Sivut

Kommentit (28)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
QS
Seuraa 
Viestejä5301

JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Kaavan järkevyys jäi mietityttämään.

Tiukasti tulkiten kaava on määrittelemätön. Kuten hmk totesi "Nähdään, että ln(ρ) ei ole olemassa, jos yksikin p(i) = 0, koska tätä vastaava ln(p(i)) ei ole olemassa!"

Hyvä kysymys, johon en ole nähnyt pedanttia käsittelyä tai perustelua.

Fysiikassa on tapana todeta, että määritellään 0 * ln(0) = 0. Tai vaihtoehtoisesti todetaan, että ln(0) = - ∞ , ja edelleen 0 * (-∞) = 0, tai JPI:n tyylillä lim x->0 x ln(x) = 0. Asia on näin sutaistu maton alle salaisesti siten, että matemaatikot eivät huomaa.

;)

QS
Seuraa 
Viestejä5301

JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Niin joo. Silloin me tiedetään että toisen spin on alas, jos nyt ymmärsin wikin artikkelin trace oikein. (det. 1)

Myös esim. tila T = 1/√2 ( | spin ylös> + | spin alas > ) on puhdas tila, vaikka mittauksessa tulos on 50%/50% jompi kumpi. Kvanttitilana tuo on täysin varmasti tila T eikä mikään muu tila. Von Neumann entropia on siis nolla.

Myös lomittuneen (kietoutunut) kvanttitilan S = 0 kun tarkastellaan koko syteemiä. Kun systeemi jaetaan osiinsa, on näiden alisysteemien entoripia kuitenkin positiivinen. Kvanttimaailman ihmeitä.

JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Onko puhdas tila sitten Shannonin entropia?

Itse asiassa kvantti-sekatilan von Neumann entropia ja Shannonin entropia ovat yhteneviä. Sekatila kvanttimekaniikassa on periaatteessa sama asia kuin klassinenkin sekatila. Esim. satunnaisesti tykistä statistisena sekasoppana ammutut 50% sinisiä ja 50% punaisia värikuulia vastaa samaa kuin sattumanvaraisesti ammutut 50% spin-ylös ja 50% spin alas hiukkaset. Mittauksessa molemmista saadaan abouttierrallaan 50% punaisia tai vastavasti 50% spin-alas tuloksia. Tässä tapauksessa sekä von Neumann että Shannon entropia ovat nollasta poikkeavia ja samoja sillä edellytyksellä, että sekatilassa kvanttitilat ovat ns. ortogonaalisia eli ne voidaan täysin erottaa toisistaan.

Puhtaalle kvanttitilalle ei kuitenkaan ole klassista vastinetta.

JepajeeMerlinmikälie
Seuraa 
Viestejä3818

Onko toi s=0 vaikka alitilat ovat positiivisia tilanne kun hiukkanen tunneloituu? Mietin sitä eräässä toisessa ketjussa. Se kun muistuttaa ehkä liiankin intuitiivisesti Shorin algoritmia, mitä nyt siitä ymmärsin.

En välitä sanoa itseäni minimalistiksi, koska en tarvitse sellaista identiteettiä.
- Janni Jalo

QS
Seuraa 
Viestejä5301

JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Onko toi s=0 vaikka alitilat ovat positiivisia tilanne kun hiukkanen tunneloituu? Mietin sitä eräässä toisessa ketjussa. Se kun muistuttaa ehkä liiankin intuitiivisesti Shorin algoritmia, mitä nyt siitä ymmärsin.

Tähän  mulla on vain käsienheiluttelua. Tunneloituminen ei sellaisenaan poista lomittumista. Mutta siinä vaiheessa, kun tunneloituminen on havaittu (mitattu tunneloitunut hiukkanen suoraan tai epäsuorasti muiden hiukkasten kautta), katoaa lomittuminen. Lomittumisen poistuttua, eli siis tunneloitumisen havaitsemisen jälkeen, alisysteemit ovat jälleen puhtaassa (ei lomittuneessa tilassa), ja alisysteemien entropiat palaavat ennen lomittumista olleeseen arvoon.

Ja tämän käpälänvispaamiseni oikeellisuudesta en tiedä. Joku muu saattaa osata aiheen paremmin.

