Todennäköisyysongelmia (helppoja...)

Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

- Vihreäksi vaihtumista joutuu odottamaan enintään 45sek
- Virhreä palaa kerrallaan 15sek

Miten tästä lasketaan todennäköisyys sille, että valoissa joutuu odottamaan enintään 20sek. En osaa ollenkaan lähteä edes lähestymään laskua. Ei liene mikään vaikea, mutta nyt vain ei luonnista.

Edit: Vaihdoimpa otsikkoa, jos noita vielä tulee lisää.

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

Kommentit (13)

Vierailija

No tuossahan on sillai, että minuutista se valo ei ole vihreänä 45 sekuntia. Sen minuutin jälkeen alkaa siis uusi sykli.

Tuossa minuutissa on 15 sekuntia, että saa mennä, ja siihen lisäksi 20 sekuntia, että pitää odottaa. Tuon lisäksi on vielä 25 sekuntia, että pitää odottaa yli 20 sekuntia (eli ei käy tässä tapauksessa). Todennäköisyyden saa laskettua noista arvoista.

Vierailija

Tarkkaa todennäköisyyttä ei noiden tietojen perusteella voida laskea. Voidaan tosin tehdä oletuksia. Esim:

Punainen palaa 45 s.
Vihreä palaa 15 s.
Punainen palaa 45 s.
jne...

Todennäköisyys, että tässä tapauksessa joutuu odottamaan enintään 20 sekuntia on (60-15-20) / 60 = 5/12.

Oho. Laskin todennäköisyyden, että joutuu odottamaan vähintään 20 sekuntia.

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

No laadi vaikka ympyräsektorit.

Minuutin ajan peittävästä ympyrästä 3/4 valo on punainen, koska maksimissaan valo voi olla punainen 45 sekuntia.

1/4 ympyrästä on viheriä.

Nyt risteykseen voi siis saapua ajanjaksona 20 sekuntia ennen valon vaihtumista vihreäksi (tai vähemmän). Havaitaan että jos valo on punainen hetkellä nolla sekuntia ja se pysyy punaisena 45 sekuntia, valo vaihtuu viheriäksi hetkellä 45 sekuntia.

Risteykseen voi siis saapua hetkien 25 s ja 45 s välissä, jotta ehto "20 tai vähemmän sekuntia punaista valoa" täyttyy. Tämä aika kestää siis 20 sekuntia. Tämä 20 sekuntia on 1/3 koko minuutista.

Valon punaisen ja vihreän päälläoloajan suhteiden pysyessä vakiona (pakollinen oletus tehtävän ratkaisemiseksi ), minuutin aikaa voidaan suoraan laajentaa niin isoksi kuin halutaan, ja havaitaan että 3/4 ajasta valo on punainen ja 1/4 ajasta valo on vihreä. Valoihin voi saapua minä hetkenä hyvänsä.

1/3 ajasta ehdot täyttyvät, eli valo on punainen 20 s tai vähemmän. Todennäköisyys on siis 1:3, että valoissa joutuu odottamaan 20 s tai vähemmän, eli enintään 20 s.

EDIt: Kah, myöhästyin jopa kahdesti.

EDIT2: Jos tehtävä ajatellaan niin, että "20 sekuntia tai vähemmän" sisältää myös sen ajan jolloin valoissa ei tarvitse odottaa lainkaan, eli saavutaan valon ollessa vihreä, saadaan vastaukseksi 15/60+20/60=35/60=7/12.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

Vierailija

En tiedä auttaako sinua, mutta minua auttaa tällaisessa laskussa analoginen kellotaulu. Kuvitellaan aika 9:stä 12:sta vihreäksi valoksi ja loput, eli 12:sta 9:ään punaiseksi valoksi.

Jotta joutuisi odottamaan korkeintaan 20sek, joutuisi valoihin saapumaan 5:n aikaan. Kuuden aikaan saapuessa joutuisi odottamaan 15sek, eli alle 20sek.

Kun kysytään todennäköisyyttä että jouduttaisiin odottamaan väh. 20sek, on sen toteuttava aika 12:sta 5:een. Eli 25/60.

Tekstissä ei varmasti ole mitään järkeä jos ei väijy lukiessa kellotaulua. Toivottavasti oli enemmän hyödyksi kuin haitaksi

EDIT: Oho, lukihärö. Kysyttiinkin enintään 20sek. Tässä tapauksessa toteuttava aika on 5:stä 9:ään, eli 20/60. Ilmeisesti mukaan pitäisi lukea vihreäkin aika, jolloin ei tarvitse odottaa ollenkaan. Silloin vastaus olisi 35/60

juahan
Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

Kiitos kaunis kaikille, eipä se vaikea ollut kuten ajattelinkin. Kesäloma tuossa jo kerkesi alkaa ja ajattelin sitten luppoajalla laskeskella muutaman todennäköisyyslaskun parvekkeellalojumisen lomassa (liekö idea sitten ollut auringonpistoksesta johtuva?)... Vaan hiukanpa on taidot ruosteessa lukioaikaisista ja itseasiassa silloinkin tämä todennäköisyyslaskennan alue oli minulle se vaikein ja epäloogisin (;)) matematiikan osa-alue.

Voipi olla, että saatte tässä illan mittaan vielä lisää selitettävää...

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

juahan
Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

Entäs tämä:

Jaetaan 22 pelaajaa kahteen (11 pelaajan) joukkueeseen. Montako kombinaatiota tuosta saadaan?

22 nCr 11 antaa kyllä kaikki mahdolliset 11 kombinaatiot, mutta miten tuo kahden joukkueen vaatimus siinä sitten otetaan huomioon? Yksi mikä tuli mieleen, olisi kertoa tuo tulos kahdella, mutta mennäänkö sitten kolinalla metsään?

Edit: Vai pitääkö tuo sittenkin jakaa?

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Käsittääkseni tuo 22 nCr 11 on jo vastaus.

Kun 22:sta muodostetaan 11 pelaajan joukko (kombinaatio), jäljelle jää 11 - joka on jo se toinen joukkue.

Eli kysymyksen voi asettaa "kuinka monella tavalla voidaan 22 pelaajan joukosta valita 11 hengen joukkue?" Tämä helpottaa ratkaisua näennäisesti, koska joka tapauksessa jäljelle jää 11 henkeä muodostamaan toinen joukkue.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

juahan
Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

Aivan totta. Ajattelin pitkään tuotakin, mutta en vaan pääse oikealta tuntuviin lopullisiin päätelmiin. Nää tödennäköisyyslaskut vaan on just siitä paskoja ettei koskaan oikein voi suuruusluokasta arvioida meneekö vastaus lähellekään. Ja lisäksi mulla on tän mun laskuvihon vastaukset jossain kadoksissa, niin ei voi sieltäkään lunttia. Lisäksi, tässä on vasta perustehtävät menossa, enpä uskalla noita vaikeampia edes vilkaista.

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

juahan
Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

Toisaalta. 22 nCr 11 tuottaa vain sen toisen joukkueen mahdolliset ryhmät. Sehän ei sisällä tietoa siitä, mitä sen toisen joukkueen jäsenet ovat. Tarkoitan, että kun kyseessä mitä ilmeisimmin on jalkapallojoukkue, niin tässä huomioidaan vasta tuon toisen joukkueen "pelipaikat", eikä niitten 22 nCr 11:n yli jäävien toisenpuolen ollenkaan.

Vai olenko ihan hakoteillä?

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Niin, siis otetaanko permutaatiot huomioon?

11 pelaajaa samassa joukkueessa on sama joukkue riippumatta siitä kuka on maalivahti ja kuka puolustaja ja kuka hyökkääjä.

Eli matemaattisesti sanottuna kombinaatio (joukkue) on yksi osajoukko pelaajien joukosta. Kombinaatioissa ei listausjärjestyksellä ole merkitystä, vaan kaikki mahdolliset permutaatiot ovat saman kombinaation ilmentymismuotoja.

Jälleen voi siis sanoa että tehtävän voi ratkaista puutteellisten tietojen johdosta kahdella tavalla, ja kumpikin ratkaisu on perusteltuna oikea. Helpompaa on käsitellä tehtävää ihan kombinaatioina eikä mennä permutaatioihin jos ei sitä suoraan vaadita.

EDIT:

22 nCr 11 antaa siis vain mahdollisten kombinaatioiden lukumäärän.

22 nPr 11 antaa mahdollisten 11 pelaajan kombinaatioiden permutaatioiden lukumäärän.

Kun lasket yhteen 22 nPr 11 ja 11 nPr 11, saat käsittääkseni ensin mahdolliset 11/22 pelaajan muodostamat permutaatiot, jolloin pelipaikatkin merkitsevät, ja kun siihen yhdistät jäljelle jäävien 11 pelaajan muodostamat mahdolliset permutaatiot, saat joukkueiden muodostamisen kaikki mahdollisuudet.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

juahan
Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

Termejä en tiedä. Oletetaan vaikka että pelaajat ovat 22 ensimmäistä aakkosta ja joukkueessa on pelipaidat 1-11. Eikö 22 nCr 11 sisällä pelipaitojen vaihtelunkin? Eli A voi olla joukkueessa 1-11 jne.

Jos tuohon asti olen oikeassa, niin tällöinhän tämän "jäljelle jäävän" 11 pelaajan pelipaitavaihtelukin pitää ottaa huomioon ja eikö se sitten nimenomaan tule tuolla kahdella kertomisella?

Tehtävänanto ei tätä "pelipaitajakoa" määrää, mutta oletan nCr:n ottavan sen huomioon. Kysymyksessä kysymys on vain siitä, että kuinka monella tavalla jako voidaan suorittaa. Eli vedänkö tämän taas ihan liian vaikeaksi?

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

Herra Tohtori
Seuraa 
Viestejä2613
Liittynyt18.3.2005

Olettaa ei kannata.

nCr antaa kombinaatioiden lukumäärän, ja kombinaatioissa ei oteta alkioiden järjestystä huomioon.

nPr antaa permutaatioiden lukumäärän, ja niissä alkioiden järjestykselläkin on merkitystä.

Taisi itse asiassa mennä viestit hieman ristiin tuon viimeisimmän edittini kanssa.

Capito tutto, perchè sono uno
Persona molto, molto intelligente...

-Quidquid latine dictum sit, altum viditur.

If you stare too long into the Screen, the Screen looks back at you.

juahan
Seuraa 
Viestejä82
Liittynyt4.3.2006

Katoppas, ristiin meni joo.

Elikkä lopullisen vastauksen saa suoraan 22 nCr 11 :lla ja annetaan pelaajien sitten itse valita itselleen pelipaikat ja pelipaidat Kiitän, ja en kyllä voi väittää ettenkö olisi taas oppinut uutta

"Vastustaja ilman halua hyökätä? Se on kuin yrittäisi rakastella puuta."

Uusimmat

Suosituimmat