Schwarzin epäyhtälön todistus?

Seuraa 
Viestejä45973
Liittynyt3.9.2015

Olen siis yrittänyt etsiä todistusta Schwarzin epäyhtälölle reaaliavaruuden vektoreilla.

Olisin kiitollinen, jos joku viitsisi todistaa sen minulle, sillä se todistaisi myös kolmioepäyhtälön oikeaksi.

Tehtävä on siis:

Osoita, että Schwarzin epäyhtälö (X:n ja Y:n pistetulo on pienempi tai yhtäsuuri kuin X:n ja Y:n pituuksien tulo)
pätee kaikilla vektoreilla X ja Y.

Kiitos.

Kommentit (7)

Vierailija
Regel
Olen siis yrittänyt etsiä todistusta Schwarzin epäyhtälölle reaaliavaruuden vektoreilla.

Olisin kiitollinen, jos joku viitsisi todistaa sen minulle, sillä se todistaisi myös kolmioepäyhtälön oikeaksi.

Tehtävä on siis:

Osoita, että Schwarzin epäyhtälö (X:n ja Y:n pistetulo on pienempi tai yhtäsuuri kuin X:n ja Y:n pituuksien tulo)
pätee kaikilla vektoreilla X ja Y.

Kiitos.

http://mathworld.wolfram.com/SchwarzsInequality.html

Lyhyestä virsi kaunis.

Vierailija

Ajattelin siis lukion ensimmäisen vuoden kurssien sisällöillä todistusta, koska nuo menee vielä vähän yli ymmärrykseni.

bosoni
Seuraa 
Viestejä2704
Liittynyt16.3.2005

En ole nähnyt muunlaista todistusta, kuin operaattorialgebralla, joka nojaa sisätuloavaruuksien ominaisuuksiin, tai sitten integraalien ominaisuuksiin perustuva, joka on idealtaan suunnilleen sama.

Kolmioepäyhtälölle löytyy geometrinen tulkinta, jonka voi ottaa lähtökohdaksi.

Edit: no jaa, kyllä se sama todistus näköjään pätee tietysti tavallisiin vektoreihin, kun yleistyy laajemmaksikin. Sen tosiaan voi kirjoittaa myös tavallisilla vektoreilla.

Mahtaakohan olla tarkoitus lukion ensimmäisissä kursseissa tempaista tuotakaan tyhjästä, vaikka kolmioepäyhtälön tosiaan voi todistaa käyttäen hyväksi Schwarzin epäyhtälöä?!

Netistä se varmaan löytyy joka tapauksessa, mutta en viitsi sitä suoraan kirjoittaa.

Yhdellä tavalla idea olisi tämmöinen:

muodostetaan vektori w(u, v)
w=u - (v.u)/(v.v)*v
Sitten lasketaan paljonko on w.w ja sievistellään, ja tämä on tietenkin nollaa suurempi, kun on mielivaltaisen vektorin neliö.

Siitä se sitten tulee (S-epäyhtälö vetoreille u ja v), mutta ainakaan meillä lukiossa ei ollut vielä nuo operaatiot riittävän hyvin hallussa tuohon...

Jos sorruin (taas) virheeseen, niin tukka varmaan vain oli silmillä, kuten kuva osoittaa...

Vierailija

|(x,y)|<_ ||x||*||y||

sqrt(x_1*y_1 + x_2*y_2 +...+x_n*y_n) <_ sqrt(x_1^2 +...+x_n^2) + sqrt(y_1^2+...+y_n^2)
kiskastaan molemmat puolet toiseen potenssiin=>

x_1*y_1+...+x_n*y_n <_ x_1^2+...+x_n^2+y_1^2+...+y_n^2+2sqrt((x_1^2+...+)(y_1^2+...))
Tuohan riittääkin silla xy<_x^2 jos y<_x tahi toistapäin ja tuossahan on peräti xy<_x^2+y^2 + sqrt(jotain)

Elikkä lukion ekan vuoden opinnoilla tuosta olisi kyllä pitänyt selviytyä ihan kunnialla...eikä tosiaankaa edes tarvitse tietää mitä operaattorialgebra tarkoittaa. Eihän tuo todistus sille varsinaiselle Swartzin epäyhtälölle ole mutta tuolle yhtälölle se on mitä kuvassa on, eikä enempää lukiossa voi vaatia.

Vierailija

Jos pitää todistaa, että X:n ja Y:n pistetulo on pienempi tai yhtäsuuri kuin X:n ja Y:n pituuksien tulo niin eikös se mene suoraan pistetulon määritelmästä, jos käytetään sitä määritelmää, jossa on kosini mukana. XpisteY=|X||Y|cos(X,Y)

Pituuksien tulo on aina positiivinen. Kosini on aina pienempi tai yhtä suuri 1 (en tiedä kompleksisista argumenteista, mutta niillä ei kai tässä yhteydessä ole väliä.

Edit:virhe korjattu

Vierailija

Itsekin ajattelin Massin versiota asiasta. Kaipa se sitten on täysin pätevä kaikille reaaliavaruuden vektoreille X ja Y.

Kiitos vastanneille.

Ja erityisesti Puuhikille, sillä tuollaisen löysin jo aiemmin, mutta tuossa selitettiin se tarkemmin.

Uusimmat

Suosituimmat