Tokkura
Seuraa 
Viestejä5491

QS kirjoitti:
JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Niin joo. Silloin me tiedetään että toisen spin on alas, jos nyt ymmärsin wikin artikkelin trace oikein. (det. 1)

Myös esim. tila T = 1/√2 ( | spin ylös> + | spin alas > ) on puhdas tila, vaikka mittauksessa tulos on 50%/50% jompi kumpi. Kvanttitilana tuo on täysin varmasti tila T eikä mikään muu tila. Von Neumann entropia on siis nolla.

Myös lomittuneen (kietoutunut) kvanttitilan S = 0 kun tarkastellaan koko syteemiä. Kun systeemi jaetaan osiinsa, on näiden alisysteemien entoripia kuitenkin positiivinen. Kvanttimaailman ihmeitä.

JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Onko puhdas tila sitten Shannonin entropia?

Itse asiassa kvantti-sekatilan von Neumann entropia ja Shannonin entropia ovat yhteneviä. Sekatila kvanttimekaniikassa on periaatteessa sama asia kuin klassinenkin sekatila. Esim. satunnaisesti tykistä statistisena sekasoppana ammutut 50% sinisiä ja 50% punaisia värikuulia vastaa samaa kuin sattumanvaraisesti ammutut 50% spin-ylös ja 50% spin alas hiukkaset. Mittauksessa molemmista saadaan abouttierrallaan 50% punaisia tai vastavasti 50% spin-alas tuloksia. Tässä tapauksessa sekä von Neumann että Shannon entropia ovat nollasta poikkeavia ja samoja sillä edellytyksellä, että sekatilassa kvanttitilat ovat ns. ortogonaalisia eli ne voidaan täysin erottaa toisistaan.

Puhtaalle kvanttitilalle ei kuitenkaan ole klassista vastinetta.

Perusfysiikassa on kyseessä Boltzmannin entropia.

111
Seuraa 
Viestejä983

Ei ole kukaan omin sanoin edes yrittänyt selittää sitä mihin entropia perustuu.

Vetävät voimat ovat huuhaata.

Entropia perustuu systeemin sisäiseen paineeseen ja se mihin sisäinen paine perustuu, on kuvailtavissa sanoin ja visuaalisesti.

🤔

Ikuista työntävän voiman kierrätystä äärettömässä 3 D avaruudessa joka ei todellakaan laajene tai kaareudu. Laajeneva avaruus on keisari alasti!!!

Lentotaidoton
Seuraa 
Viestejä6093

QS kirjoitti:
JepajeeMerlinmikälie kirjoitti:
Onko toi s=0 vaikka alitilat ovat positiivisia tilanne kun hiukkanen tunneloituu? Mietin sitä eräässä toisessa ketjussa. Se kun muistuttaa ehkä liiankin intuitiivisesti Shorin algoritmia, mitä nyt siitä ymmärsin.

Tähän  mulla on vain käsienheiluttelua. Tunneloituminen ei sellaisenaan poista lomittumista. Mutta siinä vaiheessa, kun tunneloituminen on havaittu (mitattu tunneloitunut hiukkanen suoraan tai epäsuorasti muiden hiukkasten kautta), katoaa lomittuminen. Lomittumisen poistuttua, eli siis tunneloitumisen havaitsemisen jälkeen, alisysteemit ovat jälleen puhtaassa (ei lomittuneessa tilassa), ja alisysteemien entropiat palaavat ennen lomittumista olleeseen arvoon.

Ja tämän käpälänvispaamiseni oikeellisuudesta en tiedä. Joku muu saattaa osata aiheen paremmin.

Minusta tuo QS:n luonnehdinta on oikea.

“In information theory, entropy is the measure of the amount of information that is missing before reception and is sometimes referred to as Shannon entropy”.

(missing information) before reception = ennen dekoherenssiä. Eli kuten QS kirkoitti: ”Tunneloituminen ei sellaisenaan poista lomittumista” (eli sen tekee vasta dekoherenssi).

hmk
Seuraa 
Viestejä1045

JPI kirjoitti:
hmk kirjoitti:
Entropia S perustuu tietenkin kvanttitasolla von Neumannin kaavaan:

S = -tr(ρ ln(ρ))

Tässä ρ on systeemin tila- eli tiheysoperaattori, tr on lineaarioperaattorin jälki, ja ln on lineaarioperaattorin logaritmi.

Ensi silmäyksellä voi kuitenkin näyttää siltä, että tuossa kaavassa on kriittinen ongelma: operaattori ln(ρ) ei nimittäin ole määritelty hyvin suurelle joukolle tiloja ρ! Tiheysoperaattori ρ on positiivinen, jäljen 1 itseadjungoitu operaattori, ja sillä on näin ollen puhdas pistespektri. Tällaisellä operaattorilla on aina spektraalihajotelma

ρ = Σ p(i) |i><i|

missä |i>:t ovat ρ:n ominaisvektoreista muodostettu ortonormaali kanta, ja vastaaville ominaisarvoille p(i) pätee

0 ≤ p(i) ≤ 1 ja Σp(i) = 1.

p(i) voidaan tulkita ominaistilan |i> suhteelliseksi miehitykseksi tai todennäköisyydeksi systeemin ollessa tilassa ρ. Tiheysoperaattorin logaritmi voidaan lausua, silloin kun se on olemassa, näiden ominaisarvojen ja -vektorien avulla muodossa:

ln(ρ) = Σ ln(p(i)) |i><i|

Nähdään, että ln(ρ) ei ole olemassa, jos yksikin p(i) = 0, koska tätä vastaava ln(p(i)) ei ole olemassa! Tilanne p(i) = 0 (jollekin i:lle) esiintyy kuitenkin hyvin usein kvanttimekaniikassa: esimerkiksi kaikki puhtaat tilat ovat tällaisia tilanteita! Mm. spin-½-hiukkasen puhtaalle "spin-ylös"-tilalle pätee p(0) = 1 ja p(1) = 0, jos valitaan |0> = spin ylös ja |1> = spin alas.

Osaavatkohan palstan teoreetikot kertoa, miksi von Neumannin entropiakaava S = -tr(ρ ln(ρ)) on silti järkevä? Ja mikä on tuon puhtaan "spin-ylös" -tilan ρ = |0><0| von Neumannin entropia?

lim x->0 xln(x) =0
Puhtaan tilan von Neumann entropy = 0.
En osaa muuta nyt äkkiä sanoa. 😯

Kyllä vaan, puhtaan tilan vN-entropia = 0. Ja jyvällä olet tuossa "lim x->0 xln(x) =0" -jutussakin.

Vastaava ongelma tosiaan esiintyy Shannonin entropian S = -Σ p(i) log(p(i)) kaavassakin; log(p(i)) ei ole määritelty, jos p(i) = 0. Pedantisti pitäisikin määritellä funktio f:

f(x) = x ln(x), kun x > 0, ja f(0) = lim x->0+ x ln(x) = 0,

ja kirjoittaa Shannonin entropia tämän funktion avulla:

S = -Σ f(p(i)).

No, käytännössä tuo S-entropian kaavassa esiintyvä lauseke "p(i) log(p(i))" tulkitaan automaattisesti lausekkeeksi f(p(i)) ilman turhia pedanttisia kikkailuja, ainakin fyysikkopiireissä. ;) Fysikaalisten argumenttien nojalla (joista QS jo mainitsikin) täytyy valita f(0) = 0, jotta saadaan järkevä entropiasuure. Tämä valinta on myös hyvin luonnollinen JPI:n yo. lainauksessa näkyvän raja-arvotarkastelun nojalla.

Von Neumannin entropian kaavassa S = -tr(ρ ln(ρ)), aivan analogisesti, merkintä "ρ ln(ρ)" pitää tulkita yllä määritellyn funktion f arvoksi f(ρ) operaattori-argumentilla ρ (eikä siis kirjaimellisesti operaattorien ρ ja ln(ρ) yhdistetyksi kuvaukseksi). Siis:

S = -tr(f(ρ)).

Nyt f(ρ) on olemassa kaikille tiheysoperaattoreille, vaikka ln(ρ) ei olisikaan määritelty: ρ:n spektraaliesityksen avulla saadaan:

f(ρ) = Σ f(p(i)) |i><i| = Σ [p(i) ln(p(i))] |i><i|

Jälkimmäisessä esitystavassa pitää jälleen käyttää tuota "fyysikkopiirien tulkintatapaa" hakasulkeissa olevaan lausekkeeseen. Tuon kun sijoittaa vN-entropian kaavaan, ja laskee jäljen, saa tulokseksi Shannonin entropian kaltaisen lausekkeen:

S = -Σ p(i) ln(p(i))

(Logaritmin kantaluvun valinnasta riippuen, esim. 2 vs. e, entropiat ovat vakiokerrointa vaille samat.)

