Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

Valitaan positiivisista kokonaisluvuista kaksi. Millä todennäköisyydellä niillä ei ole yhteisiä tekijöitä ( ykköstä lukuunottamatta)?
Vastaukseksi annettiin 6/π^2.
Vaan miten tuollaiseen päädytään?
Ainakaan vielä ei ole minulle selvinnyt.

Sivut

Kommentit (69)

ID10T
Seuraa 
Viestejä2250
Liittynyt3.10.2007

Miten tuota voidaan edes laskea? Alkuluvut on tietenkin otettava mukaan siihen lukujoukkoon, joka toteuttaa ehdon, eikä niillekään pystytä määrittämään mitään esiintymistiheyttä, kuten "joka N:s luku on alkuluku".

Merlin
Seuraa 
Viestejä4095
Liittynyt25.9.2017

ID10T kirjoitti:
Miten tuota voidaan edes laskea? Alkuluvut on tietenkin otettava mukaan siihen lukujoukkoon, joka toteuttaa ehdon, eikä niillekään pystytä määrittämään mitään esiintymistiheyttä, kuten "joka N:s luku on alkuluku".

Ei niitä oteta mukaan, vaan kaikilla muilla heitetään vesilintua, koska alkuluvut.

Eikä tuo esiintymistiheys ole mikään ongelma. Sanotaan vain että jos Riemannin hypoteesi pitää paikkansa...

Uusimpien tutkimusten mukaan uusimmat tutkimukset ovat keskimäärin yhdentekeviä.

Merlin
Seuraa 
Viestejä4095
Liittynyt25.9.2017

Itseäni kiinnostaisi näiden entropia. Äkkiseltään luulisi että sininen on suppeampi, vaikka vika pallero ei niitä osaisikaan erottaa toisistaan.

Yrittänyt lukea kolmogorovin systeemistä (k-system) mutta menee vähän yli hilseen.

Uusimpien tutkimusten mukaan uusimmat tutkimukset ovat keskimäärin yhdentekeviä.

Merlin
Seuraa 
Viestejä4095
Liittynyt25.9.2017

Niin lähellä, mutta niin kaukana.

Abstract objective functions generalize linear objective functions in general position. The crucial step in Kalai’s proof is the characterization of AOF-orientations as those acyclic orientations of GP which minimize a certain integer-valued function H (O). Its minimum value is the total number of non-empty faces of P. We consider a refinement of the function H (O) = Pd k=0 Hk (O) as a sum of (d + 1) functions H0 (O), . . . , Hd (O). This refinement becomes useful in connection with the concept of a k-system that we propose. A k-system of the graph GP of a simple d-polytope P is a set of induced subgraphs of GP satisfying simple combinatorial conditions (that can be checked in polynomial time) that, in particular, are fulfilled by the set of subgraphs induced by the k-faces. Our main result on k-systems (Theorem 1) is that on the one hand, a k-system of the graph of P with maximal cardinality is the set of subgraphs induced by the k-faces of P, and on the other hand, there is a strong dual relation between the cardinality of k-systems and the function Hk (O). From this relationship polynomially sized proofs (certificates) for the fact that a set of vertex sets indeed is the set of vertex sets of the k-faces are readily obtained. Note that these certificates are purely combinatorial. In particular, no coordinates are involved. Furthermore, we prove that every acyclic orientation which induces a unique sink in every 2-face of P is an AOF-orientation (Theorem 5). This reveals a strong relationship between the 2-faces and the abstract objective functions of a simple polytope; they can be exploited as certificates for each other. The special role which is played by the 2-skeleton reflects the well-known fact that it is straightforward to reconstruct a simple polytope from its 2-skeleton. We refer to Ziegler’s book [10] for a detailed treatment of all notions and concepts we rely on.

https://arxiv.org/pdf/math/0012204.pdf

Uusimpien tutkimusten mukaan uusimmat tutkimukset ovat keskimäärin yhdentekeviä.

PPo
Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

NytRiitti kirjoitti:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55801.html

Asiasta mitään tiedä, mutta kun Googleen tuon tökkäs, niin ...

Kiitos linkistä:-)

Asia selvisi.Tehtävää voidaan käsitellä seuraavasti:

Ainakaan toinen luvuista ei ole jaollinen 2:lla( eikä 4:llä ,eikä 6:lla eikä..) on 1-1/2*1/2

Ainakaan toinen luvuista ei ole jaollinen 3:lla  on 1-1/3*1/3

Ainakaan toinen ei ole jaollinen p:llä, p alkuluku, on  1-1/p*1/p—>

todennäköisyys, että luvuilla ei ole yhteisiä tekijöitä on

∏(1-1/p*1/p), p=2,3,5,7,11,....

Se, että tulon arvo on 6/π^2, saadaan linkissä mainitusta yhtälöstä

1+1/4+1/9+1/16+...=π^2/6 

Tätä yhtälöä pyöritellessäni minulle selvisi, paljonko on 

S=1-1/4+1/9-1/16+1/25-1/36+...

Kysynkin, paljonko on S?

Eusa
Seuraa 
Viestejä14690
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
NytRiitti kirjoitti:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55801.html

Asiasta mitään tiedä, mutta kun Googleen tuon tökkäs, niin ...

Kiitos linkistä:-)

Asia selvisi.Tehtävää voidaan käsitellä seuraavasti:

Ainakaan toinen luvuista ei ole jaollinen 2:lla( eikä 4:llä ,eikä 6:lla eikä..) on 1-1/2*1/2

Ainakaan toinen luvuista ei ole jaollinen 3:lla  on 1-1/3*1/3

Ainakaan toinen ei ole jaollinen p:llä, p alkuluku, on  1-1/p*1/p—>

todennäköisyys, että luvuilla ei ole yhteisiä tekijöitä on

∏(1-1/p*1/p), p=2,3,5,7,11,....

Se, että tulon arvo on 6/π^2, saadaan linkissä mainitusta yhtälöstä

1+1/4+1/9+1/16+...=π^2/6 

Tätä yhtälöä pyöritellessäni minulle selvisi, paljonko on 

S=1-1/4+1/9-1/16+1/25-1/36+...

Kysynkin, paljonko on S?


Kerroin on 1-1+1-1+1-1+.., joka on 1/2; eli olisiko π^2/12 ?

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
NytRiitti kirjoitti:
http://mathforum.org/library/drmath/view/55801.html

Asiasta mitään tiedä, mutta kun Googleen tuon tökkäs, niin ...

Kiitos linkistä:-)

Asia selvisi.Tehtävää voidaan käsitellä seuraavasti:

Ainakaan toinen luvuista ei ole jaollinen 2:lla( eikä 4:llä ,eikä 6:lla eikä..) on 1-1/2*1/2

Ainakaan toinen luvuista ei ole jaollinen 3:lla  on 1-1/3*1/3

Ainakaan toinen ei ole jaollinen p:llä, p alkuluku, on  1-1/p*1/p—>

todennäköisyys, että luvuilla ei ole yhteisiä tekijöitä on

∏(1-1/p*1/p), p=2,3,5,7,11,....

Se, että tulon arvo on 6/π^2, saadaan linkissä mainitusta yhtälöstä

1+1/4+1/9+1/16+...=π^2/6 

Tätä yhtälöä pyöritellessäni minulle selvisi, paljonko on 

S=1-1/4+1/9-1/16+1/25-1/36+...

Kysynkin, paljonko on S?


Kerroin on 1-1+1-1+1-1+.., joka on 1/2; eli olisiko π^2/12 ?
Näin on pöhlin linkin ja omankin laskelmani mukaan. joka on seuraava

Merkitään x=1+1/9+1/25+1/49... ja y=1/4+1/16+1/36+1/64+.....

Nyt x+y=π^2/6 ja  x-y=S

y=1/4+1/16+1/36+1/64+1/100+....=1/4*(1+1/4+1/9+1/16+1/25+...)=1/4*(x+y)—>x=3y—>

y=π^2/24 ja x=π~2/8 joten S= x-y=π^2/12

PPo
Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

Jatketaanpa sarjoista.

∑1/n tunnetusti hajaantuu.

Entäpä, jos summaan otetaan ainoastaan ne termit, joiden nimittäjät ovat jaollisia ainoastaan 2:lla ja 5:llä. Toisin sanoen tarkastellaan summaa (1 lisätty)

S=1+1/2+1/4+1/5+1/8+1/10+1/16+1/25+1/32+1/50+,,,,,

Suppeneeko sarja ja jos suppenee, niin mitä on S?

pöhl
Seuraa 
Viestejä916
Liittynyt19.3.2005

Suppenee kohti lukua 2,5. Tästä tulee kaksi peräkkäistä geometrista sarjaa, WA:lla sum(sum(1/(2^k*5^i),i=0..infinity),k=0..infinity)=2,5.

PPo
Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

pöhl kirjoitti:
Suppenee kohti lukua 2,5. Tästä tulee kaksi peräkkäistä geometrista sarjaa, WA:lla sum(sum(1/(2^k*5^i),i=0..infinity),k=0..infinity)=2,5.
Samaan päädyin minäkin.

Kyseinen summa voidaan esittää tulona

(1+1/2+1/4+1/8+.....)((1+1/5+1/25+1/125+...)=1/(1-1/2)*1/(1-1/5)=2*5/4=5/2.

Tämä voidaan yleistää. 

Jos summa muodostuisi termeistä joiden nimittäjä on muotoa

n=2^(n2)*3^(n3)*5^(n5)*...*p^(n p), p alkulku, eksponentit n2,n3,n5,..., n p =0,1,2,... niin summaksi tulee

1/(1-1/2)*1/(1-1/3)*1/(1-5)*...*1/(1-1/p)=p

Tästä nähdään, että jos alkulukuja olisi äärellinen määrä, niin harmoninen sarja suppenisi:-)

PPo
Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
pöhl kirjoitti:
Suppenee kohti lukua 2,5. Tästä tulee kaksi peräkkäistä geometrista sarjaa, WA:lla sum(sum(1/(2^k*5^i),i=0..infinity),k=0..infinity)=2,5.
Samaan päädyin minäkin.

Kyseinen summa voidaan esittää tulona

(1+1/2+1/4+1/8+.....)((1+1/5+1/25+1/125+...)=1/(1-1/2)*1/(1-1/5)=2*5/4=5/2.

Tämä voidaan yleistää. 

Jos summa muodostuisi termeistä joiden nimittäjä on muotoa

n=2^(n2)*3^(n3)*5^(n5)*...*p^(n p), p alkulku, eksponentit n2,n3,n5,..., n p =0,1,2,... niin summaksi tulee

1/(1-1/2)*1/(1-1/3)*1/(1-5)*...*1/(1-1/p)=p

Tästä nähdään, että jos alkulukuja olisi äärellinen määrä, niin harmoninen sarja suppenisi:-)

Korjaus aamuiseen laskuun.

1/(1-1/2)*1/(1-1/3)*1/(1-5)*...*1/(1-1/p)=2*3/2*5/4*....p/(p-1)

PPo
Seuraa 
Viestejä12604
Liittynyt10.12.2008

Peli: Alussa on yksi virus.

Peli etenee kierroksittain.

Jokaisella kierroksella on kolme yhtä todennäköistä vaihtoehtoa:

1. Virus kuolee

2. Virukselle ei tapahdu mitään

3. virus  jakaantuu kahdeksi samanlaiseksi itsensä kaltaiseksi virukseksi.

Kysytään todennäköisyyttä sille, että kaikki virukset virukset kuolevat, kun peliä voidaan jatkaa loputtomiin ( kierrosten määrä N—>∞)

Eusa
Seuraa 
Viestejä14690
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Peli: Alussa on yksi virus.

Peli etenee kierroksittain.

Jokaisella kierroksella on kolme yhtä todennäköistä vaihtoehtoa:

1. Virus kuolee

2. Virukselle ei tapahdu mitään

3. virus  jakaantuu kahdeksi samanlaiseksi itsensä kaltaiseksi virukseksi.

Kysytään todennäköisyyttä sille, että kaikki virukset virukset kuolevat, kun peliä voidaan jatkaa loputtomiin ( kierrosten määrä N—>∞)


Intuitiolla vastaisin 50%. Pitää koittaa laskea; jos ei päässälaskuna onnistu, niin sitten paperilla...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat