Hieman ITE-integrointia.

Käyrien y_1(x) > y2(x) väliin jäävä pinta-ala on likimäärin:
A = \sigma_{i=1}^n [1/2*(y_{1,i} – y_{2,i})/(1/dx)*1^2].

Tasojen Z_1(x,y) > Z_2(x,y) väliin jäävä tilavuus on likimäärin:
V = \sigma_{i=1}^n [(Z_{1,i} – Z_{2,i})/(1/dx*1/dy)*1^3].

Siis tämä taulukkolaskentakaava vastaa integrointia. Se muodostuu siten, että ajatellaan kolmiulotteinen kappale, jonka täytetään pystysuuntaisilla viivoilla välein dx = x_{i+1} – x_i ja dy = y_{i+1} – y_i, mutta viivojen välin ei tarvitse siis olla vakio, vaikka näin yleensä onkin. Kaikkien viivojen pituudet summataan nyt yhteen ja jaetaan yksikkökuution (tai tasossa neliön) pystysuuntaisten viivojen määrällä 4 (tai 2). Tämä suhde on nyt yksikkökuution 1*1*1 kerrannainen ja lukujen tulo on kappaleen tilavuus (pinta-ala).

Arvioidaan alla tarkkuus. Tarkkuus lähenee oikeaa arvoa kuin dx -> 0 ja dy -> 0, mutta laskenta-aika kasvaa.

Esimerkiksi ympyrän r = 10, dx = 0.1, pinta-ala on likimäärin;
r = 10;
dr = 0.1;
x = -r:dx:r;
y = sqrt(r.^2 - x.^2);

A = 2*(sum(y))/(1/dx)*(1^2)
A2 = pi*(r^2)

Voidaanko muita integraaleja laskea tällä lukiolaismenetelmällä? Laskepa harjoituksena pallon, r = 10, dx = 0.5 ja dy = 0.5, tilavuus. Jos jokin meni edellä pieleen, johtuu varmaan suppesta kirjoitustilasta ja lyöntivirheistä.

Kommentit (11)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä31320

Näyttää siltä, että olet keksinyt Riemannin integraalin. Jotakuinkin kaikki funktiot, jotka ovat jossain tekemisissä reaalimaailman kanssa, käyttäytyvät riittävän hyvin, että ne voidaan integroida noin. Käytännössä siitä suoraan johdettu numeerinen algoritmi ei ole kovin tehokas menetelmä ja käytetään lähinnä kun halutaan helppoa koodia, jonka suorituskyvyllä ei ole väliä.

Kas, ei ollut tuttu. Hyvä wikiartikkeli. Muuten dz:nkaan ei tarvitse olla vakio. Insinöörilogiikalla taulukkolaskentaohjelma on tutumpi käsite. Taulukossahan singulariteetit voidaan jättää pois ilman että laiva keikahtaa (viittaan tietenkin Ruotsin ylpeyteen). Kiitos linkistä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Vielä viimeinen kommentti. Algoritmihan nopeutuu, jos pystyviivat laitetaan aluksi Z1-Z2:n maksimiin, tämän jälkeen minimiin, seuraavaan maksimiin, seuraavaan minimiin, jne lopettaen kuitenkin, kun vierekkäiset pystyviivat ovat dr^2 = dx^2 + dy^2 etäisyydellä toisistaan. Siis karhealle pinnan osuudelle tulee pisteitä tiheämmin kuin sileälle. Haluttaessa voidaan gridi vielä interpoloida tiheämmäksi hyvin käyttäytyvällä interpolointifunktiolla. Vaan eipä ole tämä algoritmiteoriakaan tuttua muistin kulutuksen ja laskenta-ajan suhteen.  

-Maija-
Seuraa 
Viestejä1195

Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

-Pörrätäänkö?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä31320

-Maija- kirjoitti:
Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä31320

-Maija- kirjoitti:
Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

Se on siis totta, että parin vuoden peruskurssien opiskelun jälkeen matemaatikoille sanotaan, että nyt voitte unohtaa kaiken mitä luulette oppineenne matematiikasta, nyt aletaan opiskella mitä matematiikka oikeasti on.

Pyörähdyskappale, joka saadaan pyörittämällä käyrä 1/x alueella x>=1  x-akselin ympäri oli muistaakseni sellainen.

Tilavuus v = integraali 1:stä äärettömään pii/x^2 dx = pii*sijoitus 1:stä äärettömään 1/x = pii.

Pinta-alassa integroidaan jotain/x:ää, joka tuottaa logaritmin ja äärettömän pinta-alan.

Tuon kappaleen pituus on ääretön. Joka suunnassa äärellinen (ja tietenkin tilavuudeltaan myös)  kappale jonka pinta-ala on äärellinen on esimerkiksi 1 pitkä pätkä tankoa, jonka poikkileikkaus on mandelbrotin joukko.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä31320

Cosmological parameters kirjoitti:
Vielä viimeinen kommentti. Algoritmihan nopeutuu, jos pystyviivat laitetaan aluksi Z1-Z2:n maksimiin, tämän jälkeen minimiin, seuraavaan maksimiin, seuraavaan minimiin, jne lopettaen kuitenkin, kun vierekkäiset pystyviivat ovat dr^2 = dx^2 + dy^2 etäisyydellä toisistaan. Siis karhealle pinnan osuudelle tulee pisteitä tiheämmin kuin sileälle. Haluttaessa voidaan gridi vielä interpoloida tiheämmäksi hyvin käyttäytyvällä interpolointifunktiolla. Vaan eipä ole tämä algoritmiteoriakaan tuttua muistin kulutuksen ja laskenta-ajan suhteen.  

No nyt alat keksiä numeerisen integroinnin menetelmiä.

Spoilerivariotus!

Jos et halua keksiä kaikkea itse, voit katsoa täältä mitä muut ovat keksineet:

https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration

-

Lisää offtopikkia, tästä tulee ajatusketju. Löytöretket  omaan ajatteluun ovat jännempiä, kun ei harrasta lähdevittauksia tai tutustu niihin ensinkään. Eräs purjehtija tiesi Intian olevan olemassa, mutta lähti itsepäisesti väärään suuntaan. Siitä sitten seurasi julmuutta ja intiaanisotia. ITE-filosofia on paljon harmittomampaa.

No, Gabrielin torvesta ei lähde ääntä ilman reikää. Jos 0-piste otetaan pois, saadaan reikä ja torveen voi puhaltaa. Luulisin, että pinta-ala voidaan nyt laskea numeerisesti, mutta jos gridiä tihennetään, härmistyykö pinta-ala johonkin lukuun vain karkaako se edelleen äärettömyyteen? Entä jos reikää isonnetaan tarpeeksi, vaikka äärettömän suureksi, niin silloinhan pinta-ala = 0 ja äärellinen luku. Vai? Toki torvia on monenlaisia, myös peilikuvassa.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Cosmological parameters kirjoitti:
Lisää offtopikkia, tästä tulee ajatusketju. Löytöretket  omaan ajatteluun ovat jännempiä, kun ei harrasta lähdevittauksia tai tutustu niihin ensinkään. Eräs purjehtija tiesi Intian olevan olemassa, mutta lähti itsepäisesti väärään suuntaan. Siitä sitten seurasi julmuutta ja intiaanisotia. ITE-filosofia on paljon harmittomampaa.

No, Gabrielin torvesta ei lähde ääntä ilman reikää. Jos 0-piste otetaan pois, saadaan reikä ja torveen voi puhaltaa. Luulisin, että pinta-ala voidaan nyt laskea numeerisesti, mutta jos gridiä tihennetään, härmistyykö pinta-ala johonkin lukuun vain karkaako se edelleen äärettömyyteen? Entä jos reikää isonnetaan tarpeeksi, vaikka äärettömän suureksi, niin silloinhan pinta-ala = 0 ja äärellinen luku. Vai? Toki torvia on monenlaisia, myös peilikuvassa.

Minkälainen torvi on Gabrielin torvi jossa ei ole reikää?

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat