Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

x^x—>1, kun x—>0+
Aloin miettiä, onko olemassa raja-arvoa x^x^x^x^...., kun x—>0+?

Sivut

Kommentit (25)

Eusa
Seuraa 
Viestejä14696
Liittynyt16.2.2011

Tarkoitatko x^{x^(x^...)} -tyyliin vai {(x^x)^x...} -tyylisesti?

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

Nopeasti kahvikupin ääressä päätteltynä:

Jos x^x—>1, kun x—>0+ niin x^x^x = x^(x ^x) = x ^ 1 = x. Toisaalta edellisen tuloksen perusteella, x^x^x^x = x ^ (x^x^x) = x ^ x = 1. Näin ollen raja-arvo on 1  jos potenssien määrä on parillinen tai x jos potenssien lukumäärä  on pariton.

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

Ei ole niin lyhyttä lausetta mihin ei saisi virhettä mahdutettua. Eli  näin piti kirjoittamani: Näin ollen raja-arvo on 1  jos potenssien määrä on pariton tai x jos potenssien lukumäärä  on parillinen.

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

Onneksi Wolfram Alpha osaa  laskea minua paremmin:

lim (x^x) x->0+ = 1.

http://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=lim+(x%5Ex)+x-%3E0%2B

lim (x^x^x) x->0+ = 0.

http://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=lim+(x%5Ex%5Ex)+x-%3E0%2B

lim (x^x^x^x) x->0+ = 1.

http://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=lim+(x%5Ex%5Ex%5Ex)+x-%3E0%2B

lim (x^x^x^x^x) x->0+ = 0.

http://www.wolframalpha.com/input/?x=0&y=0&i=lim+(x%5Ex%5Ex%5Ex%5Ex)+x-%3E0%2B

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Määritellään jono seuraavasti

a_1=x, a_2=x^(a_1)....a_n+1=x^(a_n)

a_1=x—>0, kun x_0+

a_2=x^(a_1)=x^x—>1, kun x—>0+

a_3=x^(a_2)=—>0^1=0, kun x—>0+

...

a_(2n-1)—>0, kun x—>0+

a_(2n)—>1, kun x—>0+

joten raja-arvoa lim a_n(n—>oo)=x^x^x^x^... ei ole olemassa.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14696
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Määritellään jono seuraavasti

a_1=x, a_2=x^(a_1)....a_n+1=x^(a_n)

a_1=x—>0, kun x_0+

a_2=x^(a_1)=x^x—>1, kun x—>0+

a_3=x^(a_2)=—>0^1=0, kun x—>0+

...

a_(2n-1)—>0, kun x—>0+

a_(2n)—>1, kun x—>0+

joten raja-arvoa lim a_n(n—>oo)=x^x^x^x^... ei ole olemassa.


Asia ei ole ihan noin selvä. Voin palata tähän paremmalla ajalla...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Määritellään jono seuraavasti

a_1=x, a_2=x^(a_1)....a_n+1=x^(a_n)

a_1=x—>0, kun x_0+

a_2=x^(a_1)=x^x—>1, kun x—>0+

a_3=x^(a_2)=—>0^1=0, kun x—>0+

...

a_(2n-1)—>0, kun x—>0+

a_(2n)—>1, kun x—>0+

joten raja-arvoa lim a_n(n—>oo)=x^x^x^x^... ei ole olemassa.


Asia ei ole ihan noin selvä. Voin palata tähän paremmalla ajalla...
Kyllähän noilla osajonoilla 

a_(2n-1) ja a_(2n) on raja-arvot 0 ja 1 mutta

lim(a_(2n-1)=x^(x^x)^(x^x)^..... ja lim(a_(2n)=(x^x)^(x^x)^.....

Nämä eivät mielestäni tarkoita samaa kuin x^x^x^x^.....

Eusa
Seuraa 
Viestejä14696
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Määritellään jono seuraavasti

a_1=x, a_2=x^(a_1)....a_n+1=x^(a_n)

a_1=x—>0, kun x_0+

a_2=x^(a_1)=x^x—>1, kun x—>0+

a_3=x^(a_2)=—>0^1=0, kun x—>0+

...

a_(2n-1)—>0, kun x—>0+

a_(2n)—>1, kun x—>0+

joten raja-arvoa lim a_n(n—>oo)=x^x^x^x^... ei ole olemassa.


Asia ei ole ihan noin selvä. Voin palata tähän paremmalla ajalla...
Kyllähän noilla osajonoilla 

a_(2n-1) ja a_(2n) on raja-arvot 0 ja 1 mutta

lim(a_(2n-1)=x^(x^x)^(x^x)^..... ja lim(a_(2n)=(x^x)^(x^x)^.....

Nämä eivät mielestäni tarkoita samaa kuin x^x^x^x^.....


Tarkoitan vastaavaa kuinka 1-1+1-1... = 0,5. Tuo potenssikehitelmän raja-arvo ei käsittääkseni ole keskiarvo 0,5 vaan on perehdyttävä infinitesimaalirakenteeseen, josko se voisi olla määriteltävissä. Siinä on kertaluokkarakennetta tjsp...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14696
Liittynyt16.2.2011

Laskimella ja luonnollisella logaritmilla räplääminen kertoi, että sqr(2) tuottaa konvergenssin arvoon 2 ja yleisesti konvergoituu välillä (1/e)^e...e^(1/e).

Riemannin zetan periaatteella pitäisi olla mahdollista löytää konvergoituvuutta, mutta en nyt jaksa vääntää enempää... Katsotaan, jos jotain hautuisi.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Määritellään jono seuraavasti

a_1=x, a_2=x^(a_1)....a_n+1=x^(a_n)

a_1=x—>0, kun x_0+

a_2=x^(a_1)=x^x—>1, kun x—>0+

a_3=x^(a_2)=—>0^1=0, kun x—>0+

...

a_(2n-1)—>0, kun x—>0+

a_(2n)—>1, kun x—>0+

joten raja-arvoa lim a_n(n—>oo)=x^x^x^x^... ei ole olemassa.


Asia ei ole ihan noin selvä. Voin palata tähän paremmalla ajalla...
Kyllähän noilla osajonoilla 

a_(2n-1) ja a_(2n) on raja-arvot 0 ja 1 mutta

lim(a_(2n-1)=x^(x^x)^(x^x)^..... ja lim(a_(2n)=(x^x)^(x^x)^.....

Nämä eivät mielestäni tarkoita samaa kuin x^x^x^x^.....


Tarkoitan vastaavaa kuinka 1-1+1-1... = 0,5. Tuo potenssikehitelmän raja-arvo ei käsittääkseni ole keskiarvo 0,5 vaan on perehdyttävä infinitesimaalirakenteeseen, josko se voisi olla määriteltävissä. Siinä on kertaluokkarakennetta tjsp...

Sarja ∑(-i)^n hajaantuu. Sillä ei ole raja-arvoa, jos raja-arvolla tarkoitetaan lukua a, joka täyttää ehdon

Abs(an-a)<epsilon kun n>no

Eusa
Seuraa 
Viestejä14696
Liittynyt16.2.2011

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Määritellään jono seuraavasti

a_1=x, a_2=x^(a_1)....a_n+1=x^(a_n)

a_1=x—>0, kun x_0+

a_2=x^(a_1)=x^x—>1, kun x—>0+

a_3=x^(a_2)=—>0^1=0, kun x—>0+

...

a_(2n-1)—>0, kun x—>0+

a_(2n)—>1, kun x—>0+

joten raja-arvoa lim a_n(n—>oo)=x^x^x^x^... ei ole olemassa.


Asia ei ole ihan noin selvä. Voin palata tähän paremmalla ajalla...
Kyllähän noilla osajonoilla 

a_(2n-1) ja a_(2n) on raja-arvot 0 ja 1 mutta

lim(a_(2n-1)=x^(x^x)^(x^x)^..... ja lim(a_(2n)=(x^x)^(x^x)^.....

Nämä eivät mielestäni tarkoita samaa kuin x^x^x^x^.....


Tarkoitan vastaavaa kuinka 1-1+1-1... = 0,5. Tuo potenssikehitelmän raja-arvo ei käsittääkseni ole keskiarvo 0,5 vaan on perehdyttävä infinitesimaalirakenteeseen, josko se voisi olla määriteltävissä. Siinä on kertaluokkarakennetta tjsp...

Sarja ∑(-i)^n hajaantuu. Sillä ei ole raja-arvoa, jos raja-arvolla tarkoitetaan lukua a, joka täyttää ehdon

Abs(an-a)<epsilon kun n>no

Kyseessä on pseudoraja-arvo: https://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

Niitä voidaan hakea divergenteille sarjoillekin: https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Tähän määrittelemättömään ongelmaan pseudoraja-arvo voi olla mitä vain, todennäköisestikin se löytyy jostain muualta kuin väliltä 0...1. Alustavasti vilkaisin Riemannin zetan kertolaskuun perustuvaa versiota, mutta näyttää siltä, että pitäisi kehittää logaritmisuuteen perustuva zetafunktio - ei synny kyllä aivan pikaisesti...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14696
Liittynyt16.2.2011

Tuossa jälkimmäisessä on kyse siitä wistin iljettävyydestä; rengasalgebran ujuttamisesta seka-algebraksi.

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Eusa kirjoitti:
Laskimella ja luonnollisella logaritmilla räplääminen kertoi, että sqr(2) tuottaa konvergenssin arvoon 2 ja yleisesti konvergoituu välillä (1/e)^e...e^(1/e).

Riemannin zetan periaatteella pitäisi olla mahdollista löytää konvergoituvuutta, mutta en nyt jaksa vääntää enempää... Katsotaan, jos jotain hautuisi.

Muistelen aiemmin käsitellyn yhtälöä

x^x^x^.....=a. Muodollisesti tämän ratkaisuksi saadaan x=a^(1/a).  Se, että saatu ratkaisu on jonon

a_(n+1)=x^(a_n) raja-arvo edellyttää, että 1/e≤a≤e.

Tämä ei mielestäni kuitenkaan liity käsitelyssä olevaan tehtävään.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat