Vaikea epäyhtälö?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Osaisiko joku auttaa seuraavassa epäyhtälössä (vastaesimerkki tai todistus):

Olkoon a,b,c>0. Osoita, että

a/sqrt(b^2+15ac)+b/sqrt(c^2+15ab)+c/sqrt(a^2+15bc)>=3/4.

Sivut

Kommentit (33)

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Gödel

Olkoon a,b,c>0. Osoita, että

a/sqrt(b^2+15ac)+b/sqrt(c^2+15ab)+c/sqrt(a^2+15bc)>=3/4.

Epäilemättä joku vähemmän työläs keinokin olisi, mutta tuohon voi tehdä sijoituksen:

a = r cos(x) sin(y)
b = r sin(x) sin(y)
c = r cos(y).

Tällä sijoituksella r supistuu pois, ja ongelma muuttuu muotoon:

f(x,y) >= 3/4

missä 0 < x < pii/2 ja 0 < y < pii/2. Nyt siis täytyy etsiä f:n ääriarvot rajoitetulla alueella. Eli tarkastellaan f:n arvoja gradientin nollakohdassa sekä em. alueen reunoilla, ja todetaan että pienin arvo on 3/4.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

My God...

Sano vielä ettet luntannut mistään...?

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Herra Tohtori
My God...

Sano vielä ettet luntannut mistään...?

Oliko tuo minulle? Okei, en luntannut mistään

Usean muuttujan funktioiden (UMF) teoriasta tiedetään, että kompaktissa joukossa jatkuva funktio saa suurimman ja pienimmän arvonsa joko
1) sisäpisteessä, jossa funktion gradientti = 0
2) sisäpisteessä, jossa funktion jokin 1. kl osittaisderivaatta ei ole määritelty
3) joukon reunalla.

Tuo alkuperäinen tehtävä ei ollut määritelty rajoitetulla alueella, joten se täytyi muuntaa sopivaan muotoon. Joskus muinoin kun UMFfin kurssin kävin, niin siellä kyllä törmäsi harjoitustehtäviin joissa pallokoordinaatistomuunnoksen avulla sai r:n supistumaan pois murtolausekkeista. Vastaava lähestymistapa tuli vaan jotenkin heti mieleeni tuon alkuperäisen lausekkeen nähtyäni.

Huomauttaisin kylläkin, että kyseessä on vain ratkaisuehdotus; en jaksanut itse laskea sitä läpi, ja voi olla että siinä törmättäisiin ongelmiin jossain vaiheessa. Edelleen odotan, että joku keksii jonkun uskomattoman intuitiivisen ja nokkelan ratkaisun ehdottamani työlään väännön sijasta...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija

No perkele!

a,b,c>0
(a-b)^2=a^2 -2ab +b^2>0 -----> a^2 +b^2>2ab
samoin muokataan (a-c)^2 ja (b-c)^2 ja yhdistetään
---> a^2 +b^2 +c^2>ab+ac+bc
----> 15(a^2 +b^2 +c^2)>15(ab+ac+bc)
joka on totta ja kaikki osarelaatiot:
16a^2>b^2 +15ac
16b^2>c^2 +15ab
16c^2>a^2 15bc
ovat yhdessä tosia

muokataan ensimmäinen juurtamalla muotoon: 4a>nelj(b^2 +15ac)
ja edelleen a/nelj(b^2 +15ac)>1/4
muille sama hoito ja sitten lasketaanpuolittain yhteen:

a/nelj(b^2 +15ac)+b/nelj(c^2 +15ab)+c/nelj(a^2 +15bc)> 1/4+1/4+1/4=3/4

Vierailija
Manticore
joka on totta ja kaikki osarelaatiot:
16a^2>b^2 +15ac
16b^2>c^2 +15ab
16c^2>a^2 15bc
ovat yhdessä tosia

Mitä tarkoitat sanoessasi, että kaikki osarelaatiot ovat yhdessä tosia? Kaikki yllä olevat relaatiot eivät välttämättä päde.

Vierailija
hmk
Gödel

Olkoon a,b,c>0. Osoita, että

a/sqrt(b^2+15ac)+b/sqrt(c^2+15ab)+c/sqrt(a^2+15bc)>=3/4.




Epäilemättä joku vähemmän työläs keinokin olisi, mutta tuohon voi tehdä sijoituksen:

a = r cos(x) sin(y)
b = r sin(x) sin(y)
c = r cos(y).

Tällä sijoituksella r supistuu pois, ja ongelma muuttuu muotoon:

f(x,y) >= 3/4

missä 0 < x < pii/2 ja 0 < y < pii/2. Nyt siis täytyy etsiä f:n ääriarvot rajoitetulla alueella. Eli tarkastellaan f:n arvoja gradientin nollakohdassa sekä em. alueen reunoilla, ja todetaan että pienin arvo on 3/4.

Niin tuostahan saadaan

f(x,y)= (cosxsiny)/((sinx)^2*(siny)^2+15cosxsinycosy)^(1/2)

+(sinxsiny)/((cosx)^2+15cosxsinx(siny)^2)^(1/2)+

+cosy/((cosx)^2*(siny)^2+15sinxsinycosy)^(1/2)

ja edelleen derivaatoista x:n ja y:n suhteen "hirmuiset" lausekkeet
joilla on lukuisia yhteisiä nollakohtia mutta voidaan tietysti "arvata"
että oikea on se jolla a=b=c.

Tosin tuolla aiemmassa linkissä on tuo toinen sijoitus

b=m*a ja c= n*a ,m,n>0, jolla saadaan

g(m,n)=1/((m^2+15n)^(1/2))+m/(n^2+15m)^(1/2)+n/(1+15mn)^(1/2)

ja tuota derivoimalla näköjään saatu minimi m=n=1 eli

a=b=c ja tällöin lauseke saa pienimmän arvonsa 3/4.

Yhtäkaikki, kovin on sekavaa. Eikö löydy selkeää yksinkertaista
menetelmää?

edit: (Piti olla g(m,n) ei g(x,y) asian kannalta ei väliä)

Vierailija
Manticore
No perkele!

a,b,c>0
(a-b)^2=a^2 -2ab +b^2>0 -----> a^2 +b^2>2ab
samoin muokataan (a-c)^2 ja (b-c)^2 ja yhdistetään
---> a^2 +b^2 +c^2>ab+ac+bc
----> 15(a^2 +b^2 +c^2)>15(ab+ac+bc)
joka on totta ja kaikki osarelaatiot:
16a^2>b^2 +15ac
16b^2>c^2 +15ab
16c^2>a^2 15bc
ovat yhdessä tosia

muokataan ensimmäinen juurtamalla muotoon: 4a>nelj(b^2 +15ac)
ja edelleen a/nelj(b^2 +15ac)>1/4
muille sama hoito ja sitten lasketaanpuolittain yhteen:

a/nelj(b^2 +15ac)+b/nelj(c^2 +15ab)+c/nelj(a^2 +15bc)> 1/4+1/4+1/4=3/4




Eikös tuo tapa jo vähän niinkuin kiistetty tuolla->

http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi? ... 0015444541


Jos

a=0,40 b=0,49 c=0,63

tällöin

a/sqrt(b^2+15ac)=0,199 ja
b/sqrt(c^2+15ab)=0,269 ja
c/sqrt(a^2+15bc)=0,287.

Tällöin edellisen viestin osaväittämät

a/sqrt(b^2+15ac)>=1/4 ja
b/sqrt(c^2+15ab)>=1/4 ja
c/sqrt(a^2+15bc)>=1/4

ei toteudu, vaikka kokonaisuutena

a/sqrt(b^2+15ac)+b/sqrt(c^2+15ab)+c/sqrt(a^2+15bc)=0,756>=3/4

toteutuu.

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
Gödel
ja edelleen derivaatoista x:n ja y:n suhteen "hirmuiset" lausekkeet

Jep, kuten sanoin ehdottamani tapa on saamarin työläs, enkä itse edes yrittänyt laskea sitä läpi Mutta periaatteessa sen pitäisi varmaan toimia? Tuossa toisessa sijoituksessa b=na, c=ma päädytään lausekkeeseen g(m,n) jossa m ja n eivät ole ylhäältä rajoitettuja. Pystytäänkö sellaisessakin tapauksessa toteamaan, että löydetty arvo on globaali minimi? Minun ehdotuksessani pyrin kiertämään ongelman sillä, että tarkastelualue oli rajoitettu: 0 < x, y < pii/2. Mutta siinä derivaattojen laskeminen ja nollakohtien hakeminen on työlästä; ehkä se ei edes onnistu analyyttisesti

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Vierailija
hmk
Gödel
ja edelleen derivaatoista x:n ja y:n suhteen "hirmuiset" lausekkeet



Jep, kuten sanoin ehdottamani tapa on saamarin työläs, enkä itse edes yrittänyt laskea sitä läpi Mutta periaatteessa sen pitäisi varmaan toimia? Tuossa toisessa sijoituksessa b=na, c=ma päädytään lausekkeeseen g(m,n) jossa m ja n eivät ole ylhäältä rajoitettuja. Pystytäänkö sellaisessakin tapauksessa toteamaan, että löydetty arvo on globaali minimi? Minun ehdotuksessani pyrin kiertämään ongelman sillä, että tarkastelualue oli rajoitettu: 0 < x, y < pii/2. Mutta siinä derivaattojen laskeminen ja nollakohtien hakeminen on työlästä; ehkä se ei edes onnistu analyyttisesti

Tuossa versiossa jossa saadaan:

g(m,n)=1/((m^2+15n)^(1/2))+m/(n^2+15m)^(1/2)+n/(1+15mn)^(1/2)

Niin voi osoittaa että raja-arvot lähestyessä nolla tai ääretöntä
joko m:n tai n:n tai molempien suhteen ovat = ääretön.
Niin ainakin tuolla toisella palstalla väitetään ja hiukan se
siltä näyttää tuota lauseketta katsoessa.

Tuosta on varmaan hyötyä kun tuo (m,n)=(1,1) on vielä osoitettu
paikalliseksi minimiksi.

Tuo manticoren menetelmähän on suoraan tuolta ->

http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi? ... 0015442915

Ja vääräksi todettu jo tekijän itsensäkin sanomana.

H
Seuraa 
Viestejä2622
Liittynyt16.3.2005
hmk
Tuossa toisessa sijoituksessa b=na, c=ma päädytään lausekkeeseen g(m,n) jossa m ja n eivät ole ylhäältä rajoitettuja. Pystytäänkö sellaisessakin tapauksessa toteamaan, että löydetty arvo on globaali minimi?

m ja n ovat kyllä ylhäältä rajoitettuja. Täsmennetään hieman vakiota. Tehtävää mitenkään muuttamatta voidaan järjestellä vakiot seuraavasti

a >= b >= c > 0

Joten

1 >= m >= n > 0

hmk
Seuraa 
Viestejä867
Liittynyt31.3.2005
H
m ja n ovat kyllä ylhäältä rajoitettuja. Täsmennetään hieman vakiota. Tehtävää mitenkään muuttamatta voidaan järjestellä vakiot seuraavasti

a >= b >= c > 0

Joten

1 >= m >= n > 0

OK.

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sivut

Uusimmat

Suosituimmat