Seuraa 
Viestejä768

Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Bernard Shawn: ”Tiede on aina väärässä: se ei koskaan ratkaise ongelmaa luomatta kymmentä lisää.”

Kommentit (15)

JPI
Seuraa 
Viestejä29611

Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Alkulukujen käänteislukujen summa ei myöskään suppene ja hajaantuu hitaammin.

3³+4³+5³=6³

Eusa
Seuraa 
Viestejä18469

Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Ei ole tuo miljardin vaan kymmenen miljoonan jäsenen summa.

sum(1/(n^(1+k/n)))(n=1...k),k->infinity

Olisiko tämä?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla
Eusa
Seuraa 
Viestejä18469

Eusa kirjoitti:
Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Ei ole tuo miljardin vaan kymmenen miljoonan jäsenen summa.

sum(1/(n^(1+k/n)))(n=1...k),k->infinity

Olisiko tämä?


Tuo on ehkä yksi, mutta entäpä:

sum(1/(n^(1+(k-1)/n)))(n=1...k),k->infinity ?

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

PPo kirjoitti:
Versioni JPI:n ja eusan  ehdokkaista.

an=1/(p^(1+1/p)), p alkuluku 

∑an hajaantuu

Eksponentin ykköstä lähenemistä voinee vielä hidastaa.

an=1/(p^(1+M/p)), p alkuluku  M>1 vakio

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

PPo kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Versioni JPI:n ja eusan  ehdokkaista.

an=1/(p^(1+1/p)), p alkuluku 

∑an hajaantuu

Eksponentin ykköstä lähenemistä voinee vielä hidastaa.

an=1/(p^(1+M/p)), p alkuluku  M>1 vakio

Merkkivirheen korjaus

an=1/(p^(1-M/p))

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

PPo kirjoitti:
PPo kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Versioni JPI:n ja eusan  ehdokkaista.

an=1/(p^(1+1/p)), p alkuluku 

∑an hajaantuu

Eksponentin ykköstä lähenemistä voinee vielä hidastaa.

an=1/(p^(1+M/p)), p alkuluku  M>1 vakio

Merkkivirheen korjaus

an=1/(p^(1-M/p))

Merkkivirheen korjaus korjattu .Siis

an=1/(p^(1+M/p))

pöhl
Seuraa 
Viestejä964

Yksinkertainen sarja kuulostaa joltain jalkapalloturnausformaatilta. Ihan yleisesti jos a_n on positiivitermisen hajaantuvan sarjan n:s termi, niin sarja, jonka termit ovat a_n/2 hajaantuu vielä hitaammin.

Tokkura
Seuraa 
Viestejä6962

Keckuli kirjoitti:
Kuten tunnettua sarjan summa: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5... ei suppene, mutta "hajaantuu hyvin hitaasti". Miljardin ensimmäisen sarjan jäsenen summa on vain 16,6953113658573. Keksittekö yksinkertaista sarjaa, minkä summa hajaantuisi vielä hitaammin, mutta ei siis suppene?

Sellaista ei ole. Jos sarjan n:s termi >= 1/n, sarja hajaantuu, jos se =< 1/c, sarja on aliharmoninen, ja se suppenee.

https://fi.wikipedia.org/wiki/Harmoninen_sarja

Eusa
Seuraa 
Viestejä18469

Suppenee se minunkin kehitelmä. Muuttuja k voi olla mielivaltaisen suuri, jolloin hajoaminen tosin hidastuu, mutta ei sen kestä äärettömiin kehittyä, sillä muuten jää ykköseen...

Jotain mahtavuuksien välistä peliä voisi olla kehitettävissä...

Hienorakennevakio vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

PPo
Seuraa 
Viestejä15325

Simplex kirjoitti:
Aiemmin esittämäni sum (1/(1+n^2), n=1 to inf suppenee. Laskin liian pienillä luvuilla mutta Wolfram osasi evaluoida myös arvolla inf, jolloin suppeneminen tuli ilmi.
Sinun sarjasi suppenenemisen perustelu onnistuu (melkein)  lukiomatematiikolta seuraavasti

∑(1/(1+n^2)<∫(1+1/x^2)dx(rajat 0—>∞)=atan(∞)-atan0=π/2

Toisaalta kyseinen summa on kasvava, joten raja-arvo on.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Suosituimmat