Seuraa 
Viestejä15325

Sovellustehtävä odotuarvosta.
1. kierros
Heitetään neljää noppaa.
2. kierros
Heitetään uudestaan ne nopat, joilla ei ensimmäisellä kierroksella tullut silmälukua kuusi.
3. kierros heittään uudestaan ne nopat, joilla ei edellisillä kierroksilla tullut silmälukua kuusi.
4. kierros......
Heittämistä jatketaan niin kauan, että jokaisella nopalla on saatu silmäluku kuusi.
Kuinka monta heittokierrosta keskimäärin tarvitaan eli mikä on heittokierrosten lukumäärän odotusarvo?
PS: Ei taida ihan lukiotiedoilla ratketa.

Kommentit (19)

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Eusa
Seuraa 
Viestejä18462

Mun aivot antaa odotusarvoksi 5,3. En ehtinyt vielä tajuta miten laskettu... :)

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

mdmx
Seuraa 
Viestejä6415

Simuloin mielessäni 100M heittokierrosta ja laskin keskiarvon.

11.92689305
Odotusarvo on sen odotusarvo että heität neljä kertaa kutosen yhdellä nopalla, plus sen odotusarvo että heität kerralla enempi kun yhden kutosen joillain heittokerroista.

Liian pitkä kaava ei pysty.

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

mdmx kirjoitti:
Simuloin mielessäni 100M heittokierrosta ja laskin keskiarvon.

11.92689305
Odotusarvo on sen odotusarvo että heität neljä kertaa kutosen yhdellä nopalla, plus sen odotusarvo että heität kerralla enempi kun yhden kutosen joillain heittokerroista.

Liian pitkä kaava ei pysty.

Sain odotusarvoksi 728256/61061=11,926696...

Tulokset ovat selvästikin yhteensopivia:-)

Eusa
Seuraa 
Viestejä18462

Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi. 100 nopan tapauksessa seuraavaksi on odotettavissa n. 83 nopan ongelma, sitten 69 jne.

Tässä: 4*5/6 = 3,3 -> *5/6 = 2,8 -> *5/6 = 2,3 -> *5/6 = 1,9 -> *5/6 = 1,6 -> *5/6 = 1,3.

5 heiton jälkeen kysytään "Käytössä 1,3 noppaa - montako heittoa, jotta kaikki kuutosia?" - Yhtä noppaa tulee heittää kolme kertaa, jotta kuutosen tod.näköisyys yltää 50%:iin. 5+4 = 9 heittoa tulisi tällä approksimoinnilla. Selvästikin epäonnistuneet vuorot tuottavat enemmän pidempiä heittosarjoja kuin onnistuneet lyhentävät. Siis 11,92 vaikuttaa realistiselta.

Se mun 5,3 oli selvä hahmotushäiriö. :o]

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Simplex
Seuraa 
Viestejä3224

Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi.

Nopat ovat toisistaan riippumattomia, joten on aivan sama heitätkö sataa noppaa vai yhtä noppaa. Oletusarvo sadalla nopalla on sama kuin heittäisi vain yhtä noppaa kunnes on saanut sata kertaa kuutosen.

mdmx
Seuraa 
Viestejä6415

2 noppaa 8.7288555

6 noppaa 13.9389082

12 noppaa 17.531962

120 noppaa 29.94471 (vaan 100 000 iteraatioo, online c# konsoli timeouttaa)

CodingGround Online C# konsolissa pyörivä DiceSim :) 

http://tpcg.io/ZalIJM

setupDiceCount asettaa noppien määrän. Execute nappi suorittaa.

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi. 100 nopan tapauksessa seuraavaksi on odotettavissa n. 83 nopan ongelma, sitten 69 jne.

Tässä: 4*5/6 = 3,3 -> *5/6 = 2,8 -> *5/6 = 2,3 -> *5/6 = 1,9 -> *5/6 = 1,6 -> *5/6 = 1,3.

5 heiton jälkeen kysytään "Käytössä 1,3 noppaa - montako heittoa, jotta kaikki kuutosia?" - Yhtä noppaa tulee heittää kolme kertaa, jotta kuutosen tod.näköisyys yltää 50%:iin. 5+4 = 9 heittoa tulisi tällä approksimoinnilla. Selvästikin epäonnistuneet vuorot tuottavat enemmän pidempiä heittosarjoja kuin onnistuneet lyhentävät. Siis 11,92 vaikuttaa realistiselta.

Se mun 5,3 oli selvä hahmotushäiriö. :o]

Jos noppia on kaksi, niin odotusarvo on 96/11≈8,7.

Noppien määrän lisääntyessä odotusarvon laskeminen menee käsipelillä hankalaksi.

E=∑(1-(1-(5/6)^(k-1))^N),k=0,1,2,.... 

N on noppien määrä.

mdmx
Seuraa 
Viestejä6415

Simplex kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi.

Nopat ovat toisistaan riippumattomia, joten on aivan sama heitätkö sataa noppaa vai yhtä noppaa. Oletusarvo sadalla nopalla on sama kuin heittäisi vain yhtä noppaa kunnes on saanut sata kertaa kuutosen.

Nopat ovat toisistaan riippumattomia, joten on aivan sama heitätkö sataa noppaa vai yhtä noppaa sata kertaa.

Mutta ei se vielä kerro montako heittoo tarvitaan kun heitellään tehtävän määrittelemällä tavalla. Se kertoo montako noppaa yhteensä pitää heittää, mut ehkä siitä sais laskettua keskimääräsen heittojen määrän.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18462

Niin, yhden nopan heittomäärän odotusarvo saada kuusi on tietysti kuusi eikä kolme. Silloin minun aproksimaationikin pitää lisätä +3 ja päästään 12:een.

Kun oikein totisesti pyörittelee, saa:

1 noppa: 6

2 noppaa: 96/11 ~ 8,7

3 noppaa: 10566/1001 ~ 10,6

4 noppaa: 728256/61061 ~ 11,9

5 noppaa: 3698650986/283994711 ~ 13,0

Kombinatoriikkayhtälöitä, huh. 

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Simplex
Seuraa 
Viestejä3224

mdmx kirjoitti:
Simplex kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi.

Nopat ovat toisistaan riippumattomia, joten on aivan sama heitätkö sataa noppaa vai yhtä noppaa. Oletusarvo sadalla nopalla on sama kuin heittäisi vain yhtä noppaa kunnes on saanut sata kertaa kuutosen.

Nopat ovat toisistaan riippumattomia, joten on aivan sama heitätkö sataa noppaa vai yhtä noppaa sata kertaa.

Mutta ei se vielä kerro montako heittoo tarvitaan kun heitellään tehtävän määrittelemällä tavalla. Se kertoo montako noppaa yhteensä pitää heittää, mut ehkä siitä sais laskettua keskimääräsen heittojen määrän.

Totta. Minulta taisi päästä se kuuluisa aivoperu kun ajattelin tuota probleemaa pienessä mielessäni. Kohtuullisen noloa.

Eusa
Seuraa 
Viestejä18462

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi. 100 nopan tapauksessa seuraavaksi on odotettavissa n. 83 nopan ongelma, sitten 69 jne.

Tässä: 4*5/6 = 3,3 -> *5/6 = 2,8 -> *5/6 = 2,3 -> *5/6 = 1,9 -> *5/6 = 1,6 -> *5/6 = 1,3.

5 heiton jälkeen kysytään "Käytössä 1,3 noppaa - montako heittoa, jotta kaikki kuutosia?" - Yhtä noppaa tulee heittää kolme kertaa, jotta kuutosen tod.näköisyys yltää 50%:iin. 5+4 = 9 heittoa tulisi tällä approksimoinnilla. Selvästikin epäonnistuneet vuorot tuottavat enemmän pidempiä heittosarjoja kuin onnistuneet lyhentävät. Siis 11,92 vaikuttaa realistiselta.

Se mun 5,3 oli selvä hahmotushäiriö. :o]

Jos noppia on kaksi, niin odotusarvo on 96/11≈8,7.

Noppien määrän lisääntyessä odotusarvon laskeminen menee käsipelillä hankalaksi.

E=∑(1-(1-(5/6)^(k-1))^N),k=0,1,2,.... 

N on noppien määrä.

Jahas, olitkin sillä välin laittanut sievennetyn kaavan. Löin tuossa yhtälöitä WA:lle minkä jaksoin. En päässyt eroon "omasta muuttujastaan" - sinä näemmä pääsit.

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Veli Ponteva
Seuraa 
Viestejä954

Tällä simulaattorilla (kahdessa osassa) odotusarvoksi tulee 11.927.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>

int vert(const void *a, const void *b)
{
   int A=*(int*)a, B=*(int*)b;
   return A==B? 0: (A<B? -1: 1);
}

Selkärankaisten laskupää on yhtä hyvä kuin pikkulasten – jotkin osaavat jopa yhteen- ja vähennyslaskua

Veli Ponteva
Seuraa 
Viestejä954

void main(void)
{
   int noppa[5];
   noppa[4]=6;

   for (double kierroksia=0, tapauksia=0;;)
   {
      memset(noppa, 0, sizeof(int)*4);
      for (int kierros=0, i;;) {
         for (i=0; i<5; i++) {
            if (noppa[i]==6) break;
            else noppa[i]=random(6)+1;
         }
         if (i!=0) {++kierros; qsort(noppa, 4, sizeof(int), vert);}
         else {kierroksia+=kierros; tapauksia+=1; break;}
      }
      static int loop=0;
      if ((++loop)==1000000) {loop=0;
      printf("%15.10f\n", kierroksia/tapauksia);}
   }
}

Selkärankaisten laskupää on yhtä hyvä kuin pikkulasten – jotkin osaavat jopa yhteen- ja vähennyslaskua

Eusa
Seuraa 
Viestejä18462

PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi. 100 nopan tapauksessa seuraavaksi on odotettavissa n. 83 nopan ongelma, sitten 69 jne.

Tässä: 4*5/6 = 3,3 -> *5/6 = 2,8 -> *5/6 = 2,3 -> *5/6 = 1,9 -> *5/6 = 1,6 -> *5/6 = 1,3.

5 heiton jälkeen kysytään "Käytössä 1,3 noppaa - montako heittoa, jotta kaikki kuutosia?" - Yhtä noppaa tulee heittää kolme kertaa, jotta kuutosen tod.näköisyys yltää 50%:iin. 5+4 = 9 heittoa tulisi tällä approksimoinnilla. Selvästikin epäonnistuneet vuorot tuottavat enemmän pidempiä heittosarjoja kuin onnistuneet lyhentävät. Siis 11,92 vaikuttaa realistiselta.

Se mun 5,3 oli selvä hahmotushäiriö. :o]

Jos noppia on kaksi, niin odotusarvo on 96/11≈8,7.

Noppien määrän lisääntyessä odotusarvon laskeminen menee käsipelillä hankalaksi.

E=∑(1-(1-(5/6)^(k-1))^N),k=0,1,2,.... 

N on noppien määrä.

Viiden nopan yhtälö:

Y = 1/7776 + (25/7776) (1 + 6) + (250/7776) (1 + 96/11) + (1250/7776) (1 + 10566/1001) + (3125/7776) (1+ 728256/61061) + (3125/7776) (1 + Y) 

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Veli Ponteva
Seuraa 
Viestejä954

Tulee aina herja: Kommenttisi julkaistaan hyväksynnän jälkeen.

void main(void)
{
   int noppa[5];
   noppa[4]=6;

   for (double kierroksia=0, tapauksia=0;;)
   {
      memset(noppa, 0, sizeof(int)*4);
      for (int kierros=0, i;;) {
         for (i=0; i<5; i++) {
            if (noppa[i]==6) break;
            else noppa[i]=random(6)+1;
         }
         if (i!=0) {++kierros; qsort(noppa, 4, sizeof(int), vert);}
         else {kierroksia+=kierros; tapauksia+=1; break;}
      }
      static int loop=0;
      if ((++loop)==1000000) {loop=0;
      printf("%15.10f\n", kierroksia/tapauksia);}
   }
}

Selkärankaisten laskupää on yhtä hyvä kuin pikkulasten – jotkin osaavat jopa yhteen- ja vähennyslaskua

Eusa
Seuraa 
Viestejä18462

Mikähän olisi osavarianssien summan neliöjuuri? Joka laskemisesta tykkää, voisi selvittää keskihajonnan...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

Eusa kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Eusa kirjoitti:
Poikkeaako odotusarvo paljon, jos noppia onkin vain kaksi? Eli jos tarkastellaan noppia pareittain... tai jos noppia on 6 tai 10 tai 100? Kyseessähän on ongelmansiirtopuu, usealla nopalla heitto heitolta ongelma siirtyy astetta pienemmäksi. 100 nopan tapauksessa seuraavaksi on odotettavissa n. 83 nopan ongelma, sitten 69 jne.

Tässä: 4*5/6 = 3,3 -> *5/6 = 2,8 -> *5/6 = 2,3 -> *5/6 = 1,9 -> *5/6 = 1,6 -> *5/6 = 1,3.

5 heiton jälkeen kysytään "Käytössä 1,3 noppaa - montako heittoa, jotta kaikki kuutosia?" - Yhtä noppaa tulee heittää kolme kertaa, jotta kuutosen tod.näköisyys yltää 50%:iin. 5+4 = 9 heittoa tulisi tällä approksimoinnilla. Selvästikin epäonnistuneet vuorot tuottavat enemmän pidempiä heittosarjoja kuin onnistuneet lyhentävät. Siis 11,92 vaikuttaa realistiselta.

Se mun 5,3 oli selvä hahmotushäiriö. :o]

Jos noppia on kaksi, niin odotusarvo on 96/11≈8,7.

Noppien määrän lisääntyessä odotusarvon laskeminen menee käsipelillä hankalaksi.

E=∑(1-(1-(5/6)^(k-1))^N),k=0,1,2,.... 

N on noppien määrä.

Jahas, olitkin sillä välin laittanut sievennetyn kaavan. Löin tuossa yhtälöitä WA:lle minkä jaksoin. En päässyt eroon "omasta muuttujastaan" - sinä näemmä pääsit.

Kaavan johto tuotti hieman ongelmia.

Jos X ilmoittaa kierrosten määrän, niin odotusarvo E=∑k*P(X=k).

Todennäköisyyksien P(X=k) määrittäminen on hankalaa, mutta tämä voidaan kiertää seuraavasti

P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+........

P(X≥2)=                  P(X=2)+P(X=3)+........

PX≥3)=                                         P(X=3)+........

.......

Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen

P(X≥1)+P(X≥2)+P(X≥3)+......=1*P(X=1)+2*P(X=2)+3*P(X=3)+.....=E

Todennäköisyydet P(X≥k) saadaan tavanomaisella kombonatorisella päättelyllä ja  summaksi saadaan E=∑(1-(1-(5/6)^(k-1))^N),k=1,2,.... (indeksivirhe korjattu)

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat