Seuraa 
Viestejä1
Liittynyt31.3.2018

Hei! Tarvitsisin vähän apua yhden laskun kanssa: " Tutki, ovatko vektorit a ja b kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n itseisarvo on 6, b:n itseisarvo 5 ja 2a+b=13

Kommentit (10)

Frrr
Seuraa 
Viestejä9
Liittynyt22.9.2017

Eli siis tiedämme, että |a|=6, |b|=5, ja |2a+b|=13, ja tarkoitus on laskea vektorien a ja b välinen pistetulo. Vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan jos ja vain jos a*b=0. (Missä * on pistetulo)

Voimme käyttää hyödyksi tulosta, jonka mukaan vektorin pistetulo itsensä kanssa on vektorin pituuden toinen potenssi. Eli v*v=|v|^2. 

Kyseisen tuloksen mukaan siis (2a+b)*(2a+b)=|2a+b|^2. Toisaalta (2a+b)*(2a+b) voidaan myös kirjoittaa auki pistetulon ominaisuuksia käyttäen, jolloin (2a+b)*(2a+b)=4|a|^2+4(a*b)+|b|^2. 

Nyt meillä on kaksi yhtälöä;

(2a+b)*(2a+b)=|2a+b|^2

ja 

(2a+b)*(2a+b)=4|a|^2+4(a*b)+|b|^2.

Nyt voidaan asettaa yhtälöiden oikeat puolet yhtäsuuriksi, ja ratkasta termi (a*b). (Tiedämme kaiken muun annetun pohjalta)

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

Tämä voinee ratkaista myös niin että tehtävän alussa määrittää vektroit a ja b niin että ne todella ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: a = 6i ja b = 5j. Mikäli lisäehto |2a + b| = 13 toteuttaa Pythagoraan lauseen,niin tällöin vektorit ovat kotisuorassa toisiaan vastaan.

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Simplex kirjoitti:
Tämä voinee ratkaista myös niin että tehtävän alussa määrittää vektroit a ja b niin että ne todella ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: a = 6i ja b = 5j. Mikäli lisäehto |2a + b| = 13 toteuttaa Pythagoraan lauseen,niin tällöin vektorit ovat kotisuorassa toisiaan vastaan.
Oletat, että a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Silloin ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täysin riippumatta siitä, kuinkan pitkä vektori 2a+b on.

Frrr:n ratkaisu sen sijaan on ok.

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

PPo kirjoitti:
Simplex kirjoitti:
Tämä voinee ratkaista myös niin että tehtävän alussa määrittää vektroit a ja b niin että ne todella ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: a = 6i ja b = 5j. Mikäli lisäehto |2a + b| = 13 toteuttaa Pythagoraan lauseen,niin tällöin vektorit ovat kotisuorassa toisiaan vastaan.
Oletat, että a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Silloin ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täysin riippumatta siitä, kuinkan pitkä vektori 2a+b on.

Frrr:n ratkaisu sen sijaan on ok.

Lähdin siitä ajatuksesta että ainoastaan kohtisuorat vektorit täyttävät kaikki tehtävässä annetut kolme ehtoa:

1) vektorin a pituus on 6

2) vektorin b pituus on 5

3) vektorin 2a+b pituus on 13

Mikäli vektorit a ja b eivät olisi kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin tällöin ne eivät voisi milloinkaan toteuttaa viimeistä ehtoa 3 niin että samalla kaikki ehdot 1 - 3 täyttyisivät. Näin ollen määritin alussa vektorit a ja b niin että ne todella ovat suorassa kulmassa toisiaan kohti, jonka seurauksena kaikki kolme ehtoa täyttyvät, jolloin vektorien a ja b on oltava suorassa kulmassa toisiinsa nähden silloin kun ehdot 1 - 3 täyttyvät.

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Simplex kirjoitti:
PPo kirjoitti:
Simplex kirjoitti:
Tämä voinee ratkaista myös niin että tehtävän alussa määrittää vektroit a ja b niin että ne todella ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: a = 6i ja b = 5j. Mikäli lisäehto |2a + b| = 13 toteuttaa Pythagoraan lauseen,niin tällöin vektorit ovat kotisuorassa toisiaan vastaan.
Oletat, että a ja b ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Silloin ne ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan täysin riippumatta siitä, kuinkan pitkä vektori 2a+b on.

Frrr:n ratkaisu sen sijaan on ok.

Lähdin siitä ajatuksesta että ainoastaan kohtisuorat vektorit täyttävät kaikki tehtävässä annetut kolme ehtoa:

1) vektorin a pituus on 6

2) vektorin b pituus on 5

3) vektorin 2a+b pituus on 13

Mikäli vektorit a ja b eivät olisi kohtisuorassa toisiaan vastaan, niin tällöin ne eivät voisi milloinkaan toteuttaa viimeistä ehtoa 3 niin että samalla kaikki ehdot 1 - 3 täyttyisivät. Näin ollen määritin alussa vektorit a ja b niin että ne todella ovat suorassa kulmassa toisiaan kohti, jonka seurauksena kaikki kolme ehtoa täyttyvät, jolloin vektorien a ja b on oltava suorassa kulmassa toisiinsa nähden silloin kun ehdot 1 - 3 täyttyvät.

Sinä oletit, että abs(a)=6 ja abs(b)=5 j ab.

Sitten sinä osoitit, että abs(2a+b)=13

Sen sijaan et ole osoittanut että noista kolmesta ehdosta seuraa, että ab.

Boldattu on tehtävän väite, joka on sinulla oletuksena.

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

Piirretään paperille vektori 2 a eli vektori jonka pituus on 12. Tämän jälkeen piirretään harpilla ympyrä jonka keskipiste on saadun vektorin 2 a kärjessä ja  jonka säde on 5. Piirretyn ympyrän kehällä on kaikki ratkaisut vektorisummalle 2 a + b. Piirretään lopuksi toinen ympyrä jonka keskipiste on vektorin 2 a kannassa ja jonka säde on 13. Näiden kahden ympyrän leikkauspisteistä löytyvät yhtälön abs(2a+b)=13 molemmat ratkaisut - muita ratkaisuja ei ole. Koska abs(2a+b)=13 toteuttaa Pythagoraan lauseen ainoastaan silloin kun a⏊b, tulee vektoriden a ja b olla näin ollen olla a⏊b.

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Simplex kirjoitti:
Piirretään paperille vektori 2 a eli vektori jonka pituus on 12. Tämän jälkeen piirretään harpilla ympyrä jonka keskipiste on saadun vektorin 2 a kärjessä ja  jonka säde on 5. Piirretyn ympyrän kehällä on kaikki ratkaisut vektorisummalle 2 a + b. Piirretään lopuksi toinen ympyrä jonka keskipiste on vektorin 2 a kannassa ja jonka säde on 13. Näiden kahden ympyrän leikkauspisteistä löytyvät yhtälön abs(2a+b)=13 molemmat ratkaisut - muita ratkaisuja ei ole. Koska abs(2a+b)=13 toteuttaa Pythagoraan lauseen ainoastaan silloin kun a⏊b, tulee vektoriden a ja b olla näin ollen olla a⏊b.
Suorakulmaisessa kolmiossa a^2+b^2=c^2.

Tässä tehtävässä oli tarkoitus todistaa vektorin pistetuloa käyttäen käänteinen lause.

Jos a^2+b^2=c^2,  niin kolmio on suorakulmainen.

Jos oletetaan boldattu, niin silloin tehtävässä ei ole mitään todistettavaa.

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

Tehtävä oli: "Tutki, ovatko vektorit a ja b kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n itseisarvo on 6, b:n itseisarvo 5 ja 2a+b=13" ja otsikossa mainittiin pistetulo. Käytin hyväkseni pistetulosta saatua tietoa "vektoreiden pistetulo on nolla kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan" ja tutkin geometrisesti että tehtävässä annetuilla ehdoilla löytyy vain yksi mahdollinen ratkaisu, jolloin vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tiedän, väärin sammutettu.

PPo
Seuraa 
Viestejä12606
Liittynyt10.12.2008

Simplex kirjoitti:
Tehtävä oli: "Tutki, ovatko vektorit a ja b kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n itseisarvo on 6, b:n itseisarvo 5 ja 2a+b=13" ja otsikossa mainittiin pistetulo. Käytin hyväkseni pistetulosta saatua tietoa "vektoreiden pistetulo on nolla kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan" ja tutkin geometrisesti että tehtävässä annetuilla ehdoilla löytyy vain yksi mahdollinen ratkaisu, jolloin vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tiedän, väärin sammutettu.
Nyt juksaat.

Sinun laskelmissasi ei esiinny yhtään pistetuloa.

Simplex
Seuraa 
Viestejä2945
Liittynyt26.1.2010

PPo kirjoitti:
Simplex kirjoitti:
Tehtävä oli: "Tutki, ovatko vektorit a ja b kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun a:n itseisarvo on 6, b:n itseisarvo 5 ja 2a+b=13" ja otsikossa mainittiin pistetulo. Käytin hyväkseni pistetulosta saatua tietoa "vektoreiden pistetulo on nolla kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan" ja tutkin geometrisesti että tehtävässä annetuilla ehdoilla löytyy vain yksi mahdollinen ratkaisu, jolloin vektorit a ja b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tiedän, väärin sammutettu.
Nyt juksaat.

Sinun laskelmissasi ei esiinny yhtään pistetuloa.

Toki esiintyy. Vektorien pistetulo on nolla kun vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden. Koska vektorit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden (ainoa ratkaisu annetussa tehtävässä) niin niiden pistetulonkin täytyy olla tällöin nolla: pistetulo(a,b) = |a| |b| cos(a,b) on nolla silloin kun cos(a,b) on nolla eli kun a⏊b. Perustelin vain geometrian avulla että vektoreiden a ja b pistetulo = 0. Ei tarvinnut osata laskea pistetuloa eikä edes muistaa Pythagorasta, riitti että osasi käyttää viivotinta, harppia ja piirtää suoralle normaalin. Tietenkin Frrr:n esittämä ratkaisumalli on se mitä tässä varmasti haettiin. :)

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat