Sivut

Kommentit (199)

QS
Seuraa 
Viestejä5327

...ne miinukset jäi pois, eihän tästä nyt taas tuu mitään ;D

(M₁₂, M₂₃, M₃₁) = (-M₂₁, -M₃₂, -M₁₃) = (J₃, J₁, J₂)

(M₀₁, M₀₂, M₀₃) = (-M₁₀, -M₂₀, -M₃₀) = (K₁, K₂, K₃).

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

Iltaa, perjantain kunniaksi tässä kirjoittelen, kirjoitan nyt lyhyissä pätkissä, eli eka kommentti tässä:

QS kirjoitti:

Aiemmassa postauksessa oli näköjään typoja: "Infinitesimaali rotaatio kulmalla δφ suunnan r ympäri voidaan kirjoittaa R(r, δφ) = I - i δφ J · r, missä I on yksikkömatriisi. Tästä äärellinen rotaatio R(r, φ) = exp( -i φ J · r )."

Boldattu piti olla tietysti r eikä n kuten alkup.


Eikös tuo periaatteessa ole ihan oikein, sillä äärellinen rotaatio voidaan aina esittää juurikin antamassasi muodossa R(r, φ) = exp( -i φ J · r ), missä r on vektori ja J = (J₃, J₁, J₂) ovat niitä matriiseja. Tuossa on jonkinverran valinnanvapautta parametrien r ja  φ suhteen, mutta yleensä olen nähnyt tämän sellaisessa muodossa, jossa vektori r on normitettu yksikkövektoriksi ja silloin tuo φ mittaa kiertokulmaa r:n määräämän akselin ympäri. Jos käytettäisiin vektoria r pituus olisi 2, niin silloin φ olisi vain puolet kiertokumasta jne. Olen jotenkin ihastunut käyttämään yksikkövektorille merkintää n joten kirjoitan nyt jatkossa alla niin.

Tuossa on myös eräs hämäävä notaationaalinen sudenkuoppa jonka kanssa tuskailin aikoinaan, kun ekaa kertaa opiskellessani näitä yritin hahmotella tuota matriisieksponenttiesitystä rotaatiolle. Fyysikot nimittäin rakastavat imaginaariyksikköä i ja siksi se pitää tunkea joka paikkaan heh.. eli fyysikot kirjoittaa:

R(n, φ) = exp( - iφ J · n)

Tuossa fyysikkonotaatiossa ovat matriisit  (J₁, J₂, J₃) hermiittisiä (kompleksi)matriiseja kun taas matematiikkanotaatiossa:

R(n, φ) = exp(  φ J · n),

missä nyt  (J₁, J₂, J₃) ovat antisymmetrisiä (reaali) matriiseja. Eli tuossa matriisien  (J₁, J₂, J₃) eksplisiittinen lauseke riippuu kumpaa konventiota käyttää. Sama vaikuttaa myös kommutaattoreihin eli fyysikon mukaan:

 [J₁, J₂] = i J₃,

mutta matemaatikon mukaan:

 [J₁, J₂] = J₃.

Ihan puhtaan matematiikan kannalta ei ehkä tarvitse laittaa imaginaariyksikköä mukaan noihin  matriisien (J₁, J₂, J₃) määritelmiin, koska kaikki on reaalista, mutta ymmärän fyysikoita, jotka haluavat näiden matriisien olevan hermiittisiä. Vastaava pätee myös Poincare-ryhmälle, siinäkin voidaan operoida puhtaasti reaalisilla matriiseilla ja matriisieksponenteilla.

PS. esim. Jackson operoi reaalisilla matriiseilla, mutta Jackson raivostuttavasti sijoittaa vielä yhden ylimääräisen miinusmerkin tuohon matriisieksponentin kaavaan eli:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),

joka on eri lauseke kuin myös Wikipediasta löytyvä kaava R(n, φ) = exp(  φ J · n) ja luulen että asialla on tekemistä tuon metriikan g kanssa. Jacksonilla g = (1,-1,-1,-1) ja Wikipediassa g = (-1, 1, 1, 1), mutta en nyt jaksa moista selvittää, otan mieluummin kylmän oluen..

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

QS kirjoitti:
...ne miinukset jäi pois, eihän tästä nyt taas tuu mitään ;D

(M₁₂, M₂₃, M₃₁) = (-M₂₁, -M₃₂, -M₁₃) = (J₃, J₁, J₂)

(M₀₁, M₀₂, M₀₃) = (-M₁₀, -M₂₀, -M₃₀) = (K₁, K₂, K₃).

Heh, noin ne monesti miinusmerkit unohtuu, vaikka kuinka pyrkisi kirjoittamaan oikein. Tuossa siis saadaan syklisellä permutaatiolla nuo rotaation indeksit:

M₁₂ = J₃

M₂₃ = J₁

M₃₁ = J₂

Nyt jos muodostan kommutaattorin [ J₁, J₂]  = i J₃ (fyysikon notaatioin) ja kirjoitan sen M-matriisien avulla:

[M₁₂, M₂₃]  = M₃₁

sitten syklisesti permutoin indeksejä

[M₂₃, M₃₁]  = M₁₂

[M₃₁, M₁₂]  = M₂₃.

Mikä tossa oli ideana, on se että kaikkien kommutaattoreiden vasemmalla puolella esiintyy aina yksi indeksi kahdesti ja se indeksi ei enää esiinny oikealla puolella. Tällä kirjasta lyhyesti oppimallani havainnolla on tekemistä antamasi kaavan:

[Mᵦᵧ, Mᵤᵥ ] = -i ( gᵦᵤ Mᵧᵥ + gᵧᵥ Mᵦᵤ - gᵦᵥ Mᵧᵤ - gᵧᵤ Mᵦᵥ )

kanssa. Kaikilla indekseillä vasemmalla, jää oikealle vain yksi nollasta poikkeava M-matriisi, ei siis lineaarikombinaatio, niin kirja kertoo...

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

Käytän nyt palstan "muokkaustoimintoa", kirjoitin:

Nyt jos muodostan kommutaattorin [ J₁, J₂]  = i J₃ (fyysikon notaatioin) ja kirjoitan sen M-matriisien avulla:

[M₁₂, M₂₃]  = M₃₁

Tuohon pitää lisätä se imaginaariyksikkö eli:

[M₁₂, M₂₃]  = i M₃₁

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

Lisää virheitä, kirjoitin:

Mikä tossa oli ideana, on se että kaikkien kommutaattoreiden vasemmalla puolella esiintyy aina yksi indeksi kahdesti ja se indeksi ei enää esiinny oikealla puolella. Tällä kirjasta lyhyesti oppimallani havainnolla on tekemistä antamasi kaavan:

[Mᵦᵧ, Mᵤᵥ ] = -i ( gᵦᵤ Mᵧᵥ + gᵧᵥ Mᵦᵤ - gᵦᵥ Mᵧᵤ - gᵧᵤ Mᵦᵥ )

kanssa. Kaikilla indekseillä vasemmalla, jää oikealle vain yksi nollasta poikkeava M-matriisi, ei siis lineaarikombinaatio, niin kirja kertoo...

.

pitää olla niin että oikealle jää korkeintaan yksi nollasta poikkeava M-matriisi. Tämä siksi että jos sovitaan niiden M-matriisien olevan nollia, joissa on kaksi samaa indeksiä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5327

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Iltaa, perjantain kunniaksi tässä kirjoittelen, kirjoitan nyt lyhyissä pätkissä, eli eka kommentti tässä:
QS kirjoitti:

Aiemmassa postauksessa oli näköjään typoja: "Infinitesimaali rotaatio kulmalla δφ suunnan r ympäri voidaan kirjoittaa R(r, δφ) = I - i δφ J · r, missä I on yksikkömatriisi. Tästä äärellinen rotaatio R(r, φ) = exp( -i φ J · r )."

Boldattu piti olla tietysti r eikä n kuten alkup.


Eikös tuo periaatteessa ole ihan oikein, sillä äärellinen rotaatio voidaan aina esittää juurikin antamassasi muodossa R(r, φ) = exp( -i φ J · r ), missä r on vektori ja J = (J₃, J₁, J₂) ovat niitä matriiseja. Tuossa on jonkinverran valinnanvapautta parametrien r ja  φ suhteen, mutta yleensä olen nähnyt tämän sellaisessa muodossa, jossa vektori r on normitettu yksikkövektoriksi ja silloin tuo φ mittaa kiertokulmaa r:n määräämän akselin ympäri. Jos käytettäisiin vektoria r pituus olisi 2, niin silloin φ olisi vain puolet kiertokumasta jne. Olen jotenkin ihastunut käyttämään yksikkövektorille merkintää n joten kirjoitan nyt jatkossa alla niin.

Juu kyllä. Alkuperäisessä viestissäni vaan käytin hämäävästi samaa yksikkövektoria n sekä rotaatiolle että puskulle. Ei siinä periaatteessa vikaa ollut, mutta tähtäsin lopulliseen yleiseen muunnokseen

Λ = exp -i( φ J · r + θ K · n  ), missä rotaatio yksikkövektorin r ympäri ja pusku yksikkönopeusvektorin n suuntaan. Ja siis rotaatiokulma φ ja rapiditeetti θ = arctanh(v)

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Tuossa on myös eräs hämäävä notaationaalinen sudenkuoppa jonka kanssa tuskailin aikoinaan, kun ekaa kertaa opiskellessani näitä yritin hahmotella tuota matriisieksponenttiesitystä rotaatiolle. Fyysikot nimittäin rakastavat imaginaariyksikköä i ja siksi se pitää tunkea joka paikkaan heh.. eli fyysikot kirjoittaa:

R(n, φ) = exp( - iφ J · n)

Tuossa fyysikkonotaatiossa ovat matriisit  (J₁, J₂, J₃) hermiittisiä (kompleksi)matriiseja kun taas matematiikkanotaatiossa:

R(n, φ) = exp(  φ J · n),

missä nyt  (J₁, J₂, J₃) ovat antisymmetrisiä (reaali) matriiseja. Eli tuossa matriisien  (J₁, J₂, J₃) eksplisiittinen lauseke riippuu kumpaa konventiota käyttää. Sama vaikuttaa myös kommutaattoreihin eli fyysikon mukaan:

 [J₁, J₂] = i J₃,

mutta matemaatikon mukaan:

 [J₁, J₂] = J₃.

Ihan puhtaan matematiikan kannalta ei ehkä tarvitse laittaa imaginaariyksikköä mukaan noihin  matriisien (J₁, J₂, J₃) määritelmiin, koska kaikki on reaalista, mutta ymmärän fyysikoita, jotka haluavat näiden matriisien olevan hermiittisiä. Vastaava pätee myös Poincare-ryhmälle, siinäkin voidaan operoida puhtaasti reaalisilla matriiseilla ja matriisieksponenteilla.

PS. esim. Jackson operoi reaalisilla matriiseilla, mutta Jackson raivostuttavasti sijoittaa vielä yhden ylimääräisen miinusmerkin tuohon matriisieksponentin kaavaan eli:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),

joka on eri lauseke kuin myös Wikipediasta löytyvä kaava R(n, φ) = exp(  φ J · n) ja luulen että asialla on tekemistä tuon metriikan g kanssa. Jacksonilla g = (1,-1,-1,-1) ja Wikipediassa g = (-1, 1, 1, 1), mutta en nyt jaksa moista selvittää, otan mieluummin kylmän oluen..

Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Periaatteessa käsiheilautuksella kompleksisuuden voi perustella siten, että kvanttitilat kuvataan kompleksisilla Hilbertin/Fockin avaruuden vektoreilla, joten ne nyt vaan halutaan kompleksisiksi koska kvanttimekaniikka. Aiheeseen liittyy kuitenkin (ainakin mun ryhmäteorian osaamistasolta tarkasteluna) onimutkaisia sivujuonteita, joita yritin joskus selvitellä, mutta luovutin.

Perustelevat kompleksifioidun algebran so+(1,3) ja (kvanttiteorioissa tärkeän) kompleksifioidun algebran su(2)⊕su(2) isomorfismilla. SU(2) kantavektorit ovat Paulin matriiseja. Valitsemalla alunperin reaalisen ryhmän SO+(1,3) kantavektoreiksi kompleksiset J ja K, saadaan aikaan tuo isomorfismi. Ja sitten kait voidaan sanoa, että (kvantti)fysiikan sovelluksiin tuo kompelksisuus on ainoa oikea valinta.

QS
Seuraa 
Viestejä5327

Eli siis so(1,3; C)  ≅ sl(2 ; C)⊕sl(2 ; C), mikä tarkoitta sitä, että kompleksifioitu so(1,3; C) algebra voidaan ilmaista kahden kompleksifioidun kvanttikulmaliikemäärä-algebran suorana summana. Ja tämä on hyödyllistä, kun etsitään kvanttiteorioista tuon kompleksifioidun Lorentzin ryhmän esityksiä, jotka toimivat kompleksiseen kvanttitiloja kuvaavaan vektoriavaruuteen. Mutta siis tämän aiheen tekniset detaljit eivät mulla hallussa.

QS
Seuraa 
Viestejä5327

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

M₁₂ = J₃

M₂₃ = J₁

M₃₁ = J₂

Nyt jos muodostan kommutaattorin [ J₁, J₂]  = i J₃ (fyysikon notaatioin) ja kirjoitan sen M-matriisien avulla:

[M₁₂, M₂₃]  = M₃₁

sitten syklisesti permutoin indeksejä

[M₂₃, M₃₁]  = M₁₂

[M₃₁, M₁₂]  = M₂₃.

...

[Mᵦᵧ, Mᵤᵥ ] = -i ( gᵦᵤ Mᵧᵥ + gᵧᵥ Mᵦᵤ - gᵦᵥ Mᵧᵤ - gᵧᵤ Mᵦᵥ )

oikealle jää korkeintaan yksi nollasta poikkeava M-matriisi. Tämä siksi että jos sovitaan niiden M-matriisien olevan nollia, joissa on kaksi samaa indeksiä.

Hyvä huomio. Lopulta siis kommutoinnin tulos on varsin yksinkertainen.

Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

Huomenta, olen nyt yrittänyt selvitellä noita matriisieksponentteja jäljittääkseni noita merkki ym. eroja.

QS kirjoitti:

SIJ kirjoitti:

...Jacksonin rotaatio...

R(n, φ) = exp(  - φ J · n),
...


Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Jackson on tavallaan oikeassa, mutta vain tavallaan. Nyt kun luin tuota kohtaa kirjasta tarkemmin, Jackson huomauttaa matriisin R(n, φ) = exp(  - φ J · n) olevan rotaatio kulman φ verran myötäpäivään, siis myötäpäivään! Tämä selittää tässä yhden mystisen miinusmerkin, sillä nyt siis oikeankäden sääntöä noudattava rotaatio on R(n, φ) = exp(  φ J · n). Varmistin tämän ihan laskemalla tuon eksplisiittisesti, kun J on generaattori vaikka z-akselin ympäri J = {(0,-1), (1,0)}, tässä voi käyttää 2x2-matriisia. Lopputuloksena on matriisi R(φ) = {(cosφ, -sinφ), (sinφ. cosφ)}

QS kirjoitti:

...
Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)


Mä tein ihan saman jotta selviäisi myös onko muakin huiputettu kaikki nämä vuodet...eli laskin noita matriiseja eksplisiittisesti myös.

QS kirjoitti:

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.


Tässä(kin) kummittelee miinusmerkit hehe...meinaan tuo lopputulos on ilmeisesti halutun boostin käänteisboosti, jos siis B(v) on positiivisen x-akselin suuntaan, niin tuo on B(-v).

 Olen nyt siis nähnyt eri lähteissä seuraavia esityksiä rotaatioille:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),  Jacksonin vasemmän käden sääntö, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(  φ J · n), löytyy mun QFT-monisteesta ja Wikipediasta, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(- i φ J · n), hermiittinen kompleksinen J.

Vastaavasti boostikin voidaan ilmeisesti esittää usealla eri tavalla:

B(n, θ) = exp( - θ K · n ), K reaaliset, symmetrinen

B(n, θ) = exp( i θ K · n ), K kompleksinen, antihermiittinen

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5327

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Huomenta, olen nyt yrittänyt selvitellä noita matriisieksponentteja jäljittääkseni noita merkki ym. eroja.

QS kirjoitti:

SIJ kirjoitti:

...Jacksonin rotaatio...

R(n, φ) = exp(  - φ J · n),
...


Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Jackson on tavallaan oikeassa, mutta vain tavallaan. Nyt kun luin tuota kohtaa kirjasta tarkemmin, Jackson huomauttaa matriisin R(n, φ) = exp(  - φ J · n) olevan rotaatio kulman φ verran myötäpäivään, siis myötäpäivään! Tämä selittää tässä yhden mystisen miinusmerkin, sillä nyt siis oikeankäden sääntöä noudattava rotaatio on R(n, φ) = exp(  φ J · n). Varmistin tämän ihan laskemalla tuon eksplisiittisesti, kun J on generaattori vaikka z-akselin ympäri J = {(0,-1), (1,0)}, tässä voi käyttää 2x2-matriisia. Lopputuloksena on matriisi R(φ) = {(cosφ, -sinφ), (sinφ. cosφ)}

QS kirjoitti:

...
Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)


Mä tein ihan saman jotta selviäisi myös onko muakin huiputettu kaikki nämä vuodet...eli laskin noita matriiseja eksplisiittisesti myös.

QS kirjoitti:

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.


Tässä(kin) kummittelee miinusmerkit hehe...meinaan tuo lopputulos on ilmeisesti halutun boostin käänteisboosti, jos siis B(v) on positiivisen x-akselin suuntaan, niin tuo on B(-v).

 Olen nyt siis nähnyt eri lähteissä seuraavia esityksiä rotaatioille:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),  Jacksonin vasemmän käden sääntö, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(  φ J · n), löytyy mun QFT-monisteesta ja Wikipediasta, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(- i φ J · n), hermiittinen kompleksinen J.

Vastaavasti boostikin voidaan ilmeisesti esittää usealla eri tavalla:

B(n, θ) = exp( - θ K · n ), K reaaliset, symmetrinen

B(n, θ) = exp( i θ K · n ), K kompleksinen, antihermiittinen

Vaikuttaa, että miinukset ja imaginaariyksiköt voidaan valita miten päin vain riippuen halutaano aktiivinen vai passiivinen muunnos. Onnistuin selvittämään, että ainakin tuo käyttämäni exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) tuottaa aktiivisen puskun. Eli siis annetaan kivenmurikalle potku nopeusvektorin v suuntaan ja jäädään itse omaan koordinaatistoon. Tämä on potkun suorittajan (aktiivinen) näkökulmasta käänteinen muunnos.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Huomenta, olen nyt yrittänyt selvitellä noita matriisieksponentteja jäljittääkseni noita merkki ym. eroja.

QS kirjoitti:

SIJ kirjoitti:

...Jacksonin rotaatio...

R(n, φ) = exp(  - φ J · n),
...


Jup, hyväksytään tuo Jacksonin miinus mun puolesta :)

Jackson on tavallaan oikeassa, mutta vain tavallaan. Nyt kun luin tuota kohtaa kirjasta tarkemmin, Jackson huomauttaa matriisin R(n, φ) = exp(  - φ J · n) olevan rotaatio kulman φ verran myötäpäivään, siis myötäpäivään! Tämä selittää tässä yhden mystisen miinusmerkin, sillä nyt siis oikeankäden sääntöä noudattava rotaatio on R(n, φ) = exp(  φ J · n). Varmistin tämän ihan laskemalla tuon eksplisiittisesti, kun J on generaattori vaikka z-akselin ympäri J = {(0,-1), (1,0)}, tässä voi käyttää 2x2-matriisia. Lopputuloksena on matriisi R(φ) = {(cosφ, -sinφ), (sinφ. cosφ)}

QS kirjoitti:

...
Kirjoitin aiemmin sen äärellisen Lorentzmuunnoksen Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ), missä ωᵘᵛ reaalinen antisymmetrinen matriisi ja tämä Mᵤᵥ tosiaan muodostettu generaattoreista J ja K.

Rotaation kulmat φ ja rapiditeetit θ sisältävä 4x4 matriisi ωᵘᵛ eksplisiittisesti (rivit ;-eroteltuna) [ 0, θ¹, θ², θ³ ; -θ¹, 0, φ³, -φ² ; -θ², -φ³, 0, φ¹ ;  -θ³,  φ², -φ¹, 0 ]

Piti ihan kokeilla että toimiiko tämä oikeasti, vai onko mua huijattu vuosikausia ;)


Mä tein ihan saman jotta selviäisi myös onko muakin huiputettu kaikki nämä vuodet...eli laskin noita matriiseja eksplisiittisesti myös.

QS kirjoitti:

Esim. pusku x₁-akselin suuntaan rapiditeetilla θ¹ = arctanh(v) saadaan matriisilla ωᵘᵛ, jonka ω⁰¹ = θ¹, ω¹⁰ = -θ¹ ja kaikki muut alkiot nollia.

Λ = exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ)
= exp [ -½ i ( ω⁰¹ M₀₁ + ω¹⁰ M₁₀) ]
= exp [ -½ i ( θ¹ K₁ + (-θ¹) (-K₁) ) ]
= exp [ -i ( θ¹ K₁ ) ]
= ...
= [ exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, 0, 0 ; exp(θ¹)-exp(-θ¹) / 2, exp(-θ¹)+exp(θ¹) / 2, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0  ;  0, 0, 0, 1  ]
= [ cosh(θ¹), sinh(θ¹), 0, 0; sinh(θ¹), cosh(θ¹), 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1 ]
= [ γ, γv, 0, 0; γv, γ, 0, 0; 0,0,1,0; 0,0,0,1]

Juu, tuo on yksinkertainen Lorentzmuunnos-matriisi x₁-akselin suuntaisella nopeudella v. Etumerkit saattoivat sotkeutua, mutta olkoon nyt vaikka noin.


Tässä(kin) kummittelee miinusmerkit hehe...meinaan tuo lopputulos on ilmeisesti halutun boostin käänteisboosti, jos siis B(v) on positiivisen x-akselin suuntaan, niin tuo on B(-v).

 Olen nyt siis nähnyt eri lähteissä seuraavia esityksiä rotaatioille:

R(n, φ) = exp(  -φ J · n),  Jacksonin vasemmän käden sääntö, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(  φ J · n), löytyy mun QFT-monisteesta ja Wikipediasta, J reaaliset antisymmetrinen
R(n, φ) = exp(- i φ J · n), hermiittinen kompleksinen J.

Vastaavasti boostikin voidaan ilmeisesti esittää usealla eri tavalla:

B(n, θ) = exp( - θ K · n ), K reaaliset, symmetrinen

B(n, θ) = exp( i θ K · n ), K kompleksinen, antihermiittinen

Vaikuttaa, että miinukset ja imaginaariyksiköt voidaan valita miten päin vain riippuen halutaano aktiivinen vai passiivinen muunnos. Onnistuin selvittämään, että ainakin tuo käyttämäni exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) tuottaa aktiivisen puskun. Eli siis annetaan kivenmurikalle potku nopeusvektorin v suuntaan ja jäädään itse omaan koordinaatistoon. Tämä on potkun suorittajan (aktiivinen) näkökulmasta käänteinen muunnos.

Joo, ok, tosiaan tuo aktiivinen/ passiivinen muunnos voikin selittää paljon erilaisista miinusmerkeistä, joita leijailee siellä täällä. Tässä ilmeisesti saa olla aika tarkkana mitä lähdettä käyttää, koska merkitys voi riippua siitä. 

Tossa kaavassasi exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) siis kumpikin suure  ωᵘᵛ ja Mᵤᵥ ovat antisymmetrisiä tuon indeksin vaihdon suhteen (uv) -> (vu) ja suure ωᵘᵛ on ihan rehellinen matriisi, jonka komponentteina on se rapiditeetti  ja kiertokulma suunnalla huomioituna., kuten laskitkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

SIJ kirjoitti:

Tossa kaavassasi exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) siis kumpikin suure  ωᵘᵛ ja Mᵤᵥ ovat antisymmetrisiä tuon indeksin vaihdon suhteen (uv) -> (vu) ja suure ωᵘᵛ on ihan rehellinen matriisi, jonka komponentteina on se rapiditeetti  ja kiertokulma suunnalla huomioituna., kuten laskitkin.

Nyt ääripedanttisuus valtaa mielen, voiko tota nyt sanoa antisymmetrisyydeksi, koska vaihto (uv)->(vu) ei viittaa mihinkään matriisin komponentteihin vaan se liittää kaksi eri matriisia toisiinsa eli  Mᵤᵥ = - Mᵥᵤ. Itse matriisit ovat sitten mitä ovat, (anti)hermiittisiä tms.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä5327

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
SIJ kirjoitti:

Tossa kaavassasi exp (-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) siis kumpikin suure  ωᵘᵛ ja Mᵤᵥ ovat antisymmetrisiä tuon indeksin vaihdon suhteen (uv) -> (vu) ja suure ωᵘᵛ on ihan rehellinen matriisi, jonka komponentteina on se rapiditeetti  ja kiertokulma suunnalla huomioituna., kuten laskitkin.

Nyt ääripedanttisuus valtaa mielen, voiko tota nyt sanoa antisymmetrisyydeksi, koska vaihto (uv)->(vu) ei viittaa mihinkään matriisin komponentteihin vaan se liittää kaksi eri matriisia toisiinsa eli  Mᵤᵥ = - Mᵥᵤ. Itse matriisit ovat sitten mitä ovat, (anti)hermiittisiä tms.

Mun notaatio Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) alkaa hajota käsiin. Tässä nyt ωᵘᵛ on tosiaan matriisi, johon on pakattu 6 kpl reaalisia parametreja: kolme kiertokulmaa ja kolme rapiditeettia antisymmetriseksi matriisiksi.

Mutta tämä Mᵤᵥ pitäisi käsittääkseni ajatella Lien algebran kantavektorijoukkona, koska Lien algebra on vektoriavaruus. En ole enää varma voiko tuota kutsua tensoriksi kuten aluksi sanoin. Onko se matriisi, joka muodostettu alkuperäisistä Lien algebran kantamatriiseista J ja K? Vai onko se tensori, joka on muodostettu matriiseista J ja K? Argh.

Pitäisikö tämä koko notaatio oikeasti kirjoittaa Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), missä Λᵞᵦ ∈ SO⁺(1,3). Nyt tuossa summassa ωᵘᵛ Mᵤᵥ kukin yksittäinen termi on Lien algebran alkio, jotka siis kaikki summataan yhteen. Summauksen jälkeinen tulos ajatellaan matriisina Xᵞᵦ, ja tuon matriisin eksponenttikuvauksella saadaan matriisi Λᵞᵦ, joka on sitten tietysti ryhmän alkio.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

Ihan minilyhyt vastaus, olen juuri juhlistamassa hiihtoloman alkamista huomenna.

QS kirjoitti:

Mun notaatio Λ = exp(-½ i ωᵘᵛ Mᵤᵥ) alkaa hajota käsiin. Tässä nyt ωᵘᵛ on tosiaan matriisi, johon on pakattu 6 kpl reaalisia parametreja: kolme kiertokulmaa ja kolme rapiditeettia antisymmetriseksi matriisiksi.

Ei hajoa, mutta siihen on hyvä tehdä tiettyjä täsmennyksiä, kuten teetkin alla.

QS kirjoitti:

Mutta tämä Mᵤᵥ pitäisi käsittääkseni ajatella Lien algebran kantavektorijoukkona, koska Lien algebra on vektoriavaruus.

Kyllä, juuri näin.
QS kirjoitti:

Pitäisikö tämä koko notaatio oikeasti kirjoittaa Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), missä Λᵞᵦ ∈ SO⁺(1,3). Nyt tuossa summassa ωᵘᵛ Mᵤᵥ kukin yksittäinen termi on Lien algebran alkio, jotka siis kaikki summataan yhteen. Summauksen jälkeinen tulos ajatellaan matriisina Xᵞᵦ, ja tuon matriisin eksponenttikuvauksella saadaan matriisi Λᵞᵦ, joka on sitten tietysti ryhmän alkio

Pitäisi tai ainakin olisi selvempää kyllä, tuo on erittäin hyvä huomio, tämä on se täsmennys mihin viittasin yllä. Jos merkitsee ihan vaan Λ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)), niin notaatio on epämääräinen sellaisenaan, koska ei käy ilmi minkälainen matriisi on kyseessä, siitä puuttuu ne aika-avaruuden indeksit, mutta ne voi lisätä kuten teitkin ja tulos on nyt Λᵞᵦ = exp(-½ i (ωᵘᵛ Mᵤᵥ)ᵞᵦ ), jossa tosiaan käy eksplisiittisesti ilmi tuon matriisi M. Matriisin M kovariantti muoto (Mᵤᵥ)ᵦᵧ on eri kuin sekamuoto (Mᵤᵥ)ᵞᵦ  ja tämä voi sekoittaa joskus, kun merkitsee lyhyesti Mᵤᵥ.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2585

Ei sitten tekstiä ilman kirjoitusvirhettä:

QS kirjoitti:

Matriisin M kovariantti muoto (Mᵤᵥ)ᵦᵧ on eri kuin sekamuoto (Mᵤᵥ)ᵞᵦ  ja tämä voi sekoittaa joskus, kun merkitsee lyhyesti Mᵤᵥ.

Tossa tuo boldattu (Mᵤᵥ)ᵦᵧ piti olla (Mᵤᵥ)ᵧᵦ, nyt indeksit oikeassa järjestyksessä.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat