Seuraa 
Viestejä13349
Liittynyt10.12.2008

Tehtävänä oli määrittää lim(∑1/(n*(n+1)*(n+2)), n=1—>∞
Näpyttelin summaa laskimella n:n arvoon 100 ja sitä kertyi 0,2499....
Viittaa siihen, että raja-arvo on 1/4.
Luulen, että kyseisen raja-arvon osoittaminen onnistuu lukiomatematiikalla.
Miten väite todistetaan?

Kommentit (10)

pöhl
Seuraa 
Viestejä926
Liittynyt19.3.2005

Wolfram alpha auttaa: sum(1/(n*(n+1)*(n+2)),n=1,j)=j*(j+3)/(4(j+1)(j+2)) ja koska osoittaja ja nimittäjä ovat toista astetta kertoimin 1 ja 4, on raja-arvo 1/4. Nyt pitäisi enää osoittaa tuo summa. Tämän saa induksiolla j:n suhteen. Selvästi 1/(1*(1+1)*(1+2))=1/6 ja 1*(1+3)/(4(1+1)(1+2))=4/(8*3)=1/(2*3)=1/6. Oletetaan sitten, että sum(1/(n*(n+1)*(n+2)),n=1,j)=j*(j+3)/(4(j+1)(j+2)) ja lasketaan sum(1/(n*(n+1)*(n+2)),n=1,j+1)=j*(j+3)/(4(j+1)(j+2))+1/((j+1)*(j+1+1)*(j+1+2)). Tylsä mekaaninen sievennys osoittaa, että j*(j+3)/(4(j+1)(j+2))+1/((j+1)*(j+1+1)*(j+1+2))=(j+1)*(j+1+3)/(4(j+1+1)(j+1+2)).

PPo
Seuraa 
Viestejä13349
Liittynyt10.12.2008

pöhl kirjoitti:
Wolfram alpha auttaa: sum(1/(n*(n+1)*(n+2)),n=1,j)=j*(j+3)/(4(j+1)(j+2)) ja koska osoittaja ja nimittäjä ovat toista astetta kertoimin 1 ja 4, on raja-arvo 1/4. Nyt pitäisi enää osoittaa tuo summa. Tämän saa induksiolla j:n suhteen. Selvästi 1/(1*(1+1)*(1+2))=1/6 ja 1*(1+3)/(4(1+1)(1+2))=4/(8*3)=1/(2*3)=1/6. Oletetaan sitten, että sum(1/(n*(n+1)*(n+2)),n=1,j)=j*(j+3)/(4(j+1)(j+2)) ja lasketaan sum(1/(n*(n+1)*(n+2)),n=1,j+1)=j*(j+3)/(4(j+1)(j+2))+1/((j+1)*(j+1+1)*(j+1+2)). Tylsä mekaaninen sievennys osoittaa, että j*(j+3)/(4(j+1)(j+2))+1/((j+1)*(j+1+1)*(j+1+2))=(j+1)*(j+1+3)/(4(j+1+1)(j+1+2)).
Boldatun summan keksiminen ilman apuvälineitä (WA) ylittänee lukiolaisen- ja monen muunkin- matemaattiset kyvyt.

Muuten ihan pätevä ratkaisu.

PPo
Seuraa 
Viestejä13349
Liittynyt10.12.2008

Bolzma kirjoitti:
Osamurtohajotelma vielä menee lukiotiedoilla, mutta teleskooppisarja on ongintavälineitä lukiolaisille
Tarvitaan osamurtoihin jako eli

1/(n*(n+1)*(n+2))=1/2n-1/(n+1)+1/(2(n+2))

Nokkela lukiolainen pystyy seuraavaan

n:1—>N. Merkitään ∑1/n=A—>∑1/(n+1)=A-1+1/(N+1) ja ∑1/(n+2)=A-1-1/2+1/(N+1)+1/(N+2)—>

S(N)=1/2*A-(A-1+1/(N+1)+1/2*(A-1-1/2+1/(N+1)+1/(N+2))=1/4-1/(2(N+1)(N+2))—>1/4, N—>∞

PPo
Seuraa 
Viestejä13349
Liittynyt10.12.2008

Bolzma kirjoitti:
Minä en ollut noin nokkela.  
Piti minunkin sitä jonkin aikaa pohdiskella.

Aiemmin olin törmännyt yksinkertaisempiin teleskooppisarjoihin tyyliin ∑1/(2n-1)(2n+1)

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
Liittynyt31.12.2013

Joo, eilen tämä ei munulta oikein onnistunut millään, mutta kun PPo tuon ratkaisun näytti, niin minä omavaltaisesti sitä ideaa lainaan, mutta lasken vaan kylmästi ne osamurtohajotelmista saadut sarjat yhteen.  (Onkohan täälläkin joku moderaattoriautomaatti, joka näitä poistaa). Korostan siis vielä, että tämä yhteenlaskuratkaisu teleskooppisarjojen sijasta ei ollut minun omani,(itse en keksinyt mitään) vaan tästä ketjusta plagioitu, mutta näinkin se havainnollisesti menee: http://aijaa.com/IzOZbx

Bolzma
Seuraa 
Viestejä108
Liittynyt31.12.2013

Raja-arvo käsite on hyvin tärkeä. Esimerkiksi ryyppäämisessä  on tärkeää tietää rajansa, muuten sen ylittäminen on hyvin vaikeaa...

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat