Seuraa 
Viestejä568
Liittynyt10.10.2013

Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Kommentit (15)

JPI
Seuraa 
Viestejä25258
Liittynyt5.12.2012

Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Alkulukujen käänteislukujen summa ei myöskään suppene ja hajaantuu hitaammin.

3³+4³+5³=6³

Eusa
Seuraa 
Viestejä14687
Liittynyt16.2.2011

Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Ei ole tuo miljardin vaan kymmenen miljoonan jäsenen summa.

sum(1/(n^(1+k/n)))(n=1...k),k->infinity

Olisiko tämä?

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

Eusa
Seuraa 
Viestejä14687
Liittynyt16.2.2011

Eusa kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Ei ole tuo miljardin vaan kymmenen miljoonan jäsenen summa.

sum(1/(n^(1+k/n)))(n=1...k),k->infinity

Olisiko tämä?


Tuo on ehkä yksi, mutta entäpä:

sum(1/(n^(1+(k-1)/n)))(n=1...k),k->infinity ?

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12601
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
Versioni JPI:n ja eusan  ehdokkaista.

an=1/(p^(1+1/p)), p alkuluku 

∑an hajaantuu

Eksponentin ykköstä lähenemistä voinee vielä hidastaa.

an=1/(p^(1+M/p)), p alkuluku  M>1 vakio

PPo
Seuraa 
Viestejä12601
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Versioni JPI:n ja eusan  ehdokkaista.

an=1/(p^(1+1/p)), p alkuluku 

∑an hajaantuu

Eksponentin ykköstä lähenemistä voinee vielä hidastaa.

an=1/(p^(1+M/p)), p alkuluku  M>1 vakio

Merkkivirheen korjaus

an=1/(p^(1-M/p))

PPo
Seuraa 
Viestejä12601
Liittynyt10.12.2008

PPo kirjoitti:
PPo kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Versioni JPI:n ja eusan  ehdokkaista.

an=1/(p^(1+1/p)), p alkuluku 

∑an hajaantuu

Eksponentin ykköstä lähenemistä voinee vielä hidastaa.

an=1/(p^(1+M/p)), p alkuluku  M>1 vakio

Merkkivirheen korjaus

an=1/(p^(1-M/p))

Merkkivirheen korjaus korjattu .Siis

an=1/(p^(1+M/p))

pöhl
Seuraa 
Viestejä916
Liittynyt19.3.2005

Yksinkertainen sarja kuulostaa joltain jalkapalloturnausformaatilta. Ihan yleisesti jos a_n on positiivitermisen hajaantuvan sarjan n:s termi, niin sarja, jonka termit ovat a_n/2 hajaantuu vielä hitaammin.

Tokkura
Seuraa 
Viestejä3233
Liittynyt16.1.2016

Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Sellaista ei ole. Jos sarjan n:s termi >= 1/n, sarja hajaantuu, jos se =< 1/c, sarja on aliharmoninen, ja se suppenee.

https://fi.wikipedia.org/wiki/Harmoninen_sarja

Simplex
Seuraa 
Viestejä2943
Liittynyt26.1.2010

Aiemmin esittämäni sum (1/(1+n^2), n=1 to inf suppenee. Laskin liian pienillä luvuilla mutta Wolfram osasi evaluoida myös arvolla inf, jolloin suppeneminen tuli ilmi.

Eusa
Seuraa 
Viestejä14687
Liittynyt16.2.2011

Suppenee se minunkin kehitelmä. Muuttuja k voi olla mielivaltaisen suuri, jolloin hajoaminen tosin hidastuu, mutta ei sen kestä äärettömiin kehittyä, sillä muuten jää ykköseen...

Jotain mahtavuuksien välistä peliä voisi olla kehitettävissä...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: 1 / (1^0+2^1+3^2+5^3+1^0/2^1*3^2/5^3) = 1 / 137,036

PPo
Seuraa 
Viestejä12601
Liittynyt10.12.2008

Simplex kirjoitti:
Aiemmin esittämäni sum (1/(1+n^2), n=1 to inf suppenee. Laskin liian pienillä luvuilla mutta Wolfram osasi evaluoida myös arvolla inf, jolloin suppeneminen tuli ilmi.
Sinun sarjasi suppenenemisen perustelu onnistuu (melkein)  lukiomatematiikolta seuraavasti

∑(1/(1+n^2)<∫(1+1/x^2)dx(rajat 0—>∞)=atan(∞)-atan0=π/2

Toisaalta kyseinen summa on kasvava, joten raja-arvo on.

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat