta kaavalta esitysteoriassa ja niinhän se olikin, hieman muunneltuna.  On nimittäin olemassa teoreema, joka sanoo, että abelin ryhmän G kaikki redusoidumattomat esitykset ovat yksiulotteisia,  erityisesti translaatioryhmän T redusoitumattomat esitykset ovat yksiulotteisia.

Redusoimattomuuden voi ajatella tässä siten, että yleinen esitys U(1,a) on blokkidiagonaalinen ja blokit ovat redusoitumattomia esityksiä (tai vielä tarkemmin U(1,a) on saatettu tähän blokkimuotoon redusoitumattomien esitysten summana).

Translaatioryhmän T alkiota a vastaava 1x1-esitysmatriisi U(1, a) on konreettisesti lauseke exp( iaᵤ · pᵘ ), joka operoi Hilbert-avaruuden  ℋ  1-ulotteisessa, ominaisvektorin | p > virittämässä ℋ : n aliavaruudessa kaavalla:

U(1, a)  | p > =  exp( iaᵤ · pᵘ ) | p >.

Jokaista p vastaa oma redusoitumaton T:n esitys, jotka ovat kaikki 1-ulotteisia.

Juurikin parasta, kun esitysteorian yleiset tulokset yhdistyvät fysiikkaan. Pidän kovasti.

Voisi jatkaa heuristista johdattelua. Hiukkaselle, jonka ainoa 'ominaisuus' on massa m, on aina löydettävissä koordinaatisto, jossa hiukkasen liikemäärä pᵘ = (m, 0, 0, 0)ᵀ = (m, 0)ᵀ. Tämä on lepokoordinaatisto.

Lorentzmuunnoksessa hiukkasen tila muuntuu | pᵘ > → U(Λ,0) | pᵘ > = U(Λ) | pᵘ > = | Λpᵘ >. Tässä siis U(Λ) on ryhmän SO⁺(1,3) esitys ja Λ ∈ SO⁺(1,3).

Unohdetaan hetkeksi Hilbertin avaruus, ja keskitytään liikemäärävektoreihin pᵘ ja Λpᵘ. Tietysti selvää, että vektori pᵘ ∈ ℝ⁴ ei ole invariantti Lorentzmuunnoksessa. Helposti kuitenkin huomataan, että pᵘ on invariantti 3d-rotaatioryhmän SO(3) esityksen toimiessa tuohon lepokoordinaatiston vektoriin pᵘ = (m, 0)ᵀ. Nollaliikemäärävektori ei pyörähdä 3d:ssä, vaikka kuinka yrittäisi :). Mielenkiintoisempaa tässä on, että ryhmä SO(3) on SO(1,3):n aliryhmä.

Tuollaiselle otukselle on tietysti olemassa määritelmä.

Ajatellaan ryhmän G alkiota g, ja g:n toimintaa joukon X pisteeseen x. Ne ryhmän G alkiot, joiden toiminta joukon X pisteseen x ei liikuta pistettä x, muodostavat ryhmän G isotropiaryhmän (engl. isotropy group, stabilizer subgroup). Määritelmänä: Ryhmän G isotropia(ali)ryhmä pisteen x suhteen määritellään ryhmänä N = { g ∈ G | g ⋆ x = x }, missä ⋆ on (vasen) toiminta.

Wignerin luokitteun yhteydessä tuollaiset ryhmät nimetään usein Wigner's little group. En tiedä onko little group virallinen termi matematiikassa, mutta fysiikassa sitä käytetään.

Voidaan siis todeta, että ryhmän SO⁺(1,3) aliryhmä SO(3) on vektorin pᵘ = (m, 0)ᵀ suhteen isotropia-aliryhmä.

Tämä vain alustuksena. Tavoite päästä pidemmälle kuin vain lepokoordinaatiston liikemäärävektoriin. Kun viikonloppuna ehdin, niin otetaan mukaan puskut ja spinit.

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Rattoisaa lauantai-iltapäivää. Tänään on saunapäivä, mutta päivällä vielä tässä kerkeää kirjoittelemaan:

QS kirjoitti:

...

Translaatioryhmän T alkiota a vastaava 1x1-esitysmatriisi U(1, a) on konreettisesti lauseke exp( iaᵤ · pᵘ ), joka operoi Hilbert-avaruuden  ℋ  1-ulotteisessa, ominaisvektorin | p > virittämässä ℋ : n aliavaruudessa kaavalla:

U(1, a)  | p > =  exp( iaᵤ · pᵘ ) | p >.

Jokaista p vastaa oma redusoitumaton T:n esitys, jotka ovat kaikki 1-ulotteisia.

Juurikin parasta, kun esitysteorian yleiset tulokset yhdistyvät fysiikkaan. Pidän kovasti.

[/quote]

Sama juttu minullakin, jotenkin on aivan uskomattoman hienoa jos joku abstrakti teoreema löytääkin sovelluksen jostain fysiikan ilmiöstä. Muutenkin hengailu fysiikan ja matikan rajamailla on mielestään erittäin antoisaa.

QS kirjoitti:

Voisi jatkaa heuristista johdattelua. Hiukkaselle, jonka ainoa 'ominaisuus' on massa m, on aina löydettävissä koordinaatisto, jossa hiukkasen liikemäärä pᵘ = (m, 0, 0, 0)ᵀ = (m, 0)ᵀ. Tämä on lepokoordinaatisto.

Lorentzmuunnoksessa hiukkasen tila muuntuu | pᵘ > → U(Λ,0) | pᵘ > = U(Λ) | pᵘ > = | Λpᵘ >. Tässä siis U(Λ) on ryhmän SO⁺(1,3) esitys ja Λ ∈ SO⁺(1,3).

Unohdetaan hetkeksi Hilbertin avaruus, ja keskitytään liikemäärävektoreihin pᵘ ja Λpᵘ. Tietysti selvää, että vektori pᵘ ∈ ℝ⁴ ei ole invariantti Lorentzmuunnoksessa. Helposti kuitenkin huomataan, että pᵘ on invariantti 3d-rotaatioryhmän SO(3) esityksen toimiessa tuohon lepokoordinaatiston vektoriin pᵘ = (m, 0)ᵀ. Nollaliikemäärävektori ei pyörähdä 3d:ssä, vaikka kuinka yrittäisi :). Mielenkiintoisempaa tässä on, että ryhmä SO(3) on SO(1,3):n aliryhmä.

Tuollaiselle otukselle on tietysti olemassa määritelmä.

Ajatellaan ryhmän G alkiota g, ja g:n toimintaa joukon X pisteeseen x. Ne ryhmän G alkiot, joiden toiminta joukon X pisteseen x ei liikuta pistettä x, muodostavat ryhmän G isotropiaryhmän (engl. isotropy group, stabilizer subgroup). Määritelmänä: Ryhmän G isotropia(ali)ryhmä pisteen x suhteen määritellään ryhmänä N = { g ∈ G | g ⋆ x = x }, missä ⋆ on (vasen) toiminta.

Wignerin luokitteun yhteydessä tuollaiset ryhmät nimetään usein Wigner's little group. En tiedä onko little group virallinen termi matematiikassa, mutta fysiikassa sitä käytetään.

Voidaan siis todeta, että ryhmän SO⁺(1,3) aliryhmä SO(3) on vektorin pᵘ = (m, 0)ᵀ suhteen isotropia-aliryhmä.

Tämä vain alustuksena. Tavoite päästä pidemmälle kuin vain lepokoordinaatiston liikemäärävektoriin. Kun viikonloppuna ehdin, niin otetaan mukaan puskut ja spinit.

Tämä on tosiaan mielenkiintoinen ja haastava aihepiiri. Olen myös itse tässä yrittänyt käydä lapi tuota Wignerin luokittelun ideaa ja myös todistusta, mutta projekti on pahasti kesken.  Olen myös lukenut äärellisten ryhmien esitysteoriaa, jossa esiintyy samantyylisiä juttuja, kuin tässä Wignerin tapauksessa ja todistuksetkin vaikuttavat kulkevan samoilla linjoilla, noin silmämääräisesti arvioiden.

.

Tuo Wignerin luokittelu onnistuu siis käsittääkseni kahdella ekvivalentilla tavalla:

1. Casimir-operaattorien avulla, jotka muodostetaan 4-liikemäärästä  ja Pauli-Lubanski-vektorista, siis 2 kpl ja niiden kvanttiluvuista.

2. Esitykset koostuvat pareista (p, G_p), missä G_p on se pisteen p paikallaan pitävä pieni ryhmä (little group) ja koko Poincareryhmän esitys indusoituu tuon pienen ryhmän G_p esityksistä. Tästä pääseekin seuraavaan juttuun, jatkuu...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

jatkuu...

Yritin tässä selvitellä mitä ryhmän indusoitu esitys tarkoittaa matematiikan kannalta, jos se toisi vaikka jotain valoa siihen Wignerin luokitteluun. Alla on ihan oppikirjoista poimittu määrittely indusoituneelle esitykselle siinä tapauksessa kun kaikki ryhmät ovat äärellisiä.

Karkea idea on se, että jos ryhmän G aliryhmällä H on esitys Π : H →  GL(W), niin muodostetaan tuosta avaruudesta W "monta kopiota" tyyliin V = Σ⊕W (suora summa) ja "indusoidaan" tunnetun esityksen  Π avulla esitys tuohon "isoon" vektoriavaruuteen V esitys ja tuo prosessi on kuvailtu alla. Aihe on näköjään välttämättä abstraktin oloinen, tuohon ei vaan oikein löydy mitään kovin konkreetttista esitystä.

.

Olkoon G äärellinen ryhmä ja H sen aliryhmä. Nyt pätee Lagrangen lause, joka sanoo että G:n alkioiden lukumäärä m = #G on jaollinen H:n alkioiden lukumäärällä n = #H. Osamäärää m / n = k  sanotaan H:n indeksiksi ryhmässä G. Nyt voidaan tuo koko ryhmä jakaa yhtä suuriin osiin, joita on yhteensä k kpl seuraavalla tavalla: määritellään ekvivalenssirelaatio kaavalla:

g₁ ≡ g₂ , jos g₁⁻¹ g₂  ∈ H.

Jokainen ryhmän G alkio g kuuluu siis johonkin ekvivalenssiluokkaan, jota merkitään symbolilla [g] tai myös  merkinnällä gH ja näitä luokkia on siis k kpl. Toiselta nimeltään nuo luokat ovat = vasemmat sivuluokat (voidaan nimittäin määritellä myös oikeat sivuluokat kaavalla   g₁≡ g₂ , jos g₁⁻¹ g₂⁻¹ ∈ H. Notaationa merkintä [g] ei kerro kumpaa sivuluokkaa käytetään ja siksi mulla tässä gH viittaa vasempaan sivuluokkaan (Hg olisi oikea sivuluokka).  Ryhmän G osajoukkona tuo gH = {gh | h∈ H}. Lisäksi yleensä merkitään tuota ekvivalenssiluokkien joukkoa merkinnällä G/H = {gH | g∈G}. Tuossa on hyvä huomata että useammalla eri alkiolla g saadaan sama sivuluokka ja yleisesti pätee:

g₁H = g₂H jos ja vain jos g₁⁻¹ g₂  ∈ H.

Voidaan määritellä ryhmän G toiminta sivuluokkien joukossa G/H kaavalla q · (gH) ≡ (qg)H. Voidaan osoittaa, että näin määritelty toiminta on hyvin määritelty eli se ei riipu valitusta g∈ gH, vaan ainoastaan ekvivalenssiluokasta gH.  

Oletetaan, että ryhmällä H on esitys (Π ,W), missä W on äärellisulotteinen vektoriavaruus ja Π : H →  GL(W) ryhmähomomorfismi. Nyt tuo esitys Π indusoi koko ryhmään G esityksen muodostamalla ensin suoran summan:

V = Σ⊕W

missä nyt summataan kaikkien sivuluokkien G/H yli (siis summassa k kpl termejä ) tai lyhyemmin:

V = Σₐ ⊕Wₐ, missä a∈ G/H.

Vektoriavaruuden V vektori v on:

v =  Σvₐ,

missä vektorin v "nimilappu"indikoi sen kuuluvat siinen avaruuteen Vₐ.

Nyt voidaankin sitten määritellä se indusoitunut esitys: määritellään ryhmän G toiminta avaruudessa V kaavalla:

β★v = Σ Π(vᵦ.ₐ)

missä β ∈ G. Tuossa siis β·a  ihan hyvin määritelty sivuluokka ja tuo fantsu kaava oikeastaan siirtelee noita sivuluokkaindekseja eli huolimatta abstraktista määritelmästä, se on ihan toimiva kaava jos vain uskaltaa rohkeasti käyttää sivuluokkia a summausindeksinä. Tuo saatu kuvaus on lineaarinen kääntyvä kuvaus V →  V eli siis saadaan esitys:

 Π_g (v) =  g★v,  missä g ∈ G.

.

The End.

Täytyy kyllä sanoa, että tämän kirjoituksen laatiminen oli melkoinen urakka, mutta lopussa kiitos seisoo tai siis kalja kaapissa vartoo.... Tuo indusoitunut esitys määritellään niin monella eri tavalla eri lähteissä ja ne ovat abstrakteja luonteeltaan. Nämä mun tekstin notaatiot ovat eräänlaisia hybridejä, läheisin lähde on Serren kirja Linear representations of Finite Groups.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5831

Loistava ryhmäteorian tulos jälleen!

Tarkastellaan m-massaista spin-r hiukkasta, joka potkaistaan aktiivisella muunnoksella lepokoordinaatiston tilasta | p, r > → | p', r' >, missä p' ja r' potkun jälkeisiä arvoja. Jätetään indeksejä pois, eli p=pᵘ, k=kᵘ, Λ=Λᵤᵛ, P=Pᵘ jne.

Potkaistu ja potkua edetävä yksihiukkastila ovat saman hiukkasen eri tiloja, joten ne ovat ortonormaaleja < p', r' | p, r > = δᵣ,ᵣ δ(p' - p). Foorumin haasteita: Kroneckerin deltassa ᵣ, tarkoittaa r' alaindeksinä. Tilat normitetaan relativistisesti, mutta jätetään aluksi normitus pois. Normitus olisi relativistisesta liikemäärästä p riippuva skalaari N(p), joka tilojen edessä tyyliin N(p) ...(muutakin tavaraa)... |p, r >.

Liikemääräoperaattori P antaa liikemäärän ominaisarvon, eli P | p, r > = p | p, r >. Avaruuden translaatiossa tila muuntuu unitaarisella operaattorilla U(1, a) | p, r > = exp( ia · p ) | p, r >. Operaattori U(1,a) siis tuo tilan eteen kertoimen.

Seuraavaksi mietitään homogeenisen Lorentzmuunnoksen unitaarista operaattoria U(Λ,0) ≡ U(Λ), joka riippuu 4x4-matriisista Λ, joka muuntaa 4-vektoreita p. Operaattori U(Λ) operoi kuitenkin Hilbertin avaruuden ℋ vektoreihin.

Liikemääräoperaattorin P operointi potkaistuun tilaan kirjoitetaan P( U(Λ) | p, r > ), joka voidaan laskea

P( U(Λ) | p, s > ) = U(Λ) ( (Λ⁻¹)ᵛᵤ Pᵘ ) | p, r >
= (Λᵛᵤ pᵘ) ( U(Λ) | p, r > ),

missä viimeisenä P:n ominaisarvot tilavektorin U(Λ) | p, r > edessä.

Tuo U(Λ) | p, r > on potkaistu tila |Λp,r'>, mutta se ei ole puhdas tila vaan lineaarikombinaatio. Tila kirjoitetaan usein muodossa U(Λ) | p, r > = Σ_(r') Cᵣ,ᵣ( Λ, p ) | Λp, r' >. Vektoreissa Λp:t aina samoja ja r':t vaihtelevat. Tässä siis summataan diskreetin pusketun arvon r' yli ja kullakin r':n arvolla poimitaan blokkidiagonaalisesta matriisista Cᵣ,ᵣ elementtejä. Matriisi C riippuu puskumatriisista Λ ja puskun liikemäärästä p.

Nyt sitten Wignerin taikatemppuja. Valitaan hiukkasen lepokoordinaatistosta ns. standaritila | k, r >, missä k = (m, 0)ᵀ ja r diskreetti arvo. Lisätään vielä matriisi L, jolla k potkaistaan liikemäärään p = L(p) k. Tässä L on homogeeninen Lorentezmuunnos, joka parametrisoidaan halutulla liikemäärällä p.

Yhden kerran potkaistu tila määritellään | p, r > = U( L(p) ) | k, r >. Tässkin U riippuu muunnoksesta L(p). Diskreetti r kuitenkin säilyy vielä samana.

Kohdistetaan toinen mielivaltainen homogeeninen Lorentzmuunnos Λ käyttämällä operaattoria U(Λ), joka on sama operaattori kuin edellä, mutta parametrisoitu Λ:lla. Pienen punnerruksen jälkeen tulos on

U(Λ) | p, r > = U(Λ) U( L(p) ) | k, r >
= U( L(Λp) ) U( L⁻¹(Λp) Λ L(p) ) | k, r >.

Oikealla edelleen standarditila |k,r>.

Termi U( L⁻¹(Λp) Λ L(p) ) muuntaa ensin k → L(p)k = p. Sitten Λ muuntaa p → Λp. Lopuksi muunnos L⁻¹(Λp) Λp = k. Liikemäärä palautuu tässä alkuperäiseksi k:ksi !

Tuo termi säilyttää k:n invarianttina, joten se on little group, joka on Lorentzmuunnosten aliryhmä W. Kun tuo mainittu termi erotellaan U(W):ksi, voidaan kirjoittaa U(Λ) | p, r > = U( L(Λp) ) U( W( Λ, p ) ) | k, r >.

Tällä on yhteys sun esittelemään indusoituun esitykseen. Little groupilla W parametrisoitu unitaarinen operaattori U(W) muuntaa standarditilan | k, r > seuraavasti:

U(W) | k, r > = Σ_(r') Dᵣ,ᵣ( W ) | k, r' >.

Tuossa k on invariantti, mutta tila on diskreettien arvojen r' lineaarikombinaatio (arvatenkin W on jonkinlainen rotaatio). Kertoimet D(W) ovat little groupin W esityksiä. Aiempi matriisi Cᵣ,ᵣ voidaan rakentaa tutkimalla W:n (Wignerin rotaation) esityksiä.

Hiukan työlästä, mutta yritin tiivistää yhteen postaukseen.

Kaavani ovat lähtökohtaisesti yliluonnollisissa yksiköissä c = ħ = 1/2π = ε = μ = -1 = 1

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä3086

Iltapäivää

QS kirjoitti:

Hiukan työlästä, mutta yritin tiivistää yhteen postaukseen.

Heh, no kyllä varmasti tuossa on ollut kirjoittamista, kirjoittamasi tiivistää tuon tosiaankin yhteen viestiin.

QS kirjoitti:

...

Seuraavaksi mietitään homogeenisen Lorentzmuunnoksen unitaarista operaattoria U(Λ,0) ≡ U(Λ), joka riippuu 4x4-matriisista Λ, joka muuntaa 4-vektoreita p. Operaattori U(Λ) operoi kuitenkin Hilbertin avaruuden ℋ vektoreihin.

Liikemääräoperaattorin P operointi potkaistuun tilaan kirjoitetaan P( U(Λ) | p, r > ), joka voidaan laskea

P( U(Λ) | p, s > ) = U(Λ) ( (Λ⁻¹)ᵛᵤ Pᵘ ) | p, r > = (Λᵛᵤ pᵘ) ( U(Λ) | p, r > ),

Tässä kaavassa on paljon pieniä jänniä (?) yksityiskohtia, jotka aiheuttivat (ja aiheuttavat) harmaita hiuksia ja aikaa menikin erinäisten detaljien selvittelyyn. Käyttämäsi notaatio ja tuo perustelu kokonaisuudessaan näköjään esiintyy monessa eri lähteessä hyvinkin samannäköisenä kuin Weinbergin QFT - kirjassa (kts★alla). Sieltä löytyy mm. seuraava kaava, joka kertoo miten liikemääräoperaattori muuntuu Poincare-muunnoksen indusoimassa unitaarisessa muunnoksessa:    

U(Λ,a) Pᵛ U⁻¹ (Λ,a) = Λᵤᵛ Pᵘ.

Tuon yhtälön vasen puoli on yleisesti pätevä muunnoskaava  O' = UOU⁻¹ operaattorille hermiittiselle O, jos suoritetaan unitaarinen muunnos | ψ' > = U | ψ >. Tuo operaattorimuunnosa saadaan esimerkiksi vaatimalla sisätulon < φ | O| ψ > muuttumattomuutta eli jos:
 < φ' | O'| ψ' >  =  < φ | O| ψ >  kaikilla   φ, ψ ∈ ℋ  ⇒ O' = UOU⁻¹.

Tuossa liikemääräoperaattorin muunnoskaavassa on tuo oikea puoli mielenkiintoinen, sillä se sanoo, että liikemääräoperaattorin  P komponentit Pᵘ  muuntuvat kuten vektorit. Se, mikä tässä hämäsi on se, että nyt tuossa on Lorentz-muunnoksen Λᵛᵤ käänteismatriisi Λᵤᵛ eli tuossa noiden indeksien sijoittelu on tärkeä. Mutta miksi käänteismatriisi?

Tuo käänteismatriisi tosiaan vaivasi kauan ja sama ongelma on jo läsnä kun tutkitaan tavallisia rotaatioita R eli unohdetaan koko suhtis. Esimerkiksi Messiahin QM-kirjan (★) mukaan silloin tavallisen 3-liikemääräoperaattorin Pᵘ (käytän nyt helppouden vuoksi samoja indeksinotaatioita uv, vaikka nyt u,v =1,2,3) komponentit muuntuvat rotaatiossa R seuraavasti:

U(R) Pᵘ U⁻¹ (R) = RᵥᵤP ᵛ,

Tuossa siis on hyvä huomata ( R⁻¹ )ᵤᵥ = Rᵥᵤ eli

U(R) Pᵘ U⁻¹ (R) = ( R⁻¹ )ᵤᵥPᵛ

Messiah todistaa tämän tutkimalla huolellisesti kierron R vaikutusta avaruuden ℝ³ koordinaatteihin ja kantavektoreihin.

Sekä Messiah että Weinberg (käsittääkseni) käyttää aktiivista tulkintaa eli systeemiä kierretään ei koordinaatteja

(★)Käyttämäni kirjat:

Weinberg: The Quantum Theory of Fields, Volume 1: Foundations

Messiah: Quantum Mechanics

.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat