Seuraa 
Viestejä4
Liittynyt26.4.2018

Olen opiskellut jonkin verran lineaarialgebraa ja rengasalgebraa. Väistämättäkin olen huomannut näiden kahden samankaltaisuuden. Rengasalgebrassa esimerkiksi homomorfismeja ja isomorfismeja renkaiden ja kuntien välillä. Lineaarialgebrassa taas tarkasteltiin aliavaruuksien välisiä isomorfismeja. Ja alikunnat/ -renkaat vaikuttavat melko samanlaisilta rakenteilta kuin aliavaruudet.

Osaisko joku fiksumpi selventää näiden kahden eri lähestymistavan yhteyttä toisiinsa? Mitä esim. rengas vastaa lineaarialgebran termistössä? Tai renkaan ideaali? Entä milloin on edullisempaa tarkastella asioita rengasalgebran avulla ja milloin lineaarialgebran avulla?

Sivut

Kommentit (81)

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2314
Liittynyt24.1.2014

Hmm, hieman hankalasti hahmottettava kyssäri sulla, mutta yritän vastata.

mltOpiskelija kirjoitti:
Olen opiskellut jonkin verran lineaarialgebraa ja rengasalgebraa. Väistämättäkin olen huomannut näiden kahden samankaltaisuuden. Rengasalgebrassa esimerkiksi homomorfismeja ja isomorfismeja renkaiden ja kuntien välillä. Lineaarialgebrassa taas tarkasteltiin aliavaruuksien välisiä isomorfismeja. Ja alikunnat/ -renkaat vaikuttavat melko samanlaisilta rakenteilta kuin aliavaruudet.

Lineaarialgebrassa perusobjekteja ovat vektoriavaruuden V alkiot eli vektorit v. Niitä voidaan laskea yhteen (v + w)  ja kertoa annetun kunnan K alkioilla k . Nyt tuo V on erityisesti myös yhteenlaskun suhteen Abelin ryhmä eli kommutatiivinen ryhmä.

Renkaiden teoriassa on myös määritelmän mukaan olemassa renkaan R alkioiden yhteenlasku (a,b) → a + b, joka toteuttaa ryhmän määritelmän aksioomat ja lisäksi se myös kommutatiivinen eli a + b = b + a.

Sekä vektoriavaruuden V aliavaruudet W  ja renkaan R alirenkaat P ovat sellaisia, että ne ovat myös aliryhmiä vastaavan yhteenlaskun suhteen eli jos w∈W ja v∈W, niin myös w + v ∈ W ja vastaavasti jos a ∈ P ja b∈ P niin silloin a + b ∈ P.

Siis vektoriavaruuden aliavaruudet, renkaan alirenkaat ovat aina suljettuja laskutoimituksen + suhteen, koska ne ovat aliryhmiä ja tämä aliryhmäominaisuus tuo mukanaan tiettyjä samankaltaisuuksia.

Kuitenkin erojakin on ja paljon: esimerkiksi vektoriavaruudella V on täsmällinen dimension käsite (äärellinen tai ääretön), mutta renkaalla ei ole tälläistä, renkaa alkioita voi kertoa keskenään, ab on olemassa, mutta tuloja vw vektoriavaruudessa ei ole yleensä mielekkäästi mahdollista muodostaa.

mltOpiskelija kirjoitti:

Osaisko joku fiksumpi selventää näiden kahden eri lähestymistavan yhteyttä toisiinsa? Mitä esim. rengas vastaa lineaarialgebran termistössä? Tai renkaan ideaali? Entä milloin on edullisempaa tarkastella asioita rengasalgebran avulla ja milloin lineaarialgebran avulla?

Tässä ei mielestäni ole kyse lähestymistavoista, vaan tosiaankin tuo mun yllämainitsenmani ominaisuus, jossa sekä vektoriavaruus ja rengas kumpikin sisältävät abelin ryhmän. Siten kumpaankin voidaan yrittää soveltaa ryhmäteoriasta peräisin olevia ideoita ja käsitteitä ja näin on tehtykin menestyksekkäästi ja siksi monet teoreemat näyttävät samankaltaisilta.

PS: se ideaali unohtui multa:

Ideaali I on taasen erityisesti R:n alirengas, jolla on se erityisominaisuus, että tekijärengas (R/I , +, × ) voidaan muodostaa. Tekijäryhmä (R/I, +) voidaan aina muodostaa, koska I on alirenkaana pluslaskun suhteen Abelin ryhmä, ongelmaksi muodostuu tuo kertolaskun määrittely noissa ekvivalenssijoukossa R/I. Tämä onnistuu vain silloin kun I on tosiaan ideali eikä mikä tahansa alirengas.

Toivottavasti tuosta mun vastauksesta oli jotain apua.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4748
Liittynyt26.7.2015

Mielenkiintoinen aihe teillä. Voisin myös kirjoittaa tiedostaen, että matemaatikoille tämä ei kelpaa, koska liikaa käsienheiluttelua, heh. Kunnan, renkaan ja vektoriavaruuden väliset yhteydet tiiviisti:

Kunta on joukko K, jolle on määritelty suljetut yhteenlasku- ja kertolaskukuvaukset +:K x K -> K, ja ·:K x K -> K. Yhteenlasku on kommutatiivinen (abelin ryhmän kaltainen ominaisuus) ja assosiatiivinen, sekä lisäksi nautraalialkio (eli nolla-alkio) ja käänteisalkio ovat olemassa. Kertolaskulle pätevät samat ominaisuudet kunhan yhteenlaskun nolla-alkio poistetaan, eli pätevät joukolle K\{0}. Esim. reaalilukujen nolla-alkiolle ei löydetä kertolaskun käänteisalkiota.

Rengas poikkeaa kunnasta käytännössä siten, että yhteenlasku on samanlainen kuin kunnalla, mutta kertolasku ei välttämättä toteuta kunnan vastaavia ominaisuuksia (voi kuitenkin toteuttaa osan). Esim. reaalisten matriisien kertolasku ei ole kommutatiivinen, on assosiatiivinen, ja kaikilla matriiseilla ei ole käänteismatriisia. Nämä eivät muodosta kuntaa vaan renkaan. Kunta on siis eräällä tavalla hyvin käyttäytyvä rengas, joo...

Nyt sitten voidaan määritellä K-vektoriavaruus, jossa K on kunta. Vektoriavaruudella on yhteen- ja kertolaskukuvaukset, jossa kertolasku tarkoittaa kerroinkunnan K alkiolla kertomista (ei kahden vektorin kertomista keskenään). Ja vektoriavaruus toteuttaa ne kahdeksan aksioomaa. Tässä on kuitenkin yksityiskohtana se, että vektoriavaruuden yhteen- ja 'kertolasku' eivät ole samoja kuin kerroinkunnan K vastaavat laskutoimitukset. Esimerkiksi K-vektoriavaruudelle V pätee (a·b)·v = a·(b·v), kun a,b ∈ K ja v ∈ V, mutta on muistettava, että esim vasemmalla puolella ·-kertolasku a·b on kunnan K kertolasku, ja oikealla puolella kertolasku b·v on vektoriavaruuden V kertolasku. Ja tämä voi vaikuttaa vaikka ja mihin varsinkin siten, että koko himmeli sotkeutuu taitamattomissa käsissä (esimerkiksi meitsin käsissä).

Ja vektoriavaruuden isomorfismi saadaan vektoriavaruuksien välisellä lineaarikuvauksella. Homomorfismi on kaikkien noiden lineaarikuvausten joukko, jossa tuo joukko on vieläpä itsekin vektoriavaruus.

Homomorfismin kanssa tulee ongelmia, jos K-vektoriavaruuden sijasta halutaan rakentaa esim ei-kommutatiivisesta renkaasta R-vektoriavaruus. Vektoriavaruuden kaikki ominaisuudet eivät ole voimassa, ja nämä ovatkin R-moduleita eivätkä vektoriavaruuksia.

Tällä kaikella on fysiikassakin tärkeitä seurauksia monistoon liitettyjen tensorikenttien tapauksessa, mutta en muista yksityiskohtia tältä istumalta.

QS
Seuraa 
Viestejä4748
Liittynyt26.7.2015

QS kirjoitti:

vektoriavaruuden isomorfismi saadaan vektoriavaruuksien välisellä lineaarikuvauksella. Homomorfismi on kaikkien noiden lineaarikuvausten joukko, jossa tuo joukko on vieläpä itsekin vektoriavaruus.

Mitä höpötin eilen. Otetaan uusiksi. Lineaarikuvaukset ovat algebrallisen rakenteen säilyttäviä homomorfismeja.  Bijektiiviset lineaarikuvaukset ovat isomorfismeja.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2314
Liittynyt24.1.2014

Tässä onkin hienoinen sekaannuksen paikka, sillä eri kirjoissa annetaan hieman toisistaan poikkeavia määritelmiä renkaalle R:

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
Ideaali I on taasen erityisesti R:n alirengas, jolla on se erityisominaisuus, että tekijärengas (R/I , +, × ) voidaan muodostaa. Tekijäryhmä (R/I, +) voidaan aina muodostaa, koska I on alirenkaana pluslaskun suhteen Abelin ryhmä, ongelmaksi muodostuu tuo kertolaskun määrittely noissa ekvivalenssijoukossa R/I. Tämä onnistuu vain silloin kun I on tosiaan ideali eikä mikä tahansa alirengas.

Tuo ylläoleva tekstini on kirjoitettu käyttäen renkaalle sellaista määritelmää, joka ei edellytä kertolaskun yksikköalkion  1 olemassa-oloa, jolle olisi 1×r = r×1 ∀r ∈ R. Tässä tilanteessa alirenkaan S  (joka on myös rengas, sillä se toteuttaa samat aksioomat kuin R) ei tarvitse sisältää yksiköalkiota. Tällöin pätee tuo boldattu kohta, eli ideaali on erityisesti alirengas.

Kuitenkin, jos renkaan määritelmään sisällytetään kertolaskun neutraalialkio 1, niin silloin myös alirengas S sisältää tämän alkion 1, josta seuraa että aito alirengas S ei voi koskaan olla ideaali ellei S = R (syy: jos 1∈ S, ideaalin määritelmän perusteella r = r ×1 ∈ S ∀r ∈ R, siis r ∈ S, josta S = R. Tapaus S = {0} on mahdoton, jos 1 ≠ 0.  

Esimerkinä tästä olkoon kokonaislukujen rengas R = ℤ. Vaikka joukossa ℤ on olemassa yksikkö 1, niin jos rengas määritellään siten, että ei vaadita sitä ykkösen olemassaoloa, saadaan että esimerkiksi joukko 5ℤ = { 5n | n ∈ ℤ} on ℤ:n alirengas ja ideaali. Jos ykkösen olemassaolo sisällytetään määritelmään saataisiin, että  5ℤ ei ole alirengas, mutta se on edellleen ideaali. Riippumatta siitä kumpaa määritelmää käyttää saadaan tulos, että tekijäjoukko ℤ/5ℤ on rengas(on itseasiassa kunta, mutta se on toinen stoori se), joten ei ole syytä vaipua epätoivoon näiden eri määritelmien kanssa.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2314
Liittynyt24.1.2014

QS kirjoitti:

....

Homomorfismin kanssa tulee ongelmia, jos K-vektoriavaruuden sijasta halutaan rakentaa esim ei-kommutatiivisesta renkaasta R-vektoriavaruus. Vektoriavaruuden kaikki ominaisuudet eivät ole voimassa, ja nämä ovatkin R-moduleita eivätkä vektoriavaruuksia.

Yksi sellainen hyvä esimerkki ei-kommutatiivisesta renkaasta on kvaterniot ℍ, joiden kertolasku on ei-kommutatiivinen. Kun kerroinkuntana on ℝ voidaan muodostaa tutulla tavalla n-ulotteinen ℝ-vektoriavaruus

ℝⁿ, missä vektorit V ovat muotoa V = (X₁,...,Xₙ). Vastaavasti saadaan tietysti n-ulotteinen kompleksinen vektoriavaruus ℂⁿ, missä kerroinkuntana on kompoleksilukujen kunta ℂ. Vastaava menettely kuitenkin epäonnistuu kvaternioilla eli voidaan toki muodostaa ℍⁿ missä nyt "vektorin" V komponentit ovat kvaternioita. Kvaternioiden ei-kommutatiivisuudesta seuraa nyt (jotenkin, en nyt keksi ihan heti miten) että noiden vektorien kertominen ei toimi aivan kuin pitäisi.

QS kirjoitti:

Tällä kaikella on fysiikassakin tärkeitä seurauksia monistoon liitettyjen tensorikenttien tapauksessa, mutta en muista yksityiskohtia tältä istumalta.

Ainakin moniston M reaali-tai kompleksiarvoiset sileät funktiot C⁰⁰(M) muodostavat (kommutatiivisen) renkaan, mutta et kai tätä tarkoittanut?

Muistaakseni joskus on laadittu sellaisia kinemaattisia malleja maailmankaikkeudelle, joissa käytetään reaalilukujen sijasta jotain äärellistä kuntaa F. Tälläisessä mallissa ei suoraan voida derivoida mitään, koska F on diskreetti. Kuitenkin voidaan määritellä tämän kunnan polynomeja ja niitähän voidaan derivoida ihan algebran menetelmin, ilman raja-arvoja.Tämä maailmankaikkeusmalli ennusti jonkinlaisen "Hubblen lain", eli galaksit "etääntyivät" "nopeampaa" mitä "kauempana" ne olivat, mutta koska kunta F oli äärellinen ne eivät voi kuitenkaan rajatta "etääntyä".

Siinä oli paljon lainausmerkkejä, koska kaikki nuo käsitteet ollaan siinä mallisssa määritelty jollain matemaattisella kikkailuilla, jotta ne muistuttaisivat reaalimaailman käsitteitä.

Joku suomalainenkin muistaakseni tutki tätä mallia joskus 40-50-luvulla kai tms.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2314
Liittynyt24.1.2014

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

....

Homomorfismin kanssa tulee ongelmia, jos K-vektoriavaruuden sijasta halutaan rakentaa esim ei-kommutatiivisesta renkaasta R-vektoriavaruus. Vektoriavaruuden kaikki ominaisuudet eivät ole voimassa, ja nämä ovatkin R-moduleita eivätkä vektoriavaruuksia.

Yksi sellainen hyvä esimerkki ei-kommutatiivisesta renkaasta on kvaterniot ℍ, joiden kertolasku on ei-kommutatiivinen. Kun kerroinkuntana on ℝ voidaan muodostaa tutulla tavalla n-ulotteinen ℝ-vektoriavaruus

ℝⁿ, missä vektorit V ovat muotoa V = (X₁,...,Xₙ). Vastaavasti saadaan tietysti n-ulotteinen kompleksinen vektoriavaruus ℂⁿ, missä kerroinkuntana on kompoleksilukujen kunta ℂ. Vastaava menettely kuitenkin epäonnistuu kvaternioilla eli voidaan toki muodostaa ℍⁿ missä nyt "vektorin" V komponentit ovat kvaternioita. Kvaternioiden ei-kommutatiivisuudesta seuraa nyt (jotenkin, en nyt keksi ihan heti miten) että noiden vektorien kertominen ei toimi aivan kuin pitäisi.

Oikeastaan kai kyse on vain määritelmistä, jos määrittelee vektoriavaruuden sellaiseksi, että kerroinrenkaan R (skalaarit joilla vektoreita kerrotaan)pitää olla kunta, niin sitten se on niin ja turhaa kai sitten ihmetellä miksi kvaternioiden tapauksessa homma ei toimi kuten pitäisi, kuten itse tuossa aikaisemmassa viestissäni juuri tein.

QS tuossa jo mainitsikin modulit M vektoriavaruuksien yleistyksinä: Annetulla renkaalla R voidaan aina määritellä esimerkiksi ℝⁿ:n mallin mukainen moduli:

Rⁿ ={(V₁,...,Vₙ) | kun V₁,...,Vₙ ∈ R},

eli "vektorin" V = (V₁,...,Vₙ) komponentit ovat aina renkaan V alkioita. Tuo Rⁿ olisi kai jonkinlainen "n-ulotteisen" modulin prototyyppi. Ilmeisesti tuollaisten modulien teoria riippuu kuitenkin paljon siitä minkälainen tuo rengas R itse on. Esimerkiksi on mahdollista, että vaikka V = (V₁,...,Vₙ) olisi Rⁿ:n nollasta poikkeava "vektori"  ja A nollasta poikkeava renkaan R alkio niin tällöin voi tulo olla AV ≡ 0, tämä jos mikä on ongelmallista. Jotta tästä ilmiöstä päästäisiin eroon on oletettava renkaasta enemmän, esimerkiksi vaatimalla renkaan R olevan kokonaisalue (R on kokonaisalue jos ab = 0 ⇒ a = 0 tai b = 0 ). jne.

Yksi puute minkä nyt noista moduleista opin selailemalla nettiä, on se että modulilla M ei ole aina kantaa kuten erimerkiksi vektoriavaruudella aina on ja että jos sellainen kanta on olemassa, se ei kuitenkaan välttämättä määrää dimensiota yksikäsitteisesti, eri kannat samassa modulissa antavat eri dimension tai oikeastaan dimension vastineen.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

QS
Seuraa 
Viestejä4748
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Ainakin moniston M reaali-tai kompleksiarvoiset sileät funktiot C⁰⁰(M) muodostavat (kommutatiivisen) renkaan, mutta et kai tätä tarkoittanut?

Joo, tätä tosiaan tarkoitin sovellettuna vektori- ja tensorikenttiin.

Kertaan viikonloppuna (koska en vaan muista yksityiskohtia), mutta ajatellaan moniston M kuhunkin pisteeseen x liitettyjä tangenttiavaruuksia TxM, ja vastaavaa tangenttikimppua TM. Vektorikenttä voidaan määritellä sileäksi sektioksi σ(x), jossa σ(x) ∈ TxM. Eli konkreettisesti: kuhunkin moniston M pisteeseen x liitetään sileällä kuvauksella σ vektori, joka on tietysti pisteen x tangenttiavaruuden TxM alkio. Kuvaus σ on siis käytännössä vektorikenttä moniston pinnalla.

Märitellään moniston kaikkien vektorikenttien joukko, jota voi merkitä Γ(M,TM,σ), eli joukko M:n tangenttikimppuja ja sektioita. Tähän joukkoon voidaan määritellä yhteenlasku +: Γ() x Γ() --> Γ(). Tämä on intuitiivisestikin sama asia kuin vektorikenttien yhteenlasku, jossa kunkin pisteen vektorit summataan keskenään, jossa tuloskin on vektorikenttä.

Mielenkiintoisempi juttu on vektorikenttien joukon kertolaskun määrittely siten, että kertoimia ovat mainitsemasi sileät funktiot C⁰⁰(M). Kertolasku on kuvaus · : C⁰⁰(M) x Γ() --> Γ(). Tässä kuvataan sileästä funktiosta f ja sektiosta σ muodostuva pari vektorikentäksi kussakin moniston pisteessä x, eli (f,σ)(x) = f(x) · σ(x).

Nyt tuo kertolasku tuntuu melko triviaalilta. Jos esim. f(x)=5 kaikissa M:n pisteissä x, niin lopputulos on konkreettisesti vektorikentän vektorien 'venyttämistä' kaikkialla 5-kertaisen pituiseksi. Ja kerroinkunta on reaalilukujen kunta. Helppoa. Vastaesimerkki löytyy valitsemalla funktio f, jolle esim yhdessä moniston pisteessä f(3) = 0. Kunnan määritelmä ei toteudu, koska moniston pisteessä 3 ei ole löydettävissä kerroinkunnan käänteisalkiota g(3), jolla kertolasku f(3) · g(3) = 1. Kunnan määritelmä vaatii käänteisalkion olemassaolon, joten kyseessä ei ole kerroinkunta vaan rengas. Ja vektorikenttien joukko ei muodosta vektoriavaruutta vaan modulin.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Muistaakseni joskus on laadittu sellaisia kinemaattisia malleja maailmankaikkeudelle, joissa käytetään reaalilukujen sijasta jotain äärellistä kuntaa F. Tälläisessä mallissa ei suoraan voida derivoida mitään, koska F on diskreetti. Kuitenkin voidaan määritellä tämän kunnan polynomeja ja niitähän voidaan derivoida ihan algebran menetelmin, ilman raja-arvoja.Tämä maailmankaikkeusmalli ennusti jonkinlaisen "Hubblen lain", eli galaksit "etääntyivät" "nopeampaa" mitä "kauempana" ne olivat, mutta koska kunta F oli äärellinen ne eivät voi kuitenkaan rajatta "etääntyä".

Siinä oli paljon lainausmerkkejä, koska kaikki nuo käsitteet ollaan siinä mallisssa määritelty jollain matemaattisella kikkailuilla, jotta ne muistuttaisivat reaalimaailman käsitteitä.

Joku suomalainenkin muistaakseni tutki tätä mallia joskus 40-50-luvulla kai tms.

Kuulostaa mielenkiintoiselta, en ole törmännyt tuohon malliin.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2314
Liittynyt24.1.2014

QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Ainakin moniston M reaali-tai kompleksiarvoiset sileät funktiot C⁰⁰(M) muodostavat (kommutatiivisen) renkaan, mutta et kai tätä tarkoittanut?

Joo, tätä tosiaan tarkoitin sovellettuna vektori- ja tensorikenttiin.

Tuon kirjoitin mielestäni hieman ihmeelliseen sävyyn, koska jälkeenpäin tuo mun toteamus kuulosti jotenkin kuin mutta et kai tätä (sentään, kauheata) tarkoittanut? No joo, en tiedä, mutta asiaan:

QS kirjoitti:

Kertaan viikonloppuna (koska en vaan muista yksityiskohtia), mutta ajatellaan moniston M kuhunkin pisteeseen x liitettyjä tangenttiavaruuksia TxM, ja vastaavaa tangenttikimppua TM. Vektorikenttä voidaan määritellä sileäksi sektioksi σ(x), jossa σ(x) ∈ TxM. Eli konkreettisesti: kuhunkin moniston M pisteeseen x liitetään sileällä kuvauksella σ vektori, joka on tietysti pisteen x tangenttiavaruuden TxM alkio. Kuvaus σ on siis käytännössä vektorikenttä moniston pinnalla.

Märitellään moniston kaikkien vektorikenttien joukko, jota voi merkitä Γ(M,TM,σ), eli joukko M:n tangenttikimppuja ja sektioita. Tähän joukkoon voidaan määritellä yhteenlasku +: Γ() x Γ() --> Γ(). Tämä on intuitiivisestikin sama asia kuin vektorikenttien yhteenlasku, jossa kunkin pisteen vektorit summataan keskenään, jossa tuloskin on vektorikenttä.

Mielenkiintoisempi juttu on vektorikenttien joukon kertolaskun määrittely siten, että kertoimia ovat mainitsemasi sileät funktiot C⁰⁰(M). Kertolasku on kuvaus · : C⁰⁰(M) x Γ() --> Γ(). Tässä kuvataan sileästä funktiosta f ja sektiosta σ muodostuva pari vektorikentäksi kussakin moniston pisteessä x, eli (f,σ)(x) = f(x) · σ(x).

Asia menee juuri näin kuin olet kirjoittanutkin. Mun mielestä monissa lähteissä tuota C⁰⁰(M)-lineaarisuutta ei oikein kunnolla valaista miksi se on tärkeää. Tai no, luulen ymmärtäväni likimäärin miksi se on tärkeää mutta se asian valaiseminen.

QS kirjoitti:

Nyt tuo kertolasku tuntuu melko triviaalilta. Jos esim. f(x)=5 kaikissa M:n pisteissä x, niin lopputulos on konkreettisesti vektorikentän vektorien 'venyttämistä' kaikkialla 5-kertaisen pituiseksi. Ja kerroinkunta on reaalilukujen kunta. Helppoa. Vastaesimerkki löytyy valitsemalla funktio f, jolle esim yhdessä moniston pisteessä f(3) = 0. Kunnan määritelmä ei toteudu, koska moniston pisteessä 3 ei ole löydettävissä kerroinkunnan käänteisalkiota g(3), jolla kertolasku f(3) · g(3) = 1. Kunnan määritelmä vaatii käänteisalkion olemassaolon, joten kyseessä ei ole kerroinkunta vaan rengas. Ja vektorikenttien joukko ei muodosta vektoriavaruutta vaan modulin.

Näin se on, olet täsmälleen oikeassa. Pienenä pilkunviilauksena kuitenkin: voimme periaatteessa halutessamme tehdä tuon sektioiden joukon  Γ(M,TM) vektoriavaruudeksi (osataan jo laskea yhteen X ja Y, no problem) määrittelemällä pisteittäin reaaliluvun s ja vektorikentän X∈Γ(M,TM) tulon sX vektorikentäksi (sX)(p) = s X(p) kun p∈M eli nyt tuon skalaarikertomisen kanssa Γ(M,TM) on vektoriavaruus, koska reaaliluvut muodostavat kunnan. Tämä ei kuitenkaan ole hedelmällistä monistolla tehtävän analyysin kannalta, koska ajaudumme vaikeuksiin tuon mun määritelmän kanssa ja se oikea tapa on tehdä se kuten kirjoititkin.

Ongelmana on tuossa reaalilineaarisuuden kanssa se, että esimerkiksi kovariantit tensorit eivät enää olisi vain tangenttiavaruuden TpM vektoreista X_p riippuvia  (p∈M ) multilineaarisia kuvauksia, vaan siihen arvoon pisteessä p vaikuttaa tensorin käytös siinä lähiympäristössä. Esimerkkinä tästä löytyi kirjasta tälläinen:

Olkoon ω 1-muoto eli lyhyesti ω∈Λ¹(M) ja X ja Y ovat M:n vektorikenttiä eli X,Y∈Γ(M,TM). Tällöin kuvaus F:Γ(M,TM) x Γ(M,TM) → ℝ, joka määritellään kaavalla F(X,Y) = X(ω(Y)), on ℝ-lineaarinen kummankin muuttujan X ja Y suhteen, mutta se ei ole C⁰⁰(M)-lineaarinen muuttujan Y suhteen. Tuossa tuo X toimii kuten derivointi ja siksi tuon F:n arvoon vaikuttaa tuon C⁰⁰(M)-funktion ω(Y) arvot pisteen p ympäristössä ja derivoitaessa funktiota X:llä eli X(ω(gY)) ei anna ulos lauseketta gX(ω(Y)).

Täytyy kyllä sanoa että en itsekkään nyt ihan ole tuosta 100% vakuuttunut, mutta noin se siinä kirjassa selitetään.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Spanish Inquisitor Jr
Seuraa 
Viestejä2314
Liittynyt24.1.2014

En nyt oikein tiedä, mutta jotenkin kyllä vaikuttaisi siltä että tämä C⁰⁰(M)-lineaarisuus noille vektorikentille Γ(M,TM) eli Γ(M,TM) olisi C⁰⁰(M)-moduli tulisi myös noista tensorianalyysin vaatimuksista, jossa esimerkiksi kovariantille 2.kertaluvun tensorille T pätisi T(fX,Y) =f T(X,Y) ja T(X,fY) = f T(X,Y), kuten jo mainitsitkin (QS) tämän eli tuossa tuo tensori T noudattaa tuota pisteestä toiseen vaihtelevaa skaalausta. Tähän läheisesti liittyvänä (kirjastani löytyy) lemma, joka sanoo (modifioituna), että C⁰⁰(M)-lineaarisille vektorikentille X1, X2 ,Y1 ,Y2 joille moniston M pisteessä p pätee X1(p) = X2(p) ja Y1(p) = Y2(p), niin tällöin tuon tensorin T arvot ovat samat eli T(X1(p), Y1(p)) = T(X2(p), Y2(p)). Siis tensorin arvot pisteessä p riippuvat vain vektorikenttien arvoista kyseissä pisteessä.

Se tensoreista, nyt täytyy siirtyä perjantai-illan viettoon.

Vanha nimimerkki Spanish Inquisitor uudelleensyntyneenä.

Eusa
Seuraa 
Viestejä15746
Liittynyt16.2.2011

Käyttämällä lineaarisuutta ja ei-negatiivisuutta voidaan funktionaali λ yleistää luonnollisesti konvergoituvaksi kaikilla funktioilla C⁰⁰(M):ssa?

Tällä lienee yhteys M:n kompaktisuuteen ja sovellutuksia fysiikassa, mm. Diracin massat...

Hienorakennevakio suoraan vapausasteista: (1+2¹+3²+5³+1/2¹*3²/5³)⁻¹ = 137,036⁻¹

QS
Seuraa 
Viestejä4748
Liittynyt26.7.2015

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:
Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:

Ainakin moniston M reaali-tai kompleksiarvoiset sileät funktiot C⁰⁰(M) muodostavat (kommutatiivisen) renkaan, mutta et kai tätä tarkoittanut?

Joo, tätä tosiaan tarkoitin sovellettuna vektori- ja tensorikenttiin.

Tuon kirjoitin mielestäni hieman ihmeelliseen sävyyn, koska jälkeenpäin tuo mun toteamus kuulosti jotenkin kuin mutta et kai tätä (sentään, kauheata) tarkoittanut? 

Nojoo, mä vastasin oudosti. Olisi pitänyt sanoa 'itse asiassa tarkoitun juuri tuota sovellettuna jne.'.

Spanish Inquisitor Jr kirjoitti:
QS kirjoitti:

Kertaan viikonloppuna (koska en vaan muista yksityiskohtia), mutta ajatellaan moniston M kuhunkin pisteeseen x liitettyjä tangenttiavaruuksia TxM, ja vastaavaa tangenttikimppua TM. Vektorikenttä voidaan määritellä sileäksi sektioksi σ(x), jossa σ(x) ∈ TxM. Eli konkreettisesti: kuhunkin moniston M pisteeseen x liitetään sileällä kuvauksella σ vektori, joka on tietysti pisteen x tangenttiavaruuden TxM alkio. Kuvaus σ on siis käytännössä vektorikenttä moniston pinnalla.

Märitellään moniston kaikkien vektorikenttien joukko, jota voi merkitä Γ(M,TM,σ), eli joukko M:n tangenttikimppuja ja sektioita. Tähän joukkoon voidaan määritellä yhteenlasku +: Γ() x Γ() --> Γ(). Tämä on intuitiivisestikin sama asia kuin vektorikenttien yhteenlasku, jossa kunkin pisteen vektorit summataan keskenään, jossa tuloskin on vektorikenttä.

Mielenkiintoisempi juttu on vektorikenttien joukon kertolaskun määrittely siten, että kertoimia ovat mainitsemasi sileät funktiot C⁰⁰(M). Kertolasku on kuvaus · : C⁰⁰(M) x Γ() --> Γ(). Tässä kuvataan sileästä funktiosta f ja sektiosta σ muodostuva pari vektorikentäksi kussakin moniston pisteessä x, eli (f,σ)(x) = f(x) · σ(x).

Asia menee juuri näin kuin olet kirjoittanutkin. Mun mielestä monissa lähteissä tuota C⁰⁰(M)-lineaarisuutta ei oikein kunnolla valaista miksi se on tärkeää. Tai no, luulen ymmärtäväni likimäärin miksi se on tärkeää mutta se asian valaiseminen.

QS kirjoitti:

Nyt tuo kertolasku tuntuu melko triviaalilta. Jos esim. f(x)=5 kaikissa M:n pisteissä x, niin lopputulos on konkreettisesti vektorikentän vektorien 'venyttämistä' kaikkialla 5-kertaisen pituiseksi. Ja kerroinkunta on reaalilukujen kunta. Helppoa. Vastaesimerkki löytyy valitsemalla funktio f, jolle esim yhdessä moniston pisteessä f(3) = 0. Kunnan määritelmä ei toteudu, koska moniston pisteessä 3 ei ole löydettävissä kerroinkunnan käänteisalkiota g(3), jolla kertolasku f(3) · g(3) = 1. Kunnan määritelmä vaatii käänteisalkion olemassaolon, joten kyseessä ei ole kerroinkunta vaan rengas. Ja vektorikenttien joukko ei muodosta vektoriavaruutta vaan modulin.

Näin se on, olet täsmälleen oikeassa. Pienenä pilkunviilauksena kuitenkin: voimme periaatteessa halutessamme tehdä tuon sektioiden joukon  Γ(M,TM) vektoriavaruudeksi (osataan jo laskea yhteen X ja Y, no problem) määrittelemällä pisteittäin reaaliluvun s ja vektorikentän X∈Γ(M,TM) tulon sX vektorikentäksi (sX)(p) = s X(p) kun p∈M eli nyt tuon skalaarikertomisen kanssa Γ(M,TM) on vektoriavaruus, koska reaaliluvut muodostavat kunnan. Tämä ei kuitenkaan ole hedelmällistä monistolla tehtävän analyysin kannalta, koska ajaudumme vaikeuksiin tuon mun määritelmän kanssa ja se oikea tapa on tehdä se kuten kirjoititkin.

....

Joo, oot oikeassa. Skalaarikertoimella varustettuna vektorikenttien joukko on vektoriavaruus. Mutta käytännön sovelluksissa hankala rakentaa kenttään dynamiikkaa, kun rajoituttaisiin vektorien vakiokertoimella venyttämiseen/lyhentämiseen/etumerkin vaihtamiseen. Jos kentälle halutaan elävyyttä, niin skalaari pitääkin korvata funktioilla ja sitten menetetään vektoriavaruuden ominaisuudet.

Moduleita penkoessa löytyi sellainenkin jännä juttu että C⁰⁰(M)-moduulilla ei välttämättä ole kantavektorijoukkoa. Tosin voi olla joissakin tilanteissa. Kuitenkin mikäli rengas on jakorengas, kanta on aina löydettävissä. Esim. kvaterniot muodostava ei-kommutatiivisen jakorenkaan, jolloin kantavektorit on löydettävissä vaikka kyseessä ei olekaan kunta. Toisin päin: K-vektoriavaruudella on aina kanta, koska kunta K on aina myös jakorengas. Kvartenioiden lisäksi esim. reaalilukujen kunta on jakorengas, kommutatiivinen sellainen.

Tästä löytyi pari valaisevaa esimerkkiä: 2-ulotteinen monisto M=ℝ², jossa sileä vektorikenttä X∈Γ(M,TM). Tässä siis yksittäinen vektorikenttä X on C⁰⁰(M)-modulin alkio. C⁰⁰(M)-funktiot (renkaita, eivät välttämättä jakorenkaita) määrittelevät kuhunkin pinnan pisteeseen vektorin. Ruutupaperilla olevaa vektorikenttää miettimällä intuitiokin sanoo, että on olemassa kantavektorikentät E₁,E₂ ∈ Γ(M,TM) ja funktiot r¹,r² ∈ C⁰⁰(M) siten, että vektorikenttä X voidaan kirjoittaa funktioiden ja kantavektorikenttien lineaarikombinaationa X = r¹E₁ + r²E₂. (esim. E₁ ja E₂ ihan vaan ruutupaperin x ja y-akselin suuntaisia kantavektorikenttiä). Tässä C⁰⁰(M) ei tarvitse olla jakorengas, ja kanta silti löytyy.

Vaan ei löydy aina. Kuuluisa moniston M=S² karvapallolause, you cannot comb a sphere, johtaa siihen, että kantavektorikenttien E₁ ja E₂ on hävittävä jossain kohti palloa, jolloin ne eivät voi muodostaa kantaa koko pallon alueella. Tosin jos valitaan sopiva lokaali alue pallosta, kantavektorikentät ovat olemassa.

Mainitsemiisi tensorin C⁰⁰(M)-lineaarisuuteen tutustun myöhemmin. Aiheeseen liittyy varmasti jotain diippiä totuutta.

Merlin
Seuraa 
Viestejä4095
Liittynyt25.9.2017

Yrittänyttä ei laiteta.

Jos tosiaan se pallo vetää spiraalia niin, että jokainen toisen puolen pinnan piste kiertyy tasolle, niin onko se isoympyrän jälkeen tapahtuva sisäänpäin kallistuminen tämä?

https://en.wikipedia.org/wiki/Torsion_(algebra)

Koska se kohtauskulma on nolla, jos otetaan äärettömän pitkä spiraali.

Jotenkin se joka tapauksessa taitaa liittyä Riemannin geometriaan.

Uusimpien tutkimusten mukaan uusimmat tutkimukset ovat keskimäärin yhdentekeviä.

Merlin
Seuraa 
Viestejä4095
Liittynyt25.9.2017

Tavallaan niitä toisen puoliskon pisteitä ei siis voi mäpätä, mutta symmetrisyys käytännössä pakottaa hyväksymään että takas mennään. Eli tapahtuu ns. perusteltu uskonhyppy. Vähän sama kuin heittäisi pallo nähdäkseen kuinka säännöllinen se on. 

Uusimpien tutkimusten mukaan uusimmat tutkimukset ovat keskimäärin yhdentekeviä.

Merlin
Seuraa 
Viestejä4095
Liittynyt25.9.2017

Ja kun ne kaksi spiraalia yhdistää ja nyt kaikki onkin ihan smoothia, niin ei tarvitse kuin tehdä parhaimmillaan 90 asteen rotaatio mielivaltaiseen suuntaan ja tietää onko se mahdollinen epäsäännöllisyys isomorfinen, jos nyt ymmärsin oikein, eli myös ympyränmuotoinen (leikkaus pallosta. Koska se ei vaapu) mutta varma voi olla jos tekee saman 90 asteen käännön kohtisuoraan, jolloin sen ainakin pitäisi vaappua.

Uusimpien tutkimusten mukaan uusimmat tutkimukset ovat keskimäärin yhdentekeviä.

Sivut

Suosituimmat

Uusimmat

Uusimmat

Suosituimmat