Tämä voi tuntua turhanpäiväiseltä pedanttiselta kikkailulta, mutta kun on kirjoittanut matematiikkasoftalla monta sivua pitkän mallin (*raises hand*), jossa käytetään tuota vN-entropian kaavaa S = -tr(ρ ln(ρ)), ja tuloksena on pelkkiä erroreita, niin mieli muuttuu. :(

Joka tapauksessa olen iloinen, että sain onnistuneesti trollattua ikityöntyjän huuhaa-viestiä aidolla fysiikalla...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

JPI
Seuraa 
Viestejä27419

hmk kirjoitti:
JPI kirjoitti:
hmk kirjoitti:
Entropia S perustuu tietenkin kvanttitasolla von Neumannin kaavaan:

S = -tr(ρ ln(ρ))

Tässä ρ on systeemin tila- eli tiheysoperaattori, tr on lineaarioperaattorin jälki, ja ln on lineaarioperaattorin logaritmi.

Ensi silmäyksellä voi kuitenkin näyttää siltä, että tuossa kaavassa on kriittinen ongelma: operaattori ln(ρ) ei nimittäin ole määritelty hyvin suurelle joukolle tiloja ρ! Tiheysoperaattori ρ on positiivinen, jäljen 1 itseadjungoitu operaattori, ja sillä on näin ollen puhdas pistespektri. Tällaisellä operaattorilla on aina spektraalihajotelma

ρ = Σ p(i) |i><i|

missä |i>:t ovat ρ:n ominaisvektoreista muodostettu ortonormaali kanta, ja vastaaville ominaisarvoille p(i) pätee

0 ≤ p(i) ≤ 1 ja Σp(i) = 1.

p(i) voidaan tulkita ominaistilan |i> suhteelliseksi miehitykseksi tai todennäköisyydeksi systeemin ollessa tilassa ρ. Tiheysoperaattorin logaritmi voidaan lausua, silloin kun se on olemassa, näiden ominaisarvojen ja -vektorien avulla muodossa:

ln(ρ) = Σ ln(p(i)) |i><i|

Nähdään, että ln(ρ) ei ole olemassa, jos yksikin p(i) = 0, koska tätä vastaava ln(p(i)) ei ole olemassa! Tilanne p(i) = 0 (jollekin i:lle) esiintyy kuitenkin hyvin usein kvanttimekaniikassa: esimerkiksi kaikki puhtaat tilat ovat tällaisia tilanteita! Mm. spin-½-hiukkasen puhtaalle "spin-ylös"-tilalle pätee p(0) = 1 ja p(1) = 0, jos valitaan |0> = spin ylös ja |1> = spin alas.

Osaavatkohan palstan teoreetikot kertoa, miksi von Neumannin entropiakaava S = -tr(ρ ln(ρ)) on silti järkevä? Ja mikä on tuon puhtaan "spin-ylös" -tilan ρ = |0><0| von Neumannin entropia?

lim x->0 xln(x) =0
Puhtaan tilan von Neumann entropy = 0.
En osaa muuta nyt äkkiä sanoa. 😯

Kyllä vaan, puhtaan tilan vN-entropia = 0. Ja jyvällä olet tuossa "lim x->0 xln(x) =0" -jutussakin.

Vastaava ongelma tosiaan esiintyy Shannonin entropian S = -Σ p(i) log(p(i)) kaavassakin; log(p(i)) ei ole määritelty, jos p(i) = 0. Pedantisti pitäisikin määritellä funktio f:

f(x) = x ln(x), kun x > 0, ja f(0) = lim x->0+ x ln(x) = 0,

ja kirjoittaa Shannonin entropia tämän funktion avulla:

S = -Σ f(p(i)).

No, käytännössä tuo S-entropian kaavassa esiintyvä lauseke "p(i) log(p(i))" tulkitaan automaattisesti lausekkeeksi f(p(i)) ilman turhia pedanttisia kikkailuja, ainakin fyysikkopiireissä. ;) Fysikaalisten argumenttien nojalla (joista QS jo mainitsikin) täytyy valita f(0) = 0, jotta saadaan järkevä entropiasuure. Tämä valinta on myös hyvin luonnollinen JPI:n yo. lainauksessa näkyvän raja-arvotarkastelun nojalla.

Von Neumannin entropian kaavassa S = -tr(ρ ln(ρ)), aivan analogisesti, merkintä "ρ ln(ρ)" pitää tulkita yllä määritellyn funktion f arvoksi f(ρ) operaattori-argumentilla ρ (eikä siis kirjaimellisesti operaattorien ρ ja ln(ρ) yhdistetyksi kuvaukseksi). Siis:

S = -tr(f(ρ)).

Nyt f(ρ) on olemassa kaikille tiheysoperaattoreille, vaikka ln(ρ) ei olisikaan määritelty: ρ:n spektraaliesityksen avulla saadaan:

f(ρ) = Σ f(p(i)) |i><i| = Σ [p(i) ln(p(i))] |i><i|

Jälkimmäisessä esitystavassa pitää jälleen käyttää tuota "fyysikkopiirien tulkintatapaa" hakasulkeissa olevaan lausekkeeseen. Tuon kun sijoittaa vN-entropian kaavaan, ja laskee jäljen, saa tulokseksi Shannonin entropian kaltaisen lausekkeen:

S = -Σ p(i) ln(p(i))

(Logaritmin kantaluvun valinnasta riippuen, esim. 2 vs. e, entropiat ovat vakiokerrointa vaille samat.)

Tämä voi tuntua turhanpäiväiseltä pedanttiselta kikkailulta, mutta kun on kirjoittanut matematiikkasoftalla monta sivua pitkän mallin (*raises hand*), jossa käytetään tuota vN-entropian kaavaa S = -tr(ρ ln(ρ)), ja tuloksena on pelkkiä erroreita, niin mieli muuttuu. :(

Joka tapauksessa olen iloinen, että sain onnistuneesti trolUusilattua ikityöntyjän huuhaa-viestiä aidolla fysiikalla...

Heräsi uteliaisuus tuohon koodiisi. Mitähän mallia siinä ohjelmoit?

3³+4³+5³=6³

hmk
Seuraa 
Viestejä1045

JPI kirjoitti:
hmk kirjoitti:
JPI kirjoitti:
hmk kirjoitti:
Entropia S perustuu tietenkin kvanttitasolla von Neumannin kaavaan:

S = -tr(ρ ln(ρ))

Tässä ρ on systeemin tila- eli tiheysoperaattori, tr on lineaarioperaattorin jälki, ja ln on lineaarioperaattorin logaritmi.

Ensi silmäyksellä voi kuitenkin näyttää siltä, että tuossa kaavassa on kriittinen ongelma: operaattori ln(ρ) ei nimittäin ole määritelty hyvin suurelle joukolle tiloja ρ! Tiheysoperaattori ρ on positiivinen, jäljen 1 itseadjungoitu operaattori, ja sillä on näin ollen puhdas pistespektri. Tällaisellä operaattorilla on aina spektraalihajotelma

ρ = Σ p(i) |i><i|

missä |i>:t ovat ρ:n ominaisvektoreista muodostettu ortonormaali kanta, ja vastaaville ominaisarvoille p(i) pätee

0 ≤ p(i) ≤ 1 ja Σp(i) = 1.

p(i) voidaan tulkita ominaistilan |i> suhteelliseksi miehitykseksi tai todennäköisyydeksi systeemin ollessa tilassa ρ. Tiheysoperaattorin logaritmi voidaan lausua, silloin kun se on olemassa, näiden ominaisarvojen ja -vektorien avulla muodossa:

ln(ρ) = Σ ln(p(i)) |i><i|

Nähdään, että ln(ρ) ei ole olemassa, jos yksikin p(i) = 0, koska tätä vastaava ln(p(i)) ei ole olemassa! Tilanne p(i) = 0 (jollekin i:lle) esiintyy kuitenkin hyvin usein kvanttimekaniikassa: esimerkiksi kaikki puhtaat tilat ovat tällaisia tilanteita! Mm. spin-½-hiukkasen puhtaalle "spin-ylös"-tilalle pätee p(0) = 1 ja p(1) = 0, jos valitaan |0> = spin ylös ja |1> = spin alas.

Osaavatkohan palstan teoreetikot kertoa, miksi von Neumannin entropiakaava S = -tr(ρ ln(ρ)) on silti järkevä? Ja mikä on tuon puhtaan "spin-ylös" -tilan ρ = |0><0| von Neumannin entropia?

lim x->0 xln(x) =0
Puhtaan tilan von Neumann entropy = 0.
En osaa muuta nyt äkkiä sanoa. 😯

Kyllä vaan, puhtaan tilan vN-entropia = 0. Ja jyvällä olet tuossa "lim x->0 xln(x) =0" -jutussakin.

Vastaava ongelma tosiaan esiintyy Shannonin entropian S = -Σ p(i) log(p(i)) kaavassakin; log(p(i)) ei ole määritelty, jos p(i) = 0. Pedantisti pitäisikin määritellä funktio f:

f(x) = x ln(x), kun x > 0, ja f(0) = lim x->0+ x ln(x) = 0,

ja kirjoittaa Shannonin entropia tämän funktion avulla:

S = -Σ f(p(i)).

No, käytännössä tuo S-entropian kaavassa esiintyvä lauseke "p(i) log(p(i))" tulkitaan automaattisesti lausekkeeksi f(p(i)) ilman turhia pedanttisia kikkailuja, ainakin fyysikkopiireissä. ;) Fysikaalisten argumenttien nojalla (joista QS jo mainitsikin) täytyy valita f(0) = 0, jotta saadaan järkevä entropiasuure. Tämä valinta on myös hyvin luonnollinen JPI:n yo. lainauksessa näkyvän raja-arvotarkastelun nojalla.

Von Neumannin entropian kaavassa S = -tr(ρ ln(ρ)), aivan analogisesti, merkintä "ρ ln(ρ)" pitää tulkita yllä määritellyn funktion f arvoksi f(ρ) operaattori-argumentilla ρ (eikä siis kirjaimellisesti operaattorien ρ ja ln(ρ) yhdistetyksi kuvaukseksi). Siis:

S = -tr(f(ρ)).

Nyt f(ρ) on olemassa kaikille tiheysoperaattoreille, vaikka ln(ρ) ei olisikaan määritelty: ρ:n spektraaliesityksen avulla saadaan:

f(ρ) = Σ f(p(i)) |i><i| = Σ [p(i) ln(p(i))] |i><i|

Jälkimmäisessä esitystavassa pitää jälleen käyttää tuota "fyysikkopiirien tulkintatapaa" hakasulkeissa olevaan lausekkeeseen. Tuon kun sijoittaa vN-entropian kaavaan, ja laskee jäljen, saa tulokseksi Shannonin entropian kaltaisen lausekkeen:

S = -Σ p(i) ln(p(i))

(Logaritmin kantaluvun valinnasta riippuen, esim. 2 vs. e, entropiat ovat vakiokerrointa vaille samat.)

Tämä voi tuntua turhanpäiväiseltä pedanttiselta kikkailulta, mutta kun on kirjoittanut matematiikkasoftalla monta sivua pitkän mallin (*raises hand*), jossa käytetään tuota vN-entropian kaavaa S = -tr(ρ ln(ρ)), ja tuloksena on pelkkiä erroreita, niin mieli muuttuu. :(

Joka tapauksessa olen iloinen, että sain onnistuneesti trolUusilattua ikityöntyjän huuhaa-viestiä aidolla fysiikalla...

Heräsi uteliaisuus tuohon koodiisi. Mitähän mallia siinä ohjelmoit?

Ihan vaan huvikseni väsään tuollaista spin-dynamiikka -simulaattoria. Sen on tarkoitus olla puhtaasti tiheysoperaattoriformalismiin perustuva, ja huomioida unitaari-evoluution (Larmor-prekessio yms. á la Liouville - von Neumann) lisäksi mahdollisimman eksplisiittisesti myös relaksaation (ts. kyseessä on avoin kvanttisysteemi, joka on kytkeytynyt "muistittomaan" termiseen ympäristöön Redfield/Lindblad -tyyppisesti). Unitaarievoluutio ei muuta spin-systeemin entropiaa S; sen sijaan relaksaatio vaikkapa puhtaasta all-spin-up -tilasta (S = 0) kohti kanonisen yhdelmän mukaista termistä tasapainotilaa ρ(eq) = exp(-βH)/Z  (missä Z = spin-systeemin partitiofunktio ja H = spin-Hamilton-operaattori) kasvattaa spin-systeemin vN-entropiaa. vN-entropian kasvua voi sitten seurata termalisaatio-tyyppisen simulaation aikana, ja mikäli simulaatio menee oikein, entropian pitäisi lähestyä tuota arvoa S(eq) = -tr[ ρ(eq) ln(ρ(eq))]. Toistaiseksi homma on kuitenkin vielä varsin vaiheessa...

In so far as quantum mechanics is correct, chemical questions are problems in applied mathematics. -- H. Eyring

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat