Seuraa 
Viestejä4
Liittynyt25.2.2018

Olettakaamme Maan säteeksi 6 371 km. Horisonttia tiiraava tähystäjä keikkuu 10 metrin korkeudessa, jolloin hänen ja horisontin väliseksi kulmaetäisyydeksi tulee cos-1(6 371 / 6 371,01) ≈ 0,002 rad (noin 0,1°) ja varsinaiseksi etäisyydeksi maanpintaa pitkin 0,002 * 6 371 ≈ 11,3 km. Tältä korkeudelta nähtävän alueen pinta-ala on noin 11,32^2 * 𝜋 ≈ 400,3 km^2. Ihan uskottavaa.

Jos kuitenkin nostamme havaitsijan vaikkapa 50 000 kilometrin korkeuteen, on havaitsijan ja horisontin välinen kulmaetäisyys cos-1(6 371 / 56 371) ≈ 1,46 rad (noin 83,5°) ja etäisyys maanpintaa pitkin 1,46 * 6 371 ≈ 9 286 km. Kuulostaa uskottavalta, sillä onhan matka pohjoisnavalta päiväntasaajalle 10 000 km. Mutta tuolta korkeudelta näkyvän alueen pinta-alaksi tulee 9 286^2 * 𝜋 ≈ 270 896 379 km^2, mikä on yli 53 % Maan kokonaispinta-alasta (säteellä 6 371 km).

Missä vika? Keksinkö juuri keinon nähdä kolmiulotteiden kappaleen taakse? Onko pallon pinta-alan laskemiseen käytettävä kaava epätäydellinen? Vai olenko tehnyt jonkun todella alkeellisen virheen?

Laitan rahani viimeiseen, mutta olisi kiva tietää, mistä tuo johtuu.

Kommentit (4)

lokki
Seuraa 
Viestejä4940
Liittynyt3.1.2010

Käyttäjä6440 kirjoitti:
Olettakaamme Maan säteeksi 6 371 km. Horisonttia tiiraava tähystäjä keikkuu 10 metrin korkeudessa, jolloin hänen ja horisontin väliseksi kulmaetäisyydeksi tulee cos-1(6 371 / 6 371,01) ≈ 0,002 rad (noin 0,1°) ja varsinaiseksi etäisyydeksi maanpintaa pitkin 0,002 * 6 371 ≈ 11,3 km. Tältä korkeudelta nähtävän alueen pinta-ala on noin 11,32^2 * 𝜋 ≈ 400,3 km^2. Ihan uskottavaa.

Jos kuitenkin nostamme havaitsijan vaikkapa 50 000 kilometrin korkeuteen, on havaitsijan ja horisontin välinen kulmaetäisyys cos-1(6 371 / 56 371) ≈ 1,46 rad (noin 83,5°) ja etäisyys maanpintaa pitkin 1,46 * 6 371 ≈ 9 286 km. Kuulostaa uskottavalta, sillä onhan matka pohjoisnavalta päiväntasaajalle 10 000 km. Mutta tuolta korkeudelta näkyvän alueen pinta-alaksi tulee 9 286^2 * 𝜋 ≈ 270 896 379 km^2, mikä on yli 53 % Maan kokonaispinta-alasta (säteellä 6 371 km).

Missä vika? Keksinkö juuri keinon nähdä kolmiulotteiden kappaleen taakse? Onko pallon pinta-alan laskemiseen käytettävä kaava epätäydellinen? Vai olenko tehnyt jonkun todella alkeellisen virheen?

Laitan rahani viimeiseen, mutta olisi kiva tietää, mistä tuo johtuu.

Lasket kalottimaisen kappaleen pinta-alan pii-är-toiseen-kaavalla. Sinulle on käynyt päinvastoin kuin koulun tekstiilikässyssä, joss patalapusta tuli pipo. Sinulla piposta tuli patalappu.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2273
Liittynyt24.1.2014

Käyttäjä6440 kirjoitti:
Olettakaamme Maan säteeksi 6 371 km. Horisonttia tiiraava tähystäjä keikkuu 10 metrin korkeudessa, jolloin hänen ja horisontin väliseksi kulmaetäisyydeksi tulee cos-1(6 371 / 6 371,01) ≈ 0,002 rad (noin 0,1°) ja varsinaiseksi etäisyydeksi maanpintaa pitkin 0,002 * 6 371 ≈ 11,3 km. Tältä korkeudelta nähtävän alueen pinta-ala on noin 11,32^2 * 𝜋 ≈ 400,3 km^2. Ihan uskottavaa.

Jos kuitenkin nostamme havaitsijan vaikkapa 50 000 kilometrin korkeuteen, on havaitsijan ja horisontin välinen kulmaetäisyys cos-1(6 371 / 56 371) ≈ 1,46 rad (noin 83,5°) ja etäisyys maanpintaa pitkin 1,46 * 6 371 ≈ 9 286 km. Kuulostaa uskottavalta, sillä onhan matka pohjoisnavalta päiväntasaajalle 10 000 km. Mutta tuolta korkeudelta näkyvän alueen pinta-alaksi tulee 9 286^2 * 𝜋 ≈ 270 896 379 km^2, mikä on yli 53 % Maan kokonaispinta-alasta (säteellä 6 371 km).

Missä vika? Keksinkö juuri keinon nähdä kolmiulotteiden kappaleen taakse? Onko pallon pinta-alan laskemiseen käytettävä kaava epätäydellinen? Vai olenko tehnyt jonkun todella alkeellisen virheen?

Laitan rahani viimeiseen, mutta olisi kiva tietää, mistä tuo johtuu.

Hieno lasku sulla (olet nähnyt selvästi myös vaivaa), mutta siinä on valitettavasti väärä pinta-alan kaava käytössä tuossa boldatussa, käytät nimittäin tasogeometrian ympyrän pinta-alan kaavaa A = 𝜋 R², missä R on ympyrän säde. Pallolle tuo Pohjoisnavan "lakin"  pinta-ala on kaavana

A = 2𝜋R² (1 - cosα),

missä nyt:

R = Maan säde = 6371km

α = antamasi kulmaetäisyys radiaaneina (tämä siis mitataan Maan keskipisteestä)

Kun tuo korkeus on se 50 000km antaa tuo pinta-alakaava tulokseksi A = 2,26 x  10^8 km² , mikä on himpun vähemmän kuin pohjoisen pallonpuoliskon pinta-ala 2,55 x 10^8 km², kuten pitääkin.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat