Hieman ITE-integrointia.

Käyrien y_1(x) > y2(x) väliin jäävä pinta-ala on likimäärin:
A = \sigma_{i=1}^n [1/2*(y_{1,i} – y_{2,i})/(1/dx)*1^2].

Tasojen Z_1(x,y) > Z_2(x,y) väliin jäävä tilavuus on likimäärin:
V = \sigma_{i=1}^n [(Z_{1,i} – Z_{2,i})/(1/dx*1/dy)*1^3].

Siis tämä taulukkolaskentakaava vastaa integrointia. Se muodostuu siten, että ajatellaan kolmiulotteinen kappale, jonka täytetään pystysuuntaisilla viivoilla välein dx = x_{i+1} – x_i ja dy = y_{i+1} – y_i, mutta viivojen välin ei tarvitse siis olla vakio, vaikka näin yleensä onkin. Kaikkien viivojen pituudet summataan nyt yhteen ja jaetaan yksikkökuution (tai tasossa neliön) pystysuuntaisten viivojen määrällä 4 (tai 2). Tämä suhde on nyt yksikkökuution 1*1*1 kerrannainen ja lukujen tulo on kappaleen tilavuus (pinta-ala).

Arvioidaan alla tarkkuus. Tarkkuus lähenee oikeaa arvoa kuin dx -> 0 ja dy -> 0, mutta laskenta-aika kasvaa.

Esimerkiksi ympyrän r = 10, dx = 0.1, pinta-ala on likimäärin;
r = 10;
dr = 0.1;
x = -r:dx:r;
y = sqrt(r.^2 - x.^2);

A = 2*(sum(y))/(1/dx)*(1^2)
A2 = pi*(r^2)

Voidaanko muita integraaleja laskea tällä lukiolaismenetelmällä? Laskepa harjoituksena pallon, r = 10, dx = 0.5 ja dy = 0.5, tilavuus. Jos jokin meni edellä pieleen, johtuu varmaan suppesta kirjoitustilasta ja lyöntivirheistä.

Kommentit (15)

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33534

Näyttää siltä, että olet keksinyt Riemannin integraalin. Jotakuinkin kaikki funktiot, jotka ovat jossain tekemisissä reaalimaailman kanssa, käyttäytyvät riittävän hyvin, että ne voidaan integroida noin. Käytännössä siitä suoraan johdettu numeerinen algoritmi ei ole kovin tehokas menetelmä ja käytetään lähinnä kun halutaan helppoa koodia, jonka suorituskyvyllä ei ole väliä.

Kas, ei ollut tuttu. Hyvä wikiartikkeli. Muuten dz:nkaan ei tarvitse olla vakio. Insinöörilogiikalla taulukkolaskentaohjelma on tutumpi käsite. Taulukossahan singulariteetit voidaan jättää pois ilman että laiva keikahtaa (viittaan tietenkin Ruotsin ylpeyteen). Kiitos linkistä.

Sisältö jatkuu mainoksen alla
Sisältö jatkuu mainoksen alla

Vielä viimeinen kommentti. Algoritmihan nopeutuu, jos pystyviivat laitetaan aluksi Z1-Z2:n maksimiin, tämän jälkeen minimiin, seuraavaan maksimiin, seuraavaan minimiin, jne lopettaen kuitenkin, kun vierekkäiset pystyviivat ovat dr^2 = dx^2 + dy^2 etäisyydellä toisistaan. Siis karhealle pinnan osuudelle tulee pisteitä tiheämmin kuin sileälle. Haluttaessa voidaan gridi vielä interpoloida tiheämmäksi hyvin käyttäytyvällä interpolointifunktiolla. Vaan eipä ole tämä algoritmiteoriakaan tuttua muistin kulutuksen ja laskenta-ajan suhteen.  

-Maija-
Seuraa 
Viestejä1410

Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

-Pörrätäänkö?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33534

-Maija- kirjoitti:
Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33534

-Maija- kirjoitti:
Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

Se on siis totta, että parin vuoden peruskurssien opiskelun jälkeen matemaatikoille sanotaan, että nyt voitte unohtaa kaiken mitä luulette oppineenne matematiikasta, nyt aletaan opiskella mitä matematiikka oikeasti on.

Pyörähdyskappale, joka saadaan pyörittämällä käyrä 1/x alueella x>=1  x-akselin ympäri oli muistaakseni sellainen.

Tilavuus v = integraali 1:stä äärettömään pii/x^2 dx = pii*sijoitus 1:stä äärettömään 1/x = pii.

Pinta-alassa integroidaan jotain/x:ää, joka tuottaa logaritmin ja äärettömän pinta-alan.

Tuon kappaleen pituus on ääretön. Joka suunnassa äärellinen (ja tietenkin tilavuudeltaan myös)  kappale jonka pinta-ala on äärellinen on esimerkiksi 1 pitkä pätkä tankoa, jonka poikkileikkaus on mandelbrotin joukko.

Neutroni
Seuraa 
Viestejä33534

Cosmological parameters kirjoitti:
Vielä viimeinen kommentti. Algoritmihan nopeutuu, jos pystyviivat laitetaan aluksi Z1-Z2:n maksimiin, tämän jälkeen minimiin, seuraavaan maksimiin, seuraavaan minimiin, jne lopettaen kuitenkin, kun vierekkäiset pystyviivat ovat dr^2 = dx^2 + dy^2 etäisyydellä toisistaan. Siis karhealle pinnan osuudelle tulee pisteitä tiheämmin kuin sileälle. Haluttaessa voidaan gridi vielä interpoloida tiheämmäksi hyvin käyttäytyvällä interpolointifunktiolla. Vaan eipä ole tämä algoritmiteoriakaan tuttua muistin kulutuksen ja laskenta-ajan suhteen.  

No nyt alat keksiä numeerisen integroinnin menetelmiä.

Spoilerivariotus!

Jos et halua keksiä kaikkea itse, voit katsoa täältä mitä muut ovat keksineet:

https://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_integration

-

Lisää offtopikkia, tästä tulee ajatusketju. Löytöretket  omaan ajatteluun ovat jännempiä, kun ei harrasta lähdevittauksia tai tutustu niihin ensinkään. Eräs purjehtija tiesi Intian olevan olemassa, mutta lähti itsepäisesti väärään suuntaan. Siitä sitten seurasi julmuutta ja intiaanisotia. ITE-filosofia on paljon harmittomampaa.

No, Gabrielin torvesta ei lähde ääntä ilman reikää. Jos 0-piste otetaan pois, saadaan reikä ja torveen voi puhaltaa. Luulisin, että pinta-ala voidaan nyt laskea numeerisesti, mutta jos gridiä tihennetään, härmistyykö pinta-ala johonkin lukuun vain karkaako se edelleen äärettömyyteen? Entä jos reikää isonnetaan tarpeeksi, vaikka äärettömän suureksi, niin silloinhan pinta-ala = 0 ja äärellinen luku. Vai? Toki torvia on monenlaisia, myös peilikuvassa.

o_turunen
Seuraa 
Viestejä14900

Cosmological parameters kirjoitti:
Lisää offtopikkia, tästä tulee ajatusketju. Löytöretket  omaan ajatteluun ovat jännempiä, kun ei harrasta lähdevittauksia tai tutustu niihin ensinkään. Eräs purjehtija tiesi Intian olevan olemassa, mutta lähti itsepäisesti väärään suuntaan. Siitä sitten seurasi julmuutta ja intiaanisotia. ITE-filosofia on paljon harmittomampaa.

No, Gabrielin torvesta ei lähde ääntä ilman reikää. Jos 0-piste otetaan pois, saadaan reikä ja torveen voi puhaltaa. Luulisin, että pinta-ala voidaan nyt laskea numeerisesti, mutta jos gridiä tihennetään, härmistyykö pinta-ala johonkin lukuun vain karkaako se edelleen äärettömyyteen? Entä jos reikää isonnetaan tarpeeksi, vaikka äärettömän suureksi, niin silloinhan pinta-ala = 0 ja äärellinen luku. Vai? Toki torvia on monenlaisia, myös peilikuvassa.

Minkälainen torvi on Gabrielin torvi jossa ei ole reikää?

Korant: Oikea fysiikka on oikeampaa kuin sinun klassinen mekaniikkasi. Jos olet eri mieltä kanssani olet ilman muuta väärässä.

Se on torvi, joka päättyy singulariteettipisteeseen. Osaisiko joku määritellä analyyttisen muodon jatkuvalle funktiolle? Siis vaaditaan, että torvella on päätepiste pyörähdysakselilla äärettömyydessä ja että torven suu on äärettömän suuri  nollassa. Siis melkein kuin y = 1/x pyörähdyskappaleena. Mutta kouluajoista muistelen, että kun x lähestyy ääretöntä, y lähestyy nollaa. Haluan kuitenkin käyrän, joka on jollakin äärettömän arvolla täsmälleen nolla. Jos y = 1/x määritellään äärettömyydessä nollaksi, niin kahdessa äärettömyydessä se on edelleen nolla, mutta yhdessä äärettömyydessä sillä on epäjatkuvuuskohta. 

Tuplanollat eivät sovi mielestäni äärettömään, ennemminkin se on kellahtanut kahdeksikko.

Ehdotan siis aluksi y = 1/x - epsilon. Kun raja-arvo y -> 0, niin x = 1/epsilon. Toisaalta käyrältä haluttiin, että tällöin x  = ääretön. Nyt epsilonin pitäisi olla yhtäaikaa sekä nolla että suurempi kuin nolla. Ei tainnut eka yritys toimia. Löytyykö muita yritelmiä?

Jos jatkuvaa funktiota ei löydy, tarkoittaako se sitä, että äärettömällä jakaminen ei ole määritelty, vaikka olen aina luullut että luonnollinen luku jaettuna äärettömällä on nolla.

Ehkä joku lukujen perusteet hallitseva osaa kertoa.

Ivan The Terrible
Seuraa 
Viestejä2144

-Maija- kirjoitti:
Ihan offtopikkia.

Matemaatikkopoikani, tohtorikoulutettva kun on, kysyi minulta sellaisen kysymyksen, että meni mullakin sormi suuhun. Löytyiskö täältä vastausta.

Onko olemassa esinettä (teoriassa), jonka tilavuus on äärellinen, mutta tilavuutta rajoittava pinta on ääretön? Jos on, niin millainen se on?

Kysyitkö tätä tosissasi vaiko pelleilytarkoituksissa?

OJP.
Seuraa 
Viestejä941

-  Em kysymyksen asettelu on musta  epäselvä.

Mitä nyt sitten tulee  äärellisiin ja äärettömiin  malleihin fysiikassa niin  eräs tunnettu luokittelu tapa  on  ns, Friedmannin mallit ilman komologista vakota  ( z 0) kuten AE suositteli.

- Maaimankaikkeuden mallit voidaan luokitella kolmeen ryhmään laajenevan maailmankaikkeuden  geometrian mukaisesti. suljetut mallit,  Einstein - de Sitter malli ja  avoimet mallit.  Osa malleista tilavuudeltaan äärellisiä osa äärettömiä.

- Geometria määrittää keskim. massa tiheyden  p ja ns. kriittisen  tiheyden pc suhde. Kriitinen tiheys voidaan  Hubblen vakiota hyödyntäen laskea  H`` pc  = 3 . H´2/R pii G  jossa G on gravitaatio vakio.

( Asiasta on keskusteltu mm. ketjussa suhteellisuusteoria tai virhe suht. teoriassa )

Osmo, Otto, Juhani Päivinen

Suosituimmat

Uusimmat

Sisältö jatkuu mainoksen alla

Uusimmat

Suosituimmat