Seuraa 
Viestejä12423
Liittynyt10.12.2008

Ympyrän sisälle on piirretty kuusikulmio, jonka joka toinen sivu on säteen suuruinen. Pitää osoittaa, että kolmen muun sivun keskipisteiden yhdysjanat muodostavat tasasivuisen kolmion.
Näitä sivuja vastaavat kaaret 2A,2B , 2C ja säde 1.
Sain sivujen neliöiksi
x^2=(cosA)^2+(cosB)^2-2cosA*cosB*cos(π/3+A+B)
y^2=(cosA)^2+(cosC)^2-2cosA*cosC*cos(π/3+A+C)
x^2=(cosB)^2+(cosC)^2-2cosB*cosC*cos(π/3+B+C)
A+B+C=π/2
Pitää osoittaa, että x=y=z
Kokeilin numeerisesti muutamilla arvoilla ja väite näyttää pitävän paikkaansa.
Lausekkeet ovat kuitenkin niin hankalat, että minulta jäi tehtävä ratkaisematta.
Yhtälöt ovat sykliset, joten olisiko jokin näppärä menetelmä, jolla väite todistettaisiin?

Kommentit (13)

pöhl
Seuraa 
Viestejä899
Liittynyt19.3.2005

Yleensä tasasivuisuus viittaa siihen, että tehtävän voi ratkaista kivasti joko kierroilla tai kompleksiluvuilla (ykkösenjuurilla).  Jos kuusikulmio on ABCDEF, nuo kysytyt kolme muuta keskipistettä ovat M1, M2, M3 ja R on 60 asteen kierto, niin R(M3M2)=R(1/2(AD+FE))=R(1/2(AO+OD+FE))=1/2(AB+OC+FO)=1/2(AB+FC)=M3M1.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14394
Liittynyt16.2.2011

Tässä tutkielma, jossa lähdetään yhteen piirretyistä kolmesta tasasivuisesta kolmiosta toista reunimmaista kiertämään ja ikään kuin keskimmäinen kolmio suurempana käyden kiertyy viereiseksi kolmioksi.

Ratkaisun saa samansuuruisista "siirrosjänteistä" ja niiden keskipisteistä lausuen, koska tietysti täysin vastaavasti geometria kiertyy mittasuhteita muodostaen, vaikka toisen reunan kolmiota lähdettäisiin kääntäämään myös (vastakkaiseen suuntaan), jolloin saadaan 6-kulmio (eikä 4-kulmio tai 5-kulmio, joita kuvassani esiintyy).

Oikeanpuoleisessa kuviossa "kiertyvä" tuloskolmio suurimmillaan.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14394
Liittynyt16.2.2011

Korjataanpa:

Ratkaisun saa samansuuruisista "siirrosjänteistä" ja yhdysjänteen keskipisteistä lausuen.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12423
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
Tässä tutkielma, jossa lähdetään yhteen piirretyistä kolmesta tasasivuisesta kolmiosta toista reunimmaista kiertämään ja ikään kuin keskimmäinen kolmio suurempana käyden kiertyy viereiseksi kolmioksi.

Ratkaisun saa samansuuruisista "siirrosjänteistä" ja niiden keskipisteistä lausuen, koska tietysti täysin vastaavasti geometria kiertyy mittasuhteita muodostaen, vaikka toisen reunan kolmiota lähdettäisiin kääntäämään myös (vastakkaiseen suuntaan), jolloin saadaan 6-kulmio (eikä 4-kulmio tai 5-kulmio, joita kuvassani esiintyy).

Oikeanpuoleisessa kuviossa "kiertyvä" tuloskolmio suurimmillaan.

Oikeanpuoleisessa kuviossa on tehty kaksi kiertoa, 2A JA 2B, jolloin A+B=π/2. säde 1

Nyt sivujen neliöiksi saadaan

x^2=(cosA)^2+1-2*cosA*cos(A+π/3)

y^2=(cosB)^2+1-2*cosB*cos(B+π/3)

z^2=(cosA)^2+(cosB)^2-2*cosA*cosB*cos(A+B+π/3)

Numeerisesti kokeilemalla nähdään taas, että x=y=z

Nyt yhtälöt ovat hieman yksinkertaisempia joten yhtäsuuruuksien osoittaminen saattaa onnistua?

Jää kuitenkin se alkuperäinen tehtävä.

pöhl
Seuraa 
Viestejä899
Liittynyt19.3.2005

Kompleksiratkaisu on myös melko suoraviivainen: Oletetaan, että ympyrän säde on 1, ympyrän keskipiste on origo, kärkipisteet sijaitsevat vastapäivään ympyrän kehällä ja että |AB|=|CD|=|EF|=1.

Samastetaan euklidinen taso R^2 kompleksitason C kanssa. Käytetään sama symbolia euklidisen tason pisteen ja sitä vastaavan kompleksitason pisteen välillä.

Olkoon omega = e^{i pii/3} ykkösen primitiivinen juuri kertaluvultaan kuusi.

Koska |AB|=|CD|=|EF|=1 ja A,...,F sijaitsevat vastapäivään ympyrän kehällä, on voimassa
B=omega*A, D=omega*C ja F=omega*E. Näistä seuraa, että M_1=1/2(B+C)=1/2(omega*A+C), M_2=1/2(D+E)=1/2(omega*C+E), M_3=1/2(F+A)=1/2(omega*E+A).

Nyt M_2-M_1=1/2((omega-1)*C+E-omega*A)=1/2(E+omega^2*C+omega^4*A),
M_3-M_2=1/2((omega-1)*E+A-omega*C)=1/2(A+omega^2*E+omega^4*C)=omega^2(M_2-M_1),
M_1-M_3=1/2((omega-1)*A+C-omega*E)=1/2(C+omega^2*A+omega^4*E)=omega^2(M_3-M_2)

Tämä tarkoittaa, että saadaan jana M_2M_3 kun janaa M_1M_2 kierretään 120 astetta vastapäivään ja siirretään M_1 samaan paikkaan kuin missä M_2 on. Samoin, M_3M_1 saadaan janasta M_2M_3 kiertämällä vastapäivään 120 astetta ja siirtämällä M_2 pisteeseen M_3.

Siistä kolmio M_1M_2M_3 on tasasivuinen.

PPo
Seuraa 
Viestejä12423
Liittynyt10.12.2008

pöhl kirjoitti:
Kompleksiratkaisu on myös melko suoraviivainen: Oletetaan, että ympyrän säde on 1, ympyrän keskipiste on origo, kärkipisteet sijaitsevat vastapäivään ympyrän kehällä ja että |AB|=|CD|=|EF|=1.

Samastetaan euklidinen taso R^2 kompleksitason C kanssa. Käytetään sama symbolia euklidisen tason pisteen ja sitä vastaavan kompleksitason pisteen välillä.

Olkoon omega = e^{i pii/3} ykkösen primitiivinen juuri kertaluvultaan kuusi.

Koska |AB|=|CD|=|EF|=1 ja A,...,F sijaitsevat vastapäivään ympyrän kehällä, on voimassa
B=omega*A, D=omega*C ja F=omega*E. Näistä seuraa, että M_1=1/2(B+C)=1/2(omega*A+C), M_2=1/2(D+E)=1/2(omega*C+E), M_3=1/2(F+A)=1/2(omega*E+A).

Nyt M_2-M_1=1/2((omega-1)*C+E-omega*A)=1/2(E+omega^2*C+omega^4*A),
M_3-M_2=1/2((omega-1)*E+A-omega*C)=1/2(A+omega^2*E+omega^4*C)=omega^2(M_2-M_1),
M_1-M_3=1/2((omega-1)*A+C-omega*E)=1/2(C+omega^2*A+omega^4*E)=omega^2(M_3-M_2)

Tämä tarkoittaa, että saadaan jana M_2M_3 kun janaa M_1M_2 kierretään 120 astetta vastapäivään ja siirretään M_1 samaan paikkaan kuin missä M_2 on. Samoin, M_3M_1 saadaan janasta M_2M_3 kiertämällä vastapäivään 120 astetta ja siirtämällä M_2 pisteeseen M_3.

Siistä kolmio M_1M_2M_3 on tasasivuinen.

Hieno todistus.

Eipä tullut kompleksiluvut mieleen.

pöhl
Seuraa 
Viestejä899
Liittynyt19.3.2005

PPo kirjoitti:
Eipä tullut kompleksiluvut mieleen.

Kompleksiluvut ovat usein käteviä geometriassa silloin, jos tehtävään liittyy tasasivuinen monikulmio tai tehtävään liittyy kierto kulman x verran, missä sin x on algebrallinen luku. Lisäksi ympyrän yhtälö on helppo muodostaa, |z|=R. Ja aika usein napakoordinaattimuoto tarjoaa helpomman tavan käsitellä kiertoja kuin analyyttisen geometrian pisteen (x,y) kiertäminen origon ympäri kulman alfa verran.

PPo
Seuraa 
Viestejä12423
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Tässä tutkielma, jossa lähdetään yhteen piirretyistä kolmesta tasasivuisesta kolmiosta toista reunimmaista kiertämään ja ikään kuin keskimmäinen kolmio suurempana käyden kiertyy viereiseksi kolmioksi.

Ratkaisun saa samansuuruisista "siirrosjänteistä" ja niiden keskipisteistä lausuen, koska tietysti täysin vastaavasti geometria kiertyy mittasuhteita muodostaen, vaikka toisen reunan kolmiota lähdettäisiin kääntäämään myös (vastakkaiseen suuntaan), jolloin saadaan 6-kulmio (eikä 4-kulmio tai 5-kulmio, joita kuvassani esiintyy).

Oikeanpuoleisessa kuviossa "kiertyvä" tuloskolmio suurimmillaan.

Oikeanpuoleisessa kuviossa on tehty kaksi kiertoa, 2A JA 2B, jolloin A+B=π/2. säde 1

Nyt sivujen neliöiksi saadaan

x^2=(cosA)^2+1-2*cosA*cos(A+π/3)

y^2=(cosB)^2+1-2*cosB*cos(B+π/3)

z^2=(cosA)^2+(cosB)^2-2*cosA*cosB*cos(A+B+π/3)

Numeerisesti kokeilemalla nähdään taas, että x=y=z

Nyt yhtälöt ovat hieman yksinkertaisempia joten yhtäsuuruuksien osoittaminen saattaa onnistua?

Jää kuitenkin se alkuperäinen tehtävä.

 

Kuten arvelinkin, peruskaavoja soveltamalla saadaan

x^2=y^2=z^2=1+√3*sinA*cosA=1+√3*sinB*cosB

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat